Mathématique en Terminale S Le raisonnement par récurrence

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1 Mathématique en Le raisonnement par récurrence Le raisonnement par récurrence est un raisonnement mathématique qui permet de démontrer qu une propriété dépendant d un entier n, est vrai quelque soit l entier n. Par exemple, les propriétés : P n : n,(e x ) n = e x n, x R et Q n : Quelque soit n, le nombre F n = 2 2n +1 est premier Ces propriétés a priori peuvent être vraies ou fausses. Nous savons que la première propriété est vraie pour tout n entier et tout réel x; en effet,elle a été donnée dans le cours sur la fonction exponentielle sans démonstration. Utilisons alors le raisonnement par récurrence pour la démontrer. Le raisonnement par récurrence Il se décline toujours en trois étapes : d abord,démontrer que la propriété est vraie dans les premiers termes, n = 0 ou n = 1 en général;c est état initial. ensuite,démontrer que la propriété est héréditaire; c est-à-dire que supposant que la propriété est vraie au rang k quelconque, cela implique qu elle le devient au rang suivant c est-à-dire au rang k +1; enfin,de conclure alors que la propriété est vrai quelque soit l entier n. Appliquons cette méthode à la propriété P n pour démontrer qu elle est vraie quelque soit l entier n. Etat initial P 0 est vraie car pour n = 0, on a effectivement (e x ) 0 = 1 = e x 0 ; P 1 est vraie car pour n = 1, on a aussi (e x ) 1 = e x = e x 1 ; etc... La propriété est donc initialisée! 1

2 Hérédité Supposons la propriété vraie à un rang k (ce choix de prendre k, n,t, ou... est totalement arbitraire!), c est-à-dire que (e x ) k = e x k. Démontrons que cela implique que la propriété est vraie au rang suivant, le rang k+1, et ainsi que l hérédité est vérifiée... On a successivement : (e x ) k+1 = (e x ) k (e x ) 1 par définition, mais comme la propriété est considérée comme juste jusqu au rang k, on a alors : (e x ) k+1 = e x k (e x ) 1 Mais de la relation e a e b = e a+b pour tous a et b, on en déduit finalement que : (e x ) k+1 = e x k+x = e x (k+1) Autrement dit la propriété est alors aussi juste au rang k +1! La propriété est donc héréditaire. Conclusion Lapropriétéétantvraiedanslespremiersrangsethéréditaire,onconclutqueP n est vraie quelque soit n. FIN de la démonstration. Remarque : Dire qu une formule est vraie pour quelques valeurs de n ne suffit pas à dire qu elle est vraie quelque soit l entier n. A ce titre, on démontre assez facilement que Q 0,Q 1,Q 2,Q 3 et Q 4 sont premiers. Cependant, la propriété n est plus héréditaire à partir de n = 4, ce qui suffit à affirmer que la propriété Q n n est pas vraie quelque soit n. Dans les exemples suivants, on retrouve les trois points de la méthode :initialisation, hérédité, conclusion. Exemple n 1 : Démontrez par récurrence,pour tout entier n, la propriété ln(x n ) = n ln(x) pour tout x > 0 1. La propriété est vraie au rang n = 0 car ln(x 0 ) = ln(1) = 0 et 0 ln(x) = 0.Elle est aussi trivialement vraie au rang n = 1.. Les F n sont les nombres de Fermat;F 33 est le plus petit nombre de Fermat dont on ne sait pas s il est composé ou premier. Avis aux amateurs! 2/5

3 2. Supposons la propriété vraie au rang k. C est-à-dire que jusqu au rang k, on a : Alors, par définition : ln(x k ) = k ln(x) ln(x k+1 ) = ln(x k x) = ln(x k )+ln(x) = k ln(x)+ln(x) = (k +1)ln(x) Donc la propriété est héréditaire. 3. On conclut que la propriété est vraie pour tout entier n. Exemple n 2 : Démontrez par récurrence,pour tout entier n, la propriété P n : 4 n +5 est un multiple de 3, est vraie 1. La propriété est vraie au rang 0; en effet = 1+5 = 6 = 2 3 La propriété est vraie au rang 1; en effet = 4+5 = 9 = Supposons la propriété vraie au rang k quelconque, c est-à-dire qu il existe un entier a tel que 4 k +5 = a 3.Alors : P k+1 : 4 k+1 +5 = 4 k 4+5 = (a 3 5) 4+5 = 12a 15 = 3 (4a 5); donc P k+1 est vraie. 3. On en conclut que P n est vraie quelque soit l entier n. Exemple n 3 : On considère la suite (U n ) définie par U 0 = 1 et pour tout entier naturel n, U n+1 = U n +2n+1 Démontrez par récurrence que quelque soit l entier n, U n n U 0 = donc la propriété est vraie au rang 0; U 1 = U = donc la propriété est vraie au rang 1; 2. Supposons la propriété vraie au rang k, c est-à-dire U k k 2.Alors : U k+1 = U k + 2k + 1 k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2 donc la propriété est vraie au rang k + 1 et est héréditaire. 3. On conclut que la propriété est vraie quelque soit l entier n, c est-à-dire que : n,u n n 2. Exemple n 4 : Démontrez que la propriété : P(n) : 2 n est divisible par 3 est héréditaire. Est-elle vraie pour autant? 3/5

4 Supposons qu il existe un entier k tel que 2 k soit un multiple de 3. Cela signifie qu il existe un entier p tel que 2 k = 3 p. Or : 2 k+1 = 2 k 2 = 3 p 2 et donc 2 k+1 est un multiple de 3. Donc la propriété est héréditaire. Néanmoins, elle ne peut pas être initiée car il n existe pas k entier tel que 2 k soit un multiple de 3. Donc elle est fausse. Exemple n 5 : Démontrez par récurrence, la propriété : P(n) : (f n ) = n f f n 1 pour n 2 où f n est la contraction de l écriture f(x) n pour tout x. Pour n = 2, la propriété est-elle vraie? Soit f une fonction et f sa dérivée. Alors : (f 2 ) = (f f) = f f +f f = 2 f f 1 autrement dit la propriété est vraie pour n = 2; elle est donc initialisée. Est-elle héréditaire? Pour le prouver supposons qu elle est vraie jusqu à un rang k, c est-à-dire que : Alors que peut-on dire de (f k+1 )? Par définition, (f k ) = k f f k 1 f k+1 = f k f 1 Donc en appliquant la règle de dérivation des produits, on a : (f k+1 ) = (f k f 1 ) = (f k ) f +f k f maisenutilisant lefaitquelapropriétéestvraieaurangk,c est-à-direque,(f k ) = k f f k 1,onaalors: puis (f k+1 ) = (f k f 1 ) = k f f k 1 f +f k f (f k+1 ) = (f k f 1 ) = k f f k +f k f = (k +1) f f k+1 1 autrement dit la propriété est vrai au rang k +1! et donc la propriété est héréditaire. Conclusion, la propriété est vraie pour tout n. Exercices Exercice 1 Démontrer par récurrence que pour tout entier n 1,. Mieux, elle n est jamais vraie! S n = (n 1)+n = n(n+1) 2 4/5

5 Exercice 2 Démontrer par récurrence que pour tout entier n 1, (n 1) 2 +n 2 = n(n+1)(2n+1) 6 Exercice 3 On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et pour tout entier n 1 : u n+1 = u n +1 Démontrez par récurrence que quelque soit l entier n, 0 < u n < 2. Exercice 4 Démontrez par récurrence que pour tout entier n, 3 2n 2 n est divisible par 7. Exercice 5 Soit la suite (u n ) définie par : { u0 = 7 u n+1 = 10u n Calculer u 1,u 2 et u Conjecturez l expression de u n en fonction de n. 3. Démontrez cette conjecture par récurrence. Exercice 6 Soit la suite (v n ) définie par : v 0 = 1 2 v n+1 = v n +1 v n On considère la fonction f définie sur [0;1] par : f(x) = x+1 x+2. (a) Déterminer la dérivée f de f puis étudier son signe. (b) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur [0;1]. (c) En déduire que si x [0;1] alors f(x) [0;1]; 2. En utilisant les résultats de la question précédente, démontrer par récurrence que 0 < v n < 1 pour tout n. 5/5