De la cellule au refroidissement de BEG

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1 De la cellule au refroidissement de BEG Philippe Thieullen Université Bordeaux 1, Institut de Mathématiques octobre 2010 Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 1/23

2 Le plan de l exposé De Hamilton-Jacobi à Frenkel-Kontorova 2 De Frenkel-Kontorova aux systèmes dynamiques 3 Refroidissement de Blume-Emery-Griffiths Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 2/23

3 De Hamilton-Jacobi à Frenkel-Kontorova Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 3/23

4 Equation de la cellule Les hypothèses : H(x, p) lisse, périodique en x, strictement convexe en p. Trouver pour tout P, une fonction périodique u(x) et une constante H(P ) telles que H(x, du(x) + P ) = H(P ), x R d. L approche théorique : l approximation ergodique ou pénalisée. Trouver pour tout δ > 0, u δ (x) périodique telle que δu δ (x) + H(x, du δ (x) + P ) = 0, x R d. Les résultats classiques : δ i u δi = H(P ), u δi = u uniformément. Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 4/23

7 Equation de la cellule approchée (1) La solution de l approximation pénalisée est donnée par { 0 [ ] u δ (x) := inf L(γ(s), γ(s)) P γ(s) e δ s ds : } γ W 1, (], 0]; R d ), γ(0) = x δu δ + H(x, du δ + P ) = 0, L(x, v) := sup{p v H(x, p)}. p Idée : discrétiser la fonction valeur { u τ δ (x) := inf τ [ ] L(x k, v k ) P v k (1 τδ) k : k=1 } v = (v k ) k bornée, x k+1 = x k + τv k, x 0 = x Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 5/23

8 Equation de la cellule approchée (1) La solution de l approximation pénalisée est donnée par { 0 [ ] u δ (x) := inf L(γ(s), γ(s)) P γ(s) e δ s ds : } γ W 1, (], 0]; R d ), γ(0) = x δu δ + H(x, du δ + P ) = 0, L(x, v) := sup{p v H(x, p)}. p Idée : discrétiser la fonction valeur { u τ δ (x) := inf τ [ ] L(x k, v k ) P v k (1 τδ) k : k=1 } v = (v k ) k bornée, x k+1 = x k + τv k, x 0 = x Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 5/23

9 Equation de la cellule approchée (2) Principe de programmation dynamique discret : { δu τ δ (x) + sup (1 τδ) uτ δ (x) uτ δ (x τv) v τ Permet d obtenir une équation discrétisée de la cellule sup v } L(x, v) + P v = 0. { u τ δ (x) u τ δ (x τv) } L(x, v) + P v = τ H(P ). Exemple : H(x, p) := 1 2 p 2 + V (x), L(x, v) = 1 2 v 2 V (x), E(x, y) = τ 2 L ( x k, y x ), τ u(y) = τu τ δ (x), λ := τp, Ē(λ) := τ 2 H(P ), V (x) := 1 ( ) (2π) 2 1 cos(2πx) Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 6/23

12 Equation de la cellule approchée (3) Le problème discrétisé de la cellule revient à résoudre { u(y) + Ē(λ) = min x{u(x) + E(x, y) λ (y x)}, y R d, u(x) périodique. Dans l exemple précédent E(x, y) λ (y x) = 1 2 y x 2 + τ 2 (2π) 2 ( 1 cos(2πx) ) +τp (y x). Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 7/23

13 Equation de la cellule approchée (3) Le problème discrétisé de la cellule revient à résoudre { u(y) + Ē(λ) = min x{u(x) + E(x, y) λ (y x)}, y R d, u(x) périodique. Dans l exemple précédent E(x, y) λ (y x) = 1 2 y x 2 + τ 2 (2π) 2 ( 1 cos(2πx) ) +τp (y x). Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 7/23

14 Modèle de Frenkel-Kontorova (1) Interaction élastique x i 1 x i x i 1 x i 2 Potentiel périodique E 0 (x, y) = W (x, y) + V (x), W (x, y) = 1 2 y x 2, V (x) = K ( ) (2π) 2 1 cos(2πx) E λ (x, y) = E 0 (x, y) λ(y x). Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 8/23

15 Modèle de Frenkel-Kontorova (2) Configuration minimisante : x := (..., x n, x n+1,..., x n+k,...) { E(x n, x n+1,..., x n+k ) E(y n, x n+1,..., y n+k ) y configuration telle que y n = x n et y n+k = x n+k. Configuration calibrée : suppose x vérifie E(x k, x k+1 ) = u(x k+1 ) u(x k ) + Ē, E(x, y) u(y) u(x) + Ē, x, y u(x) est périodique, alors x est fortement minimisante de manière évidente. Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 9/23

16 Modèle de Frenkel-Kontorova (2) Configuration minimisante : x := (..., x n, x n+1,..., x n+k,...) { E(x n, x n+1,..., x n+k ) E(y n, x n+1,..., y n+k ) y configuration telle que y n = x n et y n+k = x n+k. Configuration calibrée : suppose x vérifie E(x k, x k+1 ) = u(x k+1 ) u(x k ) + Ē, E(x, y) u(y) u(x) + Ē, x, y u(x) est périodique, alors x est fortement minimisante de manière évidente. Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 9/23

17 Modèle de Frenkel-Kontorova (3) On revient au problème : trouver u périodique et Ē tels que { u(y) + Ē(λ) = min x{u(x) + E(x, y) λ (y x)}, y R d, u(x) périodique. Une théorie d Aubry-Mather discrete peut être développée dès que E(x, y) est C 2, E(x + n, y + n) = E(x, y), n Z d, twist : 2 E < 0, x y E(x, y) est superlinéaire en y x. Questions : forme de l énergie effective Ē, forme de l ensemble d Aubry-Mather? Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 10/23

20 Frenkel-Kontorova numérique (1) Diagramme de phase de FK selon le nombre de rotation de Aubry-MAther E λ,k (x, y) = 1 2 y x 2 λ(y x) + K (2π) 2 ( 1 cos(2πx) ) /2 ω ω /6 1/7 1/8 2/7 1/4 2/9 1/5 1/3 3/7 2/5 3/ λ λ K = 3, ω = E λ, blocage aux nombres de rotation ω Q Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 11/23

21 Frenkel-Kontorova numérique (2) K λ Diagramme complet en (λ, K) Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 12/23

22 Frenkel-Kontorova numérique (3) Résoudre l équation en (u, Ē) revient à chercher un point fixe de Lax-Oleinik discret { T [u](y) := min x {u(x) + E(x, y)}, u + Ē = T [u]. On modifie d abord T par : T [u] = T [u] min T [u] Ishikawa (1976) remarque que : 1) T est contractant (au sens large) et 2) T préserve un convex compact dans C 0 (T d, R). Alors u k+1 := 1 ( u k + 2 T ) [u k ] un point fixe de T. Discrétisation en espace T,N [u](x j ) := min x i {u(x i ) + E(x i, x j )}, x i = i N, i (Z/NZ)d. Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 13/23

26 De Frenkel-Kontorova aux systèmes dynamiques Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 14/23

27 Formalisme thermodynamique sur un shift La discrétisation de l équation de la cellule en temps et en espace revient à comprendre le problème { S := {1,..., N}, u : S R, E : S S R, Ē = max u min i,j S {E(i, j) u(j) + u(i))}, j S. Le problème dual associé Ē = min π i,j E(i, j)π(i, j), i π(i, j) = i π(j, i), π(i, j) 0, π(i, j) = 1. i,j On oublie la discrétisation et on introduit : Σ + = S N : l ensemble des suite x = (x 0, x 1,...), σ : Σ + Σ + : le décalage à gauche, E(x) : Σ + R, (E(x) = E(x 0, x 1) dans le cas précédent). Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 15/23

30 Aubry-Mather sur les shift σ : Σ Σ un système dynamique, E : Σ R Hölder, { } Ē := min E dµ : µ proba invarinate par σ, l énergie effective. La barrière de Peierls : S ɛ n(x, y) := inf z,n h(x, y) := lim lim ɛ 0 n + Sɛ n(x, y), } (E Ē) σk (z) : d(z, x) < ɛ et d(σ n (z), y) < ɛ, { n 1 k=0 L ensemble d Aubry Ω(E) := {x Σ : h(x, x) = 0}. Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 16/23

33 Formalisme thermodynamique Questions : Comment sélectioner une mesure minimisante? Mesure de Gibbs à température T = β 1 : ( µ βe ([C n (x)] exp β ) n 1 k=0 E σk (x) + npres(βe), µ βe est une probabilité σ-invariante, a n b n C, t.q. C 1 a n /b n C, n. Résultats simples : Pres(βE) + βē Ent(Ω(E)), Tout point d acumulation de µ βe est une mesure minimisante d entropie topologique de Ω(E) maximale, A-t-on convergence de µ βe? Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 17/23

36 Refroidissement d un système dynamique Hypothèse : nombre fini de composantes irréductibles x y h(x, y) + h(y, x) = 0, Ω(E) = Ω 0 Ω 1... Ω r, Ent(Ω 0 ) > max Ent(Ω i ). i L équation aux valeurs propres de l opérateur de Ruelle e βe(x ) Φ β (x ) = e Pres(βE) Φ β (x), x Σ +, x :σ(x )=x Φ β (x) = e βu β(x), x 0 Ω 0, u β (x 0 ) = 0, Théorème : u β (x) u(x) := h(x 0, x), u(x) + Ē = (uniformément en x), min x :σ(x )=x {u(x ) + E(x )}, x Σ +. Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 18/23

39 Refroidissement de Blume-Emery-Griffiths Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 19/23

40 > > > > Le modèle de BEG x i 1 > > > x i x i 1 x i 2 > L énergie d interaction : S := { 1, 0, +1}, E(x) = J i,j x i x j K i,j x 2 i x 2 j + i x 2 i (Les états ±1 représent l atome He 4, l état 0 représente He 3, J > 0 pour le cas ferromagnétique). Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 20/23

41 Mesure de Gibbs de BEG Equation de Ruelle : ɛ J K+ ɛ 1 2 ɛ J K+ ɛ = e β, M ɛ = ɛ ɛ 1 2, M ɛ R ɛ = λ ɛ R ɛ. ɛ J K+ ɛ 1 2 ɛ J K+ Graphe des interactions et cycles minimisants Moyenne de E le long des cycles simples : cycles d ordre 1 0, ( J K + ) 1 cycles d ordre 2 2, (J K + ) 1 cycles d ordre 3 3 (J K + 2 ) Une mesure minimisante = mesure invariante supportée par un cycle minimisant. Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 21/23

42 Mesure de Gibbs de BEG Equation de Ruelle : ɛ J K+ ɛ 1 2 ɛ J K+ ɛ = e β, M ɛ = ɛ ɛ 1 2, M ɛ R ɛ = λ ɛ R ɛ. ɛ J K+ ɛ 1 2 ɛ J K+ Graphe des interactions et cycles minimisants 2-1 -J-K+D 0 0 J-K+D J-K+D Moyenne de E le long des cycles simples : cycles d ordre 1 0, ( J K + ) 1 cycles d ordre 2 2, (J K + ) 1 cycles d ordre 3 3 (J K + 2 ) Une mesure minimisante = mesure invariante supportée par un cycle minimisant. Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 21/23

43 Mesure de Gibbs de BEG Equation de Ruelle : ɛ J K+ ɛ 1 2 ɛ J K+ ɛ = e β, M ɛ = ɛ ɛ 1 2, M ɛ R ɛ = λ ɛ R ɛ. ɛ J K+ ɛ 1 2 ɛ J K+ Graphe des interactions et cycles minimisants 2-1 -J-K+D 0 0 J-K+D J-K+D Moyenne de E le long des cycles simples : cycles d ordre 1 0, ( J K + ) 1 cycles d ordre 2 2, (J K + ) 1 cycles d ordre 3 3 (J K + 2 ) Une mesure minimisante = mesure invariante supportée par un cycle minimisant. Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 21/23

44 Refroidissement de BGE Théorème : (Brémont (2003), Lepplaideur (2005), Chazottes-Gambaudo-Ugalde (2010)) alors M ɛ R ɛ = λ ɛ R ɛ, L ɛ M ɛ = λ ɛ L ɛ, i L ɛ (i)r ɛ (i) = 1, π ɛ (i) = L ɛ (i)r ɛ (i), Q ɛ (i, j) = M ɛ (i, j)r ɛ (j)/λ ɛ R ɛ (i), mesure de Gibbs µ βe = chaîne de Markov (π ɛ, Q ɛ ), π ɛ π, Q ɛ Q, µ βe µ chaîne de Markov (π, Q ), il n y a pas en général unicité des mesures minimisantes Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 22/23

45 Refroidissement de BGE Théorème : (Brémont (2003), Lepplaideur (2005), Chazottes-Gambaudo-Ugalde (2010)) alors M ɛ R ɛ = λ ɛ R ɛ, L ɛ M ɛ = λ ɛ L ɛ, i L ɛ (i)r ɛ (i) = 1, π ɛ (i) = L ɛ (i)r ɛ (i), Q ɛ (i, j) = M ɛ (i, j)r ɛ (j)/λ ɛ R ɛ (i), mesure de Gibbs µ βe = chaîne de Markov (π ɛ, Q ɛ ), π ɛ π, Q ɛ Q, µ βe µ chaîne de Markov (π, Q ), il n y a pas en général unicité des mesures minimisantes Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 22/23

46 Diagramme de phase de BEG à T = 0 >> >> > > > > K >> /2 >> 1/2 1 1 > /2 1 / > 1 1 > J K+ <0 1 /3 2/3 1 1 > 1 /2 0 1 / > > 1 /3 0 J 1 /3 1 / > 0 1 /2 1 /4 1 / > > -J-K+ <0 Calvi 2010, Rencontre KAM faible Hamilton-Jacobi et diagramme de phase 23/23