Arcs de cercles et courbes de Bézier rationnelles quadratiques

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1 Arcs de cercles et courbes de Bézier rationnelles quadratiques Lionel GARNIER, Résumé Dans le numéro 3 de la la feuille de vigne de septembre 009, nous avons vu l algorithme de De Casteljau qui permet de construire un arc de parabole à l aide de trois points de contrôle en utilisant une courbe de Bézier polynômiale. Nous avons aussi défini la notion de courbe de Bézier rationnelle de degré en utilisant des concepts de géométrie projective. Dans cet article, dans un premier temps, nous allons montrer comment il est possible de modéliser des arcs de cercles en utilisant des courbes de Bézier rationnelles quadratiques. Dans un second temps, nous adaptons l algorithme de De Casteljau dans le cas du cercle et proposons une construction fractale d un arc de cercle. Mots clés : courbe de Bézier rationnelle quadratique, arc de cercle, barycentre. Rappels Pour que cet article soit autonome, nous rappelons les expressions des polynômes de Bernstein de degré : B 0 t = t, B t = t t, B t = t ainsi que la notion de courbe de Bézier rationnelle de degré : Définition : courbe de Bézier rationnelle quadratique CBRQ Soit P 0 ; ω 0, P ; ω et P ; ω trois points pondérés du plan affine euclidien usuel, vérifiant : les points P 0, P et P ne sont pas alignés; pour tout réel t de [0; ], nous avons : ω i B i t 0 i=0 ω 0 ω ω 0. Un point M t, t [0; ], appartient à la CBRQ définie par les points de contrôle pondérés P i ; ω i 0 i si, pour un point O de P, M t vérifie : OM t = ω i B i t i=0 i=0 ω i B i t OP i 3

2 Lorsque nous avons ω 0 = ω =, la courbe est dite sous forme quasi standard et si nous avons ω > 0, la courbe est dîte sous forme standard. De plus, la tangente à la courbe en P 0 resp. P est la droite P 0 P resp. P P. Si la condition donnée par la formule n est pas vérifiée, la courbe de Bézier ne reste plus dans l espace affine et la ou les deux valeurs correspondantes nous donnent le ou les deux points à l infini de la conique représentée par cette courbe de Bézier. Concernant la motivation et l intérêt de ce travail ou concernant la modélisation d arcs d ellipses à partir des extrémités et des deux tangentes en ces points, le lecteur peut se reporter à [Gar07]. Dans cet article, les extrémités de l arc de cercle modélisé ne seront pas diamétralement opposés. Concernant ce cas, le lecteur peut consulter [FJ89]. Détermination des points et des poids de la courbe de Bézier rationnelle quadratique Si P 0, P et P sont trois points non alignés, RQBC {P 0 ; P ; P } désigne une courbe de Bézier rationnelle quadratique de points de contrôle P 0, P et P tandis que RQBC {P 0 ; P ; P, ω} désigne une courbe de Bézier rationnelle quadratique quasi standard de points de contrôle P 0 ;, P ; ω et P ;. Finalement, RQBC {P 0 ; P ; P, ω 0 ; ω ; ω } désigne une CBRQ de points de contrôle pondérés P 0 ; ω 0, P ; ω et P ; ω. Comme tout diamètre d un cercle est un axe de symétrie, nous obtenons une condition nécessaire non suffisante pour qu une RQBC {P 0 ; P ; P } soit un arc de cercle : P 0 P = P P c est-à-dire que le point P appartient à la médiatrice de [P 0 P ]. Nous allons dans un premier temps déterminer les relations entre les points de contrôle de la CBRQ et le cercle dont elle modélise l arc, figure.. Condition géométrique Le théorème permet de déterminer les caractéristiques du cercle, dont l arc γ 0 ou γ est modélisé par RQBC {P 0 ; P ; P }, passant par P 0 et P et ayant comme tangentes les droites P 0 P et P P, figure. Théorème : Centre du cercle déterminé par deux points et deux tangentes Soit C le cercle de centre O 0 et de rayon R passant par P 0 et P et ayant comme tangente P 0 P et P P, les points P 0, P et P n étant pas alignés. Soit I le milieu du segment [P 0 P ]. Soit la médiatrice du segment [P 0 P ]. Alors :. Si le cercle C existe alors le point P appartient à la droite.

3 P 0 γ R γ 0 C O 0 R I P P Fig. Modélisation de deux arcs de cercle par deux CBRQs.. Si le cercle C existe, le centre O 0 est donné par : et le rayon est R = O 0 P 0. P O 0 = t 0P I avec t 0 = P 0 P I P 4 P 0 P Démonstration :. Si le cercle C existe alors = I O 0 est un axe de symétrie de C. Soit s la réflexion d axe. Ainsi s P 0 = P et s P = P 0. Soit T 0 et T les tangentes respectives à C en P 0 et P. Nous avons donc s T 0 = T. Les tangentes T 0 et T sont concourantes puisque les deux contiennent P et se coupent sur l axe donc P appartient à la droite.. Dans cette partie, le point P appartient à la médiatrice et nous supposons que le cercle C existe. P 0 P est la tangente au cercle C en P 0 si et seulement si nous avons : P 0 P P 0 O 0 = 0 Le point O 0 appartient à la droite P I donc il existe un réel t 0 tel que : P O 0 = t 0P I 3

4 P 0 P P 0 O 0 = 0 P 0 P P 0 P + P O 0 = 0 P 0 P P 0 P + P 0 P P O 0 = 0 P 0 P + t 0 P 0 P P I = 0 P 0 P t 0 = P 0 P. I P Nous avons bien P 0 P P I 0 puisque les points P 0, P et P ne sont pas alignés. Comme le point P 0 appartient au cercle C de centre O 0, le rayon R du cercle C est donc R = O 0 P 0. Réciproquement, le théorème permet de construire le point P pour que la RQBC P 0 ; P ; P soit l un des deux arcs de cercle de centre donné et d extrémités P 0 et P. Théorème : Construction de P connaissant le centre du cercle Soit C le cercle de centre O 0 et de rayon R passant par les deux points distincts P 0 et P et I le milieu du segment [P 0 P ]. RQBC P 0 ; P ; P peut être un arc de cercle de C passant par les deux points distincts P 0 et P si P vérifie : I P = t O0 I avec t = O 0 P 0 I P 0 O 0 P 0 5 O 0 I Démonstration : Soit I le milieu du segment [P 0 P ]. Tout diamètre de cercle est axe de symétrie donc P appartient à la droite O 0 I donc il existe un réel t tel que : I P = t O0 I La droite P 0 P est une tangente au cercle si et seulement si O 0 P 0 P 0 P = 0. O 0 P 0 P 0 P = 0 O 0 P 0 P0 I + I P = 0 O 0 P 0 P 0 I + O 0 P 0 I P = 0 O 0 P 0 P 0 I + t O 0 P 0 O 0 I = 0 t O 0 P 0 O 0 I = O 0 P 0 I P 0 O 0 P 0 I P 0 t = O 0 P 0. O 0 I Nous avons bien O 0 P 0 O 0 I 0 puisque chaque vecteur est non nul et ils ne peuvent pas être orthogonaux car I appartient à une corde du cercle de centre O 0 issue de P 0. Pour déterminer une conique, il faut cinq contraintes, nous n en avons que quatre deux points et deux tangentes. 4

5 . Calculs des poids Après avoir déterminé les conditions géométriques permettant de passer d un arc de cercle à une CBRQ et réciproquement, nous allons, dans ce paragraphe, donner les conditions sur les poids ω 0, ω et ω pour qu une CBRQ modélise un arc de cercle. Nous considérons dans un premier temps le cas général puis nous verrons les simplifications qu il est possible d apporter lorsque la CBRQ est sous forme quasi standard. Théorème 3 : Cercle déterminé par deux points et les tangentes en ces points Soit C le cercle de centre O 0 et de rayon R passant par P 0 et P et ayant comme tangente P 0 P et P P, les points P 0, P et P n étant pas alignés. Soit I le milieu du segment [P 0 P ]. Soit la médiatrice du segment [P 0 P ]. Soit w 0 et w deux réels strictement positifs, nous posons ω = ω 0 + ω. Soit G le barycentre des points pondérés P 0, ω 0 et P, ω. Soit γ = RQBC {P 0 ; P ; P, ω 0 ; ω ; ω }. La courbe γ est un arc de cercle si et seulement si : O 0 γ = R 6 qui est équivalent à : ω + ω O 0 γ = ω O 0 G + ω O 0 P 7 qui est équivalente à l équation αω + β = 0 où α et β sont donnés par : α = 4 R O 0 P, β = w R O 0 G 8 La solution positive ω + resp. négative ω de la formule 9 permet de modéliser le petit resp. grand arc de cercle du cercle C. ω + = β α, ω = β 9 α Démonstration du théorème : M appartient au cercle C et B0 = B = 4 et B =. ω 0 B 0 +ω B +ω B = ω ω + ω 4 = 4 ω 0 + ω + ω = 4 ω + ω avec ω = ω 0 + ω. G est le barycentre des points pondérés P 0, ω 0 et P, ω donc pour tout point O, nous avons ω OG = ω 0OP0 + ω OP. Oγ 4 ω0 = OP 0 + ω OP + ω OP = ω OG + ω OP ω + ω 4 4 ω + ω Par abus, nous notons de la même façon la courbe γ et le chemin γ : t γt définissant les points γ t de la courbe γ. 5

6 La définition vectorielle d une courbe de Bézier rationnelle ne dépend pas du point O choisi, nous prenons donc O au centre du cercle O 0 et nous avons la relation : ω + ω O 0 γ = ω O 0 G + ω O 0 P En prenant le carré scalaire, nous obtenons : ω + ω O 0 γ = ω O 0 G + ω O 0 P ω + 4ω ω + 4ω R = ω O 0 G + 4ω ω O0 G O 0 P + 4ω O 0 P 4ω R O 0 P + 4ω ω R O 0 G O 0 P + ω R O 0 G = 0. Montrons que R O 0 G O 0 P = 0. R = O 0 P 0 = O 0 P 0 + O 0 P 0 P 0 P car O 0 P 0 P 0 P = 0 d où : R = O 0 P 0 O 0 P 0 + P 0 P = O 0 P 0 O 0 P Comme P 0 P O 0 P et G P 0 P figure, nous avons P 0 G O 0 P = 0 d où : R = O 0 P 0 O 0 P + P 0 G O 0 P = O 0 P 0 + P 0 G O 0 P = O 0 G O 0 P d où : R O 0 G O 0 P = 0 et nous obtenons αω +β = 0 en posant α = 4 R O 0 P et β = ω R O 0 G. α est bien non nul puisque le point de contrôle P n appartient pas au cercle de centre O 0 et de rayon R. De plus, αβ < 0 car le point de contrôle P n appartient pas au disque de centre O 0 et de rayon R tandis que G l est : G est le barycentre des points pondérés P 0, ω 0 et P, ω, ω 0 et ω sont positifs donc G [P 0 P ]. Les racines du trinôme du second degré αω + β = 0 sont ± β α. Lorsque deux CBRQs modélisent un même arc de cercle les points de contrôle sont évidemment les mêmes les valeurs des poids n interviennent que dans la vitesse de parcours des deux CBRQs. Le théorème 4 donne les conditions sur le poids ω pour qu une CBRQ sous forme quasi standard modélise un arc de cercle. Théorème 4 : Arc de cercle modélisé par une CBRQ quasi standard Soit P 0, P et P trois points non alignés du plan euclidien P muni du repère orthonormé O, ı, j et I le milieu du segment [P 0 P ]. La CBRQ γ = RQBC {P 0 ; P ; P, ω} est un arc de cercle C de centre O 0 et de rayon R définis par les points P 0, P et P, théorème 3, si et seulement si w vérifie l équation : + ω R = O 0 I + ω O 0 P 0 6

7 . La courbe γ correspond au plus petit arc de cercle si et seulement si ω vérifie : ω + = O 0I R R O 0 P. La courbe γ correspond au plus grand arc de cercle si et seulement si w vérifie : ω = O 0I + R R + O 0 P 3. Les poids définis dans les formules et sont opposés c est-à-dire qu ils vérifient : ω + + ω = 0 3 Démonstrations : Nous allons utiliser les lemmes suivants. Lemme : Soit P 0 P O 0 un triangle rectangle en P 0 et I le pied de la hauteur issue de P 0. Nous avons alors la relation : O 0 P 0 = R = O 0 I O 0 P 4 Lemme : Soit G le barycentre de deux points pondérés A, a et B, b avec a > 0, b < 0 et b < a. Alors le point G appartient à la demi-droite AB [AB. Démonstration du lemme : G est le barycentre de deux points pondérés A, a et B, b si et seulement si a GA + b GB = 0. a GA+b GB = 0 aga+bga+bab = 0 a + b AG = bab. Comme nous avons a > 0, b < 0 et b < a, nous avons a + b > 0 et donc les vecteurs AG et AB sont de sens contraires donc le point G appartient à la demi-droite AB [AB. Démonstration du théorème 4 : γ appartient au cercle C, B0 = B = 4 et B =. B 0 + ωb + B = 4 + ω + 4 = + ω d où : I est le milieu du segment [P 0 P ] donc pour tout point O, nous avons : OI = OP 0 + OP 7

8 Oγ = +ω 4OP 0 + ω OP + 4OP = +ω OI + ω OP OI + ω OP = +ω La définition vectorielle d une courbe de Bézier rationnelle ne dépend pas du point O choisi, nous prenons donc O au centre du cercle O 0 et nous obtenons la relation : O 0 γ = O0 I + ω O 0 P + ω I appartient au segment [O 0 P ], figure, donc nous avons la relation : 5 O 0 P = O 0P O0 I 6 O 0 I En combinant les formules 5 et 6, nous avons la relation : O 0 γ = O0 I + ω O 0P O0 I + ω O 0 I = + ω O 7 0I + ωo 0 P O0 I O 0 I Nous déduisons alors la relation 8 puis la relation 9 après le passage aux normes et le fait que O 0 I O 0 I =. + ω O 0 γ = O 0I + ωo 0 P O0 I 8 O 0 I + ω O 0 γ = O 0I + ωo 0 P 9 Le point γ appartient au cercle de centre O0 et de rayon R si et seulement si O 0 γ = R. Le scalaire ω est donc solution de l équation : + ω R = O 0 I + ωo 0 P 0. Nous nous plaçons dans le cas où + ωr = O 0 I + ωo 0 P. + ωr = O 0 I + ωo 0 P R + ωr = O 0 I + ωo 0 P ω O 0 P R = R O 0 I. P n appartient pas au cercle de centre O 0 et de rayon R donc O 0 P R 0. Il vient : ω = R O 0I O 0 P R = O 0I R R O 0 P Montrons que ω appartient à ]0; [ et nous le noterons ω +. Comme I est le milieu de la corde [P 0 P ] du cercle de centre O 0 et de rayon R, nous avons O 0 I < R c est-à-dire R O 0 I > 0. Nous avons aussi O 0 P > R c est-à-dire O 0 P R > 0. 8

9 Nous avons bien ω + > 0. Montrons que : ω + <. ω + < R O 0I O 0 P R < R O 0 I < O 0 P R car O 0 P R > 0 donc : ω + < O 0 P > R O 0 I Par construction, le triangle P 0 P O 0 est rectangle en P 0, R = O 0 P 0 et I est le pied de la hauteur issue de P 0, figure. En appliquant la propriété de la hauteur dans le triangle P 0 P O 0, lemme, nous obtenons alors : O 0 P > R O 0 I O 0 I O 0 P > O 0 I R O 0 I R > R O 0 I O 0 I R > R O 0 I O 0 I R R O 0 I + O 0 I > 0 R O 0 I > 0. Ceci est toujours vrai puisque I est sur une corde du cercle de centre O 0 et de rayon R donc : nous avons bien ω + <. L inégalité ω + > 0 implique + ω + > 0 et O 0 I + ω + O 0 P > 0. A partir de la relation 8, nous déduisons que les vecteurs O 0 γ et O0 I sont de même sens donc γ appartient au petit arc de cercle.. Nous nous plaçons dans le cas où + ωr = O 0 I + ωo 0 P. + ωr = O 0 I + ωo 0 P R ωr = O 0 I + ωo 0 P ω R + O 0 P = R + O 0 I donc : ce qui implique ω < 0. ω = R + O 0I R + O 0 P ω < R + O 0I R + O 0 P < R + O 0 I < R + O 0 P O 0 I < O 0 P Ceci est toujours vrai puisque I est le milieu de la corde [P 0 P ] d où < ω < 0 et nous le noterons ω. A partir de la relation 5, nous déduisons que γ est le barycentre des points pondérés I, et P, w. En appliquant le lemme, γ n appartient pas à la demi-droite [I P donc il appartient au grand arc de cercle. 3. Calculons ω + + ω. 9

10 R O 0 I O 0 P R R + O 0I = R O 0I R + O 0 P + R + O 0 I R O 0 P R + O 0 P O 0 P R = R + R O 0 P R O 0 I O 0 P O 0 I + R O 0 P R d après le lemme. + R O 0P + R O 0 I O 0 P O 0 I O 0 P R = R O 0 P O 0 I O 0 P R = O 0P 0 O 0P O 0 I O 0 P R = 0 Il est possible de montrer [Gar07] que nous avons aussi : ω + = cos P 0 P ; P 0 P = P 0 P P 0 P = ω 3 P 0 P P 0 P Exemple : Soit O; ı ; j un repère orthonormé direct du plan affine euclidien P. Considérons les points P 0 = ; 0, P = ; et P = 0;.. Déterminer le poids ω pour que le cercle de centre O et de rayon soit modélisé par l union de deux courbes de Bézier rationnelles quadratiques quasi standard γ + et γ de points de contrôle respectifs P 0 ;, P ; ω et P ; d une part, P 0 ;, P ; ω et P ; d autre part, figure.. Déterminer le poids ω pour que l arc de cercle de centre O et de rayon situé dans le premier quadrant soit modélisé par une courbe de Bézier rationnelle quadratique γ de points de contrôle P 0 ;, P ; ω et P ;. Nous avons P O = ;. Soit I le milieu du segment [P 0 P ]. Ainsi, I ; et P I = ;. Il reste à calculer le scalaire t0, formule 4. P 0 P = 0; donc P 0 P =. I P P 0 P = 0 + = donc t 0 = et nous avons bien P O = P I c est-à-dire que les conditions géométriques sont vérifiées. Il reste à calculer le poids ω, formule 3. P 0 P = ; d où : P 0 P P 0 P ω = = 0 + P 0 P P 0 P = γ + est la CBRQ de points de contrôle P 0 ;, P ; et P ;. γ est la CBRQ de points de contrôle P 0 ;, P ; et P ;. 30 4

11 P P j γ + O ı P 0 γ Fig. Cercle modélisé par l union de deux courbes de Bézier rationnelles quadratiques γ + et γ.. Naturellement, d après la question, les conditions géométriques concernant les points O, P 0, P et P sont vérifiées et le seul travail à réaliser est le calcul du poids ω en utilisant la formule 9. Nous avons ω = 3 et G 3 ; 3 d où : d où : α = 4 R O 0 P = 4 = 4 β = w R O 0 G = 9 5 = 4 9 w = 4 4 = γ est la CBRQ de points de contrôle P 0 ;, P ; et P ;. 3 Modélisation fractale d un arc de cercle En nous basant sur l algorithme paru dans la feuille de vigne numéro 3 de septembre 009, permettant de modéliser de façon fractale un arc de parabole, nous proposons un algorithme permettant de modéliser de façon fractale un arc de cercle, algorithme. Cet algorithme repose sur la modélisation d un arc de cercle en utilisant une CBRQ sous forme standard. 3

12 Algorithme : Construction fractale d un arc de cercle. Entrée : Soit P 0, P et P trois points non alignés de P tel que P 0 P = P P. Soit ω = cos P 0 P, P 0 P. Procédure FractCercleP 0,P,P,ω. Soit N = bar {P 0 ; ; P ; ω}.. Soit N = bar {P ; ; P ; ω}. 3. Soit N 3 le milieu du segment [N N ]. + ω 4. ω =. 5. FractCercleP 0,N,N 3,ω. 6. FractCercleN 3,N,P,ω. Sortie : un arc de cercle défini de façon fractale par les extrémités P 0, P de l arc et les tangentes P 0 P et P P à l arc. L algorithme est récursif et son exécution induit la construction d un arbre binaire chaque nœud a deux branches. La figure 3 illustre les éléments de l algorithme. Nous allons montrer que cet algorithme construit bien des points de l arc de cercle souhaité en quatre étapes : Etape : montrer que le point N 3 est bien sur l arc de cercle ; Etape : montrer que la droite N N est tangente au cercle en N 3 ; Etape 3 : montrer que les triangles P 0 N N 3 et N 3 N P sont isocèles en N et N ; Etape 4 : montrer que le nouveau calcul de ω est le bon. Etape. Montrons que le point N 3 de cet algorithme est bien un point du cercle. Soit γ = RQBC {P 0 ; P ; P, ω} l arc de cercle C, de centre O 0, d extrémités P 0 et P ayant pour tangentes les droites P 0 P et P P. D après les points et de l algorithme, nous avons pour tout point O : ON = ON = ω + OP0 + ω OP + ω ω OP + OP 5 et d après le point de l algorithme, nous avons pour tout point O : ON + ON = ON 3 6 et en remplaçant dans la formule 6, les expressions données dans la formule 5, nous obtenons : ON 3 = OP0 + ω OP + OP + ω 3

13 P β N α α β α N 3 N γ P 0 α I Fig. 3 Principe de la construction fractale d un arc de cercle. α P ce qui conduit à : ON 3 = que nous mettons sous la forme : ON 3 = 4 + ω + 4 OP0 + ω OP + OP + ω + OP ω OP + OP = Oγ 4 ce qui prouve que le point N 3 est un point du cercle C. Comme γ est sous forme standard, le point N 3 appartient à la médiatrice du segment [P 0 P ] c est-à-dire que les points P, N 3 et O 0 sont alignés et les droites O 0 N 3 et P 0 P sont perpendiculaires. Etape. Du fait que la géométrie projective concerve les incidences, la droite N N est tangente au cercle au point N 3. Cependant, en restant dans le contexte de la géométrie affine, d après la formule 5, nous avons : P N = P N = P P 0 + ω 7 P P ω + et en considérant l homothétie H de centre P et de rapport +ω, la droite N N, contenant le point N 3, est l image de la droite P 0 P par cette homothétie H. ces deux droites étant parallèles, la droite P 0 P étant perpendiculaire à la droite 33

14 O 0 N 3, nous en déduisons que les droites N N 3 et O 0 N 3 sont perpendiculaires ce qui prouve que la droite N N est tangente au cercle au point N 3, figure 3. Etape 3. Etant donné que la construction est symétrique par rapport à la droite O 0 P, pour pouvoir ré-itérer le processus, il suffit de montrer que nous avons : P 0 N = N N 3 8 Nous savons que la droite N N est tangente au cercle au point N 3 et que la droite N P 0 est tangente au cercle au point P 0 donc N appartient à la médiatrice du segment [P 0 N 3 ] ce qui prouve la formule 8. Etape 4. Afin d améliorer la rapidité de l algorithme, déterminons une relation simple entre le poids ω dans le triangle P 0 P P isocèle en P et le poids ω dans le triangle P 0 N N 3 isocèle en N. En ne considérant que des angles géométriques, nous avons : β = 80 α et le point N appartenant au segment [P P 0 ], nous avons : d où : α + β = 80 α = α = α Comme ω = cosα et ω = cosα, la relation : α + cosα cosα = cos = conduit à : + ω ω = La figure 4 montre un déroulement de profondeur de l algorithme. Nous partons d un triangle P 0 P P isocèle en P. Le premier niveau va construire les points N et N, étapes et de l algorithme, puis le point N 3 de l arc de cercle, étape 3 de l algorithme. La valeur ω du poids est alors recalculée, étape 4 de l algorithme. La première resp. deuxième partie du second niveau va construire les points N4 a et N5 a resp. N4 b et N5, b étapes et de l algorithme, puis le point N6 a resp. N6 b de l arc de cercle, étape 3 de l algorithme. Dans l algorithme, nous avons pris le poids ω positif ce qui permet d obtenir le petit arc de cercle. Que se passe-t-il si nous prenons une valeur négative pour le poids ω c est-à-dire que nous travaillons sur le grand arc de cercle? Le poids n intervient pas dans les trois premières étapes, ces dernières sont donc encore valides. Il reste donc à considérer l étape 4, figure 5. Nous avons : ω = cos P 0 P, P 0 P = cosα 34

15 P N N N 5 a 3 N 4 b N N a 4 N a 6 N b 6 N b 5 P 0 Fig. 4 Déroulement de l algorithme sur une profondeur de. P d une part, α + β = π et α = β d autre part, figure 5, d où : d où : α = π α π α + cos π α cosα cosα = cos = = ce qui conduit à : + ω ω = et l étape 4 de l algorithme est encore valide. Remarquons qu à partir de la seconde étape, tous les poids calculés sont positifs i.e. < ω +ω > 0 c est-à-dire que se donner un poids initial négatif permet de construire trois arcs de cercles décrivant totalement le cercle et modélisés par trois CBRQs, sous forme standard i.e. tous les poids sont positifs, de points de contrôle pondérés : P 0 ;, P ; ω et P ; ; P 0 ;, N ; ω et N 3 ; ; N 3 ;, N ; ω et P ;. Déroulons l algorithme, sur une profondeur de, sur la courbe donnée à la question de l exemple : γ est la courbe de Bézier rationnelle quadratique de points de contrôle P 0 ;, P ; et P ;, figure 5. 35

16 N N b P 5 P N b 6 α α O P 0 N b 4 N 3 γ N a 4 N a 5 N a 6 α α α = β Fig. 5 Construction fractale d un arc de cercle à partir d un poids négatif. { Nous avons N = bar P 0 ; ; P ; } d où : P N = et nous obtenons : P P 0 = + P P 0 = 4 N = et nous obtiendrions de même : N = ce qui conduit à : et : ω = N 3 = = N + P P 0 = + j, 44, , 383 Les coordonnées des points calculés lors de l étape suivante sont données dans le tableau. Les points en gras sont des points du cercle. 36

17 Nom Coordonnées exactes Coordonnées approchées N4 a + 0, 668 N5 a + 0, 35 +, 80 N6 a + 0, 383 0, , 668 N b 4 N b 5 N b 6 + +, 80 0, , 94 0, 383 Tab. Coordonnées des points calculés lors de la seconde étape du déroulement de l algorithme. Références [FJ89] J.C. Fiorot and P. Jeannin. Courbes et surfaces rationnelles, volume RMA. Masson, 989. [Gar07] L. Garnier. Mathématiques pour la modélisation géométrique, la représentation 3D et la synthèse d images. Ellipses, 007. ISBN :