BARYCENTRE GA + 3. le vecteur 2 GB = 0? AG = AB. Avec M = B, on obtient BG = α + β

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1 BARYCENTRE Exercice 01 Soient A et B deux points. 1 ) Montrer qu'il existe un et un seul point G tel que GA + Placer le point G sur un dessin. Soit M un point. Écrire en fonction du vecteur MG le vecteur MA + MB. ) Mêmes questions avec - GA + 5 ) On considère deux réels α et β. Existe-t-il un unique point G tel que α GA + β GB = 0? Propriété - Définition (voir démonstration 01) Soient A et B deux points, α et β deux réels tels que 0. Il existe un et un seul point G tel que α GA + β Ce point G est appelé barycentre des points pondérés (A ; α) et (B ; β). On dit aussi que G est barycentre de A et B affectés respectivement des coefficient α et β. Propriété (voir démonstration 0) Si G est barycentre de (A ; α) et (B ; β) ( 0), alors pour tout point M on a : α MA + β MB = () MG. En appliquant la relation avec M = A, on obtient AG = Exercice 0 β AB. Avec M = B, on obtient BG = Soient A et B deux points distincts. 1 ) Soit G barycentre de (A ; α) et (B ; β) avec 0. Démontrer que G est sur la droite (AB). ) Soit M un point de la droite (AB). Justifier qu'il existe un réel k tel que AM = k AB. En déduire que M est barycentre de A et B affectés de coefficients que l'on déterminera. α BA Propriété (voir démonstration 0) ( voir animation ) Soient A et B sont deux points distincts si G est barycentre de (A ; α) et (B ; β) ( 0), alors G est sur la droite (AB). si M est un point de la droite (AB), alors M est barycentre des deux points A et B. Dans le cas de coefficients positifs, le barycentre G correspond au "point d'équilibre". α β Exercice 0 Soient A et B deux points. Déterminer et construire le barycentre G 1 de (A ; 1) et (B ; ) Déterminer et construire le barycentre G de (A ; -1) et (B ; 4) Déterminer et construire le barycentre G de (A ; ) et (B ; -) Déterminer et construire le barycentre G 4 de (A ; -4) et (B ; 6). Que remarque-t-on? 1èreS Barycentre page 1

2 Propriété (voir démonstration 04) Si G est barycentre de (A ; α) et (B ; β) ( 0), alors pour tout réel k non nul, G est barycentre de (A ; kα) et (B ; kβ). (On ne change pas le barycentre en multipliant (ou en divisant) les coefficients par un même réel non nul) Le barycentre (A ; k) et (B ; k) avec k 0 est le même que le barycentre de (A ; 1) et (B ; 1), on l'appelle isobarycentre de A et B. Définition On appelle isobarycentre de deux points A et B, le barycentre de A et de B affectés d'un même coefficient non nul. Lorsqu'on parle de l'isobarycentre de A et B, il n'est pas utile d'indiquer les coefficients affectés à A et à B. L'isobarycentre de A et de B est le milieu I de [AB]. Exercice 04 Dans chacun des cas suivants, donner des coefficients α et β tels que M soit barycentre de (A ; α) et (B ; β). 1 ) MB + AB = 0 ) MA = AB ) AM + BM = 1 AB 4 ) -MB + AM = AB Exercice 05 ( voir animation ) La graduation étant régulière, exprimer chacun des points I, J, K comme barycentre de A et B affectés de coefficients à déterminer. Exercice 06 C est le barycentre de (A ; ) et (B ; -7). Déterminer deux réels β et γ tels que A soit barycentre de (B ; β) et (C ; γ). Déterminer deux réels α et δ tels que B soit barycentre de (A ; α) et (C ; δ). Faire un dessin. Exercice 07 ( voir animation ) Soit G le barycentre de (A ; α) et (B ; β) ( 0). Montrer que si α et β sont tous deux positifs alors G se trouve sur le segment [AB]. Où se trouve le point G si α et β sont tous deux négatifs? Où se trouve le point G si α et β sont de signes contraires? Propriété (voir démonstration 05) Dans le plan rapporté à un repère (O; i, j ), les coordonnées du barycentre G de (A ; α) et (B ; β) ( 0) sont données par : x G = αx A + βx B ; y G = αy A + βy B Exercice 08 Dans le plan rapporté au repère (O; i, j ), on considère P(-1 ; ) et Q( ; -5). Déterminer les coordonnées de R barycentre de (P ; 5) et (Q ; -). Exercice 09 Dans le plan rapporté à un repère (O; i, j ) on considère les points : A(-1 ;-1) ; B(0 ; ) ; C(- ;-) Montrer que AB et AC sont colinéaires. Déterminer β et γ tels que A soit barycentre de (B ; β) et (C ; γ). 1èreS Barycentre page

3 Exercice 10 On considère trois points A, B et C. 1 ) Montrer qu'il existe un et un seul point G tel que GA - GB + 5GC = 0. On pourra exprimer AG en fonction de AB et AC. Placer le point G sur un dessin. ) Mêmes questions avec GA + GB + 4 Exercice 11 On considère trois points A, B et C. Existe-t-il un ou plusieurs point(s) G tel que GA + GB - 5 Propriété - Définition (voir démonstration 06) Soient A, B et C trois points, α, β et γ trois réels tels que + γ 0. Il existe un et un seul point G tel que : α GA + β GB + γ Ce point G est appelé barycentre des points pondérés (A ; α) ; (B ; β) et (C ; γ). On dit aussi que G est barycentre de A, B et C affectés respectivement des coefficients α, β et γ. Propriété (voir démonstration 07) Si G est barycentre de (A ; α) ; (B ; β) et (C ; γ) ( + γ 0), alors pour tout point M on a : α MA + β MB + γ MC = ( + γ) MG. En appliquant la relation avec M = A on obtient : AG = β AB + γ AC + γ Exercice 1 Soit ABC un triangle. Construire le point G barycentre de (A ; ) (B ; 1) (C ; -). Exercice 1 Soit ABC un triangle et E tel que : AE = 1 BC. Montrer que E est barycentre de A, B et C affectés de coefficients à déterminer. ce qui permet de placer le point G. Propriété (voir démonstration 08) Si G est barycentre de (A ; α) ; (B ; β) et (C ; γ) ( + γ 0), alors pour tout réel k non nul, G est barycentre de (A ; kα) ; (B ; kβ) et (C ; kγ). (On ne change pas le barycentre en multipliant (ou en divisant) les coefficients par un même réel non nul) Définition On appelle isobarycentre de trois points A, B et C, le barycentre de A, B et C affectés d'un même coefficient non nul. Propriété (voir démonstration 09) L'isobarycentre de trois points non alignés A, B et C est le centre de gravité du triangle ABC. (point d'intersection des médianes) 1èreS Barycentre page

4 Propriété (voir démonstration 10) Soit G le barycentre de (A ; α) ; (B ; β) et (C ; γ) ( + γ 0). Dans le plan rapporté à un repère (O; i, j ), les coordonnées de G sont données par : x G = αx A + βx B + γx C + γ Exercice 14 ; y G = αy A + βy B + γy C + γ Soit G le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients 5 ; et. Soit H le barycentre de A et B affectés des coefficients 5 et. 1 ) Exprimer 5 GA + GB en fonction de GH. ) En déduire une relation entre GH et GC et montrer que G est barycentre de H et C affectés de coefficients que l'on déterminera. Placer le point G sur un dessin. ) Soit K le barycentre de B et C affectés des coefficients et. Montrer que G est barycentre de A et K affectés de coefficients que l'on déterminera. Que peut-on en déduire pour G? Propriété (associativité) (voir démonstration 11) Soit G le barycentre de (A ; α) ; (B ; β) et (C ; γ) ( + γ 0), Si 0, soit G 0 le barycentre de (A ; α) et (B ; β). Alors G est barycentre de (G 0 ; ) et (C ; γ). s Pour chercher un barycentre, on peut donc remplacer deux points par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs coefficients. Cette propriété permet de démontrer facilement que l'isobarycentre des trois sommets d'un triangle est le point d'intersection des trois médianes, c'est-à-dire le centre de gravité du triangle. La propriété d'associativité peut aussi être utilisée dans l'autre sens : Si G est barycentre de (G 0 ; ) et (C ; γ) et si G 0 le barycentre de (A ; α) et (B ; β) alors G est le barycentre de (A ; α) ; (B ; β) et (C ; γ). Exercice 15 A, B et C étant points donnés, sans faire de calculs, placer le point G barycentre de (A ; 1) (B ; ) (C ; 1). s La notion de barycentre et les propriétés peuvent se généraliser à 4 points et plus. La propriété d'associativité peut alors être utilisée avec le barycentre partiel de,, 4 points ou plus. Exercice 16 Soit H le point défini par AH = 1 AC et K le point défini par AK = 1 4 Placer les points H et K sur un dessin. Exprimer H comme barycentre des points A et C. Exprimer K comme barycentre des points A, B et C. En déduire que les points B, H et K sont alignés. AB + 1 AC èreS Barycentre page 4

5 A Exercice 17 Sur la figure ci-contre les graduations sur les segments [BC] et [AI] sont régulières. Exprimer le point G comme barycentre des points A, B et C affectés de coefficients à déterminer. La droite (CG) coupe la droite (AB) en un point H. Préciser la position de H sur le segment [AB]. Exercice 18 B G I C Les points I et G sont définis par : CI = CB et AG = Soit H le point d'intersection de la droite (CG) avec la droite (AB). Préciser la position de H par rapport à A et B. AI. Exercice 19 On considère, dans le plan, quatre points A, B, C et D. 1 ) Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que : MA + MB + MC = MC + MD ) Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que : MA + MB + MC = MA - MB + MC 1èreS Barycentre page 5