Loi normale. Pondichéry, 16 avril 2013

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1 Loi normale Pondichéry, 16 avril 213 Dans une entreprise, on s intéresse à la probabilité qu un salarié soit absent durant une période d épidémie de grippe. Un salarié malade est absent La première semaine de travail, le salarié n est pas malade. Si la semaine n le salarié n est pas malade, il tombe malade la semaine n + 1 avec une probabilité égale à,4. Si la semaine n le salarié est malade, il reste malade la semaine n + 1 avec une probabilité égale à,24. On désigne, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par E n l Événement «le salarié est absent pour cause de maladie la n ième semaine». On note p n la probabilité de l Événement E n. On a ainsi : p 1 = et, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 : p n < 1. 1.a) Déterminer la valeur de p 3 à l aide d un arbre de probabilité. b) Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine. 2.a) Recopier sur la copie et compléter l arbre de probabilité donné ci-dessous. E n+1 E p n n E n+1 E n+1 E n E n+1 b) Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, p n+1 =,2p n +,4 c) Montrer que la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 par u n = p n,5 est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison r. En déduire l expression de u n puis de p n en fonction de n et r. d) En déduire la limite de la suite ( p n ). e) On admet dans cette question que la suite ( p n ) est croissante. On considère l algorithme suivant : Variables K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel Initialisation P prend la valeur Entrée Traitement Sortie J prend la valeur 1 Saisir la valeur de K Tant que P <,5 1 K P prend la valeur,2 P+,4 J prend la valeur J + 1 Fin tant que Afficher J À quoi correspond l affichage final J? Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s arrête? 3. Cette entreprise emploie 22 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d épidémie est égale à p =,5. 1

2 On suppose que l état de santé d un salarié ne dépend pas de l état de santé de ses collègues. On désigne par X la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée. a) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer l espérance mathématique µ et l écart type σ de la variable aléatoire X. b) On admet que l on peut approcher la loi de la variable aléatoire X µ σ par la loi normale centrée réduite c est-à-dire de paramètres et 1. On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Le tableau suivant donne les probabilités de l Événement Z < x pour quelques valeurs du nombre réel x. x 1,55 1,24,93,62,31,,31,62,93 1,24 1,55 P(Z < x),61,18,177,268,379,5,621,732,823,892,939 Calculer, au moyen de l approximation proposée en question b., une valeur approchée à 1 2 près de la probabilité de l Événement : «le nombre de salariés absents dans l entreprise au cours d une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15». Amérique du Nord, 3 mai 213 Les parties A B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 4 grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385 grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable. La masse d un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d espérance µ = 4 et d écart-type σ = 11. Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche Partie A On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche. x p(x x),35,86,182,325,5,675,818,914, Calculer p(39 X 41). 2. Calculer la probabilité p qu un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable. 3. Le fabricant trouve cette probabilité p trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de σ sans modifier celle de µ. Pour quelle valeur de σ la probabilité qu un pain soit commercialisable est-elle égale à 96 %? On arrondira le résultat au dixième. On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale d espérance et d écart-type 1, on a p(z 1, 751), 4. Partie B, (voir plus tard) Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d obtenir 96 % de pains commercialisables. Afin d évaluer l efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 3 pains fabriqués. 1. Déterminer l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille 3. M. FRECHET 2

3 2. Parmi les 3 pains de l échantillon, 283 sont commercialisables. Au regard de l intervalle de fluctuation obtenu à la question 1, peut-on décider que l objectif a été atteint? Partie C Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ. 1. On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 3 jours est de,913. En déduire la valeur de λ arrondie au millième. Dans toute la suite on prendra λ =,3. 2. Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 9 jours, sachant qu elle a fonctionné sans dérèglement 6 jours? 3. Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison? Si non, pour combien de jours est-ce vrai? Liban, 28 mai 213 L entreprise FRUCTIDOUX fabrique des compotes qu elle conditionne en petits pots de 5 grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination «compote allégée». La législation impose alors que la teneur en sucre, c est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre,16 et,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme. L entreprise possède deux chaînes de fabrication F 1 et F 2. Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment Partie A La chaîne de production F 2 semble plus fiable que la chaîne de production F 1. Elle est cependant moins rapide. Ainsi, dans la production totale, 7 % des petits pots proviennent de la chaîne F 1 et 3 % de la chaîne F 2. La chaîne F 1 produit 5 % de compotes non conformes et la chaîne F 2 en produit 1 %. On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les événements : E : «Le petit pot provient de la chaîne F 2» C : «Le petit pot est conforme.» 1. Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent. 2. Calculer la probabilité de l Événement : «Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production F 1.» 3. Déterminer la probabilité de l événement C. 4. Déterminer, à 1 3 près, la probabilité de l Événement E sachant que l événement C est réalisé. Partie B 1. On note X la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F 1, associe sa teneur en sucre. On suppose que X suit la loi normale d espérance m 1 =,17 et d écart-type σ 1 =,6. Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous. M. FRECHET 3

4 α β P(α X β),13,15, 4,14,16,47 8,15,17,499 6,16,18,94 4,17,19,499 6,18,2,47 8,19,21, 4 Donner une valeur approchée à 1 4 près de la probabilité qu un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F 1 soit conforme. 2. On note Y la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F 2, associe sa teneur en sucre. On suppose que Y suit la loi normale d espérance m 2 =,17 et d écart-type σ 2. On suppose de plus que la probabilité qu un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F 2 soit conforme est égale à,99. Soit Z la variable aléatoire définie par Z = Y m 2 σ 2. a) Quelle loi la variable aléatoire Z suit-elle? b) Déterminer, en fonction de σ 2 l intervalle auquel appartient Z lorsque Y appartient à l intervalle [,16;,18]. c) En déduire une valeur approchée à 1 3 près de σ 2. On pourra utiliser le tableau donné ci-dessous, dans lequel la variable aléatoire Z suit la loi normale d espérance et d écart-type 1. β P( β Z β) 2,432 4,985 2,457 3,986 2,483 8,987 2,512 1,988 2,542 7,989 2,575 8,99 2,612 1,991 2,652 1,992 2,696 8,993 Antilles Guyane, septembre 213 Une entreprise industrielle fabrique des pièces cylindriques en grande quantité. Pour toute pièce prélevée au hasard, on appelle X la variable aléatoire qui lui associe sa longueur en millimètre et Y la variable aléatoire qui lui associe son diamètre en millimètre. On suppose que X suit la loi normale de moyenne µ 1 = 36 et d écart-type σ 1 =,2 et que Y suit la loi normale de moyenne µ 2 = 6 et d écart-type σ 2 =,5. 1. Une pièce est dite conforme pour la longueur si sa longueur est comprise entre µ 1 3σ 1 et µ 1 + 3σ 1. Quelle est une valeur approchée à 1 3 près de la probabilité p 1 pour qu une pièce prélevée au hasard soit conforme pour la longueur? M. FRECHET 4

5 2. Une pièce est dite conforme pour le diamètre si son diamètre est compris entre 5,88 mm et 6,12 mm. Le tableau donné ci-contre a été obtenu à l aide d un tableur. Il indique pour chacune des valeurs de k, la probabilité que Y soit inférieure ou égal à cette valeur. Déterminer à 1 3 près la probabilité p 2 pour qu une pièce prélevée au hasard soit conforme pour le diamètre (on pourra s aider du tableau cicontre). 3. On prélève une pièce au hasard. On appelle L l événement «la pièce est conforme pour la longueur» et D l événement «la pièce est conforme pour le diamètre». On suppose que les événements L et D sont indépendants. a) Une pièce est acceptée si elle est conforme pour la longueur et pour le diamètre. Déterminer la probabilité pour qu une pièce prélevée au hasard ne soit pas acceptée (le résultat sera arrondi à 1 2 ). b) Justifier que la probabilité qu elle soit conforme pour le diamètre sachant qu elle n est pas conforme pour la longueur, est égale à p 2. k p(y k) 5,8 3,167 12E 5 5,82, ,84, ,86, ,88, ,9, ,92, ,94, ,96, ,98, ,5 6,2, ,4, ,6, ,8, ,1, ,12, ,14, ,16, ,18, ,2, Nouvelle-Calédonie, 14 novembre 213 Tous les résultats numériques devront être donnés sous forme décimale et arrondis au dix-millième Une usine fabrique des billes sphériques dont le diamètre est exprimé en millimètres. Une bille est dite hors norme lorsque son diamètre est inférieur à 9 mm ou supérieur à 11 mm. Partie A 1. On appelle X la variable aléatoire qui à chaque bille choisie au hasard dans la production associe son diamètre exprimé en mm. On admet que la variable aléatoire X suit la loi normale d espérance 1 et d écart-type,4. Montrer qu une valeur approchée à, 1 près de la probabilité qu une bille soit hors norme est,12 4. On pourra utiliser la table de valeurs donnée en annexe. 2. On met en place un contrôle de production tel que 98 % des billes hors norme sont écartés et 99 % des billes correctes sont conservées. On choisit une bille au hasard dans la production. On note N l événement : «la bille choisie est aux normes», A l événement : «la bille choisie est acceptée à l issue du contrôle». a) Construire un arbre pondéré qui réunit les données de l énoncé. b) Calculer la probabilité de l événement A. c) Quelle est la probabilité pour qu une bille acceptée soit hors norme? M. FRECHET 5

6 Partie B Ce contrôle de production se révélant trop coûteux pour l entreprise, il est abandonné : dorénavant, toutes les billes produites sont donc conservées, et elles sont conditionnées par sacs de 1 billes. On considère que la probabilité qu une bille soit hors norme est de,12 4. On admettra que prendre au hasard un sac de 1 billes revient à effectuer un tirage avec remise de 1 billes dans l ensemble des billes fabriquées. On appelle Y la variable aléatoire qui à tout sac de 1 billes associe le nombre de billes hors norme de ce sac. 1. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire Y? 2. Quels sont l espérance et l écart-type de la variable aléatoire Y? 3. Quelle est la probabilité pour qu un sac de 1 billes contienne exactement deux billes hors norme? 4. Quelle est la probabilité pour qu un sac de 1 billes contienne au plus une bille hors norme? A Annexe 1 d P(X < d) 2 3,6E ,8E ,75E ,16E ,67E ,73E ,62E ,19E ,87E , , , , Copie d écran d une feuille de calcul B M. FRECHET 6

7 Nouvelle-Calédonie, 7 mars 214 Les parties A, B et C sont indépendantes Partie A, Restitution organisée des connaissances L objectif de cette partie est de démontrer le théorème suivant : Théorème Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel α appartenant à l intervalle ] ; 1[, il existe un unique réel strictement positif χ α tel que P ( χ α X χ α ) = 1 α. Soit f la fonction définie sur l ensemble des nombres réels R par Soit H la fonction définie et dérivable sur [ ; + [ par f (t) = 1 2π e t2 2 H(x) = P( x X x) = f (t) dt x 1. Que représente la fonction f pour la loi normale centrée réduite? 2. Préciser H() et la limite de H(x) quand x tend vers À l aide de considérations graphiques, montrer que pour tout nombre réel positif x, H(x) = 2 f (t) dt. 4. En déduire que la dérivée H de la fonction H sur [ ; + [ est la fonction 2f et dresser le tableau de variations de H sur [ ; + [. 5. Démontrer alors le théorème énoncé. Partie B Un laboratoire se fournit en pipettes auprès de deux entreprises, notées A et B. 6 % des pipettes viennent de l entreprise A et 4,6 % des pipettes de cette entreprise possèdent un défaut. Dans le stock total du laboratoire, 5 % des pièces présentent un défaut. On choisit au hasard une pipette dans le stock du laboratoire et on note : A l événement : «La pipette est fournie par l entreprise A» ; B l événement : «La pipette est fournie par l entreprise B» ; D l événement : «La pipette a un défaut». 1. La pipette choisie au hasard présente un défaut ; quelle est la probabilité qu elle vienne de l entreprise A? 2. Montrer que p(b D) =, Parmi les pipettes venant de l entreprise B, quel pourcentage de pipettes présente un défaut? Partie C Une pipette est dite conforme si sa contenance est comprise, au sens large entre 98 millilitres (ml) et 12 ml. Soit X la variable aléatoire qui à chaque pipette prise au hasard dans le stock d un laboratoire associe sa contenance (en millilitres). On admet que X suit une loi normale de moyenne µ et écart type σ tels que µ = 1 et σ 2 = 1, Quelle est alors la probabilité, à 1 4 près, pour qu une pipette prise au hasard soit conforme? On pourra s aider de la table ci-dessous ou utiliser une calculatrice. M. FRECHET 7

8 Contenance (en ml) x P(X x) ( ),, 4,1 65,25 6, arrondi à 1 5 Contenance (en ml) x P(X x) ( ),5,836 32,974 94,998 35, arrondi à 1 5 Pour la suite, on admet que la probabilité pour qu une pipette soit non-conforme est p =,5. 2. On prélève dans le stock du laboratoire des échantillons de pipettes de taille n, où n est un entier naturel supérieur ou égal à 1. On suppose que le stock est assez important pour considérer ces tirages comme indépendants. Soit Y n la variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille n associe le nombre de pipettes non-conformes de l échantillon. a) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire Y n? b) Vérifier que n 3, np 5 et n(1 p) 5. c) Donner en fonction de n l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des pipettes non-conformes dans un échantillon. M. FRECHET 8

9 Pondichéry, 16 avril 213 Correction exercices loi normale 1. Loi binomiale a) Valeur de p 3 à l aide d un arbre de probabilité : E 1. 1 E 1,4,96,24 E 3 E 2,76 E 3,4 E 3 E 2,96 E 3 Théorème des probabilités totales : E 3 = (E 2 E 3 ) (E 2 E 3 ) (union d événements disjoints) p 3 = p(e 3 ) = p(e 2 ) p E2 (E 3 ) + p(e 2 ) p E2 (E 3 ) =,4,24 +,96,4 =,48 b) Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, probabilité qu il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine : 2. Suites a) Arbre : p E3 (E 2 ) = p(e 2 E 3 ) p(e 3 ),4,24 = = 1,48 5 =,2. p n 1 p,24 E n+1 E n,76 E n+1,4 E n+1 E n,96 E n+1 b) En appliquant le théorème des probabilités totales : E n+1 = E n E n+1 E n E n+1 (union d évènements disjoints) p n+1 =,24p n +,4(1 p n ) = (,24,4)p n +,4 =,2p n +,4 c) Pour tout n N, u n+1 = p n+1,5 =,2p n +,4,5 =,2p n,1 =,2(p n,5) =,2u n donc (u n ) est la suite géométrique de premier terme u 1 =,5 et la raison r =,2. Donc, pour tout n N : u n = u 1 r n 1 =,5,2 n 1 et donc : p n = u n +,5 =,5(1,2 n 1 ) M. FRECHET 9

10 d) Limite de la suite ( p n ) : Comme,2 < 1 alors : lim n + (,2)n 1 = et donc lim p n =,5. n + e) Le nombre J qui est affiché en sortie d algorithme est le rang du premier terme de la suite (p n ) qui s approche de la limite,5 à 1 K près, où K est un entier fixé au départ. La convergence de l algorithme est assurée par l existence de la limite vue en (d). 3. Loi normale a) Une semaine donnée, on peut définir une épreuve de BERNOULLI, où le succès est l événement E «un salarié est absent pour maladie.» L état de chaque salarié étant supposé indépendant de l état des autres, on obtient donc un Schéma de BERNOULLI sur les 22 salariés de l entreprise. La variable aléatoire X qui donne le nombre de succès dans ce schéma de BERNOULLI suit la loi binomiale B(22 ;,5). D après le cours : µ = E(X) = np = 22,5 = 11 et σ = np(1 p) = 22,5,95 3,23 b) On a bien n 3,np = 11 5 et n(1 p) = 29 5, donc la loi de X peut être approchée par la loi normale N ( ( µ,σ 2). Donc la loi de X µ peut être approchée par une loi normale N ( ; 1). σ La probabilité de l événement : «le nombre de salariés absents dans l entreprise au cours d une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15» se note p(7 X 15). 7 µ σ = ,23 1,238 donc p(7 X 15) p( 1,24 < Z < 1,24) 15 µ = σ 3,23 1,238 À l aide de la densité de probabilité : p(7 X 15) p( 1,24 < Z < 1,24) = 1 2π 1,24 1,24 Au moyen de la table fournie : Il y a une erreur d arrondi dans la table! e x2 2 dx,78524,785 x 1,55 1,24,93,62,31,,31,62,93 1,24 1,55 φ(x) = P(Z < x),61,18,177,268,379,5,621,732,823,893,939 p( 1,24 < Z < 1,24) = φ(1,24) φ( 1,24) = p(z < 1,24) p(z < 1,24) =,893,18 =,785 Au moyen d un tableur : =LOI.NORMALE.STANDARD(1,24) et =LOI.NORMALE.STANDARD(-1,24) À 1 2 près, on a donc p(7 X 15), Au moyen de geogebra : M. FRECHET 1

11 Amérique du Nord, 3 mai 213 Partie A, lois normales x P(X x),35,86,182,325,5,675,818,914, P(39 X 41) = P(X 41) P(X < 39) =,818,182 =, Un pain choisi au hasard dans la production est commercialisable si et seulement si «X 385». «X 385»est l événement contraire de «X < 385». On a donc p(x 385) = 1 p(x < 385) = 1,86 =, Soit Y la variable aléatoire de paramètres µ = 4 et σ, on a : p(x 385) =.96 1 p(y < 385) =,96 p(y < 385) =,4 Si Y suit une loi normale de paramètres µ = 4 et σ, on sait que Z = X 4 suit une loi normale centrée σ réduite et ( ) ( p(y < 385) =,4 p Z = p Z 15 ) ( ) 15 = φ,4 σ σ σ La fonction de répartition φ est continue et strictement croissante sur R ;,4 possède donc un unique antécédent. Or P(Z 1,751) = φ( 1,751),4 ; donc : = σ = σ = 8,6. Pour σ = 8,6, au dixième près ; la probabilité qu un pain soit commercialisable est de 1,4 =,96, soit 96%. Partie B, (voir plus tard) Partie C, loi exponentielle Variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ. 1. Probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 3 jours : p(t 3) =,913. On a : On en déduit : p(t 3) = 3 λe λx dx = [ e λx] 3 = 1 e 3λ p(t 3) = 1 p(t 3) = e 3λ =,913 3λ = ln(,913) λ =,3 Dans toute la suite on prendra λ =,3. 2. Calculons p T 6 (T 9). On a : p((t 6) (T 9)) p(t 9) 1 p(t 9) p T 6 (T 9) = = ) = p(t 6) p(t 6 1 p(t 9) = e 9λ e Avec λ =,3., on a donc p T 6 (T 9) = p(t 3) =,913 6λ = e 3λ La probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 9 jours, sachant qu elle a fonctionné sans dérèglement 6 jours est,913 (loi à durée de vie sans vieillissement!) M. FRECHET 11

12 3. Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. Calculons la durée maximale t max pour laquelle la probabilité que la balance dérègle est inférieure à,5. p(t t max ),5 = tmax Avec λ =,3, on trouve t max,6931,3 Liban, 28 mai 213 Partie A 1. Arbre de probabilité : [ λe λx dx,5 e λx] t max,5 1 e λt max,5 e λt max,5 λt max ln,5, < 365. Le vendeur avait donc tort.,7,3 ( ) 2. On cherche p(c E) = P E (C) P E =,95,7 =,665 E E,95,5,99,1 3. D après la formule des probabilités totales : ( ) P(C) = P C E + P(C E) =,665 +,99,3 =,962 P(E C),99,3 4. P C (E) = =,39 à 1 3 près P(C),962 Partie B 1. X suit la loi normale N (,17 ;,6 2). La probabilité que le pot soit conforme, soit p(,16 X,18) est égale à,94 4 d après le tableau 1 : C C C C Tableau 1 α β P(α X β),13,15, 4,14,16,47 8,15,17,499 6,16,18,94 4,17,19,499 6,18,2,47 8,19,21, 4 Tableau 2 β P( β Z β) 2,432 4,985 2,457 3,986 2,483 8,987 2,512 1,988 2,542 7,989 2,575 8,99 2,612 1,991 À l aide de la densité de probabilité : (,16,17 p(,16 X,18) = p < Z <,6,18,17,6 ) ( = p 1,6 < Z < 1 ) = 1,6 2π 1,6 1,6 e x2 2 dx,944 M. FRECHET 12

13 2. La probabilité qu un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F 2 soit conforme est égale à,99. a) D après le cours, comme Y suit une loi normale N ( m 2 ; σ 2 ) Y m 2 2, alors Z = suit la loi normale centrée σ 2 réduite N (,1). b),16 Y,18,16,17 Y,17,18,17 =,1 = β Z β =,1 σ 2 σ 2 σ 2 σ 2 σ 2 c) On sait que cette probabilité doit être égale à,99, le tableau 2 permet d obtenir : d où En conclusion, à 1 3 près, σ,4. Antilles Guyane, septembre 213 β = 2,575 8,1 σ 2 = 2,575 8 σ 2 =, Si X suit la loi normale de moyenne µ 1 et d écart-type σ 1, alors X 1 = X µ 1 σ 1 suit la loi normale standard. µ 1 3σ 1 X µ 1 + 3σ 1 3σ 1 X µ 1 3σ 1 À l aide de la densité de probabilité : p( 3 < Z < 3) = 1 2π X 1 = X µ 1 σ 1 3 e x2 2 dx,78524,9973 Remarque p ( µ 1 3σ 1 X µ 1 + 3σ 1 ) = p( 3 X1 3) =,997 est une capacité attendue du programme! 2. En utilisant le tableau, on obtient : p 2 = p(5,88 Y 6,12) = p(y 6,12) p(y 5,88), Probabilité «classique» a) Les deux événements D et L étant indépendants, la probabilité que la pièce soit acceptée est : P(L D) = P(L) P(D) = p 1 p 2,981 La probabilité qu une pièce ne soit pas acceptée est donc 1,981,2 arrondi à 1 2. b) D et L sont indépendants donc D et L le sont aussi. On a donc : p(l D) p(l) p(d) P L (D) = = = P(D) = p 2 p(l) p(l) k p(y k) 5,8 3,167 12E 5 5,82, ,84, ,86, ,88, ,9, ,92, ,94, ,96, ,98, ,5 6,2, ,4, ,6, ,8, ,1, ,12, ,14, ,16, ,18, ,2, M. FRECHET 13

14 Nouvelle-Calédonie, 7 mars 213 Partie A, Restitution organisée des connaissances 1. La fonction f représente la fonction de densité de probabilité pour la loi normale centrée réduite. 2. H() = f (t)dt = ; et d après le cours 3. D après la relation de Chasles : Mais la fonction f est positive donc tandis que x x lim x + H(x) = 1. f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt x f (t)dt est l aire du domaine hachuré 2. f (t)dt est l aire du domaine hachuré 1 sur la figure ci-dessous, y 1 2 x x x De plus la fonction f est paire, donc ces deux aires sont égales. Enfin H(x) est l aire du domaine situé sous la courbe représentant f hachuré en rouge et en bleu sur la figure. Donc H(x) = 4. On sait que la fonction x x donc la fonction H définie par H(x) = 2 Or f (t) = 1 2π e t2 2 > sur R ; comme H = 2f, H (x) > pour tout réel x, et donc la fonction H est strictement croissante sur [ ;+ [. f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt = 2 f (t)dt x f (t)dt a pour dérivée la fonction f ; f (t)dt a pour dérivée la fonction 2f. 5. En prenant α dans l intervalle ] ;1[, on a aussi 1 α dans l intervalle ] ;1[ ; on complète le tableau de variations de H : x H (x) χ α + + H(x) 1 α 1 D après le tableau de variations, il existe un réel strictement positif unique noté χ α tel que H ( χ α ) = 1 α, donc tel que P ( χ α X χ α ) = 1 α. M. FRECHET 14

15 Partie B 1. La pipette choisie au hasard présente un défaut ; la probabilité qu elle vienne de l entreprise A est p D (A). p(a D) p D (A) = p(d) 2. D après la formule des probabilités totales : = P(A) p A(D) p(d),6,46 = =,552,5 p(d) = p(a D) + p(b D),5 =,6,46 + p(b D),5,27 6 = p(b D) =, Parmi les pipettes venant de l entreprise B, la probabilité qu une pipette présente un défaut est p B (D). Or p(b) = 1 p(a) = 1,6 =,4. p(b D) p B (D) = p(b) =,22 4,4 =,56 Parmi les pipettes venant de l entreprise B, le pourcentage de pipettes présentant un défaut est donc de 5,6%. Partie C 1. On cherche la probabilité qu une pipette prise au hasard soit conforme, soit P(98 < X < 12), en sachant que X suit la loi normale de paramètres µ = 1 et σ 2 = 1,42 4 σ 1,21. En utilisant la table fournie : p(98 < X < 12) = p(x < 12) p(x 98),974 94,25 6, À l aide de la densité de probabilité : ( 98 1 p(98 X 12) = p 1,21 < Z < ,21 ) ( = p 2 1,21 < Z < 2 ) = 1 1,21 2π 2 1,21 2 1,21 Pour la suite, on admet que la probabilité pour qu une pipette soit non-conforme est p =,5. e x2 2 dx, On prélève dans le stock du laboratoire des échantillons de pipettes de taille n, où n est un entier naturel supérieur ou égal à 1 et on suppose que le stock est assez important pour considérer ces tirages comme indépendants. Soit Y n la variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille n associe le nombre de pipettes non-conformes de l échantillon. a) Comme on peut supposer que les tirages sont indépendants, la variable aléatoire Y n suit une loi binomiale de paramètres n 1 et p =,5. b) On sait que n 1 donc n 3. n 1 et p =,5 donc np 1,5 np 5 p =,5 donc 1 p =,95 ; n(1 p) 1,95 n(1 p) 95 et donc n(1 p) 5. Les trois conditions sont vérifiées. c) (Voir plus tard) Contenance (en ml) x P(X x) ( ),, 4,1 65,25 6, arrondi à 1 5 Contenance (en ml) x P(X x) ( ),5,836 32,974 94,998 35, arrondi à 1 5 M. FRECHET 15

16 Nouvelle-Calédonie, 14 novembre 213 Partie A 1. Une bille est dans la norme si son diamètre est entre 9 et 11 mm ; donc la probabilité qu elle soit aux normes est 9 X ,4 Z = X ,4,4 D où : p(9 X 11) = p( 2,5 Z 2,5) = 1 2π 2,5 La probabilité que la bille soit hors norme est donc : 2.5 e x2 2 dx, à la calculatrice 1 (p(9 X 11) 1, =, donc une valeur approchée à, 1 de la probabilité qu une bille soit hors norme est, a) On construit un arbre pondéré qui réunit les données de l énoncé :., 9876, 124 N N,99,1,2,98 A A A A b) D après la formule des probabilités totales : p(a) = p(n A) + p(n A) = p(n) p N (A) + p(n) p N (A) =,987 6,99 +,12 4,2 =, , 248 =, ,978 La probabilité de A est,978 (arrondie au dix-millième). p(a N), 248 c) On cherche : p A (N) = = p(a), , 3 La probabilité qu une bille acceptée soit hors norme est, 3 (arrondie au dix-millième). Partie B 1. La probabilité qu une bille soit hors norme est,12 4 : on admet que prendre au hasard un sac de 1 billes revient à effectuer un tirage avec remise de 1 billes dans l ensemble des billes fabriquées. Donc la variable aléatoire Y qui, à tout sac de 1 billes, associe le nombre de billes hors norme, suit une loi binomiale de paramètres n = 1 et p =, L espérance mathématique et l écart type d une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p sont respectivement np et np(1 p). Donc E(Y) = np = 1,12 4 = 1,24 et σ(y) = np(1 p) = 1,12 4, , La probabilité pour qu un sac de 1 billes contienne exactement deux billes hors norme est p(y = 2). ( ) ( ) n p(y = 2) = p 2 (1 p) n 2 1 =,12 4 2, , M. FRECHET 16

17 4. Un sac de billes contient au plus une bille hors norme est l événement (Y 1). ( ) ( ) 1 p(y 1) = p(y = ) + p(y = 1) =,124, ,12 4 1, , ,36 5,647 6 Amérique du Nord, 3 mai 213 Partie B, (Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%) Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d obtenir 96 % de pains commercialisables. Afin d évaluer l efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 3 pains fabriqués. Le contrôle de qualité suit une loi binomiale de paramètre n = 3 3 et p =,96. np = et n(1 p) = L intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille 3 : [ ],96,4,96,4 I =,96 1,96 ;,96 + 1,96 [.9378;,9822] Parmi les 3 pains de l échantillon, 283 sont commercialisables. Donc f = 283 3,9433 I L objectif a été atteint au seuil de 95%. Nouvelle-Calédonie, 7 mars 214 Donner en fonction de n l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence des pipettes non-conformes dans un échantillon. Pour une proportion p et un échantillon de taille n, l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est : p ( 1 p ) p ( 1 p ) p 1,96 ; p + 1,96 n n Donc l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence des pipettes non conformes dans un échantillon est : [ ] [ ],5(1,5),5(1,5),475,475,5 1,96 ;,5 + 1,96 =,5 1,96 ;,5 + 1,96 n n n n M. FRECHET 17