Décomposition d images: principes et application à la détection de réseau routie

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1 Décomposition d images: principes et application à la détection de réseau routier Séminaire Laboratoire SIC - Poitiers (15/03/2007) Jérôme Gilles jerome.gilles@etca.fr

2 Plan de l exposé Introduction, Décomposition d image u + v, Extension au cas bruité, Evaluation des algorithmes, Application: détection de réseaux routiers, Conclusions - Perspectives.

3 Introduction (1/2) Problématique Détection de cibles camouflées

6 Introduction (2/2) Exemple de textures

7 Introduction (2/2) Exemple de textures Caractéristiques des textures notion d échelle, répétition de motifs.

8 Plan Introduction, Décomposition d image u + v, Extension au cas bruité, Evaluation des algorithmes, Application: détection de réseaux routiers, Conclusions - Perspectives.

9 Décomposition d image Décomposition bas niveau Principe: décomposer f en une somme de f i élémentaires. Fourier: décomposition à l aide de sinus et cosinus, Ondelettes: utilisation de fonctions localisée (espace de Besov), Autres espaces fonctionnels (Sobolev,...).

13 Décomposition d image Décomposition bas niveau Principe: décomposer f en une somme de f i élémentaires. Fourier: décomposition à l aide de sinus et cosinus, Ondelettes: utilisation de fonctions localisée (espace de Besov), Autres espaces fonctionnels (Sobolev,...). Décomposition haut niveau = + f = u + v

14 L algorithme de Rudin-Osher-Fatemi (ROF) Restauration des objets But: retrouver l image d intérêt (u) dans une image bruitée (f ), Choix de l espace: BV (Bounded Variation)

15 L algorithme de Rudin-Osher-Fatemi (ROF) Restauration des objets But: retrouver l image d intérêt (u) dans une image bruitée (f ), Choix de l espace: BV (Bounded Variation)

16 L algorithme de Rudin-Osher-Fatemi (ROF) Restauration des objets But: retrouver l image d intérêt (u) dans une image bruitée (f ), Choix de l espace: BV (Bounded Variation) Fonctionnelle ROF F ROF λ (u) = J(u) + λ f u 2 L 2 où f L 2 (R), u BV et J(u) = u BV.

17 Point de vue de la décomposition Reformulation Contrainte: f = u + v = F ROF λ (u) = J(u) + λ v 2 L 2

18 Point de vue de la décomposition Reformulation Contrainte: f = u + v = F ROF λ (u) = J(u) + λ v 2 L 2 Propriétés Soit g N (x) = cos(nx 1 )θ(x) alors g N L θ L 2 et J(g N ) = N 2π θ L 1

19 Point de vue de la décomposition Reformulation Contrainte: f = u + v = F ROF λ (u) = J(u) + λ v 2 L 2 Propriétés Soit g N (x) = cos(nx 1 )θ(x) alors g N L θ L 2 et J(g N ) = N 2π θ L 1 Inadapté! = ne gère pas les textures en tant que composante à part entière.

20 Modèle de décomposition Algorithme de Y.Meyer Fλ YM (u, v) = J(u) + λ v G où f = u + v, f G, u BV, v G.

21 Modèle de décomposition Algorithme de Y.Meyer Fλ YM (u, v) = J(u) + λ v G où f = u + v, f G, u BV, v G. Propriété de. G

22 Modèle de décomposition Algorithme de Y.Meyer Fλ YM (u, v) = J(u) + λ v G où f = u + v, f G, u BV, v G. Propriété de. G Problème! v G = inf g ( g g 2 2) 1 2 où g = (g 1, g 2 ) L L, avec v = div g L

23 Algorithmes numériques (1/2) Approche de Osher-Vese (2002) Propriété: f L, f L = lim p f L p. Fλ,µ,p OV (u, g) = J(u) + λ f (u + div g) 2 L + µ 2 g1 2 + g2 2 = trois EDP couplées. L p

24 Algorithmes numériques (1/2) Approche de Osher-Vese (2002) Propriété: f L, f L = lim p f L p. Fλ,µ,p OV (u, g) = J(u) + λ f (u + div g) 2 L + µ 2 g1 2 + g2 2 = trois EDP couplées. Hypothèse non respectée et instabilités numériques L p

25 Algorithmes numériques (2/2) Approche de JF. Aujol Idée: restriction à G µ = {v G/ v G µ} µ

26 Algorithmes numériques (2/2) Approche de JF. Aujol Idée: restriction à G µ = {v G/ v G µ} µ Fonctionnelle ( ) v Fλ,µ AU (u, v) = J(u) + J + (2λ) 1 f u v 2 µ L 2 où (u, v) BV (Ω) G µ (Ω).

27 Algorithmes numériques (2/2) Approche de JF. Aujol Idée: restriction à G µ = {v G/ v G µ} µ Fonctionnelle ( ) v Fλ,µ AU (u, v) = J(u) + J + (2λ) 1 f u v 2 µ L 2 où (u, v) BV (Ω) G µ (Ω). = Utilisation des projecteurs non-linéaires de Chambolle: û = f ˆv P Gλ (f ˆv) ˆv = P Gµ (f û)

28 Projecteur de Chambolle Théorème Si τ < 1 8 alors λdiv (pn ) converge vers P Gλ (g) quand n + où p n+1 i,j ( ( = pn i,j + τ div (p n ) λ)) g i,j 1 + τ ( ( div (p n ) g )) λ i,j

29 Exemple

30 Autres modèles BV-L 1 Fλ(u, v) = J(u) + λ v L1 BV-Hilbert F λ (u, v) = J(u) + λ v H BV-Besov F λ (u, v) = J(u) + λ v Ḃ 1, Cas des espaces de Besov Voir les travaux de L.Triet et L.Vese (UCLA)

32 Cas des images bruitées Le bruit est vu comme un phénomène oscillant!

33 Cas des images bruitées Le bruit est vu comme un phénomène oscillant!

34 Cas des images bruitées Le bruit est vu comme un phénomène oscillant! = nécessite un modèle du type u + v + w.

35 Modèle u + v + w adaptatif: principe Hypothèses textures G µ1 et bruit G µ2 où µ 1 >> µ 2, µ 2 µ 1

36 Modèle u + v + w adaptatif: principe Hypothèses textures G µ1 et bruit G µ2 où µ 1 >> µ 2, µ 2 µ 1 adaptabilité locale au contenu de l image. renforcer la régularisation en l absence de textures,

37 Modèle u + v + w adaptatif: principe Hypothèses textures G µ1 et bruit G µ2 où µ 1 >> µ 2, µ 2 µ 1 adaptabilité locale au contenu de l image. renforcer la régularisation en l absence de textures, = ν(i, j) ]0; 1[ (carte des régions),

38 Modèle u + v + w adaptatif: formulation Algorithme adaptatif F JG λ,µ 1,µ 2 (u, v, w) = J(u) + J ( v µ 1 ) + J ( w µ 2 ) où ν 1 = 1 ν 2 (cartes locales) +(2λ) 1 f u ν 1 v ν 2 w 2 L 2

39 Modèle u + v + w adaptatif: formulation Algorithme adaptatif F JG λ,µ 1,µ 2 (u, v, w) = J(u) + J ( v µ 1 ) + J ( w µ 2 ) où ν 1 = 1 ν 2 (cartes locales) Algorithme numérique +(2λ) 1 f u ν 1 v ν 2 w 2 L 2 û = f ν 1ˆv ν 2 ŵ P Gλ (f ν 1ˆv ν 2 ŵ) ( ) f û ν2 ŵ ˆv = P Gµ1 ν 1 ŵ = P Gµ2 ( f û ν1ˆv ν 2 )

40 Mode le u + v + w adaptatif: re sultat De composition d images: principes et application a la de tection de re seau routie

41 Modèle u + v + w de Besov Modèle Bruit distribution E δ = ( ) v Fλ,µ,δ AC2 (u, v, w) = J(u) + J µ { } w Ḃ 1, / w Ḃ δ 1, ( + B w ) + δ (2λ) 1 f u v w 2 L 2 Algorithme numérique û = f ˆv ŵ P Gλ (f ˆv ŵ) ˆv = P Gµ (f û ŵ) ŵ = P Eδ (f û ˆv) = f û ˆv WST (f û ˆv, 2δ)

44 Mode le u + v + w de Besov: re sultat De composition d images: principes et application a la de tection de re seau routie

45 Comparaison visuelle Adaptatif Besov Comparaison textures mieux débruitées dans le modèle de Aujol et Chambolle, plus de résidu dans le bruit du modèle de Aujol et Chambolle, les contours abîmés dans le modèle de Aujol et Chambolle.

46 Les contourlettes Aujourd hui... apport de la géométrie en analyse multi-résolution, résultats de débruitage prometteurs avec les curvelets de Candès et Donoho, implémentation numérique difficile.

49 Les contourlettes Aujourd hui... apport de la géométrie en analyse multi-résolution, résultats de débruitage prometteurs avec les curvelets de Candès et Donoho, implémentation numérique difficile. Point de vue numérique Minh Do et Vetterli proposent l utilisation de: la théorie des bancs de filtres la théorie des frames Pyramidal Directionnal Filter Bank (PDFB)

50 Principe des contourlets Pyramide Laplacienne + Filtrage Directionnel

51 Décomposition pyramidale Avantages banc de filtre, filtres orthogonaux frame ajustée, reconstruction basée sur l opérateur dual.

52 Filtrage directionnel Principe filtre quincunx 2 canaux, opérateur de réarrangement (déformation de l image) Exemple

53 Filtrage directionnel Principe filtre quincunx 2 canaux, opérateur de réarrangement (déformation de l image) Banc de filtre

54 Filtrage directionnel Principe filtre quincunx 2 canaux, opérateur de réarrangement (déformation de l image) Pavage fréquentiel

55 frame de contourlets Théorème {l j } j j0 la famille { φ j0,n(t); ρ (l) j,k,n (t) }j j 0,0 k 2 lj 1,n Z 2 est une frame ajustée de L 2 (R 2 ) de borne 1. Et l on a L 2 (R 2 ) = V j0 W (l) j j0 j

56 Pavage du domaine fréquentiel

57 Exemple de transformée

58 Exemple d approximation Soft thresholding: 5% des coefficients Ondelettes Contourlettes

59 Exemple d approximation Soft thresholding: 5% des coefficients Ondelettes Contourlettes

60 Utilisation pour la décomposition Apport de la géométrie Remplacement: ondelettes = contourlettes

61 Utilisation pour la décomposition Apport de la géométrie Remplacement: ondelettes = contourlettes Espaces de contourlettes CTp,q s et. CT s p,q Seuillage doux projection sur } CT δ = {f CT 1, / f CT 1, δ.

62 Utilisation pour la décomposition Apport de la géométrie Remplacement: ondelettes = contourlettes Espaces de contourlettes CTp,q s et. CT s p,q Seuillage doux projection sur } CT δ = {f CT 1, / f CT 1, δ.

63 Mode le u + v + w avec contourlettes: re sultat De composition d images: principes et application a la de tection de re seau routie

65 Méthodologie d évaluation Evaluation des algorithmes comparaison par mesure quantitative, chaque composante compte, = nécessité de métriques adaptées. Images de test: f ref = u ref + v ref + w ref

66 Méthodologie d évaluation Evaluation des algorithmes comparaison par mesure quantitative, chaque composante compte, = nécessité de métriques adaptées. Images de test: f ref = u ref + v ref + w ref

67 Méthodologie d évaluation Evaluation des algorithmes comparaison par mesure quantitative, chaque composante compte, = nécessité de métriques adaptées. Images de test: f ref = u ref + v ref + w ref Choix des métriques composante u: u u ref L 2, composante v: v v ref L 2, composante w: γ w γ wref L 2

68 Evaluation Références = + + Résultats Algorithme F JG F AC2 F JG3 ũ u ref L ṽ v ref L γ w γ wref L

70 Propriété de. G Lemme Réhaussement d objets longilignes Soit f la fonction indicatrice de l ensemble E N défini par E N = [0, 1] [0, N] quand N est grand f correspondra à un objet longiligne dans l image. On a alors [ ( f G ) ] 1, 1 N 2

71 Propriété de. G Exemple

72 Extraction des routes Algorithme de détection Extraction des textures, Détecteur d alignements + règles de fusion = liste de segments, Contour actif statistique = liste de courbes [scale=0.5]snake

73 Extraction des routes Algorithme de détection Extraction des textures, Détecteur d alignements + règles de fusion = liste de segments, Contour actif statistique = liste de courbes [scale=0.5]snake

74 Extraction des routes Algorithme de détection Extraction des textures, Détecteur d alignements + règles de fusion = liste de segments, Contour actif statistique = liste de courbes

75 Re sultat De composition d images: principes et application a la de tection de re seau routie

77 Conclusions Conclusions Modèles de décomposition objets + textures, Modèles de décomposition objets + textures + bruit, Inclusion de la géométrie des images (contourlettes), Métriques adaptées pour évaluer les algorithmes, Propriété de réhaussement des objets longilignes.

82 Perspectives Perspectives Extension au cas multi-dimensionnel, Bruit multiplicatif : f = (u + v)w, Etude des propriétés des fonctions de l espace de textures, Etude du choix des paramètres et adaptativité de l algorithme.

86 Adaptativité But Isoler les zones de textures calcul de l entropie des coefficients d ondelette, estimation des variations de la géométrie, construction d un λ(x, y) permettant d avoir le caractère adaptatif de l algorithme.

87 Adaptativité : premier test

88 Analyse des textures

89 QUESTIONS?