Chapitre 8 : Relativité restreinte

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1 1 re B et C 8 Relatiité restreinte 9 Chapitre 8 : Relatiité restreinte "Je n'ai auun talent partiulier. Je suis simplement urieux." (Albert Einstein) 1. Les postulats d Einstein «En 1905, Albert Einstein ( ) publie un artile qui allait réolutionner le monde de la physique, intitulé «Zur Elektrodynamik bewegter Körper» (Einstein A Annalen der Physik 17: ). Il y expose une nouelle théorie en remplaçant les oneptions de l espae et du temps absolu de Newton par des oneptions relatiistes sur es grandeurs. Pour ela il se fonde sur deux hypothèses dont il étudie de façon théorique les onséquenes logiques. Il pense que les résultats pourraient éentuellement être érifiés ultérieurement par l expériene. a) Premier postulat : le prinipe de la relatiité Toutes les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels d inertie. Autrement dit, des expérienes identiques menées à l intérieur de n importe quel référentiel d inertie (= référentiel galiléen) donneront toutes les mêmes résultats. La itesse d un référentiel d inertie est sans effet. Il est impossible de tranher la question : sommes-nous au repos ou en mouement retiligne uniforme? Exemple 1 Le afé que ous ersez dans otre tasse s éoule exatement de la même manière, que ous ous trouiez au repos dans otre salon, ou dans le ompartiment d un train animé d une itesse onstante sur un tronçon retiligne, ou enore dans un aion en mouement retiligne et uniforme. Exemple Un aisseau spatial B se déplae d un mouement retiligne uniforme par rapport à un autre aisseau A au repos par rapport à la Terre. A et B onstituent des référentiels d inertie. Dans haun des aisseaux les astronautes effetuent la même expériene qui onsiste à allumer une lampe à l aant du aisseau et à mesurer la itesse de la lumière émise. Résultat : Ils trouent tous les deux la même aleur = km/s.

2 1 re B et C 8 Relatiité restreinte 93 b) Deuxième postulat : Le prinipe de la onstane de la itesse de la lumière La itesse de la lumière dans le ide est la même dans tous les référentiels d inertie. Elle est indépendante du mouement de sa soure ou de l obserateur. Exemple 3 Reprenons les aisseaux A et B de l exemple ae en plus une étoile lointaine double enoyant ses ondes lumineuses ers les deux aisseaux. Les astronautes de A et de B mesurent la itesse de la lumière issue de haune des deux étoiles, ainsi que elle de la lumière issue d une lampe se trouant à bord de leur aisseau : ils trouent pour toutes es itesses le même résultat = km/s. Remarque Ce postulat est diffiile à admettre. Si la lumière est une onde on s attend à e que sa itesse soit mesurée par rapport à un ertain milieu de propagation. Mais on n a pas pu trouer un tel milieu. Si la lumière est onstituée de partiules, sa itesse derait être mesurée par rapport à sa soure. L expériene montre qu il n est pas ainsi. Il est important de se rendre ompte que es deux modèles de la lumière, bien qu extrêmement utiles, ne peuent être onsidérés omme des desriptions de la «réalité». Les physiiens n ont simplement pas enore réussi à trouer mieux! C est pourquoi il ne faut pas essayer de «omprendre» le deuxième postulat en isualisant un proessus physique. Il faut simplement garder à l esprit que sa alidité est onfirmée par toutes les onséquenes expérimentales.

3 1 re B et C 8 Relatiité restreinte 94. Définitions Un éénement est un phénomène qui se produit en un point de l espae et à un instant unique dans le temps. Un obserateur est une personne ou un dispositif automatique pouru d une horloge et d une règle. Chaque obserateur ne peut releer que les éénements de son entourage immédiat et doit s en remettre à des ollègues pour releer les instants orrespondants à des éénements distants. Un référentiel est un ensemble d obserateurs répartis dans l espae. Un seul obserateur est en fait assez prohe d un éénement pour l enregistrer, mais les données pourront être ommuniquées plus tard aux autres obserateurs. 3. Relatiité de la simultanéité de deux éénements et désynhronisation des horloges a) Relatiité de la simultanéité Faisons «l expériene par la pensée» («Gedankenexperiment») suiante : Trois astronautes se déplaent à traers l espae, d un mouement retiligne et uniforme par rapport à la Terre, au moyen des aisseaux spatiaux A, C et B. Les aisseaux se suient à des distanes rigoureusement égales. C porte le ommandement pour l ensemble de la flotte. Les ordres sont transmis aux aisseaux A et B au moyen d ondes életromagnétiques se propageant à la itesse. Afin de synhroniser les horloges de A et de B, C émet l information : «Il est midi pile!» Les éénements «A apte l information» et «B apte l information» sont obserés d une part par les astronautes et d autre part par un obserateur terrestre (nous-mêmes par exemple).

4 1 re B et C 8 Relatiité restreinte 95 Qu obserent les astronautes? Les astronautes se oient mutuellement au repos. Les distanes de A et de B par rapport à C sont identiques. Le signal életromagnétique transmettant l information à la itesse est reçu simultanément par A et B, qui ont ainsi pouoir synhroniser leurs horloges. Qu obserons-nous? A a à la renontre du signal, tandis que B fuit le signal. Comme la itesse de propagation du signal aut également pour nous, l information est aptée d abord par A, et puis, un peu plus tard seulement, par B. Pour nous, les deux éénements ne sont don pas simultanés. Conlusion Deux éénements séparés dans l espae qui ont lieu simultanément dans un référentiel ne se produisent pas simultanément dans un autre référentiel en mouement retiligne uniforme par rapport au premier. b) Désynhronisation des horloges Voilà que les horloges des aisseaux A et B sont synhronisées dans leur référentiel, C émet une nouelle information. Cette fois, les astronautes de A et B prennent en photo leur horloge à l instant de réeption du signal életromagnétique. Qu obserent les astronautes? A l instant où l information est reçue, les horloges de A et B indiquent le même temps. Cei est tout à fait éident puisque les horloges sont synhronisées, et que les éénements sont simultanés!

5 1 re B et C 8 Relatiité restreinte 96 Qu obserons-nous? A l instant où A reçoit le signal, B ne l a pas enore reçu. Par onséquent, l horloge de A indique déjà l heure de la réeption du signal (heure affihée sur la photo), alors que elle de B n a pas enore atteint ette heure. Il nous faudra attendre enore un peu jusqu à e que l ordre atteigne le aisseau B et que son horloge indique le temps de réeption du signal (heure affihée sur sa photo). Conlusion Si des horloges séparées dans l espae sont synhronisées dans un référentiel où elles sont au repos, elles ne le sont pas dans un autre référentiel où elles sont en mouement. En effet, l horloge qui est «deant», indique une date moins grande. Ce déalage temporel est d autant plus grand que la distane entre les horloges est grande. Disussion * Le déalage temporel entre deux horloges est d autant plus grand que la distane entre les horloges est importante et que les horloges se déplaent plus rapidement. * Pour les itesses inférieures à 10 % de la itesse de la lumière, le phénomène est négligeable.

6 1 re B et C 8 Relatiité restreinte Dilatation du temps Considérons une "horloge à lumière", où une impulsion lumineuse effetue des a-et-ient dans un tube entre deux miroirs parallèles distants d'une longueur L. Un méanisme ompte le nombre d'allers et retours omme dans les horloges méaniques normales. Embarquons ette horloge dans un aisseau en mouement retiligne uniforme de itesse par rapport à la Terre. Supposons en plus que la itesse soit perpendiulaire au tube de l'horloge. Mesurons l'interalle de temps entre les éénements "le signal part du miroir inférieur" et "le signal est reçu par le miroir inférieur"! Que mesure l'astronaute? Pour l'astronaute, l'horloge est au repos. Le signal lumineux parourt une distane L = T 0 entre les deux miroirs. L'interalle de temps T 0 mesuré entre les deux éénements aut dans le référentiel des astronautes: Que mesurons-nous? L T0 Pour nous, l'horloge est en mouement uniforme de itesse et le signal parourt une distane plus longue. D'après le seond postulat, la itesse du signal lumineux est pour nous également. Il met don un temps T/ > T 0 / pour parourir la distane AB > L entre les deux miroirs.

7 1 re B et C 8 Relatiité restreinte 98 Relation entre T et T 0 Le théorème de Pythagore appliqué au triangle retangle (ABC) permet d'érire: T T L T0 Comme L, il ient: T T T 0 ( ) 4 T (T) T 0 T T T 0 0 T T Comme le dénominateur est inférieur à 1, T > T 0. Dans le référentiel terrestre, où on a disposé deux horloges séparées dans l'espae, l'interalle de temps est supérieur à elui enregistré dans le référentiel de l'astronaute, à l'aide d'une seule horloge. Définitions: interalles de temps propre et impropre La durée entre deux éénements se produisant au même lieu de l espae est appelée interalle de temps propre. Cet interalle est mesuré par une seule horloge se trouant à l endroit où les éénements se produisent. La durée entre deux éénements se produisant en des lieux différents de l espae est appelée interalle de temps impropre. Cet interalle ne peut être mesuré que par deux horloges se trouant aux deux endroits où les éénements se produisent. Conlusion Deux horloges A et B séparées dans l'espae, enregistrent entre deux éénements un interalle de temps (impropre) plus grand que l'interalle (propre) enregistré par une seule horloge se déplaçant de A ers B, et qui est présente aux deux éénements. t impropre tpropre 1

8 1 re B et C 8 Relatiité restreinte 99 Exemples numériques = 0,1 t impropre = 1,005 t propre = 0,5 t impropre = 1,15 t propre = 0,9 t impropre =,3 t propre = 0,95 t impropre = 3, t propre t impropre, quel que soit t propre Disussion * Pour les faibles itesses (inférieures à 10 % de la itesse de la lumière), il n'y a pratiquement pas de différene entre les indiations des horloges en mouement et de elles au repos. L'idée du temps absolu de la méanique lassique reste une approximation alable. * Pour les itesses approhant la itesse de la lumière, le temps doit être onsidéré omme une grandeur relatie, dépendant de l'obserateur qui le mesure. Remarque: Les horloges en mouement retardent 1) Si, dans l'expériene par la pensée préédente, nous nous équipons également d'une "horloge à lumière" (au repos), nous mesurons sur elle, pour un aller et retour du signal, la durée propre T 0 (la même que l'astronaute mesure sur son horloge au repos, à ause du premier postulat). Nous onstatons: Pendant que sur l'horloge de l'astronaute, en mouement, le signal a parouru un aller et retour, elui sur notre horloge au repos a parouru plus d'un aller et retour. Nous onluons que l'horloge de l astronaute (en mouement) marhe plus lentement que notre horloge (au repos). En termes simples: l'horloge en mouement retarde. ) Si dans l expériene par la pensée préédente, l astronaute examine notre "horloge à lumière" (en mouement pour lui), il doit aboutir à la même onlusion,.-à-d. que notre horloge en mouement marhe plus lentement que la sienne au repos. (Voir annexe!) Conséquene: Pour l'obserateur terrestre, tout e qui se passe dans le aisseau spatial (gestes quotidiens, mouements de mahines, battements du œur et autres phénomènes physiologiques, ), se déroule au ralenti. De même pour l astronaute obserant l obserateur terrestre!

9 1 re B et C 8 Relatiité restreinte Contration des longueurs Considérons un aisseau en train de se déplaer de la Terre ers Jupiter en ligne droite et à itesse onstante, par rapport à la Terre et à Jupiter! Admettons également que ette distane reste rigoureusement onstante de sorte que l'ensemble Terre +Jupiter onstitue un référentiel d'inertie, de même que le aisseau en mouement par rapport au référentiel Terre + Jupiter. Mesurons la distane Terre-Jupiter dans les deux référentiels. Connaissant la itesse du aisseau, il suffit de mesurer la durée du oyage, 'est-à-dire la durée entre les éénements "le aisseau passe à la hauteur de la Terre" et "le aisseau passe à la hauteur de Jupiter", et de aluler la distane herhée. Que mesure l'astronaute? Pour l'astronaute, les deux éénements se passent tout près de son aisseau, don au même endroit. Une seule horloge lui suffit. Il mesure la durée propre T 0. Dans le référentiel de l'astronaute, la distane Terre-Jupiter est une longueur en mouement. Elle est notée L et aut: Que mesurons-nous? L = T 0 Pour nous, les deux éénements ne se passent pas au même endroit. Nous deons installer deux horloges synhronisées, une première horloge sur Terre afin de repérer la date du premier éénement, et une autre sur Jupiter pour elle du deuxième éénement. Nous mesurons manifestement une durée impropre T. Par ontre dans notre référentiel, la distane Terre-Jupiter est une longueur au repos. Elle est notée L 0 et aut: L 0 = T

10 1 re B et C 8 Relatiité restreinte 101 Relation entre L et L 0 L L0 Vitesse relatie : T T 0 T0 D'après l'équation de la dilatation du temps on a: T 1 En simplifiant par T 0, on obtient : L L 1 0 Comme la raine arrée est inférieure à 1, L < L 0. Dans le référentiel de l'astronaute, la longueur (L en mouement) est plus ourte que dans le référentiel terrestre (L 0 au repos). Conlusion Une longueur est plus ourte dans un référentiel par rapport auquel elle est en mouement, que dans un référentiel par rapport auquel elle au repos. L L 1 mouement repos Exemples numériques = 0,1 L mou = 0,995 L repos = 0,5 L mou = 0,866 L repos = 0,9 L mou = 0,44 L repos = 0,95 L mou = 0,31 L repos L mou 0, quel que soit L repos Disussion * Il n'y a que les longueurs parallèles au eteur itesse qui dépendent du référentiel dans lequel on les mesure. (La longueur L de l'horloge lumineuse du hapitre préédent était la même dans les deux référentiels!) * Pour les faibles itesses (inférieures à 10 % de la itesse de la lumière), il n'y a pratiquement pas de différene entre les longueurs en mouement et elles au repos. L'idée de l'espae absolu de la méanique lassique reste une approximation alable. * Pour les itesses approhant la itesse de la lumière, la longueur doit être onsidérée omme une grandeur relatie, dépendant de l'obserateur qui la mesure.

11 1 re B et C 8 Relatiité restreinte 10 * Pour les photons dont la itesse est, la dimension spatiale parallèle à leur déplaement a omplètement disparu. Remarque: Les longueurs en mouement raourissent Considérons le référentiel terrestre, où se troue une règle graduée au repos, et un aisseau spatial, de itesse par rapport à la Terre, muni également d une même règle graduée. L obserateur terrestre aussi bien que l astronaute oient leur règle au repos, de longueur L 0. L obserateur terrestre mesure, pour la longueur de la règle du aisseau en mouement par rapport à lui, une longueur raourie L < L 0. De même, l astronaute mesure la longueur L < L 0 pour la règle terrestre. En termes simples : Si un orps initialement au repos est mis en mouement il raourit suiant la diretion parallèle au mouement.

12 1 re B et C 8 Relatiité restreinte Preue expérimentale de la dilatation du temps et de la ontration des longueurs: Expérienes des muons (B. Rossi et D. B. Hall en 1941) Les muons sont des partiules élémentaires produites dans la haute atmosphère par bombardement ae les protons du rayonnement osmique, et qui se désintègrent spontanément pour donner d'autres partiules. Si on a N 0 muons à l'instant t = 0, on obsere qu'à un instant ultérieur t il en reste 0 t ln T N N e où T = 1,5 s est la demi-ie des muons mesurée dans un référentiel où les muons sont au repos. L'expériene onsistait à ompter le nombre N 1 de muons détetés par heure au sommet du Mount Washington (New Hampshire, altitude 1910 m) ainsi que elui N déteté au nieau de la mer (altitude 3 m). Le ompteur fut réglé pour ompter les muons ayant une itesse égale à 0,995. Les résultats furent les suiants: N 1 = muons et N = muons. Haute atmosphère Création des muons Désintégration des muons Un alul simple montre qu'en absene de onsidérations relatiistes, il n'y a pas moyen d'expliquer que les muons atteignent en nombre tellement éleé le nieau de la mer. En effet, les muons mettraient 6,4 s pour parourir les 1907 m et le nombre de muons qui atteindraient le nieau de la mer serait seulement de 1 6,4 ln 1,5 N N e 9 muons. La dilatation du temps et la ontration des longueurs nous fournissent l'expliation orrete. Expliation orrete à l'aide de la dilatation du temps L'interalle de temps entre les éénements "le muon passe au Mount Washington" et "le muon passe au nieau de la mer" est un interalle de temps propre t 0 pour le muon et un interalle de temps impropre t, beauoup plus grand, pour l'obserateur terrestre.

13 1 re B et C 8 Relatiité restreinte 104 Comme t = 6,4 s et = 0,995 on obtient pour la durée du parours ue par le muon: t propre t impropre 1 t 0 t 1 0, 64 s De même, la demi-ie de 1,5 s est un interalle de temps propre pour le muon et un interalle de temps impropre, onsidérablement allongé, pour l'obserateur terrestre. Tpropre Timpropre 15 s 1 Dans le référentiel du muon, la demi-ie aut 1,5 s et la durée du parours 0,64 s. Le nombre de muons atteignant le nieau de la mer aut don: 1 0,64 ln 1,5 N N e 419 (bonne onordane ompte tenu des erreurs expérimentales) Dans le référentiel terrestre, la demi-ie aut 15 s et la durée du parours 6,4 s. On troue le même nombre N. Expliation orrete à l'aide de la ontration des longueurs Dans le référentiel du muon, la distane à parourir du sommet du Mount Washington au nieau de la mer est une longueur en mouement, beauoup plus ourte que la longueur L repos = 1907 m mesurée dans le référentiel terrestre: Lmouement Lrepos 1 191m Cette faible distane sera parourue en 0,64 s. On retroue le résultat préédent! Remarque: importane de la dilatation du temps (et de la ontration des longueurs) L'effet mesuré dans ette expériene est loin d'être négligeable. La désintégration des muons s'est faite à un rythme 10 fois plus lent qu'au repos. Tous les jours, les physiiens qui étudient les partiules de haute énergie, traaillant sur des aélérateurs de grande puissane, ont affaire à des partiules qui se désintègrent spontanément plus de 100 fois plus rapidement que les muons. Si la dilatation du temps ne jouait pas, elles se désintégreraient et disparaîtraient aant d'aoir parouru plusieurs mètres, même en se déplaçant presque à la itesse de la lumière. C'est pare que leur désintégration est ralentie qu'on peut les obserer à plus de 100 mètres du point où ils sont produits dans l'aélérateur. On peut, en onséquene, les utiliser dans d'autres expérienes. La dilatation du temps deient ainsi une affaire quotidienne pour es physiiens.

14 1 re B et C 8 Relatiité restreinte Quantité de mouement Selon le premier postulat, les lois physiques sont les mêmes dans tous les référentiels d'inertie. Les trois prinipes de Newton, la onseration de la quantité de mouement ainsi que la onseration de l'énergie s'appliquent toujours et dans tous les référentiels d'inertie. dp Rappel: relation fondamentale de la dynamique F ( p = quantité de mouement) dt La quantité de mouement relatiiste d'une partiule, de masse au repos m 0, animée d'une itesse, est définie par : m0 p m 1 m0 m est la masse relatiiste définie par: m 1 Représentation graphique 1) (en rouge) de la quantité de mouement relatiiste par unité de masse en fontion de la itesse ; ) (en bleu) de la quantité de mouement lassique par unité de masse en fontion de la itesse (p lassique = m 0 ). Disussion * Si = 0 alors m = m 0 qui est la masse au repos de la partiule. Elle est égale à la masse en méanique lassique. * Pour les faibles itesses (inférieures à 10 % de la itesse de la lumière), la quantité de mouement est pratiquement égale à son expression en méanique lassique: p m 0. L'expression lassique reste don une approximation alable. * Pour les itesses approhant la itesse de la lumière, la quantité de mouement doit être onsidérée omme grandeur relatiiste, dépendant de l'obserateur qui la mesure.

15 1 re B et C 8 Relatiité restreinte Energie a) Energie totale L étude mathématique de la relatiité restreinte a permis de montrer que l énergie totale d un orps de masse m et de itesse s érit : E m m 0 Pour un orps de itesse nulle : E 0 = m 0 1 La formule E = m, la plus élèbre de la physique probablement, traduit l équialene entre l énergie et la masse. Albert Einstein a démontré inorretement la formule dans son artile «Ist die Trägheit eines Körpers on dessen Energieinhalt abhängig?",» (Einstein A Annalen der Physik 18: ) La formule fut établie orretement pour la première fois par Max Plank (Plank M Zur Dynamik bewegter Systeme, Annalen der Physik ). b) Energie au repos La quantité E 0 = m 0 est l'énergie totale d un orps au repos. Elle représente la somme de toutes les énergies "internes", (énergie thermique, énergie nuléaire, énergie himique), et des énergies potentielles (életrique, graitationnelle, élastique). Pour m 0 = 1 g, on obtient E 0 = J (énergie énorme!) Pour un életron : m 0 = 9, kg, on obtient : E 0 = 8, J = 511 kev ) Equialene énergie-masse L équialene entre l énergie et la masse onstitue l'un des aspets les plus élèbres de la théorie de la relatiité restreinte: si l énergie d un orps arie, alors sa masse arie également. Ainsi, la libération d'énergie E lors de la fusion ou de la fission nuléaire (noyaux pratiquement au repos) s'aompagne d'une diminution de masse au repos m 0, d'après E = m 0.

16 1 re B et C 8 Relatiité restreinte 107 De même, dans toute réation himique libérant de la haleur ou de la lumière, la masse au repos totale des onstituants diminue. La loi de la onseration de la masse (loi de Laoisier) doit être remplaée par la loi de la onseration de l énergie. Par ailleurs, un photon d énergie E, entrant en interation ae une autre partiule (ou ae un hamp életromagnétique assez fort), peut se matérialiser en une paire életron-positron (positron = anti-életron) où haune des partiules (de masse au repos m 0 ) réées aquiert l énergie E/ = m (m = masse relatiiste). L énergie du photon doit don être supérieure à m 0. L équialene entre l énergie et la masse amène les physiiens à exprimer la masse au repos d une partiule en unités d énergie. Ainsi la masse au repos du proton m 0 = 1, kg orrespond à l énergie m 0 = 1, (, ) J = 1, J. Il serait possible, mais on ne le fait pratiquement jamais, de dire qu un proton a une masse au repos m 0 = 1, J/. L énergie est plutôt exprimée en életronolts (ev). 1, Energie en ev du proton au repos : 1, ev = 9, ev = 938 MeV (MeV = méga-életron-olts). Ainsi on dira que la masse au repos du proton est : m 0p = 938 MeV/! Pour la masse au repos du neutron, on troue : m 0n = 940 MeV/. Pour la masse au repos de l életron, on troue : m 0e = 0,511 MeV/. d) Masse et inertie La théorie de la relatiité réèle que l inertie d un orps de masse au repos m 0 et de itesse m0 E est exprimée par la masse relatiiste : m 1 Lorsque la itesse est faible (inférieure à 10 % de la itesse de la lumière), on retroue le résultat de la physique lassique, à saoir que l'inertie est exprimée par la masse au repos : m m 0 En physique lassique, la masse d un orps est indépendante de sa température, de son énergie potentielle et. Pourtant, selon la relatiité restreinte, la masse au repos dépend de la température : une tarte haude a plus d énergie, plus de masse au repos et don plus d inertie qu une tarte identique froide. De même lorsqu'on omprime un ressort le supplément d'énergie élastique aroît sa

17 1 re B et C 8 Relatiité restreinte 108 masse au repos, et don son inertie. Pour une lampe de pohe allumée, la masse au repos et l inertie diminuent. (Les très faibles ariations de la masse au repos des orps marosopiques ne sont pourtant pas mesurables!) e) Energie inétique Si 0 alors le orps possède l'énergie E = m qui est la somme de l'énergie au repos E 0 et de l'énergie inétique E. L'énergie inétique relatiiste d'une partiule de masse au repos m 0 et de itesse est définie par: m0 E E E0 m m0 m 0 1 Disussion * Pour les faibles itesses (inférieures à 10 % de la itesse de la lumière), on peut montrer mathématiquement que l'énergie inétique E est pratiquement égale à son expression lassique ½ m 0. * Pour les itesses approhant la itesse de la lumière, l'énergie inétique doit être onsidérée omme grandeur relatiiste, dépendant de l'obserateur qui la mesure. * Lorsque tend ers, alors E tend ers l'infini. * Lorsque tend ers, alors E tend ers l'infini. Or une partiule d énergie infinie n existe pas. Don = est impossible pour une partiule matérielle. Voilà un résultat surprenant de la relatiité restreinte. Auune partiule de masse au repos non nulle ne peut atteindre et don dépasser la itesse de la lumière.

18 1 re B et C 8 Relatiité restreinte 109 f) Relation entre l'énergie totale E et la quantité de mouement p d une partiule m0 E0 Energie totale: E 1 1 E E 1 E0 E E 4 E E m E E m E E p (1) 0 Disussion * Cas des photons : = Comme E m et p m, on a : E = p () = dans () pour les photons : E = p (3) (1) et (3) pour les photons : E 0 = 0 Or E 0 = m 0 pour les photons : m 0 = 0 Par ontre, les photons transportent de la quantité de mouement dont il faut tenir ompte lors de ollisions ae d'autres partiules! * Pour des partiules matérielles de très grande itesse pour lesquelles l énergie totale E est largement supérieure à l énergie au repos E 0, et on obtient: E p * L énergie totale E et la quantité de mouement p d une partiule dépendent du référentiel dans lequel on les mesure. Par ontre la quantité E p ne dépend pas du référentiel. C'est une quantité inariante. On l'appelle inariant relatiiste.

19 1 re B et C 8 Relatiité restreinte 110 Pour en saoir plus Annexe : deux paradoxes de la théorie de la relatiité a) Paradoxe du retardement des horloges en mouement Un obserateur terrestre qui regarde une horloge se déplaer rapidement dans l'espae onstate que ette horloge retarde par rapport aux horloges terrestres. D'après le premier postulat, un obserateur oyageant ae l'horloge et oyant l'obserateur terrestre se déplaer, doit onstater la même hose, 'est-à-dire que les horloges de la Terre retardent par rapport aux siennes. Exposée en es termes la situation semble être totalement paradoxale. La situation est étrange pour notre sens lassique du temps mais il n'y a pas d'inompatibilité logique, omme on a le montrer. Reprenons l exemple de l astronaute parourant le trajet Terre-Jupiter au bord de sa fusée éoqué dans le paragraphe 5 sur la ontration des longueurs. Les obserateurs sur Terre et Jupiter disposent de deux horloges synhronisées dans leur référentiel (elui de la Terre et de Jupiter), l une installée sur Terre, l autre sur Jupiter. Ils mesurent l interalle de temps impropre entre les éénements "la fusée passe à la hauteur de la Terre" et "la fusée passe à la hauteur de Jupiter". Cet interalle est don néessairement plus long que elui mesuré par l astronaute qui lui mesure l interalle de temps propre entre es deux éénements. Les obserateurs sur Terre et sur Jupiter onluent don que l horloge de l astronaute retarde par rapport aux leurs.

20 1 re B et C 8 Relatiité restreinte 111 Quel est le point de ue de l astronaute? Il oit d abord la Terre défiler auprès de lui (instant où il s assure que son horloge et elle de la Terre indiquent bien la même date), puis Jupiter. Pour l astronaute, les deux horloges installées sur Terre et sur Jupiter ne sont pas synhronisées : l horloge de la Terre qui est le plus loin deant indique une date antérieure à elle indiquée par l horloge de Jupiter, laquelle a déjà aané plus loin dans le temps. Don à l instant de passage de la Terre où l'astronaute oit l indiation de l horloge terrestre, l indiation de elle de Jupiter est déjà supérieure aussi bien à elle de l horloge terrestre qu à elle de sa propre horloge. Il est don tout à fait plausible pour l astronaute de onstater au passage de Jupiter, que l horloge sur Jupiter indique une date supérieure à la sienne, et qu'elle retarde par rapport à la sienne! En effet, les horloges de Jupiter et de la Terre ont enregistré un interalle plus ourt entre les deux éénements que l'horloge de l'astronaute! On peut montrer que: Si deux horloges séparées d'une longueur L 0 sont synhronisées dans leur propre référentiel, alors elles présentent un déalage temporel par rapport à un référentiel en mouement ae la itesse, donnée par la relation: L0

21 1 re B et C 8 Relatiité restreinte 11 b) Le paradoxe «des jumeaux de Langein». Il apparaît une situation quelque peu différente dans e qu'on appelle le "paradoxe des jumeaux". Deux jumeaux sont au repos sur la Terre. L'un d'eux fait un oyage en fusée, à très grande itesse, jusqu'à une planète oisine. Pendant son oyage, le jumeau resté sur Terre oit retarder les horloges du jumeau de la fusée. Parmi toutes les horloges possibles, il y a les proessus biologiques et le jumeau qui est sur Terre pense don que le jumeau de la fusée ieillit moins ite que lui. La même hose est raie au ours du trajet retour, puisque la dilatation du temps ne dépend que du arré de la itesse. A la fin du oyage, par onséquent, les deux jumeaux sont ôte à ôte, mais elui de la fusée est plus jeune que elui qui est resté sur Terre. Cette onlusion est stupéfiante, mais la plupart des physiiens pensent que 'est la onlusion orrete déduite de la relatiité. Le paradoxe apparaît quand on se demande e que pense le jumeau de la fusée. Lui, il oit le jumeau resté sur Terre ieillir moins ite que lui, et, quand il reient sur Terre, il pense que le jumeau resté au sol doit être le plus jeune. Or ette onlusion ient d'une faute de raisonnement et est don inorrete. Jumeau de la fusée Jumeau resté sur Terre Aélération du jumeau de la fusée Pourtant, les deux situations ne sont-elles pas identiques? Comment le jumeau de la fusée peut-il saoir si e n'est pas le jumeau restant sur Terre qui est parti ae la Terre et puis reenu? La différene physique est que le jumeau de la fusée a aéléré au début du oyage, à la fin du oyage aller pour faire demi-tour, et à la fin du oyage retour. Celui resté sur Terre par ontre n'a pas subi d'aélération. Or, l'aélération est un phénomène qu'on peut obserer physiquement. Le oyage n'est don pas symétrique pour les deux jumeaux, et il est permis à tous les deux de onlure que 'est le jumeau de la fusée qui est le plus jeune. On oit que la résolution du paradoxe fait interenir une disussion sur les aélérations subies par deux obserateurs différents. Or, 'est à la théorie de la relatiité générale qu'il faut faire appel pour interpréter les mouements aélérés.