Isométrie. Mr Zribi. Page 1. Exercice 1 : A/ D une part : AB=IC et AB=AI alors IC=AI.

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1 Exercice 1 : / 1/ on a : w=w et ( w,w ) [ alors w est le centre de r. / on a : r : alors = et (,) [ une part : = et = alors =. Et d autre part : (, ) (, ) (, )[ alors (, ) 0[ d où, et sont alignés où est le milieu de [. / soit r(m)=e ; on a M[/{,} alors E[/{,} et M=E alors E=M. d où r(m)=m alors wmm est un triangle équilatéral. / 1/ on a = alors il existe un unique antidéplacement tel que ()= et ()=. / on a : : alors = et (,' ) (, )[ = alors appartient au cercle de centre et de rayon =. (,' ) [ alors [x) tel que (,x) [ d où est l intersection de et [x). / si est possède un point fixe alors =S n a : - ()= donc est la médiatrice de [ alors =() - ()= donc est la médiatrice de [ alors =(wk) Mais () et (wk) ne sont pas confondues alors n a pas de points fixes. 4/ a/ on a : : alors le milieu de [ appartient à alors le milieu K de [ appartient à. où = (K). n a : - KH==K donc K appartient à la médiatrice de [H - H=K= donc appartient à la médiatrice de [H où est la médiatrice de [H. b/ on a : - ()= - ()= tu os ( ) tu( H ) donc tu (H) = alors u H par suite = t H o S( K ) 5/ g est la composées deux antidéplacements alors g est un déplacement. w H K ' x Page 1

2 g= t H o S ( K ) os () les droites (K) et () sont perpendiculaires alors S (K) os () est une rotation d angle donc g est une rotation d angle (le produit d une translation par une rotation est une rotation) g(k)= os () (K)=()=K donc K est le centre de g. g=r (K,) =S K. Exercice : 1/ on a =J alors il existe un unique déplacement f tel que f()= et f()=j. Page soit son angle ; (,J ) [ =[ donc f est une symétrie centrale, son centre est le milieu de [. f()=s ()=. / est la médiatrice de [J. /a/ r()=j ; r()= ; r(j)=. b/ soit r(m)=e on a : - M(M) donc E appartient à la perpendiculaire à (M) passant par r()=j - M(M) donc E appartient à la perpendiculaire à (M) passant par r()= lors E=M Si M décrit [J alors M =r(m) décrit r([j)=[. 4/ a/ la composée de deux rotation est une rotation donc g est une rotation d angle b/ g()=rof()=r()=. c/ soit w le centre de r - w=w donc w appartient à la médiatrice de [=. - (w,w) [ donc w appartient au demi-cercle de diamètre [ d ou une construction de w. 5/a/ on a =J alors il existe un unique antidéplacement h tel que h()= et h()=j. b/ les médiatrices de [ et [J ne sont pas confondu (() et (J) non parallèle) donc h n est pas une réflexion donc h est une symétrie glissante. c/ soit h()= est le milieu de [ donc h()=j est le milieu de h([)=[ et par suite =. 6/ hos () ()=h()= hos () ()=h()= la composée de deux antidéplacement est un déplacement. hos () est le déplacement qui envoie sur et sur donc hos () =f. b/ hos () =f h=fos () M' w J M

3 =S (J) os os () =S (J) o t Exercice : 1/a/ ()= ; ()=. b/ est la composée d un déplacement et d un antidéplacement donc est un antidéplacement. med[ med [ (en effet () ()) ; d ou est une symétrie glissante =t u o S o()= u = 1 J. ' La droite est la droite passante par les milieux de [ et [ donc =(JK). ou = t os(jk) ' /a) =0 donc il existe un unique déplacement r vérifiant r()= et r()=. b) (,) [ donc r est une rotation d angle - et de centre {w}=med[med[={}. en fin r=r (,- ) / g est la composée de deux rotations et 4/a) t()=gof 1 ()=g()= Page donc g est une rotation d angle. 6 b) t est la composée de deux rotations d angles respectives et - donc t est une translation puisque t()= alors t= t 5/ a) gof 1 (M 1 )=g(m)=m t (M 1 )=M M1M M M 1 est un parallélogramme b) on a ==M 1 M 0 donc il existe un unique antidéplacement tel que ()=M 1 et ()=M. c) t os() () M 1 ; t os() () M M 1 M 1 et t M o 1 S() sont deux antidéplacements qui coïncident sur deux points distincts donc = t M o 1 S(). d) si M() alors M 1 r(())=() donc = t M o 1 S() est une symétrie glissante. Si M appartient à la parallèle à () passant par E

4 M 1 appartient à la parallèle à () passant par donc M 1 ou t M o 1 S() = S o S () o S () avec // () et passe par le milieu de [M 1 ou =S. 6/ a) f() est la droite passant par et perpendiculaire à don f()=( ). f( ) est la droite passant par et perpendiculaire à donc f( )= b) { }= donc {f( )}=f()f( )=( )={ } soit f( )=. c) f( )= ( ',' ) [ le cercle de diamètre [ passe par. Exercice 4 : 1/ = car S () ([)=[ = car S ([)=[ onc = b/ = 0 donc il existe un unique déplacement tel que ()= et ()= l angle de ; (,' ' )[ (,' ' ) [ [(, ) ( ', )[ 6 [ [ 6 d ou est une rotation d angle 6 soit r la rotation de centre et d angle Page 4 r()= en effet : est isocèle en (,' ) [ 6 r()= en effet : =-= - = et (,' ) [ 6 r et coïncident en deux points distincts donc r= /a/ ' ' 5 d après la réciproque de Thalès ( )//( ) 1 donc f est une translation ; f=tu f()=s ( ) ()= donc u b) f( )= '' ' ' ' J '

5 est un parallélogramme donc est le milieu de [ et par suite = donc c) f( )=S ( ) ()= ' '' est un parallélogramme e plus = === donc est un losange d) = donc /a) === b) = 0 donc il existe un unique antidéplacement tel que ( )= et ( )= c) est le milieu de [ () est le milieu de [ ( )( ()=J d) = S o tv =tv os passe par les milieux de [ et [ donc =(J) ()= tv ()=J donc v J Exercice 5 : 1) L=K0 il existe un unique déplacement f tel que f()= et f(l)=k. ) ( L,K) [ donc f est une rotation d angle et de centre w tel que : w=w et ( w,w) [ alors w= d ou f=r (, ) ) f(l)=k donc LK est un triangle rectangle isocèle 1 en. N on a : L=K et (L)//(K) LK est un parallélogramme =L*K=* or LK est un triangle rectangle isocèle en donc L est un triangle rectangle isocèle en. 4) on a : ( L,N ) ( L,N )[ ( K,N' ) [ ( K,N' )[ donc ( N,N' ) ( N,L ) ( L,K ) ( K,N' )[ ( L,K ) [ K N' L Page 5

6 [ soit f(n)=n 1 ; comme N alors N 1 et N,N 1 ) ( [ donc N 1 =N. / 1) g(k)=s () ()=L. Si g est une symétrie axiale alors g=s () g()= S () o S ()= =*S () = ce qui est impossible alors g n est pas une symétrie axiale. ) g=s () o S =S () o S () o S () = t os (). ) a) r(k)=g o S () (K)=g(K)=L. b) r est un déplacement comme étant la composée de deux antidéplacement. r=t os () os()= t or (, ) d ou r est une rotation d angle soit le centre de r alors K L et ( K, L ) [ Exercice 6: 1/a/on a =G0 donc il existe un seul déplacement f tel que f()= et f()=g. ((,G) [ donc f est une rotation et de centre {J}=med[med[G. Soit f= r (J, ) b/ f()= ((,G' ) [ et =G or =GK et ( (,GK ) [ onc f()=k. f()=k F=K et (( F,K ) [ / g=s of a/ g est la composée de deux rotations d angles respectifs et rotation d angle G K F ' J E d ou =S (). H J' d angle donc g est une on pose son centre ; g()=s (K)= donc = et ( (, ) [ soit = Page 6

7 en fin g =r (, ). b) g()= et g()=k =K et ((,K) [ / dans le triangle K on a (F)(K) don (F) est l hauteur issue de ()(K) donc () est l hauteur issue de (K)() donc (K) est l hauteur issue de or les trois hauteurs d un triangle sont concourantes d ou (K), () et (F) sont concourantes 4/ a) f ()= etf (E)= E=0 donc il existe un seul antidéplacement f vérifiant les hypothèses med[=med[e donc f =S avec =med[ b) g = t of = t os or E donc g = t Eot o S = t EoS () os os = t EoS () soit g est une symétrie glissante d axe () et de vecteur E Exercice 7 : 1/a) r()= et r( )= lors =. b) on a = 0 alors il existe un unique déplacement tel que ()= et ( )=. c) soit l angle de ; ( ',' )[ ( ',' ) ( ',' )[ ' [ [ donc est une rotation d angle. w=w donc w appartient à la médiatrice de [ w =w donc w appartient à la médiatrice de [ alors w est l intersection des deux médiatrices. /a) i/ f est la composée d une rotation d angle Page 7 et d une translation donc c est une rotation d angle. i/ f()=()= ; étant invariant par f c est donc son centre. Par suite f= r (, ). b) comme : t =S (J) os () et =S (w) o S (J) alors f= S (w) o S () = r (, ). K ' J w '

8 / a) soit r = r (, ). r ( )= et r ()= donc = b) comme = alors il existe un unique antidéplacement tel que ()= et ( )=. on pose =(J). est la médiatrice de [ donc S ()=. on a : = appartient à la médiatrice de [. J =JK+K =J+ =J est sur la médiatrice de [ lors est la médiatrice de [ donc S ( )=. omme est unique alors =S. 4/ a) soit l angle de s et k le rapport de s. ( JK,J)[ [. 4 1 JK cos k J 4 1 donc k= b) on a J= J et ( J,J) [ 4 donc s()=. 5/ soit g= s os ; g est une similitude directe comme étant la composée de deux similitudes directes. Soit l angle de s et k son rapport. K K ( J,JK )() k = cos J J 4 ( J,K )() ( ) 4 g est donc d angle nul et de rapport 1 alors g est une translation. omme g()=s os()=s ()= alors g= t 6/ a) soit a le rapport de. J' JK K' K' 1 a= 1 1 tg ( K' ) 1. J J K b) soit l axe de ; = h (J,a) o S donc S =h 1 (J,a) o. S ()= h 1 (J,a) o ()= h 1 JK J 1 (J,a) ( )=K en effet : J' J' a donc JK ' a 1 J. omme S ()=K alors est la médiatrice de [K. (K)= h (J,a) o S (K)= h (J,a) ()= ( en effet J a J ' J JK ' ) ' Exercice 8: Page 8 H' H

9 1/ a) on a:, ) [ donc R ()=. f()=r or ()=R ()= f()=r o R ()=R ()=. b) soit l'angle de R ; (,)[ [ 4 f étant la composée de deux rotations; c'est une rotation d'angle 4 4 on a : f()= donc appartient à la médiatrice de [ et f()= donc appartient à la médiatrice de [. où la construction de. c) les deux angles intérieurs de même coté [, et [, sont supplémentaires donc ()//(). Les deux angles intérieurs du même coté [, et [, sont supplémentaires donc ()//(). onc est un parallélogramme et = alors c'est un losange. / a) la composée d'un déplacement et d'un antidéplacement est un antidéplacement donc g est un antidéplacement. b) g()=fos () ()=f()= g()=fos () ()=f()=. /a) g()=fos () ()=f()=. H est le milieu de [ donc H est le milieu de [ par suite g(h) est le milieu de [g()g() insi H' est le milieu de [. b) on place H' le milieu de [ puis ' tel que H' est le milieu de ['. c) on a g()= et g()= comme la médiatrice de [ n'est pas la médiatrice de [ alors g n'est pas une symétrie orthogonale c'est donc un glissement. n pose g= S o tu. n a : g()= donc le milieu H de [ appartient à. g()= donc le milieu H' de [ appartient à. Par suite =(HH'). n a : g(h)= tu os (H)= tu (H)=H' Par suite u HH ' Page 9