BARYCENTRE DE 2 POINTS PONDÉRÉS (ET PLUS...)

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1 RYENTRE DE 2 POINTS PONDÉRÉS (ET PLUS...) Motivation : sachant que la balance suivante est en équilibre, quel est le poids de M? M =? 150 kg 6 m 2 m 1) arycentre de deux points pondérés : définition Définition 1 On appelle barycentre de deux points pondérés (, α) et (, β) le point défini par : α + β = 0 (lorsque α + β 0) En toute rigueur, il faudrait au préalable prouver l'existence d'un tel point. Voir le cours de terminale pour cette preuve. Physiquement, est le point d'équilibre de la balance [] munie de masses α et β. Mathématiquement, la notion est étendue à des coefficients qui peuvent être négatifs. Exemple 1 : Soit [] un segment. onstruire le barycentre de (, 3) et (, 2). Le point est donc tel que : = 0 Malheureusement, cette relation ne nous donne pas directement d'informations sur la position de. Transformons avec la relation de hasles : = 0 D'où : = 2 5 Pour placer, il suffit de diviser le segment [] en 5 parties de longueurs égales : Solution du problème de motivation : doptons les notations suivantes : On a : Or T = 3 P d'où : T 6 M T P = 0 2 ( 3M + 150) P P = 0 On utilise ici la propriété suivante : omme P 0 : 3M = 0 α u = 0 (α = 0 ou u = 0 ) D'où : M = 50 kg arycentre Page 1. OSTNTINI

2 Exemple 2 : Soit le point d'un segment [] tel que = 1 4. est-il le barycentre de et munis de certains coefficients? On a : 4 = = 0 Donc : est le barycentre de (, 3) et (, 1) as particuliers : Si α = 0 alors β = 0 et comme β 0, on a = 0 d'où : = Si β = 0 alors α = 0 et comme α 0, on a = 0 d'où : = Si α = β alors + = 0, ce qui signifie que est le milieu de []. (On dit aussi que est l'isobarycentre de et car les coefficients sont égaux) 2) utre caractérisation du barycentre Théorème 1 est le barycentre de (, α) et (, β) équivaut à : pour tout point M du plan : α M + β M = (α + β) M Si est le barycentre de (, α) et (, β) alors on a d'après la relation de hasles : (α + β) M = α M + β M = α M + α + β M + β Et puisque, par hypothèse α + β = 0, il vient : (α + β) M = α M + β M Réciproquement, supposons que pour tout point M du plan : α M + β M = (α + β) M lors en particulier pour M =, on a : 0 + β = (α + β) D où : β + β = α + β D où la relation α + β = 0, ce qui signifie que est le barycentre de (, α) et (, β) Théorème 2 est le barycentre de (, α) et (, β) équivaut à = β α + β ette relation permet aisément de construire le point. (Et donc prouve, a posteriori, son existence) On utilise le théorème 1 avec M =, ce qui donne β = (α + β) puis on divise par (α + β). arycentre Page 2. OSTNTINI

3 Remarque : on obtient un théorème analogue en faisant M =. Exemple : avec le barycentre de (, 3) et (, 2) on retrouve bien : = 2 5 3) Propriétés du barycentre Théorème 3 (homogénéité) Le barycentre de deux points reste inchangé lorsqu on remplace les deux coefficients par des coefficients proportionnels (non nuls). Soit k un réel non nul ; la relation α + β que est le barycentre de (, kα) et (, kβ). = 0 est équivalente à : kα + kβ Exemple : construire le barycentre de (, 350) et (, 140) revient à étudier (, 5) et (, 2). = 0 qui signifie bien Théorème 4 Le barycentre de (, α) et (, β) est situé sur la droite (). On utilise le théorème 2 pour constater que les vecteurs sont alignés. Et plus précisément : Si α et β sont de même signe, alors [] Si α et β sont de signes opposés, alors []. Supposons α 0. Les relations suivantes sont alors équivalentes : est le barycentre de (, α) et (, β) est le barycentre de (, 1) et (, β α ) et sont colinéaires, donc les points, et Si α = 0 alors =, donc []. + β α = 0 = β α Si α et β sont du même signe, alors β α > 0, donc et sont de même sens : []. Si α et β sont de signes opposés, alors β α < 0, donc et sont de sens opposés : []. Théorème 5 Le barycentre de 2 points et affectés du même coefficient non nul est le milieu de []. On l'appelle l'isobarycentre des points et ou encore centre de gravité des points et. arycentre Page 3. OSTNTINI

4 α + α = 0 équivaut à Devinette : quel est le centre de gravité? (1) + = 0. 4) oordonnées du barycentre dans un repère (O, i, j ) En utilisant le théorème 1 avec M = O, on a : α O + β O = (α + β) O. Notons (x, y ) et (x, y ) les coordonnées respectives de et dans le repère (O, i, j ), on a donc : O = x i + y j et O = x i + y j donc : (α + β) O = (αx + βx ) i + (αy + βy ) j e qui nous permet d'énoncer le théorème suivant : Théorème 6 Les coordonnées du barycentre de (, α) et (, β) sont : αx + βx α β + αy + βy α + β (Moyennes pondérées des coordonnées de et ) Exemple : (1 ; 3) et (4 ; 1). alculer les coordonnées de, barycentre de (, 2) et (, 1). 7 D'après le théorème 6, on trouve : 2; 3 5) Extensions à un système pondéré de trois points (et plus) Définition 2 On appelle barycentre de trois points pondérés (, α), (, β) et (, γ) le point défini par : α + β + γ = 0 (lorsque α + β + γ 0) Théorème 7 est le barycentre de (, α), (, β) et (, γ) équivaut à : pour tout point M du plan : α M + β M + γ M = (α + β + γ) M (α + β + γ) M = α M + β M + γ M = α M + α + β M + β + γ M + γ Or, α + β + γ = 0 (définition 2), donc : α M + β M + γ M = (α + β + γ) M (1) Réponse : la lettre "v"... arycentre Page 4. OSTNTINI

5 Théorème 8 est le barycentre de (, α), (, β) et (,γ) équivaut à : = β α + β + γ + γ α + β + γ On utilise le théorème 7 avec M =. Remarque : si un coefficient est nul, γ = 0 par exemple, alors est le barycentre de (, α) et (, β). On a encore la propriété d'homogénéité, et les coordonnées de se calculent à l'aide des formules suivantes : αx + βx + γx α β γ + + αy + βy + γy α + β + γ. (Moyennes pondérées des coordonnées de, et ) Théorème 9 L'isobarycentre des sommets d'un triangle est son centre de gravité. α + α + α = 0 avec α 0 équivaut à + + = 0... Remarque : on verra plus loin que l'isobarycentre des sommets d'un quadrilatère est, en général, différent de son centre de gravité! Exercice : est un triangle. onstruire le barycentre de (, 2), (, 1) et (, 1). Première méthode : on a, par la définition 2 : = 0 ( ) L'idée est d'introduire le point I milieu de []. lors, d'après le théorème 1 appliqué pour M =, on a : La relation ( ) s'écrit alors tout simplement : + = 2 I onclusion : est le milieu de [I]. Deuxième méthode : on a, par la définition 2 : 2 + I = = 0 ( ) Introduisons le barycentre ' de (, 2) et (, 1). lors, d'après le théorème 1 appliqué pour M =, on a : 2 + = 3 La relation ( ) s'écrit alors 3 + = 0. Donc le point est le barycentre de (', 3) et (, 1) ' I arycentre Page 5. OSTNTINI

6 6) entre d'inertie (d'une plaque homogène) Soit P une plaque, d'épaisseur négligeable. Le centre d'inertie I de la plaque est l'isobarycentre de tous les points de la plaque. ('est donc un barycentre d'une infinité de points!). 'est une notion mathématiquement difficile à définir. ependant, il est souvent facile de construire le centre d'inertie d'une plaque grâce aux propriétés suivantes (admises à notre niveau) : as simples Le centre d'inertie d'une tige est le milieu de cette tige. Le centre d'inertie d'un triangle est l'isobarycentre de ses trois sommets. ttention! Le centre d'inertie d'un quadrilatère D est, en général, différent de l'isobarycentre des sommets,, et D! (Voir exemple ci-dessous) Principes de symétrie Si la plaque admet un centre de symétrie, alors c'est son centre d'inertie. Si la plaque admet un axe de symétrie alors son centre d'inertie est sur cet axe. Principe de juxtaposition Si une plaque P 1 d'aire a 1 a pour centre d'inertie I 1 et une plaque P 2 d'aire a 2 a pour centre d'inertie I 2 alors la plaque P 1 P 2 admet pour centre d'inertie le barycentre I de (I 1, a 1 ) et (I 2, a 2 ). Remarque : comme les plaques sont homogènes, leurs aires a 1 et a 2 sont proportionnelles à leurs masses m 1 et m 2, on a donc aussi (d'après l'homogénéité des coefficients) : I = bar{(i 1, m 1 ) ; (I 2, m 2 )} Exemple : D est un quadrilatère. onstruire l'isobarycentre des sommets,, et D. (On pourra utiliser le milieu U de la diagonale [] et le milieu V de la diagonale [D]) On souhaite maintenant construire le centre d'inertie I de la plaque D. onstruire le centre d'inertie I 1 du triangle et le centre d'inertie I 2 du triangle D. En déduire que I (I 1 I 2 ). onstruire le centre d'inertie I 3 du triangle D et le centre d'inertie I 4 du triangle D. En déduire que I (I 3 I 4 ). En déduire la position de I. (Voir figure, page suivante) arycentre Page 6. OSTNTINI

7 Le centre de gravité et le centre d'inertie I d'un quadrilatère sont, en général, deux points distincts. I 3 V D I 1 U I I 2 I 4 arycentre Page 7. OSTNTINI

8 7) ssociativité du barycentre On ne change pas le barycentre de plusieurs points en remplaçant certains d'entre eux par leur barycentre affecté de la somme (non nulle) des coefficients correspondants. Exemple : = bar{ (, 1), (, 2), (, 3) } = bar{ (', 3), (, 3) } où ' = bar{ (, 1), (, 2) } Et finalement, on s'aperçoit que est le milieu de [']. D pplication : D est un tétraèdre et = bar D Situer. H Introduisons le point H = bar (H est l'isobarycentre de, et ) H D D'après l'associativité, on a = bar 3 4 Donc on a : 3 H + 4 D = 0 ; 7 D + 3 DH = 0 d'où D = 3 7 DH onclusion : est situé sur la médiane issue de D aux 3 septièmes de celle-ci en partant de D. Note : le résultat ci-dessus reste valable même si,, et D sont quatre points quelconques du plan. 8) pplications aractérisation des pieds des bissectrices par des barycentres. Soit un triangle et I le pied de la bissectrice (intérieure) issue de. On note H et K les projetés orthogonaux de I sur [] et [] respectivement. On rappelle que l'on a alors : K = H et IK = IH K H I omme I est sur le segment [], il existe des réels β et γ, tous deux de même signe tels que : β + γ 0 et β I + γ I = 0 omme les vecteurs I et I sont de sens opposés, on peut écrire : β I γi = 0 I I = γ β On peut donc choisir : β = I et γ = I arycentre Page 8. OSTNTINI

9 'est-à-dire : I = bar I I Or, les triangles ont une hauteur commune h (celle issue de dans ). Par homogénéité, on obtient, en multipliant les coefficients par 2 h : I = bar ire( I) ire( I) IH Mais par ailleurs : ire(i) = et ire(i) = 2 IK 2 Et comme IH = IK, la propriété d'homogénéité nous permet encore d'écrire : I = bar Notons, pour finir a =, b = et c =, ainsi, on a montré que : I = bar b c arycentre Page 9. OSTNTINI