Définitions et caractérisations des fonctions exponentielles et puissances

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1 DOCUMENT 35 Définitions et caractérisations des fonctions exponentielles et puissances On a vu dans le document précédent que les fonctions logarithmes sont les solutions de l équation fonctionnelle f(xy) = f(x) + f(y) vérifiant une condition de régularité (continuité en un point,...). Dans ce document on va montrer qu il en est de même pour leurs fonctions réciproques, les fonctions exponentielles. On prouvera aussi que les fonctions puissances, qui peuvent être définies à partir des fonctions exponentielles, sont aussi caractérisables à l aide d une équation fonctionnelle. 1. Caractérisations des fonctions exponentielles. Dans ce document, on suppose que les fonctions exponentielles on déjà été définies comme fonctions réciproques des fonctions logarithmes. Dans le document suivant, on montrera que les fonctions exponentielles peuvent être construites à partir d une équation fonctionnelle sans utiliser les fonctions logarithmes Caractérisation fonctionnelle. Les fonctions logarithmes sont des homomorphismes du groupe (R +,.) dans le groupe (R, +). Leurs fonctions réciproques, les fonctions exponentielles, sont donc des homomorphismes de (R, +) dans (R +,.); autrement dit ce sont des solutions de l quation fonctionnelle f(x + y) = f(x)f(y). Donnons d abord quelques propriétés élémentaires des solutions de x, y R, f(x + y) = f(x)f(y) (E). Une fonction constante de valeur k est solution de (E) si et seulement si k 2 = k ce qui équivaut à k = 0 ou k = 1. Soit f une solution de (E). Si f(x 0 ) = 0 alors, pour tout x R, f(x) = f(x 0 + (x x 0 )) = f(x 0 )f(x x 0 ) = 0. Toute solution de (E), distincte de l application nulle, ne prend donc jamais la valeur 0. Soit f une solution de (E), distincte de l application nulle. Pour tout x R, f(x) = f( x 2 + x 2 ) = (f(x 2 ))2 > 0. Toute solution de (E), distincte de l application nulle, est donc strictement positive. A toute solution de f de (E), distincte de l application nulle, on peut donc associer l application g : R R définie par g(x) = ln f(x) et cette application g vérifie l équation fonctionnelle g(x + y) = g(x) + g(y) (R). Réciproquement, si g est une solution de cette dernière équation fonctionnelle alors f, définie par f(x) = e g(x), est solution de (E). L étude de l équation fonctionnelle (R) s averrant plus simple que celle de (E), commençons par rsoudre (R). 383

2 CARACTÉRISATIONS DES FONCTIONS EXPONENTIELLES Etude de l équation fonctionnelle g(x + y) = g(x) + g(y). Proposition Soit g une application de R dans R. Il y a équivalence entre : (1) Il existe a R tel que, pour tout x R, g(x) = ax ; (2) La fonction g est continue en un point et vérifie x, y R, g(x + y) = g(x) + g(y) (R) ; (3) La fonction g est monotone et verifie la relation (R); (4) La fonction g est majorée ou minorée sur un intervalle (non vide et non réduit à un point) et verifie la relation (R). Preuve. Il est clair que 1. 2., et Soit g une fonction vérifiant la relation (R). On a : g(0) = 0 ; pour tout n N et pour tout x R, g(nx) = ng(x) ( preuve par récurrence sur n) ; g( x) = g(x) (0 = g(0) = g(x x) = g(x) + g( x)) d où, pour tout n Z, g(nx) = ng(x); pour tout n N, g( 1 n x) = 1 n g(x) (g(x) = g(n 1 n x) = ng( 1 n x)) ; pour tout p Z, tout q N et tout x R, g( p q x) = p q g(x) (g(p q x) = g(p1 q x) = pg( 1 q x) = p1 g(x)). Pour tout nombre rationnel r et tout réel x, on a donc g(rx) = rg(x) q et en particulier, g(r) = rg(1) Si g est continue en un point a alors la relation (R) entraine que, pour tout x 0 R et tout h R, g(x 0 + h) g(x 0 ) = g(h) = g(a + h) g(a) ce qui implique que g est continue en x 0 et donc sur R. Tout x 0 R est limite d une suite (r n ) de nombres rationnels (par exemple, ses approximations décimales par défaut) et la fonction g étant continue, g(x 0 ) = g( lim r n) = n lim g(r n) = lim r ng(1) = x 0 g(1). Si l on pose g(1) = a alors, pour tout x R, on a g(x) = ax. n n Suposons maintenant g monotone, par exemple croissante. Pour tout x 0 R, il existe une suite croissante (r n ) de nombres rationnels qui converge vers x 0 (par exemple, ses approximations décimales par défaut) et une suite décroissante (s n ) de rationnels qui converge vers x 0 (par exemple, ses approximations décimales par excès). La fonction g étant croissante, g(r n ) g(x 0 ) g(s n ) ou encore r n g(1) g(x 0 ) s n g(1) d où, en passant à la limite, x 0 g(1) g(x 0 ) x 0 g(1) et donc g(x 0 ) = x 0 g(1) = ax 0 si on pose a = g(1) Supposons par exemple que g soit majorée sur un intervalle : il existe x 0 R, η > 0 et M R tels que x x 0 < η implique g(x) M. Soit h R tel que h < η et x = x 0 + h. On a x x 0 = h η d où g(x) < M et g(h) < M g(x 0 ) = M. On a aussi h < η et donc g(h) = g( h) < M. Finalement g(h) < M : g est bornée au voisinage de 0. Soit ε > 0 et r Q + tel que rm ε (Il suffit de prendre pour r un rationnel de l intervalle ε ]0, M [, M pouvant toujours être supposé non nul.). Si h < rη alors h r < η et 1 r g(h) = g( h r ) < M et donc g(h) < rm < ε : la fonction g est continue au point 0 et est démontré. La preuve de la proposition est complète.

3 1. CARACTéRISATIONS DES FONCTIONS EXPONENTIELLES. 385 Remarques. 1). En regardant la preuve de 2. 1., on voit qu il suffit de supposer g continue à droite ou à gauche en un point. Si g est monotone au voisinage d un point alors f est bornée sur un intervalle non vide et non réduit à un point. Les fonctions monotones au voisinage d un point et vérifiant (R) sont donc les application x ax. 2). La remarque et la proposition précédente montrent que les solutions de (R) vérifiant certaines conditions de régularité sont les application du type x ax, a R. Montrons que (R) possède d autres solutions et qu il est donc nécessaire d ajouter à (R) une hypothèse si l on veut obtenir que des solutions de la forme x ax. Rappellons d abord que R est un espace vectoriel sur Q et que tout espace vectoriel possède une base 1. Soit (e i ) i I une telle base et h l application Q-linéaire du Q-espace vectoriel R définie par h(e i ) = 1 pour tout indice i (Si x = i I 0 λ i e i, I 0 fini inclus dans I, on a donc h(x) = i I 0 λ i Q.). On a h(r) = Q et le théorème des valeurs intermédiaires entraine donc que h n est pas continue. L application linéaire h vérifie la relation (R) et ne satisfait aucune des conditions de régularité de la proposition 35.1 (continuité en un point, monotonie,...). Les solutions de (R) sont en fait les applications Q-linéaires du Q-espace vectoriel R : toute application linéaire vérifie (R) et si g est solution de (R) alors on a vu que pour tout rationnel r, g(rx) = rg(x), g est donc Q-linéaire. Les solutions continues de (R) sont les applications Q-linéaires du type x ax mais ce sont des homothéties du Q-espace vectoriel R que si a Q. La situation est semblable à celle du R-espace vectoriel C, où par exemple z iz n est pas une homothétie mais une rotation dont une mesure de l angle est π 2. 3). Si h est une solution non continue de (R) alors h( a + b 2 h(a) + h(b) ) =. La propriété 2 f( a + b f(a) + f(b) ) 2 2 ne suffit donc pas à caractériser les fonctions convexes. On sait que les fonctions continues vérifiant cette inégalité sont convexes. 4). A l aide de la proposition 35.1 on peut améliorer la proposition En effet, f est une solution de (L) si et seulement si g définie par g(x) = f(e x ) est une solution de (R). La fonction f est de plus monotone (resp. majorée ou minorée sur un intervalle) si et seulement si il en est de même pour g. On a donc le résultat suivant. Proposition Soit f une application de R + dans R différente de la fonction nulle. Il y a équivalence entre : (1) La fonction f est une fonction logarithme ; (2) La fonction f est continue en un point et vérifie x, y R, f(xy) = f(x) + f(y) (L) ; (3) La fonction f est monotone et verifie la relation (L); 1 Pour le montrer on prouve, en utilisant le lemme de Zorn, que tout espace vectoriel possède des parties libres maximales. Il est ensuite facile de montrer qu une partie libre maximale est une base. La preuve du lemme de Zorn utilise l axiome du choix

4 CARACTÉRISATIONS DES FONCTIONS EXPONENTIELLES... (4) La fonction f est majorée ou minorée sur un intervalle (non vide et non réduit à un point) et verifie la relation (L). Si h est une solution non continue de (R) alors f : R R donnée par f(x) = h(ln x) est une solution non continue de (L). Il est donc nécessaire d ajouter à (L) une condition de régularité pour que toute solution non nulle soit une fonction logarithme Rsolution de l équation fonctionnelle f(x + y) = f(x)f(y). En utilisant la proposition 35.1, l étude de cette équation fonctionnelle devient très simple. Proposition Soit f une application de R dans R différente de la fonction nulle. Il y a équivalence entre : (1) f est la fonction constante égale à 1 ou f est une fonction exponentielle ; (2) La fonction f est continue en un point et vérifie x, y R, f(x + y) = f(x)f(y) (E) ; (3) La fonction f est monotone et verifie la relation (E); (4) La fonction f est majorée ou minorée sur un intervalle (non vide et non réduit à un point) et verifie la relation (E). Preuve. Il est clair que 1. 2., et Pour les réciproques, rappellons que l on a déjà montré qu une solution de (E), distincte de la fonction nulle, est strictement positive. Soit donc f une solution de (E) non nulle et g : R R définie par g(x) = ln f(x). La fonction g vérifie (R) et est continue en un point (resp. monotone, majorée ou minorée sur un intervalle) si et seulement si f est continue en un point (resp. monotone, majorée ou minorée sur un intervalle). Si f posséde l une des propriétés 2., 3. ou 4. alors il existe a R tel que, pour tout réel x, g(x) = ax d où f(x) = e ax. La fonction f est la fonction constante égale à 1 (a = 0) ou une fonction exponentielle. Remarque. Si h est une solution non continue de (R) alors f définie par f(x) = e h(x) est une solution non continue de (E) et n est donc pas une fonction exponentielle. Il est donc bien nécessaire d ajouter un condition de régularité à (E) pour obtenir comme solutions non constantes que les fonctions exponentielles. Remarquons que la solution générale non nulle de (E) est f(x) = e h(x), où h est une application Q-linéaire du Q-espace vectoriel R Applications ) Les homomorphismes de (R, +) dans (R +,.). Une conséquence de la proposition 35.3 est que les homomorphismes continus du groupe (R, +) dans le groupe (R +,.) sont l application constante égale à 1 et les fonctions exponentielles. Les isomorphismes continus sont donc les applications exponentielles. Remarquons que tous ces isomorphismes continus sont aussi monotones ce qui était prévisible, R étant un intervalle. Ils sont aussi de classe C et ce sont des difféomorphismes de classe C. Remarques. 1). Il existe des isomorphismes non continus du groupe (R, +) dans le groupe (R +,.). Pour en obtenir un, soit (e i ) i I une base du Q-espace vectoriel R et i 0 I. L application Q-linéaire h définie par h(e i ) = e i si i i 0 et h(e i0 ) = 2e i0 est un isomorphisme non continu du Q-espace vectoriel R et x e h(x) un isomorphisme non continu de (R, +) dans (R +,.). 2). Les groupes (Q, +) et (Q +,.) ne sont pas isomorphes. Dans le premier groupe, l équation 2x = a a toujours une solution et dans le second, l équation x 2 = a n en a pas toujours.

5 1. CARACTéRISATIONS DES FONCTIONS EXPONENTIELLES ) Les processus sans mémoire. Soit X une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé (Ω, B, P ) et F sa fonction de répartition donnée par F (x) = P (X x) = P (X 1 (], x])). On fait les hypothses suivantes définissant un processus sans mémoire : Pour tout x > 0, P (X > x) > 0 ; Pour tout x, y > 0, P (X > x + y X > x) = P (X > y). Par définition d une probabilité conditionelle, on a : P (X > x + y X > x) = P ({X > x + y)} {X > x}) P (X > x) = P (X > x + y) P (X > x) car {X > x+y} {X > x}. Finalement, pour tout x, y > 0, P (X > x+y) = P (X > x)p (X > y) d ou, en posant G(x) = 1 F (x) = P (X > x), x, y > 0, G(x + y) = G(x)G(y) (E + ). La fonction G : R + R verifie donc l équation fonctionnelle (E) mais uniquement pour x > 0 et y > 0. On a G(1) > 0 car G(1) = P (X > 1) > 0 par hypothèse. On définit la fonction exponentielle H par H(x) = G(1) x. En utilisant (E + ), on montre facilement que pour tout rationnel r > 0, G(r) = G(1) r et donc G(r) = H(r). Soit x > 0 et (r n ) une suite décroissante de nombres rationnels qui converge vers x. La fonction G étant continue à droite (car F, comme toute fonction de répartition, est continue à droite) on a : H(x) = H( lim r n) = lim H(r n) = lim G(r n) = G( lim r n) = G(x). n n n n Si l on pose a = G(1) alors, pour tout x > 0, G(x) = a x et, F étant continue à droite en 0, F (0) = lim 1 x 0 ax = 0. La fonction de répartition F étant croissante et positive, F (x) = 0 si + x < 0 et finalement { 0 si x < 0, F (x) = 1 a x si x > 0. Remarquons que a = G(1) = P (X > 1) ]0, 1] et que a 1 car sinon lim x F (x) = 0 ce qui est exclu pour une fonction de répartition. Finalement, 0 < a < ) La notation exponentielle de l exponentielle complexe. Voir le document du fascicule 1 consacré à l exponentielle complexe Autres caractérisations des fonctions exponentielles ) A l aide d une équation différentielle. Proposition Soit f une application de R dans R, différente de la fonction nulle. Il y a équivalence entre : (1) La fonction f est une fonction exponentielle ; (2) Il existe a 0 tel que f soit la solution de l équation différentielle y + ay = 0 vérifiant la condition initiale y(0) = 1.

6 CARACTÉRISATIONS DES FONCTIONS EXPONENTIELLES... Preuve. Il est clair que Soit a 0 et f une fonction dérivable sur R. Les propriétés suivantes sont équivalentes La fonction f est solution sur R de l équation différentielle y + ay = 0 x R, f (x) + af(x) = 0 x R, e ax f (x) + e ax f(x) = 0 (car e ax 0) x R, [e ax f(x)] = 0 il existe k R tel que, x R, e ax f(x) = k il existe k R tel que, x R, f(x) = ke ax. Donc si f est la solution de y + ay = 0 vérifiant la condition initiale y(0) = 1 alors f(x) = e ax et f est une fonction exponentielle Application: phénomènes suivant une loi exponentielle. Plusieurs phénomènes des sciences expérimentales suivent une loi exponentielle. Donnons un exemple qui montre comment intervient la caractérisation des fonctions exponentielles par une équation différentielle. Soit N(t 0 ) le nombre d atomes d un corps radioactif à l instant t 0. A l instant t > t 0 le nombre d atomes est devenu N(t) et pour l expérimentateur une quantité intéressante est N(t) N(t 0 ) qui est la diminution du nombre d atomes par unité de temps. Le tableau des t t 0 résultats expérimentaux montre qu il existe a R tel que, pour tout t tel que t t 0 soit petit, N(t) N(t 0 ) = an(t 0 ). Le physicien est alors amené à comparé ses données experimentales t t 0 N(t) avec la solution y(t) de l équation différentielle y ay = 0 vérifiant la condition initiale y(t 0 ) = N(t 0 ). Il constate alors, qu au moins dans un certain domaine de variation de t, N(t) et y(t) sont très proches d où il déduit N(t) = N(t 0 )e at. Il reste ensuite à vérifier cette loi pour différentes valeurs de N(t 0 ) ) Caractérisation par une propriété graphique. Dans un repère normé (O, u, v), les graphes des fonctions logarithmes et des fonctions exponentielles se déduisent par symétrie par rapport à la première bissectrice. Les fonctions logarithmes étant caractérisables par une propriété de leurs graphes, il en est de même des fonctions exponentielles. Pour obtenir une preuve directe de ce résultat, posons f a (x) = e ax, a 0. La tangente au point M 0 de coordonnées (x 0, y 0 ) au graphe de la fonction f a : x f a (x) a pour équation y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ) = ae ax 0 (x x 0 ) et rencontre l axe (O, u) au point P d abscisse x P telle que y 0 = e ax 0 = ae ax 0 (x P x 0 ) d où x P = x 0 1 a. Si P est la projection de M 0 sur (O, u) alors P Q = OQ OP = x 0 x P = 1 a. Cette quantité est donc indépendante du point M 0 et dans le cas de la fonction x e x on a P Q = 1. Réciproquement soit une fonction f dérivable de R dans R pour laquelle il existe une constante k R telle, qu avec les notations précédentes, P Q = k. On montre que, pour tout x R, f(x) = kf (x). Si de plus, f(0) = 1, alors la proposition 35.3 entraine que f est une fonction exponentielle.

7 2. LES FONCTIONS PUISSANCES Les fonctions puissances Une fonction f de R + dans R est une fonction puissance s il existe a R tel que f(x) = e a ln x = x a. Proposition Soit f une fonction de R + dans R distincte de la fonction nulle. Il y a équivalence entre : (1) La fonction f est une fonction puissance ; (2) La fonction f est continue en un point et vérifie : f(x y) = f(x) f(y) (3) La fonction f est monotone et vérifie la relation (P). (4) La fonction f est majorée ou minorée sur un intervalle (non vide et non réduit à un point) et vérifie la relation (P). Preuve. Il est clair que 1. 2., et Considérons une fonction à valeurs réelles f définie sur R + et vérifiant (P). Si f(x 0 ) = 0 alors, pour tout x > 0, f(x) = f(x 0. x x 0 ) = f(x 0 )f( x x 0 ) = 0 et donc, si f n est pas l application nulle, f ne prend jamais la valeur 0. Pour tout x > 0, on a f(x) = f(( x) 2 ) = (f( x)) 2 et donc f(x) > 0. Si f n est pas l application nulle on peut donc considérer la fonction g définie sur R par g(x) = ln f(e x ). Pour tout x, y R on a : g(x + y) = ln f(e x+y ) = ln f(e x e y ) = ln f(e x )f(e y ) = ln f(e x ) + ln f(e y ) = g(x) + g(y). L application g vérifie donc la relation fonctionnelle g(x + y) = g(x) + g(y) et elle est continue en un point (resp. monotone, majorée ou minorée sur un intervalle) si et seulement si il en est de même pour f. Si f vérifie 2., 3. ou 4. alors il existe a R tel que, pour tout x R, g(x) = ax d où f(x) = e g(ln x) = e a ln x = x a, ce qui montre que f est une fonction puissance. Remarques 1) Une fonction f de R + dans R, vérifiant la relation (P) et qui est continue en un point, est continue en tout point. Cela résulte de la proposition précédente. Une preuve directe est la suivante. Supposons f continue en un point a R + et distincte de l application nulle. La fonction f n est jamais nulle, f(x) > 0 et f( 1 x ) = 1 f(x). Considérons ε > 0 et x 0 R +. Il existe η > 0 tel que x > 0 et x a < η impliquent f(x) f(a) < ε f(a) f(x 0 ). Si x x 0 < η = η x 0 a alors a x 0 x a x 0 x 0 < η ou encore a x 0 a < η et donc f( a x 0 x) f(a) < ε f(a) f(x 0 ). f(a)f(x) f(x 0 ) (P) f(a) < ε f(a) f(x 0 ) d où f(x) f(x 0) < ε et f est continue en x 0. Ainsi 2) Dans la preuve de la proposition 35.1 on a remarqué que est encore vrai si on suppose seulement g continue à droite ou à gauche de x 0 (il suffit de supposer la suite (r n ) croissante ou décroissante). On peut donc aussi dans l énoncé de la proposition remplacer la continuité en un point par la continuité à droite ou à gauche en un point. Il suffit aussi de supposer que f est monotone au voisinage d un point. 3) La proposition 35.5 montrent qu il existe plusieurs hypothèses qui, ajoutées à la relation fonctionnelle (P), entrainent que f est une fonction puissance. Cependant si h est une solution

8 CARACTÉRISATIONS DES FONCTIONS EXPONENTIELLES... non continue de l équation (R) alors g(x) = e h(ln x) est une solution non continue de (P) et n est donc pas une fonction puissance. Il est donc nécessaire d ajouter une condition de régularité à (P) pour obtenir comme solutions non constantes que les fonctions puissances. La forme générale d une solution non nulle de (P) est g(x) = e h(ln x), où h est une application Q-linéaire du Q-espace vectoriel R Applications ). Les homomorphismes du groupe (R +,.). Les homomorphismes du groupe (R +,.) sont les solutions de l équation fonctionnelle (P) qui sont des applications de R + dans luimême. La proposition 35.5 montre que les homomorphismes continues de (R +,.) sont les fonction puissances (L application identiquement nulle n est pas une application de (R +,.) dans lui-même.). On a vu qu il existe aussi de nombreux homomorphismes non continus que l on peut définir à partir de toute solution non continue de (R). On peut remarquer que tous les homomorphismes continus, autres que l application constante égale à 1, sont bijectifs et stictement monotones. En dehors de l application constante égale à 1, tous ces homomorphismes continus sont des automorphismes de classe C. Désignons, pour tout α R, par f α la fonction puissance x R + x α et soit G = {f α α R }. Muni de la composition des applications, G est le groupe des automorphismes continus de (R +,.) et, en utilisant en particulier f α f β = f α.β, il est facile de voir que ce groupe est isomorphe au groupe (R,.). L ensemble H = {f α α > 0} est un sous groupe de G qui est formé des automorphismes continus de (R +,.) qui sont strictement croissants. Remarque. L application exponentielle est un isomorphisme du groupe (R, +) sur le groupe (R +,.). Elle met en correspondance bijective les homomorphismes de ces deux groupes : si f est un homomorphisme de (R, +) alors (exp) 1 f exp = ln f exp est un homomorphisme de (R +,.). Le proposition 35.1 est en fait la description des homomorphismes continues de (R, +) d où on a déduit ceux de (R +,.) ). Résolution de (P) sur R et R. Les applications continues à valeurs réelles, définies sur R + et vérifiant l équation fonctionnelle (P) sont l application nulle et les fonctions puissances. On peut aussi chercher à résoudre cette équation sur R et R. Cas général Soit f : R R vérifiant la relation (P). On a f(0) = f(0) 2 et donc f(0) = 0 ou f(0) = 1. Si f(0) = 1 alors, pour tout x R, 1 = f(0) = f(0x) = f(0)f(x) = f(x) et f est la fonction constante égale à 1. Cette fonction est évidemment une solution de (P) sur R. Supposons maintenant f(0) = 0. Si f(x 0 ) = 0 avec x 0 0 alors, pour tout x R, f(x) = f( x x 0 x 0 ) = f( x x 0 )f(x 0 ) = 0 et f est donc l application identiquement nulle qui est bien une solution de (P) sur R. On suppose maintenant que f n est pas identiquent nulle et donc que f(x) = 0 implique x = 0. On a f(1) = f(1 2 ) = (f(1)) 2 d où f(1) = 1. On a 1 = f(( 1) 2 ) = f( 1) 2 et donc f( 1) = ±1. Si f( 1) = 1 alors f( x) = f(( 1)x) = f( 1)f(x) = f(x) et la fonction f est donc une fonction paire. Si on suppose f( 1) = 1 alors un calcul analogue montre que f est impaire. La fonction f est donc le prolongement à R par parité ou imparité d une solution de (P) sur R + avec de plus f(0) = 0. Des résultats analogues sont obtenus pour les solutions de (P) sur R et en particulier ce sont des prolongements par parité ou imparité d une solution de (P) sur R +.

9 2. LES FONCTIONS PUISSANCES 391 Montrons que les réciproques de ces résultats sont exactes. Par exemple soit f une solution de (P) sur R + et son prolongement f à R défini par f(0) = 0 et f(x) = f( x) si x < 0. Soit x, y R. Si x > 0 et y > 0 alors il est clair que f(xy) = f(x)f(y). Si x > 0 et y < 0 alors Maintenant si x < 0 et y < 0 alors f(xy) = f( (x)( y)) = f(x( y)) = f(x)f( y) = f(x)f(y). f(xy) = f(( x)( y)) = f(( x)( y)) = f( x)f( y) = f(x)f(y). Le prolongement à R par parité de f est donc solution de (P) sur R. Finalement, si x = 0 ou y = 0 alors en utilisant f(0) = 0 on a f(xy) = f(x)f(y) et la fonction f est donc une solution de (P) sur R. La preuve dans le cas d un prolongement par imparité est analogue. Solutions continues Considérons maintenant une solution continue non identiquement nulle f de (P) sur R. La restriction de f à R + étant continue, il existe a R tel que, pour x > 0, f(x) = x a. La fonction f étant paire ou impaire, f est le prolongement par parité ou imparité de x x a à R. Réciproquemnt, si f est le prolongement à R par parité ou imparité d une fonction puissance alors f est continue car si une fonction paire ou impaire est continue au point x alors elle est aussi continue au point x. Les solutions continues de (P) sur R sont donc la fonction nulle et les prolongements par parité ou imparité des fonctions puissances. Autrement dit, ce sont la fonction nulle et les applications du type x x a ou du type x x a si x > 0 et x ( x) a si x < 0. Exemples : x R 0 ; x R + x (a = 0 et imparité) ; x x R 1 (a = 1 et imparité); x x R 1 (a = 1 et parité); x x R x (a = 1 et parité). 2 x R 1 si x > 0 et x 1 si x < 0 (a = 1 et imparité) x x 2 Soit maintenant f une solution continue de (P) sur R. Si f(0) = 1 alors f est la fonction constante égale à 1 qui est bien une solution continue de (P) sur R. Si f(0) = 0 alors f peut être la fonction constante égale à 0 qui est une solution continue de (P) sur R. Sinon la restriction de f à R + est une fonction puissance : il existe a R tel que, pour x > 0, f(x) = x a. La fonction f étant continue en 0, lim x 0 xa = f(0) = 0 ce qui impose + a > 0. Réciproquement on vérifie que si f est le prolongement par parité ou imparité à R d une fonction puissance x x a, a > 0, avec de plus f(0) = 0 alors f est une solution continue de (P) sur R. Remarque. Sur R ou R, (P) possèdent des solutions continues et non monotones. Par exemple, x R x 2 et x R 1 x. Les solutions de (P) obtenues à l aide d un prolongement par parité ne sont évidemment pas monotone.

10 CARACTÉRISATIONS DES FONCTIONS EXPONENTIELLES ). Résolution d autres équations fonctionnelles. Par des changements de fonctions convenables on peut ramener la résolution de certaines équations fonctionnelles à celle de (P). Exemple. Résoudre sur R, g(xy) = g(x)g(y) + xg(y) + yg(x) (T). En posant f = g + 1 R on voit que g est une solution de (T) si et seulement si f est une solution de P. En particulier, les solutions continues de (T) sont les applications de la forme f 1 R où f est une solution continues de (P). 3. Compléments 3.1. Homomorphismes de groupes topologiques. Etant donné un groupe G, noté multiplicativement, on dit qu une topologie sur G est compatible avec la loi de groupe de G si les applications x x 1 de G dans G et (x, y) xy de G 2 dans G sont continues. Un groupe muni d une topologie compatible est un appelé un groupe topologique. Par exemple, R muni de l addition et R avec la mutiplication sont des groupes topologiques. Tout sous-groupe d un groupe topologique est encore un groupe topologique (pour la topologie induite). En particulier, (R +,.) est un groupe topologique. On démontre facilement qu un homomorphisme d un groupe topologique G dans un groupe topologique G est continue si et seulement si il est continue en un point. Cela explique que dans les propositions 35, 35.1, 35.3, et 35.5 la continuité en un point ait entrainé la continuité partout. Un isomorphisme d un groupe topologique G sur un groupe topologique G est un isomorphisme de groupe qui est bicontinu. Les isomorphismes du groupe topologique (R +,.) sur (R, +) sont les fonctions logarithmes et les isomorphismes de (R, +) sur (R +,.) sont les fonctions exponentielles. Les isomorphismes du groupe (R +,.) dans lui-même sont les fonctions puissances différentes de l application constante égale à 1 (La fonction réciproque d une fonction puissance non constante est une fonction puissance). Remarque. Les groupes (R, +) et (R,.) ne sont pas isomorphes. En effet, dans le premier groupe, l équation 2x = 0 possède une unique solution. En écriture multiplicative, elle devient x 2 = 1 et elle a deux solutions dans le second groupe. Par une méthode analogue, on peut montrer que (Q +,.) et (Q, +) ne sont pas des groupes isomorphes (considérer les équations 2x = a et x 2 = b).