DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE GÉNIE INDUSTRIEL MTH2302B - PROBABILITÉS ET STATISTIQUE

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1 TD n o 1 : semaine du 4 septembre 2017 Exercices du manuel de référence : Exercice n o 1 Dans une production en série d un certain type de pièce, le contrôle de la qualité se fait en vérifiant, pour chaque pièce, si les deux dimensions constituées par la hauteur (H) et l épaisseur (E) sont conformes (i.e., chacune des deux dimensions est à l intérieur de ses limites de spécifications prescrites). Une analyse des données de cette production montre que : 84% des pièces ont une hauteur conforme ; 4% des pièces ont une hauteur conforme et une épaisseur non conforme ; 6% des pièces ont une épaisseur conforme et une hauteur non conforme. On considère une pièce prise au hasard dans la production. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : a) La pièce a une hauteur et une épaisseur conformes. b) Au moins une des deux dimensions de la pièce est conforme. c) Aucune des deux dimensions de la pièce n est conforme. d) Une seule des deux dimensions de la pièce est conforme. Exercice n o 2 En entrant dans une salle de spectacle, quatre personnes laissent leurs manteaux (d apparence identiques) au vestiaire. À la sortie du spectacle, les manteaux des quatre personnes leur sont remis au hasard. Calculer la probabilité qu aucune des quatre personnes ne reçoive son propre manteau. Exercice n o 3 On considère un système (voir schéma ci-dessous) constitué de trois composants (A, B, C). Le système fonctionne s il y a au moins un chemin, liant les points 1 et 2, constitué de composants qui fonctionnent. A 1 C 2 B Calculer la fiabilité (i.e., la probabilité de fonctionnement sans panne) de ce système dans chacun des cas suivants : a) cas 1 : les trois composants opèrent indépendamment les uns des autres, et les fiabilités des composants sont de P(A) = 0,90; P(B) = 0,95; P(C) = 0,80. b) cas 2 : le composant A opère indépendamment de B et de C, mais B et C ne sont pas indépendants l un de l autre. Les fiabilités sont identiques à celles du cas 1, mais en plus P(B C) = 0,90 (i.e., lorsque C est en panne, la probabilité que B fonctionne est de 0,90). MTH2302B page 1 Séance n o 1

2 Exercice n o 4 Un certain type de composant a une probabilité de fonctionnement sans panne (fiabilité) p (considérez 0 < p < 1) pour une période donnée. On compte construire un système constitué de n composants de ce type, opérant indépendamment et placés en parallèle (le système fonctionne si au moins un des composants fonctionne). a) Supposons que p = 70%. Quelle devrait être alors le nombre minimal n de composants pour que le système ait une probabilité de fonctionnement sans panne (fiabilité) d au moins 99,99%? b) Si on utilise 5 composants de ce type, pour quelles valeurs de p la fiabilité du système sera-telle d au moins 99,999%? Exercice n o 5 Trois mécaniciens travaillent dans un certain garage. On sait que 45% des voitures qui entrent dans ce garage sont examinées par le premier mécanicien, 35% par le deuxième et 20% par le troisième. Malgré l excellente réputation des trois mécaniciens, il arrive quelque fois qu ils commettent des erreurs de diagnostic. Avec le temps, on a pu constater que 3% des voitures examinées par le premier mécanicien, 5% des voitures examinées par le deuxième et 6% des voitures examinées par le troisième n étaient pas réparées de façon adéquate. Un automobiliste s est rendu au garage en question pour faire réparer sa voiture. a) Évaluer la probabilité pour que sa voiture n ait pas été réparée de façon adéquate. b) Calculer la probabilité pour que le premier mécanicien ait examiné sa voiture et qu il l ait réparée de façon adéquate. c) Si la voiture n a pas été réparée de façon adéquate, quelle est la probabilité qu elle ait été examinée par le premier mécanicien? d) Si la voiture a été réparée façon adéquate, quelle est la probabilité qu elle n ait pas été examinée par le premier mécanicien? MTH2302B page 2 Séance n o 1

3 TD n o 2 : semaine du 11 septembre 2017 Exercices du manuel de référence : a) 2.30 a) Exercice n o 1 La quantité d eau emmagasinée dans un réservoir peut être représentée par trois états : rempli (R), à moitié rempli (M), vide (V ). À cause du caractère aléatoire du débit d eau entrant dans le réservoir ainsi que du débit sortant pour satisfaire la demande, la quantité d eau emmagasinée peut changer d un état à l autre durant chaque saison. Les probabilités de transition (conditionnelles) d un état à l autre entre le début et la fin d une saison sont : Par exemple : P(M f V d ) = 0,5. Fin Début V f M f R f V d 0,4 0,5 0,1 M d 0,3 0,3 0,4 R d 0,1 0,7 0,2 Supposons qu au début de la première saison : P(V d ) = 0,1; P(M d ) = 0,7; P(R d ) = 0,2. Calculer les probabilités que le réservoir : a) soit rempli à la fin de la première saison. b) ne soit pas vide à la fin de la première saison. c) soit rempli à la fin de la deuxième saison. d) ne soit pas vide à la fin de la deuxième saison. Exercice n o 2 Soit X une variable aléatoire dont la fonction de masse est donnée par x p(x) 0,20 0,40 c 0,10 où c est une constante réelle. a) Déterminer la valeur de la constante c. b) Donner la fonction de répartition de X. c) Calculer les probabilités suivantes P(X 3) ; P(X > 2,5) ; P(2,7 X < 5,1). d) Calculer la moyenne et l écart type de X. MTH2302B page 1 Séance n o 2

4 Exercice n o 3 suit : Une variable aléatoire discrète X a pour fonction de répartition F X (x) définie comme 0 si x < 0 F X (x) = 1 1 si 0 x <, [x] + 1 où [x] désigne la partie entière de x. a) Déterminer l ensemble R X des valeurs possibles (support) et la fonction de masse de X. b) Calculer P(2 X 10). Exercice n o 4 Soit X une variable aléatoire X dont la fonction de densité est donnée par kx 2 si 0 x < 1 k f X (x) = (3 x) si 1 x < sinon. où k est une constante réelle. a) Déterminer la valeur de la constante k. b) Donner la fonction de répartition de X. c) Calculer les probabilités suivantes P(X 1/2) ; P(1/2 < X 3/2) ; P(X < 2). d) Calculer la moyenne et la variance de X. MTH2302B page 2 Séance n o 2

5 TD n o 3 : semaine du 18 septembre 2017 Exercices du manuel de référence : Exercice n o 1 Soit X une variable aléatoire continue, de fonction de répartition 0 si x < 0 F X (x) = kx si x x a) Déterminer la constante k. b) Calculer la probabilité P(X 2). c) On considère la variable Y définie par Y = X. 1.c) 2.c) Déterminer la fonction de densité de la variable Y Sans utiliser la fonction de densité de Y, calculer E(Y ), et P ( Y > 1 ). 3 Exercice n o 2 Un ingénieur doit régler une machine qui produit r articles par heure. Pour chaque article conforme (i.e. non défectueux) produit, on réalise un profit de 1,00 $ ; on perd 20,00$ pour chaque article défectueux produit. On a établi par expérience que la proportion d articles défectueux est une variable aléatoire X dont la distribution dépend de r selon la fonction de densité suivante : 10 3 r x (r ) si 0 < x < 1, r > 0 f X (x) = 0 sinon. a) Si on considère une valeur r 0 de r et une valeur x 0 de X données, montrer que le profit par heure est égal à r 0 (1 21x 0 ). b) Si on fixe r, montrer que le profit moyen par heure est égal à (1000r 20r 2 )/( r ). c) À quelle valeur de r doit-on ajuster la machine pour que le profit moyen par heure soit maximal? Justifier votre réponse. Exercice n o 3 On dispose d une ficelle de 1 m de longueur que l on coupe en deux en un point déterminé au hasard. Un des deux bouts sert à construire un carré tandis que l autre sert à construire un cercle. On peut montrer que la longueur d un bout (ou de l autre) est une variable aléatoire X dont la fonction de densité est 1 si 0 < x < 1 f X (x) = 0 sinon. Dans chacun des cas suivants, définir la variable et calculer : MTH2302B page 1 Séance n o 3

6 a) la moyenne du côté du carré ; b) la moyenne de l aire du carré ; c) la moyenne de la circonférence du cercle ; d) la moyenne de l aire délimitée par le cercle ; e) la variance de l aire délimitée par le cercle. Exercice n o 4 Soit X une variable aléatoire de fonction de densité f X (x) = { 5 x 4 si 0 x < 1 0 sinon. On considère la variable aléatoire Y définie par Y = X 2. a) Déterminer la fonction de densité de Y. b) Soit la variable aléatoire T définie par T = X 2 Y. Calculer la moyenne et la variance de T. MTH2302B page 2 Séance n o 3

7 TD n o 4 : semaine du 25 septembre 2017 Exercices du manuel de référence : Exercice n o 1 Considérons deux variables aléatoires discrètes X et Y dont la fonction de masse conjointe est donnée par { c(x + y) si x = 0, 1, 2, 3 ; et y = 0, 1 p(x, y) = 0 sinon. où c est une constante réelle. a) Déterminer la valeur de la constante c. b) Les deux variables X et Y sont-elles indépendantes? Justifier votre réponse. c) Calculer les probabilités suivantes : P(Y X), et P (X 2 Y = 1). d) Calculer le coefficient de corrélation ρ entre X et Y, interpréter le résultat. e) Calculer la variance de la variable W définie par W = Y 5X. Exercice n o 2 Soient X et Y deux variables aléatoires. La fonction de densité conjointe du vecteur aléatoire (X, Y ) est k si 0 < x y < 1 f (x, y) = 2k si 0 < y < x < 1 0 sinon, où k est une constante réelle. a) Déterminer la valeur de la constante k. b) Les variables X et Y sont elles indépendantes? Justifier votre réponse. c) Calculer le coefficient de corrélation ρ de X et Y. Exercice n o 3 On évalue que 20% des sites d une certaine région contiennent effectivement du pétrole. Avant de débuter les travaux de forage d un site de la région, on peut d abord effectuer un test basé sur l analyse des roches de ce site. Le test n est cependant pas totalement fiable. On sait que le test conclut positivement (présence du pétrole) dans 70% des cas où il y a effectivement du pétrole ; il conclut négativement (pas de pétrole) dans 95% des cas où il n y a effectivement pas de pétrole. a) Calculez la probabilité que le test conclue positivement mais que le site ne contienne pas de pétrole. b) Si le test effectué sur un site de la région est positif, quelle est la probabilité que le site contienne effectivement du pétrole? MTH2302B page 1 Séance n o 4

8 c) Dans quel pourcentage de cas le résultat du test est-il exact? d) Supposons qu on exécute le forage sur un site seulement si le test effectué sur ce site est positif. 1d) On compte effectuer des tests sur 10 sites de la région. Quelle est la probabilité que le forage ait lieu dans plus de la moitié de ces sites? Donnez la moyenne et la variance du nombre de forages à effectuer. 2d) Quelle est la probabilité pour que plus de quatre forages soient nécessaires afin d obtenir un premier site contenant réellement du pétrole? Donnez la moyenne et l écart type du nombre de forages nécessaires dans ce cas. Exercice n o 4 Un manufacturier de composants livre ses produits aux détaillants dans des boîtes contenant n composants. Le profit du manufacturier est de 59, 50$ par composant, moins les frais de livraison de 25$ par boîte. De plus, dans le but de promouvoir les ventes tout en assurant la qualité des composants, le manufacturier s engage à payer 200X 2 $ à tout détaillant qui reçoit une boîte contenant X composants défectueux (le détaillant est alors responsable des réparations). Supposons que les composants sont produits indépendamment les uns des autres et qu une proportion de p d entre eux sont défectueux. a) Donnez l expression algébrique de Y, le profit net du manufacturier par boîte de composants, en fonction de X, n et p. b) Donnez l expression algébrique de l espérance mathématique de Y en fonction de n et p. c) On suppose maintenant que p = 5%. Combien de composants le manufacturier devrait-il empaqueter par boîte afin de maximiser son espérance de profit net? justifiez votre raisonnement. MTH2302B page 2 Séance n o 4

9 TD n o 5 : semaine du 2 octobre 2017 Exercices du manuel de référence : Exercice n o 1 Une compagnie d aviation a constaté que 4% des personnes qui font des réservations pour ses vols ne se présentent pas au départ. La compagnie a donc décidé d accepter un nombre de réservations m + c plus grand que le nombre de sièges disponibles m. Notons par X le nombre de personnes ayant fait des réservations et se présentant au départ d un vol, et par Y le nombre de personnes ayant fait des réservations et ne se présentant pas au départ d un vol. a) Quelle est la loi de probabilité de X? Précisez ses paramètres. b) Quelle est la loi de probabilité de Y? Précisez ses paramètres. c) Déterminer, en fonction de m et c, une expression algébrique représentant la probabilité qu au moins une personne ayant fait des réservations ne trouve pas de place sur le vol. d) Supposons que m = 100 pour un certain type de vol. La compagnie veut déterminer une politique de réservation (i.e. une valeur de c) de telle sorte que la probabilité qu au moins une personne ne trouve pas de place sur le vol ne dépasse pas 0,10. Déterminez la valeur de c. Exercice n o 2 Supposons qu une compagnie dispose d une machine dont la durée de fonctionnement sans défaillance, T (unités de temps), est distribuée selon une loi exponentielle de paramètre λ, (avec λ > 0 ). Précisément, la fonction de densité de T est { λe λt si t 0 f (t) = 0 si t < 0. Afin de produire avec cette machine, la compagnie compte engager un opérateur pour une période fixe, de durée c unités de temps ; cet opérateur recevra un salaire de d dollars par unité de temps au cours de ladite période (que la machine fonctionne ou non). La compagnie évalue que la production de la machine, lorsque celle-ci fonctionne, génère un profit de r dollars par unité de temps (compte non tenu du salaire de l opérateur). On suppose que durant la période considérée, la machine ne peut être remise en marche après une défaillance. a) Donnez l expression algébrique du profit net, X, que la compagnie réalisera, en fonction de T, c, r et d. b) Donnez l expression algébrique de l espérance mathématique de X en fonction de λ, c, r et d. c) Si on suppose que l unité de temps est le mois et que r = 8d, λ = 1/3, quelle est alors la valeur optimale de c? (i.e., celle pour laquelle l espérance mathématique du profit net de la compagnie est maximale). Justifier clairement votre raisonnement. MTH2302B page 1 Séance n o 5

10 TD n o 6 : semaine du 16 octobre 2017 Exercices du manuel de référence : Exercice n o 1 Une machine est utilisée pour le remplissage automatique de bouteilles d un breuvage. La quantité de breuvage versée dans une bouteille est distribuée selon une loi normale (ou gaussienne) de moyenne ajustable et d écart type fixe 1, 07 ml. On considère qu une bouteille est correctement remplie si elle contient entre 747 et 753 ml de breuvage ; autrement, elle n est pas correctement remplie. a) Supposons que la moyenne soit ajustée à 750 ml. Quel est alors le pourcentage de bouteilles qui ne sont pas correctement remplies par la machine? b) Sous les conditions de a), parmi les bouteilles correctement remplies, quel est le pourcentage de celles qui contiennent moins de 752 ml? c) Sous les conditions de a), quelle est la probabilité qu un lot de 10 bouteilles en contienne au moins 2 qui ne soient pas correctement remplies? Justifier votre réponse et préciser vos hypothèses. Exercice n o 2 Une ville compte unités d habitation et 2 usines. La demande quotidienne en eau potable (mesurée en litres) est fonction des informations données par le tableau suivant Notons par Q D = variable moyenne écart type distribution (loi) Habitation Q i, i = 1,..., inconnue Usine 1 U normale Usine 2 U normale i=1 Q i la demande domestique, et par Q T = Q D + U 1 + U 2 la demande totale. a) Calculer la moyenne et l écart type de la demande domestique et de la demande totale. b) Déterminer la valeur de a pour laquelle P(Q D a) = 0, 01. c) Déterminer la capacité minimale C (en litres) de l usine de filtrage si on veut satisfaire la demande quotidienne totale avec une probabilité d au moins 0, 999. MTH2302B page 1 Séance n o 6

11 Exercice n o 3 On considère des objets de formes géométriques rectangulaires et planes (voir le schéma ci-dessous). On suppose que les longueurs (en cm) des côtés X 1 et X 2 sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une loi lognormale de paramètres µ Y = 1 et σ 2 = 4. Y X 2 X 1 a) Quelle est la probabilité que la longueur du côté X 1 d un objet soit supérieure à 8 cm? b) On s intéresse à l aire A de la face supérieure des objets considérés. Quelle est la proportion d objets ayant une aire inférieure à 45 cm 2. Exercice n o 4 On considère que le poids X et la taille Y des individus d une population forment un vecteur aléatoire [X, Y ] de loi binormale de paramètres µ X = 75 kg, µ Y = 178 cm, σ X = 10 kg, σ Y = 12 cm, ρ = 0,9. a) Si un individu de cette population pèse 80 kg, quelle est la probabilité qu il mesure plus de 178 cm? b) Si un individu de cette population mesure 160 cm, quelle est la probabilité qu il pèse moins de 75 kg? MTH2302B page 2 Séance n o 6