Introduction aux Communications Numériques

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1 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques Introduction aux Communications Numériques Master M1 ISIM January 31, 013 Iryna ANDRIYANOVA iryna.andriyanova@u-cergy.fr 1

2 Contenu du cours 1 Chaîne de la communication numérique Chaîne de communication Modules de la chaîne de communication Brève description Diagramme detaillé du module mise-en-forme de signal Modeles des canaux de communications à considerer Diagramme detaillé du détecteur de signal Messages et signaux dans la chaîne de communication Débit de transmission Messages dans le domaine spectrale Transmission en absence du bruit 16.1 Interférence entre symboles (IES) Annulation de l IES : conditions de Nyquist Condition de Nyquist dans le domaine temporel Condition de Nyquist dans le domaine spectral Egalisation Détection en présence du bruit Probabilité d erreur Définitions Cas des symboles binaires Cas des symboles M-aires Récepteur optimal Filtre adapté

3 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques 3.. Réponse du filtre adapté Partage optimal du canal de Nyquist Perfomances du schéma de transmission Probabilité d erreur minimal, rapport signal-à-bruit Taux d erreurs binaires Transmission en bande transposée Quelques notions utiles sur la transformée de Fourier Détection en absence du bruit: équivalent du signal en bande transposée dans la bande de base Conversion bande de base/bande transposée Bruit du canal équivalent en bande de base Bruit additif équivalent en bande de base Exemple important Modulations numériques Compromis entre l efficacité spectrale, la puissance et le taux d erreurs Modulation/démodulation dans la chaîne de communication Types des modulations Etiquettage des points de constellation Comparaison des modulations diverses Détection vectorielle Cas binaire sur le canal gaussien vectoriel Cas M-aire sur le canal gaussien vectoriel Borne de l union (des évenements) Codage de canal et de source Codage de canal: quelques schémas de base Théorie de codage classique Théorie de codage moderne Codage de source Codes à longueur variable Code à longueur fixe Canaux de transmission dans les systèmes des communications sans fils 71 CONTENU DU COURS 3

4 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques 8.1 Modèles des canaux de transmission sans fils Espace libre, émetteur et récepteur fixes Espace libre, récepteur mobile Emetteur et récepteur fixes, obstacle fixe Récepteur mobile, obstacle fixe Reflection du sol, effet de la distance et des grands obstacles Modèle mathematique du canal sans fil Canal sans fil comme un système linéaire variant en temps Modèle équivalent en bande de base Modèle du canal après l échantillonage Présence du bruit blanc additif gaussien Performance sur le canal de Rayleigh Exercises 78 CONTENU DU COURS 4

5 Section 1 Chaîne de la communication numérique Dans cette section nous allons voir la chaîne de communication point-à-point et la plupart de ses modules. Nous allons aussi étudier les différents types de canaux de transmission et des méthodes de transmission adaptées à chacun des types. Nous allons voir le modèle de communication entre le source et le destinataire et la transformation des signaux avec la communication. 1.1 Chaîne de communication Nous avons tous utilisés un téléphone portabe ou un ordinateur pour communiquer une certaine information. Dans ce cours nous allons voir les mécanismes qui permettent à ces communications d avoir lieu. La chaîne de communication totale est donnée sur Figure 4.3. Cette chaîne de communication représente la communication appelée point-à-point, c est-à-dire d une seule source à un seul destinataire, et est la base pour les autres modèles des communications, comme - communication multi-utilisateurs (plusieurs sources - un destinataire), - communication broadcast (un source - plusieurs destinataires) - reseaux adhoc (plusieurs sources - plusieurs destinataires) 5

6 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques Figure 1.1: Chaîne de communication 1. Modules de la chaîne de communication 1..1 Brève description Canal de communication : Un canal de communication donne une possibilité de communiquer à grandes distances. Ce module représente les signaux extérieurs et le bruit qui affectent la transmission. Evidemment, chaque système de communication a un modèle de canal approprié. L objectif principal de ce cours est de comprendre les techniques du traitement du signal permettant de communiquer sous différents types de canaux. Exemples des canaux de communication différents: lignes téléphoniques, cables TV, réseaux sans fils, liens satélitaires. Codage de source : Le but de communiquer est d être capable de parler, écouter la musique, regarder un video, regarder une page web par Internet etc. Dans tous ces cas le signal étant respectivement la voix, la musique, le video, les graphiques sont à convertir en une suite des bits. Un tel appareil est appelé le quantificateur. Il existent plusieurs méthodes de quantification qui convertissent et compriment le signal en bits. Codage de canal : Le codeur de canal ajoute une redondance pour proteger l information contre les erreurs introduites par un canal de communication bruité. Mise en forme du signal : ceci une partie de la chaîne que nous allons étudier le plus en détail. Ce module convertit les bits en signal approprié pour le canal de communication, qui est typiquement Modules de la chaîne de communication 6

7 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques analogique. Alors les messages (les groupes de bits) sont convertis en ondes de transmission qui seront envoyés par le canal. Détecteur de signal : se basant sur l observation bruité du signal, le détecteur doit décider quel message a été émis. La procedure de détection dépend des techniques de mise-en-forme utilisés, aussi que du canal de communication. Dans ce cours nous allons discuter de plusieurs techniques de détection. 1.. Diagramme detaillé du module mise-en-forme de signal Voici le schéma detaillé du module de mise-en-forme du signal: m[n] A[k] e(t) x(t) h e (t) Figure 1.: Mise en forme de signal La notation utilisée: - m[n]: un message binaire émis constitué de n bits - A[k]: k vecteurs, chacun contenant n/k bits - e(t): un signal modulé obtenu par la transformation des symboles en signaux - h e (t): filtre de mise-en-forme - x(t): signal numérique émis 1..3 Modeles des canaux de communications à considerer Figure 1.3 représente un modele général d un canal de communication. Notation utilisée: - h c (t) : réponse impulsionelle du canal Modules de la chaîne de communication 7

8 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques z(t) x(t) s(t) y(t) h c (t) Figure 1.3: Modele général du canal de communication - z(t) : bruit additif gaussien - y(t): signal à la sortie du canal / à l entrée du détecteur de signal Nous allons considérer les types de canaux suivants: canal du bruit additif gaussien (AWGN): y(t) = x(t) + z(t) canal invariant: h c (t) constant canal sélectif en fréquence: h c (t) = h c (t, f 0 ) canal sélectif en temps: h c (t) = h c (t, T 0 ) canal variant en temps et en fréquence: h c (t) = h c (t, f 0, T 0 ) 1..4 Diagramme detaillé du détecteur de signal Figure 1.4 présente le schéma du détecteur de signal. y(t) r[kt ] â k  k ˆm[n] h r (t) Figure 1.4: Détecteur de signal Modules de la chaîne de communication 8

9 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques Notation utilisée: - h r (t): filtre de réception - r[kt ]: signal filtré échantilloné - â k : symboles détectés - Âk : vecteurs de bits demodulés - ˆm[n] : message binaire estimé 1.3 Messages et signaux dans la chaîne de communication Considérons la transformation des signaux dans la chaîne de communication. Supposons que nous avons un paquet de v bits a l entrée du codeur du canal. Ce paquet de bits utiles (ne contenant que l information) est encodé pas le codeur de canal en message (encodé) de n bits, noté comme m[n]. Ensuite la conversion série-parallèle est réalisée: on obtient k veteurs de n/k bits chacun, noté comme A[k]. Le modulateur effecture la transformation des vecteurs A en symboles a k, qui peuvent prendre comme les valeurs réelles ainsi que complexes. Exemple : Dans Figure 1.5, la génération d un signal émis est présenté. Pour cet exemple, la longueur des vecteurs A est égale a, et la transformation suivante est effectuée: A[k] a k Dans le cas des valeurs réelles, chaque symbole a k peut prendre une valeur parmi M. Les symboles a k donc sont les symboles M-aires. Les symboles {a k } M-aires normalisés prennent des valeurs situées symétriquement de part et d autre du zéro : a k {±1, ±3,..., ±M/}. Chaque symbole a k d information transporte à lui seul log M bits. Le signal à la sortie du modulateur est constitué d une suite d impulsions réalisant le support physique de symboles d information {a k }. Le signal e(t) est donc obtenu de façon équivalente avec un filtre de mise-en-forme de réponse impulsionnelle excité par le train d impulsions de Dirac Messages et signaux dans la chaîne de communication 9

10 1. MODELISATION Université de Cergy-Pontoise Communications numériques 1.1 Signal numérique Un signal : numérique est constitué d'une suite e(t) = d'impulsions réalisant le support a k δ(t kt s ), k Z physique de symboles d'information {a k }. Chaque symbole a k peut prendre une valeur parmi M (symboles "M-aires"), avec une période de répétition T avec une période de répétition T s comme c est montré dans Figure s ou période symbole : 1.5. M e s s a g e b i n a i r e é m i s m [ n ] R e g r o u p e m e n t A [ k ] S y m b o l e M - a i r e a k k S i g n a l n u m é r i q u e é m i s x ( t ) T S t T S T 3 S T S 5 T S Chaque impulsion est un multiple Figured'une 1.5: Signal forme numérique d'impulsion émis de x(t) base he ( t ) : A [ k ] Chaque impulsion est un multiple d une forme d impulsion A ede base, comme par exemple celui présenté dans Figure 1.6. La forme de l impulsion de base est donnée par le réponse impulsionnelle du filtre 1de 0 mise en forme + 3 h e (t). L expression 1 1 générale d un signal numerique émis est donc : t a k h ( t ) + 1 x(t) - 1 = k Z - 3 a k (δ h e -)(t T kt O T S s ) = a k h e (t kt s S ) k Z I m p u l s i o n d e b a s e Le modèle du canal de communication comprend un terme de filtrage linéaire et du bruit additif E.N.S.E.A Michel CHUC Messages et signaux dans la chaîne de communication 10

11 Chaque impulsion est un multiple d'une forme d'impulsion de base he ( t ) : Université de Cergy-Pontoise Communications numériques A [ k ] a k h A ( t ) e t T S O T S I m Figure 1.6: p u l s i o n d e b a s e Impulsion de base h e (t).n.s.e.a gaussien. Le signal à la sortie du canal est y(t) = s(t) + z(t), où z(t) est le bruit gaussien. La composante s(t) est donnée par : Michel CHUC s(t) = (x h c )(t) = (e (h e h c ))(t) = (e h)(t). Alors nous avons y(t) = k Z a k h(t kt s ) + z(t). Le canal introduit une déformation de l impulsion de base émise. A la réception, le signal y(t) passe par le filtre de réception. Nous avons à la sortie du filtre r(t) = (y h r )(t) = (e h h r )(t) + (z h r )(t) = (e g)(t) + b(t). A l échantillonnage, la valeur instantanée de l amplitude de l impulsion est capturée à l instant de décision t = kt s. Cette opération suppose une cohérence locale avec l horloge cadençant les symboles, la synchronisation requise étant effectuée a partir du signal reçu lui-mme (récupération de rythme symbole). Le signal soumis à échantillonnage s écrit : r[kt s ] = a n g(kt s nt s ) + b[kt s ]. n Z Ensuite, la valeur estimée â k du symbole transmis est déterminée a partir de la valeur échantillonnée à l instant de décision, soit r(kt s ). On opère par comparaison avec M seuils de décision. La présence de distorsion et/ou de bruit peut évidemment conduire à une erreur de symbole. Exemple Organe de décision pour M = 4. Le démodulateur estime les vecteurs des bits Â[k] à partir des symboles estimés a k. A[k] sont ensuite reconvertis en paquet ˆm[n] étant une estimation du paquet m[n]. Finalement, le paquet est décodé par le décodeur du canal afin d obtenir une estimation des bits utiles d information. Messages et signaux dans la chaîne de communication 11

12 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques Canal de Nyquist en bande de base DETECTION EN PRESENCE DE BRUIT 3.1 Probabilité d'erreur Une décision est prise en réception pour estimer le k-ème symbole transmis a k à partir de la valeur échantillonnée à l'instant de décision t = kt s. Exemple en binaire : r ( t ) r ( k T ) s g ( 0 ) r ( t ) r ( k T ) s D é c i s i o n a^ k S e u i l d e d é c i s i o n! k T s t k T s R é c u p é r a t i o n d e ry t h m e s y m b o l e - g ( 0 ) $ r( t) = a. g( t " kt ) + b( t) Figure 1.7: k# Z k L'IES étant supposée nulle (canal de Nyquist), la valeur échantillonnée vaut 1.4 Débit de transmission r( kt ) = a. g( 0) + b( kt ) s k s Cette valeur échantillonnée r( kt s ) comprend deux composantes aléatoires : détecteur de signal. "signal" : ak. g ( 0 ), avec ak = { ± 1, ± 3,..., ± ( M" 1) } = { % 1, %,..., % M } ; "bruit" Le débit: de b( kt symboles s ), centré, symboles/s: de variance & b, non corrélé à la composante "signal" et de densité de probabilité fb ( u ). D s = 1, T s La densité de probabilité conditionnelle de r( kt s ) est donc donnée par. ( = % ) = [ " T% s. ( )] s f u a f u g 0 (17) r k i b i La probabilité d'erreur de symbole est définie par ( ) P ( e) = P a! ' a s k k La probabilité d'erreur binaire (probabilité d'erreur de bit) est, dans le cas général, différente Débit de de la transmission probabilité d'erreur de symbole : 1 Ps ( e) ( M P b( e ) ( P s( log e ) (18) Exemple des seuils de décision Le débit de transmission se mèsure entre l entrée du module de mise en forme et la sortie du Le débit binaire en bits/s: D b = log M

13 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques 1.5 Messages dans le domaine spectrale Rappelons-nous que les signaux ont la représentation temporelle et la représentation spectrale, qui sont équivalentes. La représentation spectrale est beaucoup utilisée lors de la description des méthodes de transmission. Considérons le signal émis x(t). comme La densité spectrale de puissance (DSP) de x(p) peut s écrire γ x (f) = γ e (f) h e (f). Le spectre dépend donc à la fois des caractéristiques du signal e(t) transportant les symboles et de la forme de l impulsion de base. La DSP du signal e(t) est donnée par l expression : γ e (f) = 1 σa + γ a [p] cos πpft s + m a T s T s p=1 γ e (f) = T s σa + γ a [p] cos πpft s + m a p=1 avec : - m a : valeur moyenne des symboles - γ a [p] : fonction d autocorrélation des symboles - σ a : variance des symboles On en déduit que le spectre du signal numérique possède une partie continue et éventuellement, si m a 0, une partie constituée de raies. Dans le cas simplifié ou les symboles ont une valeur moyenne nulle (m a = 0) et sont non corrélés (γ a [p] = 0 pour p=1,,... ), on obtient que γ x (f) = σ a T s e(f). γ x (f) = T s σ a h e (f). La puissance moyenne du signal (variance), obtenue par intégration de cette expression, vaut σx = σa E h. T s Messages dans le domaine spectrale 13

14 6 Communications numériques 6 Communications numériques La Université puissance demoyenne Cergy-Pontoise du signal - 01 (variance), - Communications obtenue par numériques intégration de (9), vaut La puissance moyenne du signal (variance), Eh! x =! obtenue par intégration de (9), a (10) vaut Ts σx = σae h T s. où E h = " h t dt Eh où E h = e ( )! est l'énergie de x =! l'impulsion a de base he t (10) T. R s h e(t)dt est l énergie de l impulsion de base h e (t). où E h = Exemple : :" e ( t ) dt signal NRZ est l'énergie de l'impulsion de base he t. R M-aire x ( t ) 3 A ( M = 4 ) Exemple : signal NRZ M-aire A A x ( t ) ( M 3 A O - A = 4 ) t O Forme de l'impulsion de base : - A Figure - 3 A 1.8: h ( t ) e x(t) - signal NRZ M-aire A La forme de l impulsion de base est: Forme de l'impulsion de base : Symboles : a { 1 3 M 1 } A A - 3 A O h ( t ) e T s k = ±, ±,..., ± ( # ), supposés non t corrélés et équiprobables.. moyenne : O mt a s = 0 M. variance : # 1! a = (11) ak = ± 1, ± 3,..., ± ( M # 1 ), supposés 3 non corrélés et équiprobables. Figure 1.9: Impulsion de base NRZ. moyenne (voir démonstration : de ces résultats men a = annexe 0 7) Les symboles a k = {±1, ±,..., ±(M 1)} sont supposés non corrélés et équiprobables, alors la moyenne Densité spectrale de puissance : M. variance : # 1 m a = 0, la variance est! a = (11) 3 $ M # 1σ a = M 1. 3 (voir démonstration ces ( f ) = A T x résultats s.sin c ( fts ) Nous obtenons donc la densité spectrale de 3 puissance en annexe suivante: 7) Symboles : { } f Messages dans le domaine spectrale O % d e P T s T s T s T m o y s t Densité spectrale de puissance : M - γ x 1 (f) = M 1 $ (f ) A T s sin c ft s. A T 3x 3 s $ M # 1 ( f ) = A T x γ x (f) = M 1 s.sin A c ( s) 3 T s sinc ft s % d e P m o y $ (f ) x M A T s A t

15 Forme de l'impulsion de base : A h ( t ) e Université de Cergy-Pontoise Communicationst numériques O T s Symboles : a { 1 3 M 1 } k = ±, ±,..., ± ( # ), supposés non corrélés et équiprobables.. moyenne : m a = 0. variance : M # 1! a = 3 (voir démonstration de ces résultats en annexe 7) Densité spectrale de puissance : $ M # 1 ( f ) = A T x s.sin c ( fts ) 3 (11) M A T s $ (f ) x 9 0 % d e P m o y f O 1 T s T s T s T s Figure 1.10: DSP obtenue Messages dans le domaine spectrale 15

16 Section Transmission en absence du bruit Considérons le cas le plus simple de transmission: Canal le canal de Nyquist est parfait, en bande doncde lebase bruit est 7 absent. Il s avère que même dans telles conditions favorables la transmission correcte peut être impossible...si. INTERFERENCE votre filtre de mise en ENTRE forme est mal SYMBOLES choisi! (IES) Inter-Symbol Interference (ISI).1 Interférence entre symboles (IES).1 Nature de l'ies - diagramme de l'oeil Ce Ce phénomène phénomenese seproduit produitsi sil'amplitude l amplitudede del'impulsion l impulsion soumise aà échantillonnage en réception en réception dépend, dépend, a l instant à l'instant de décision, de de décision, symboles de voisins symboles : voisins : g ( t - k T ) s k T s t ( k - 1 ) T s ( k + 1 ) T s Le contrôle au niveau temporel du degré d'ies s'effectue de façon très simple sur Figure.1: Exemple de l intérference entre symboles un oscilloscope par le diagramme de l'œil : Le contrôle 1 0 au niveau 1 1temporel 1 du 1 degré 0 d IES 0 s effectue 0 0 de façon 1 0tres simple 1 sur un oscilloscope par le A diagramme E de Fl oeil G(Figure H??). En l absence d IES, O l oeil est completement ouvert a t B D T s I 16 N C J K L M

17 k T s t ( k - 1 ) T s ( k + 1 ) T s Université de Cergy-Pontoise Communications numériques Le contrôle au niveau temporel du degré d'ies s'effectue de façon très simple sur l instant de décision: tous les trajets passent par deux points seulement en binaire (par M points un oscilloscope par le diagramme de l'œil : en M-aire) A E F G H O t B D T s I N C J K L M A, E, G F, H E, G, O B D I N J, L C, K, M J, L t ( k - 1 ) T s k T s ( k + 1 ) T s T s En l'absence d'ies, Figure l'oeil.: est Diagramme complètement de l oeil "ouvert" à l'instant de décision: tous les trajets passent par deux points seulement en binaire (par M points en M-aire). Exemple Voici les exemples des diagrammes de l oeil pour la transmission binaire et M-aire: Le diagramme de l oeil met en évidence une ouverture verticale a (immunité au bruit), une ouverture horizontale b (immunité au déphasage de l horloge), une pente c (immunité à la gigue d horloge) et une fluctuation d (amplitude de la gigue du point de passage par zéro) (Figure.4) Interférence entre symboles (IES) 17

18 Communications numériques 8 Communications numériques Exemples de diagramme de l'oeil - Transmission Exemples de binaire diagramme : de l'oeil Université de Cergy-Pontoise Communications numériques - Transmission binaire : Transmission binaire Transmission M-aire Transmission sans sans IES IES Transmission avec IES avec IES Transmission sans IES sans IES Transmission sans IES Figure Transmission.3: Exemples Caractéristiques Canal avec de du IES Nyquist diagramme en bande de de l'oeil base 9 - Diagramme de l'oeil en transmission M-aire : M= 4 Exemple : Le diagramme de l'oeil met en évidence une ouverture verticale (a - Diagramme de l'oeil en transmission M-aire : bruit), c une ouverture horizontale (b) (immunité au déphasage de l'hor M= 4 Exemple : a (c) (immunité à la gigue d'horloge) et une fluctuation (d) (amplitude Figure.4: point de passage par zéro) : d b t Charactéristiques du diagramme de l oeil. Annulation de l IES : conditions de Nyquist t..1 Condition de Nyquist dans le domaine temporel Le signal soumis a échantillonnage en réception r(t) ne comprend qu une partie signal, la partie bruit étant absent. r(t) donc s écrit comme: r(t) = a n g(t kt s ) = a k g(t kt S ) + a n g(t kt s ) Transmission n Z sans IES n Z,n k La valeur échantillonnée à l instant de décision t = kt s vaut : Caractéristiques du diagramme Transmission de l'oeil sans IES r[kt s ] = a k g(0) + a n g((k n)t s ) Le diagramme Caractéristiques de l'oeil met du en diagramme évidence de une l'oeil ouverture verticale (a) (immunité au n Z uit), une ouverture horizontale (b) (immunité au déphasage de l'horloge), une pente Le diagramme de l'oeil met en évidence une ouverture verticale (a) (immunité au (immunité à la gigue d'horloge) et une fluctuation r[kt s ] = a k g(0) (d) (amplitude + a n de g((kla gigue n)t s ) du bruit), une ouverture horizontale (b) (immunité au déphasage de l'horloge), une pente int de passage par zéro) : n Z,n k (c) (immunité où à a la gigue d'horloge) et une fluctuation (d) (amplitude de la gigue du k g(0) est l amplitude de l impulsion utile attendue et le deuxième terme est le terme parasite point de passage d IES. par L IES zéro) est : nulle si l on vérifie a n g((k n)t s ), a n. n Z Annulation de l IES : conditions de Nyquist 18

19 n" Z, n# k avec :. ak g( 0 ) : amplitude de l'impulsion "utile" attendue. $ an g[ ( k! n) Ts ] : terme parasite d'ies n" Z, n# k Université de Cergy-Pontoise Communications numériques L'IES est nulle si l'on vérifie: $ an g ( k! n) Ts = 0, % an (13) n " Z, n# k a n g((k n)t s ) = 0, a n. Une condition nécessaire n Z,n k et suffisante pour ne pas avoir d'ies est que l'impulsion Une de base condition g(t) possède nécessaire la et propriété suffisante : pour ne pas avoir d IES est que l impulsion de base g(t) = (h e h c h r )(t) possède la propriété : [ ] (14) g( kt ) = g( 0 ).&[ k] g(kt s s ) = g(0)δ[k]. Les impulsions Les impulsions suivantes suivantes vérifient vérifient la condition la condition de Nyquist de dans Nyquist le domaine au niveau temporel temporel : : a b c g ( 0 ) g ( t ) - T s - T s 0 T s T s g ( t ) g ( 0 ) - T s - T s 0 T s T s g ( t ) g ( 0 ) - T s - T s 0 T s T s t t t Figure.5: Exemples des impulsion vérifiant la condition de Nyquist (domaine temporel).. Condition de Nyquist dans le domaine spectral Si la condition de Nyquist dans le domaine temporel est vérifiée, l échantillonnage avec une période T S de l impulsion de base g(t) conduit alors à un seul Dirac en zéro : g(t)... = g(0)δ(t). g(t)δ(t kt s )... = g(0)δ(t). k Z Annulation de l IES : conditions de Nyquist 19

20 avec une période T S de l'impulsion de base g(t) conduit alors à un seul Dirac en zéro : g( t). ( t) = g( 0 ).!( t) T s Université En prenant de Cergy-Pontoise la TF des deux - 01 membres, - Communications on en déduit numériques la condition au niveau spectral : En prenant la transfrmée de Fourier (TF) des deux membres, on en déduit la condition (15) dans le domaine spectral : * g& f # ) = Ts. g( 0) k" Z % Ts () g (f kts = T s g(0). k Z DesExemples exemples de de spectres spectres d impulsions d'impulsions de base de vérifiant base vérifiant cette condition la condition sont présentés spectrale dansde Figure.6. Nyquist Notons (15) que les : spectres 1, et 3 des exemples ont un support fréquentiel borné alors que le spectre 4 possède un support fréquentiel infini. T. g ( 0 ) s $ k ' g ( f ) g (f - 1 ) g (f - ) T s T s 1 f - / T s - 1 / T s - 1 / T s 0 1 / T 1 / T - / T s s s T. g ( 0 ) s g ( f ) f - / T s - 1 / T s - 1 / T s 0 1 / T 1 / T - / T s s s T. g ( 0 ) s g ( f ) 3 f - / T s - 1 / T s - 1 / T s 0 1 / T s 1 / T s - / T s 4 T. g ( 0 ) s g ( f ) f Figure.6: - / T s - 1 / T s - 1 / T s 0 1 / T 1 / T - / T s s s Exemples des impulsion vérifiant la condition de Nyquist (domaine spectral) Les spectres 1, et 3 ont un support fréquentiel borné alors que le spectre 4 Compte-tenu des propriétés de la TF, il est impossible d avoir un support borné a la fois dans les possède un support fréquentiel infini (TF de l'impulsion g(t) triangulaire (a) vérifiant domaines temporel et fréquentiel. En pratique, le choix est imposé : la transmission doit s effectuer la con-dition temporelle de Nyquist : la vérification au niveau spectral n'est pas dans un canal à bande passante limitée [ B, B]. On suppose que la TF de l impulsion de base a évidente). Annulation de l IES : conditions de Nyquist 0

21 la fois dans les domaines temporel et fréquentiel. En pratique, le choix est imposé : la 1 transmission Communications doit s'effectuer numériques dans un canal à bande passante limitée [-B, B]. On suppose que la TF de l'impulsion de base a un support fréquentiel borné, avec : Compte-tenu des propriétés de la TF, il est impossible d'avoir un support borné à Université de Cergy-Pontoise - g01 ( f ) = - Communications 0 pour f! 1 numériques la fois dans les domaines temporel et fréquentiel. En pratique, le choix est imposé : la transmission Cette doit situation s'effectuer est observée dans un canal dans à les bande exemples passante de limitée spectres [-B, 1, B]. et 3 précédents. On On suppose un support que fréquentiel la TF de l'impulsion borné, avec vérifie alors facilement que la relation de base (15) a un conduit support à fréquentiel la condition borné, ci-dessous, avec : de laquelle découle le critère spectral g(f) = 0 pour f 1 de Nyquist g( f ) = 0 pour : f! 1. T s Cette situation est observée " Cette situation est observée dans 1dans % les exemples exemples de de spectres spectres 1, et 3 On vérifie alors g$ + f g f g 1, et 3 précédents. On vérifie alors facilement facilement que la condition que la # relation dans T s le domaine & ' + " 1 ( % ) $ ) ' = ( 0) (15) # conduit T spectral s à & conduit la condition a la condition ci-dessous, ci-dessous, de laquelle laquelle découle le le critere critère spectral de de Nyquist : : Critère spectral de Nyquist : " g( 1 + f) + g( 1 f) = g(0) 1 % g f T s f T s $ + g # T s & ' + " 1 $ # ( % ) ) ' = ( 0) g g ( f ) ( 0 ) T s & ( ) Critere spectral de Nyquist : l IES est nulle si le point 1 T s, g(0) de la réponse en Critère spectral de Nyquist : g ( 0 ) fréquence globale g(f) est un centre de symétrie P (voir Figure.8 pour a demonstration). f g g ( f ) ( 0 ) 0 1 / T s 1 / T s g ( 0 ) " % P $ 1 g( 0) ' L'IES est nulle si le point P $, T f s ' de la réponse en fréquence globale # & 0 1 / T s 1 / T s g ( f ) est un centre de symétrie centrale. Figure.7: " Demonstration % du critere spectral de Nyquist $ 1 g( 0) ' L'IES est nulle si le point P $, T s ' de la réponse en fréquence globale Lorsque les conditions de Nyquist # sont & vérifiées, l'ensemble du système constitue un Lorsque "canal de lesnyquist". conditions de Nyquist sont vérifiées, l ensemble du systeme constitue un canal de Nyquist. Notons que g ( f la ) est transmission un centre de sans symétrie IES est centrale. impossible si la bande passante B du canal est Remarques : inférieure a la limite appelée la fréquence de Nyquist : - la transmission sans IES est impossible si la bande passante B du canal est Lorsque les conditions de Nyquist 1 Dsont vérifiées, l'ensemble du système constitue B < 1 = D s s un "canal inférieure de Nyquist". à la limite = (appelée "fréquence T s de ; Nyquist") : Ts Remarques : g ( f ) - la transmission sans IES est impossible si la bande passante B du canal est 1 Ds inférieure à la limite = (appelée "fréquence de Nyquist") : f Ts - 1 / T - B g 0( f ) B 1 / T s - 1 / T s s 1 / T Figure.8: Bande passante inférieure s a 1/T s - g ( f ) est supposée ici réelle, d'où une forme d'impulsion de base g(t) non causale. f Présentons En pratique, un exemple on introduira tres important un retard - 1 / T - B de pur filtresupplémentaire cosinus surélevé. suffisant pour que la fonction g(t) puisse 0 B 1 / T s - être 1 / Tconsidérée comme nulle s s 1 / pour T t < 0. Exemple: filtre de Nyquist en cosinus surélevé (raised s cosine filter) - g ( f ) est supposée ici réelle, d'où une forme d'impulsion de base g(t) non causale. Annulation de l IES : conditions de Nyquist 1 En pratique, on introduira un retard pur supplémentaire suffisant pour que la fonction g(t) puisse être considérée comme nulle pour t < 0. T s T s

22 Canal de Nyquist en bande de base 13 Canal de Nyquist en bande de base 13 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques Exemple: filtre de Nyquist en cosinus surélevé (raised cosine filter) Exemple: filtre de Nyquist en cosinus surélevé (raised cosine filter) g ( f ) g T ( f ) s T s T s T s = 0 = 0 = 0. 5 = 0. 5 = 1 = 1 f T f T s s ( Figure Ts (.9: " Cosinus surélevé % + dans! le domaine Ts ( " % +! )! f Ts! f # $ & ',.. + spectral ( / / sin ( ), * 1 )! sin 0 f Ts! 1 1 f1 1 # $ ( ) 1 & ',,.. + * T T Ts T 1 T s s ( ( / 1 g( f ) = ) T 1 sin π α [ f T s 1] )) s s /, s, 0. f.! 1 1 α g f = Ts. f. T 1! 1 ( ) ), 0 s f 1+α / Ts / g(f) / = T s, T0 s f 1α T s, / / 0, ailleurs / 0* 0,, ailleurs autrement, * avec 0 α 1. avec Dans0 le. 1domaine. 1 temporel avec g ( t ) g 1 ( t ) T s, (16) (16) 1 = 1 1 = = 0 1 = 1 1 = = 0 t / T t / T s s Figure.10: Cosinus surélevé 0t 5dans le 01 domaine t5 temporel sin 0t 54 7 cos 014 t5 7 sin4 73 Ts cos Ts 6 g( t) = 3 Ts 6. 3 Ts 6 0t. 0t t T! t T s 3 4! 1 g(t) = sin(πt/t s) cos(παt/t s ) 5 s (πt/t s ) 1 1 (παt/t7 s ) 7Ts 6 Le parametre α est appelé le coefficient d arrondi ou parfois T 6 facteur de retombée (roll-off factor), α = 0 correspondant Le paramètre au 1 est cas appelé idéal coefficient (filtre rectangulaire), d'arrondi ou α parfois = 1 correspondant facteur de retombée au filtre avec (roll-loff factor). fréquentielle en cosinus. La largeur spectrale est donnée par réponse Le paramètre 1 est appelé coefficient d'arrondi ou parfois facteur de retombée (rolloff factor). La largeur B = spectrale 1 + α = est (1 + donnée α) D s par : La largeur spectrale T s est donnée par, : donc D s B D s; B D s B. Ds B = + Ds B1 = 1+ 1 = ( 1+ 1) T= s( 1+ ) T Annulation de l IES : conditions de Nyquist s Ds Ds B D B D s.. s.. s (17) (17)

23 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques 14 Communications numériques Filtre de Nyquist en cosinus surélevé : influence du coefficient d'arrondi!! = 0.! = Egalisation! = 0.8! = 1 Figure.11: Filtre de Nyquist en cosinus surélevé : influence du coefficient d arrondi..3 Egalisation Le filtre de réception, de réponse en fréquence équivalente h r ( f ), doit corriger, éventuellement de façon adaptative, la distorsion linéaire responsable de l'ies introduite par le canal. Le canal est dit égalisé lorsque la réponse globale g ( f ) En présence du bruit, le filtre de réception, de réponse en fréquence équivalente h r (f), doit corriger, vérifie le critère de Nyquist. éventuellement de façon adaptative, la distorsion linéaire responsable de l IES introduite par le En pratique, on y parvient à l'aide d'un filtre supplémentaire appelé égaliseur canal. Le canal placé est derrière dit égalisé le (les) lorsque filtre(s) lad'entrée réponse du globale récepteur, vérifie après leéchantillonnage critère de Nyquist. En pratique, (réalisation sous forme numérique). on y parvient a l aide d un filtre supplémentaire appelé égaliseur placé derrière le (les) filtre(s) d entrée du récepteur, apres échantillonnage (réalisation sous forme numérique). Plus d information sur les techniques d égalisation va être présentée plus tard dans le cours. Annulation de l IES : conditions de Nyquist 3

24 Section 3 Détection en présence du bruit Dans ce cours nous allons considérer le module du détecteur du signal a la réception et allons introduire les mesures de performances d un système de communication - taux d erreurs par bit et taux d erreurs par symbole. Supposons que le canal de transmission est le canal de Nyquist, c est-à-dire l intérference entre symboles du paquet est nulle. Plaçons-nous dans le cas quand le canal introduit un bruit au paquet transmis et considérons le fonctionnement du module de décision dans la chaîne de réception. Dans toute la section, le bruit est supposé d être le bruit blanc additif gaussien. 3.1 Probabilité d erreur Définitions Le module de décision estime le k-ème symbole transmis a k à partir de la valeur échantillonnée à l instant de décision t = kt s. Exemple: La prise de décision dans le cas binaire s effectue comme c est démontré dans Fig.3.1. Le bit 0 correspond à a k = 1, le 1 - à a k = 1. Dans le cas M-aire, la variable aléatoire du signal prend M valeurs (a k = ±1, ±,..., ±M/). Nous avons r(t) = k Z a k g(t kt s ) + b(t), 4

25 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques ce qui se traduit en (à cause de l IES nulle) r(kt s ) = Canal a k g(0) de + Nyquist b(kt s ). en bande de base 15 La valeur échantillonée r(kt s ) contient deux valeurs aléatoires: 3. DETECTION EN PRESENCE DE BRUIT partie signal a k g(0), comme a k = ±1; 3.1 Probabilité d'erreur partie bruit b(kt s ) - variable aléatoire centrée, de variance σ, non corrélée avec la partie Une décision est prise en réception pour estimer le k-ème symbole transmis a k à partir signal, ayant la densité de probabilité f b (x). de la valeur échantillonnée à l'instant de décision t = kt s. Exemple en binaire : r ( t ) r ( k T ) s g ( 0 ) r ( t ) r ( k T ) s D é c i s i o n a^ k S e u i l d e d é c i s i o n! k T s t k T s R é c u p é r a t i o n d e ry t h m e s y m b o l e - g ( 0 ) $ r( t) = ak. g( t " kts ) + b( t) Figure 3.1: Prise de décision dans le cas binaire k# Z L'IES étant supposée nulle (canal de Nyquist), la valeur échantillonnée vaut r(kt s ) est donc une variable aléatoire, avec la densité de probabilité r( kts ) = ak. g ( 0) + b( kts ) f r (x) = Prob(a k = i)f r (x a k = i). Cette valeur échantillonnée r( kt s ) comprend deux composantes aléatoires : "signal" : ak. g ( 0 ) i=±1,±m/, avec ak = { ± 1, ± 3,..., ± ( M" 1) } = { % 1, %,..., % M } ; La densité conditionnelle de r[kt "bruit" : b( kt s ) s ] s écrit, centré, de variance & comme b, non corrélé à la composante "signal" et de densité de probabilité fb ( u ). f r (x a k = i) = f b (x ig(0)). La densité de probabilité conditionnelle de r( kt s ) est donc donnée par Exemple: Dans Fig.3.1, nous avons l illustration de deux densités conditionnelles de r[kt s ], correspondant aux symboles émis +1 et fr ( u ak = % i ) = fb[ u" % i. g( 0 )] (17) 1. La probabilité Definition: d'erreur La probabitlité de symbole est d erreurs définie par par symbole est définie comme ( ) Ps ( e) = a! P k ' a s = Prob(â k k a k ). La probabilité d'erreur binaire (probabilité d'erreur de bit) est, dans le cas général, différente Probabilité de la probabilité d erreur d'erreur de symbole : 5 Ps ( e) ( M P b( e ) ( P s( log e ) (18)

26 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques Definition: La probabitlité d erreurs par bit est définie comme P b = Prob(ˆb b). Il existe une rélation entre P s et P b : P s log M P b P s. La valeur minimale de P b est atteinte quand un symbole erroné conduit à seulement un bit erroné, la valeur maximale - quand tous les bits dans un symbole sont estimés d une manière incorrecte Cas des symboles binaires Dans le cas binaire, a k = {±1}. En plus, P s = P b. Considérons deux hypothèses: H 0 : a k = 1 H 1 : a k = +1 avec les probabilités Prob(a k = 1) = p 0 et Prob(a k = +1) = p 1, p 0 + p 1 = 1. Soit γ est le seuil de décision, alors la régle de décision est: r[kt s ] H 0 H 1 γ. Une question importante est: quel est le choix optimal de γ, celui qui minimiserait la probabilité d erreur? Pour trouver la réponse, considérons deux densités de probabilités conditionnelles, présentées dans Fig.3.. Rappelons que dp b dγ f r (x 1) f r (x 0) P b = p 0 P b (erreur 0) + p 1 P b (erreur 1) γ = p 0 f r (x 0)dx + p 1 f r (x 1)dx; = p 0 f r (x 0) + p 1 f r (x 1) = 0; = p 0 p 1. γ Probabilité d erreur 6

27 H 0 : "0" transmis ( a k =!1), avec la probabilité P(0) H 1 : "1" transmis (a k = +1), avec la probabilité P(1) avec la règle de décision Université de Cergy-Pontoise Communications numériques r( kt s ) H 1 <H > 0 " D'après (17), les deux lois de densité conditionnelle sont les suivantes : H 0 H 1 f ( u 0 ) r f ( u 1 ) r P ( e 1 ) b P ( e 0 ) b u - g ( 0 ) g ( 0 ) S e u i l d e d é c i s i o n Pb ( e) = Pb ( e, 0) + Pb ( e, 1) = P( 0). Pb ( e0) + P( 1). Pb ( e1) Figure 3.: Densités de probabilités conditionnelles pour deux hypothèses. +# " $ r $ r "!# = P( 0) f ( u 0) du + P( 1) f ( u 1) du Valeur optimale du seuil de décision P b = (" p 0 = P" b 0 (erreur ) : la probabilité 0) + p 1 P b d'erreur (erreur 1) est minimale, soit γ dpb ( e) = p 0 f r (x 0)dx + p 1 f r (x 1)dx; =! P( 0). f r( " 0) + P( 1). fr( " γ1 ) = 0 d" dp b = p 0 f r (γ 0) p 1 f r (γ 1) = 0; dγ d Pb f( e) et P df r( u 0) P df r( u r (γ 1) 1) =! ( = 0) p 0. + ( 1) > 0 d f r (γ 0) p 1 du du " u= " u= " La dérivée seconde est effectivement positive dans la zone du seuil de décision. La Notons que valeur optimale du seuil de d décision P b doit donc simplement vérifier la relation dγ = p df r (x 0) df r (x 1) 0 x=γ + p 1 x=γ > 0, fr( " dx 0 1) P( 0) dx = d P b fr( " 0 0) P( 1) dγ = p df r (x 0) df r (x 1) 0 x=γ p 1 x=γ > 0, dx dx Cette valeur optimale dépend des probabilités des bits "0" et "1". alors la solution trouvée est bien l optimum. Remarquez que la seuil de correction dépend des probabilités d avoir les valeurs de bits 0 et 1. Exemple Considérons le cas du bruit additif gaussien. Nous avons alors les densités de probabilité conditionnelles de type loi normale: f r (x 0) = 1 πσb e (x+g(0)) σ b ; f r (x 1) = 1 πσb e (x g(0)) σ b. Probabilité d erreur 7

28 Dans le cas d'un bruit additif gaussien, les densités de probabilité cond sont des lois normales : 1 " [ u+ g( 0)] % f u Université de Cergy-Pontoise Communications r( 0) =.exp#! numériques & ( b ) $ ( b ' 1 " [ u! et fr( u 1) =.exp#! ( b ) $ fr( * 0 1) + * 0 g( 0). Alors, le seuil optimal de décision est d'où = exp- 0 f γ = σ b g(0) ln p r( * 0 0), ( b / 0 La valeur optimale. pdu 1 seuil de décision est alors donnée par : Conclusion: le seuil de décision a tendance de s éloigner du symbole le( bplus probable, P 0 ce qui * 0 = augmente sa région de décision. g( 0).ln ( ) P( 1) Dans les systèmes des communications, 1 le seuil nous avons de décision (presque) a tendance toujours à les'éloigner probabilités du p 0 symbole = p 1 = 1/. le plus probable En tenant compte pour le cas dudans bruit gaussien, le cas de nous symboles obtenons équiprobables que seuil (P(0) optimal = P(1) est = 1/), le seuil de dé Nous avons donc situé exactement à égale distance des niveaux attendus soit * 0 = 0. On a alor γ = 0. b b b r 0 P b (erreur 0) = P b (erreur 1) = P b = f r (x 0)dx. 0 u g D'où la probabilité d'erreur binaire, en posant z = + ( 0) En substituant z = (x + g(0))/σ b, nous avons que ( P b = 1 e z / + dz. π g(0)/σ b z Pb ( e) = exp ! 9 dz = 3 g( 0) 5 8 Définition: La fonction d erreur Q(x) ou la queue de gaussienne est la fonction suivante: ( Q(x) = 1 e z / dz. où la fonction π Q( ) est parfois appelée "queue de gaussienne" : x f ( z ) + P ( e) = P ( e1) = P ( e0) = f ( u 0) du + Q g ( 0). - 0 ), ( b / b 3 b (loi normale Table de valeurs : voir annexe 4 Expression approchée : : x Q ( x ) z Q( x) ; ) e x! x+ x + 4 (erreur < 1% pour x > 3 Figure On peut 3.3: utiliser Fonction également d erreur la Q. fonction d'erreur complémentaire : + 3 x Q( ) = 1, Q(0) = 1/, Q( ) = 0, Q( x) = 1 Q(x). C est une fonction monotone et décroissante. erfc( Nous x) = avons exp(! t ) dt = Q x ) ( ) 1 + g( 0) 1 Pb ( e) = erfc -,( b Probabilité d erreur 8

29 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques Q(x) peut être approximée de manière suivante: ( ) πx x e x / < Q(x) < 1 e x /, πx Q(x) 1 e x /. Pour la programmation, Q(x) peut être exprimée en termes de la fonction d erreur complémentaire erfc: erfc(x) = e t dt = Q(x ). π x En revenant à P b, nous avons ( ) ( g(0) P b = Q ; = 1 ( )) g(0) σ b erfc σ b Un exemple de la courbe de P b est donné dans Fig.3.4. Ici les valeurs g(0) σ b (db), c est-à-dire en 0 log g(0) σ b. sont exprimés en décibels Définition Le rapport g(0)/σ b est appelé le rapport signal-à-bruit et est une mesure importante des performances des systèmes des communications. Habituellement il se mesure en db. L abbreviation en anglais est SNR (signal-to-noise ratio). Exemple: Quelques valeurs de P b sont données dans le tableau de Fig.3.5. Pour sentir les ordres des grandeurs, voici un petit calcul: au débit de 100 Mbit/s, P b = 10 8 correspond a une erreur par seconde, P b = a une erreur par h45 min! Cas des symboles M-aires Le symbole a k peut prendre M valeurs différentes: a k = {±1,... ± M/}. La probabilité d erreur par symbole se calcule par: P s = M/ i= M/ P s (erreur, i) = M/ i= M/ Prob(i)P s (erreur i). Probabilité d erreur 9

30 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques 18 Communications numériques P r o b a b i l i t e d ' e r r e u r : c a n a l g a u s s i e n b i n a i r e P ( e ) b l o g g ( 0 ) d B b Figure 3.4: Probabilité d erreur binaire g( 0) pour gle( 0canal ) gaussien.!! g( 0) Pb ( e) = Q[! b ] Les seuils optimaux de décision dépendent 10 - donc de.33 toutes les probabilités 7.35 des symboles i. Dans le cas des symboles équiprobables, quand 10-3 Prob(i) = M, nous avons9.80 que P s 10 = 1 M/ P s (erreur i), M i= M/ et il est possible de démontrer (le calcul 10-7 similaire au5.19 cas binaire) que 14.3les seuils optimaux de décision se trouvent au milieu de chaque intervalle Nous avons 5.61 aussi que15.0 ( ) g(0) P s (erreur M/) = P s (erreur M/) = Q, σ b ( ) g(0) P s (erreur i) = Q pour 6.70 M/ + 1 < 16.5 i < M/ 1. b b ( db) On en déduit l expression de la probabilité d erreur par symbole: " Consulter la table de Q(x) en Annexe 4 pour d'autres valeurs. P s = M 1 ( ) g(0) M Q. Ordres de grandeur : σ b Probabilité d erreur Pour un débit binaire de 100 Mbit/s : 30. P b (e) = 10-8 correspond à une erreur par seconde. P b (e) =10-1 correspond à une erreur toutes les h! environ σ b

31 Université de Cergy-Pontoise Communications 0. l o g g numériques ( 0 ) d B b g( 0) Pb ( e) = Q[! b ] g( 0)! b g( 0)! b ( db) " Consulter la table de Q(x) en Annexe 4 pour d'autres valeurs. Figure 3.5: Probabilité d erreur binaire pour le canal gaussien: table. Sachant que Ordres M < de, grandeur on constate : que la probabilité d erreur par symbole varie du simple au double, la valeur Pour minimale un débit étant binaire obtenu de 100 dans Mbit/s le cas : binaire:. P b (e) = 10-8 correspond ( à ) une erreur par ( seconde ) g(0) g(0) Q P s < Q.. P b (e) =10-1 correspond σ b à une erreur toutes σles b h! environ La probabilité d erreur par bit devient donc: P b = M 1 M log M Q ( g(0) A probabilité P b fixe, la puissance du signal augmente rapidement avec M,donc M ne doit pas être pris trop grand: σ b ). v(kt s ) = a k g(0) σv = σag(0) = M 1 g(0). 3 Probabilité d erreur 31

32 3.1. Probabilité d'erreur avec des symboles M-aires équiprobables 0 Communications numériques Un symbole a k peut prendre M valeurs, soit : { M! 1 } {" ( 0) % } Université de Cergy-Pontoise ak = - 01 ± 1, ± -3Communications,..., ± ( M! 1) = numériques " 1, ",..., " M v( - kt 3 g ( 0 ) - g ( 0 g ( 0 ) 3 g ( 0 ) s) = ak g( 0 ) ) ( ( 1 3 P s ( e " 1 ) v a g M! 1 = ( 0) = g ( 0) P 3 s ( e " 4 ) ( M = 4 ) Figure 3.6: Exemple pour M = La Filtre probabilité adapté d'erreur de symbole se calcule par : 3. Récepteur optimal Pb ( e) = M.log M P( e) = P( e, " ) = P( " ). P( e " ) M # # s s i i= 1 i= 1 M Q $ g # ( b 3..1 Les expressions Filtre adapté (1) et () montrent que la probabilité d'erreur est une fonction 1 décroissante Dans le monotone cas de du symboles RSB g(0)/( équiprobables, b. Pour un émetteur soit P( " donné i ) = et un, 1 $ canal i $ Mdonné,, peut ce M rapport Remarque reste importante fonction : des Nous caractéristiques avons pu voir dans du la filtre partie de précedente réception que l'on la probabilité cherche donc d erreur est montrer que les seuils de décision optimaux sont placés au milieu de chaque à une optimiser fonction: décroissante du rapport signal-à-bruit g(0)/σ intervalle (ce qui généralise le cas binaire). On obtient b. Pour un émetteur et un canal donnés, : ce rapport devient donc la caractéristique du filtre de réception, qu on cherche à optimiser. M Le filtre adapté est un filtre linéaire 1 Ps ( e) = qui rend # M P maximum s( e " i) le RSB g(0)/( b à Définition: Le filtre adapté est un filtre qui rend maximal le rapport g(0)/σ i= 1 b à l instant de décision. l'instant de décision. - pour les symboles "extrêmes" : n ( t ) P e P e Q g ( 0) s( " 1) = s( " M) = & ' ( ) N + h ( t ) o % b * g ( 0 ) - pour chacun des M - autres symboles : e ( t ) h e ( t ) h ( t ) c h ( t ) & P e Q g r ( 0) ) E m i s s i o n C as ( n a l" i) = ( R + é c e p t io n ' % * On en déduit l'expression de la probabilité d'erreur de symbole : La valeur de l'impulsion de Figure base 3.7: (réponse Chaîne impulsionnelle de transmission. globale) échantillonnée à l'instant de décision s'écrit :! 1 P e MM Q & g ( 0) ) (1) La valeur de l impulsion de base s( ) = g (réponse ( 0 ) = h ( impulsionnelle f ). h f ( + r( )' df globale) échantillonné à l instant de % b * décision s écrit : Sachant que M <,, on constate g(0) = h(f) hr que la probabilité (f)df. d'erreur de symbole varie du La DSP bilatérale du bruit n(t) ramenée en entrée du récepteur valant N 0 /, la variance Lasimple densité du au spectrale bruit double, b(t) la den valeur puissance sortie minimum du bilatérale filtre de étant réception du bruit obtenu n(t) est dans donnée ramenée le cas par en binaire entrée : : du récepteur valant & Q g ( 0) ) & P e Q g ( 0) ) ( + $ s( ) < ( ( ' % N + b * 0 = * h r( f ) df ' % * σ b = N 0 h r (f) df. b R La probabilité d'erreur binaire s'obtient à partir de (18) et (1) : b i ' & s i () La puissance du signal augmente rapidement avec M, ce qui finit par limiter l'intérêt des symboles "M-aires" : 3..1 Définition * R N 0 /, la variance du bruit b(t) en sortie du filtre de réception est donnée par : Récepteur optimal 3 b r ( t ) u

33 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques Alors, nous en déduisons g(0) σ b ( = h(f) h r (f)df N 0 h r (f) df ). Nous allons utiliser l inégalité de Schwartz u(x)v (x)dx u(x) dx v(x) dx pour obtenir le maximum du SNR. Notons que l inégalité devient l égalité quand u(x) = λv(x). Alors nous avons g(0) σ b le maximum du SNR étant atteint quand h(f) df, N 0 hr (f) = λ h (f). On en déduit la réponse impulsionnelle optimale du filtre de réception : Pour les signaux réels la conjugaison est omise. h r (t) = λh ( t). Définition: Le rapport g(0)/σ b en sortie du filtre de réception est maximal lorsque celui-ci possède une réponse impulsionnelle proportionnelle à l impulsion de base reçue retournée : un tel filtre est dit adapté à la forme h(t). La constante λ constitue un terme de gain sans effet sur la valeur du SNR : on prendra donc dans la suite λ = 1 pour simplifier. Maintenant, soit E h l énergie de l impulsion de base reçue à l entrée du filtre de réception : E h = alors la valeur du SNR maximale est h(f) df = g(0) σ b Eh N 0. (h(t)) dt, Conclusion: la valeur maximale du SNR ne dépend pas de la forme de l impulsion de base reçue mais seulement de son énergie. Récepteur optimal 33

34 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques 3.. Réponse du filtre adapté La réponse à l impulsion h(t) du filtre adapté est donnée la convolution : g(t) = (h h r )(t) = h(τ)h(τ t)dτ = γ h (t), c est-à-dire, la réponse du filtre adapté à l impulsion h(t) est égale a la fonction d autocorrélation de l impulsion h(t). Remarques : La réponse h(t) étant normalement causale, la réponse impulsionnelle h r (t) du filtre adapté est alors non causale à cause du retournement. En pratique, on rend cette réponse causale en ajoutant un retard T suffisant : h r (t) = h(t t) g(t) = γ h (t T ). La fonction d autocorrlation γ h (τ) de l impulsion h(t) étant maximum pour τ = 0, on en déduit que l instant de décision optimal est t = T. Notons que la réponse en fréquence du canal global est purement réelle : g(f) = h(f) ; la présence du retard T conduit à un facteur supplémentaire e jπft. Exemple: impulsion h(t) triangulaire, avec retard T = T s (période de symbole). En présence de bruit, pour un symbole isolé et affecté d un retard t 0, le signal d entrée du filtre adapté vaut y(t) = h(t t 0 ) + n(t). Le signal de sortie du filtre adapté se met alors sous la forme r(t) = (h(t t 0 ) h r (t) + (n h r )(t) = γ h (t t 0 T ) + b(t). La valeur échantillonnée à l instant de décision optimal est donnée par : r(t 0 + T ) = γ h (0) + b(t 0 + T ) = E h + b(t 0 + T ). C est le SNR de cette variable que l on a rendu maximum. Exemple: signal NRZ avec T = T s. Récepteur optimal 34

35 D'après (5), la réponse en fréquence du canal global est purement réelle : * g( f ) = h( f ). h ( f ) = h( f ) (la Université présence de du Cergy-Pontoise retard pur T conduit à Communications facteur supplémentaire numériques e -j ( ft ) Exemple : impulsion h(t) triangulaire, avec retard pur T = T s h ( t ) A t h ( - t ) A 0 h ( t ) r T s h ( T - t ) s - T s E = h % ( t ) h 1 3 A T s 0 g ( t ) - T 0 s T s T s T s % ( t - T ) h s t t Figure 3.8: Exemple de l impulsion triangulaire Partage optimal du canal de Nyquist Un optimum est atteint si l on peut obtenir simultanément un SNR maximum à l instant de décision (filtre adapté) et une IES nulle (canal de Nyquist) : on a alors un récepteur optimal. On fait abstraction pour la suite des divers retards purs qui interviennent dans la chaîne de transmission. Dans le cas où la réponse en fréquence h c (f) du canal peut être considérée comme plate dans la bande utile, c est-à-dire, indépendant de la fréquence (ce qui est notre cas pour le moment) et qui peut être exprimée simplement comme h c (t) = G c, la réponse en fréquence du filtre global devient alors : g(f) = G c he (f) h r(f). Il existe une solution simple avec une réponse en fréquence purement réelle (réalisable avec un retard supplémentaire). soit Elle consiste à prendre le même filtre pour l émission et la réception, he (f) = h r (f) = N(f), où N(f) est une fonction réelle positive vérifiant le critère spectral de Nyquist (réponse en fréquence d un filtre de Nyquist) : Récepteur optimal 35

36 La valeur échantillonnée à l'instant de décision optimal t = t0 + T est donnée par : r( t + T) = # (0) + b( t + T) = E + b( t + T) 0 h 0 h 0 C'est Université le RSB de de Cergy-Pontoise cette variable - que 01 l'on - Communications a rendu maximum numériques dans (7). Exemple : signal NRZ avec T = T s h ( t - t ) 0 A t 0 y ( t ) t 0 t 0 + T s E = A T h s 0 # ( t - t - T ) h 0 s t 0 t r ( t 0 + T s ) 0 r ( t ) t 0 t 0 + T s t 0 + T s t 0 t 0 t 0 + T s t Figure 3.9: Exemple du signal NRZ Réalisation du filtrage adapté à l'aide d'un corrélateur Avec Noush(t) obtenons de support ainsi fini [ ] 0, T s et en prenant T = Ts, soit un filtre adapté de réponse impulsionnelle h ( t) = h( T! t), le g(f) signal = de G c sortie N(f). du filtre adapté vaut r s Le partage présenté est un partaget optimal du canal de Nyquist. Les filtres d émission et de r( t) = % y( $ ). h( Ts! t + $ ) d$ réception sont des filtres demi-nyquist. En pratique, on utilise couramment un filtrage global en t! T S cosinus surélevé : les filtres d émission et de réception sont alors en racine de cosinus surélevé (root raised cosine filters). Remarque: si le canal ne peut pas être assimilé à une simple atténuation (avec un retard de propagation) mais possède véritablement un caractere sélectif en fréquence, une égalisation devient alors nécessaire pour réduire le plus possible l IES résultante. Récepteur optimal 36

37 r e h ( f ) = h ( f ) = N( f ) (9) où N ( f ) est une fonction réelle positive vérifiant le critère spectral de Nyquist Université de Cergy-Pontoise Communications numériques (réponse en fréquence d'un "filtre de Nyquist") : C a n a l n ( t )! a k " ( t - k T s ) k E m i s s i o n x ( t ) R é c e p t i o n y ( t ) r ( t ) G N ( f ) c N ( f ) k T s r ( k T ) s D é c i s i o n a^ k Figure 3.10: Partage Canal de optimal. Nyquist en bande de base 9 g( f ) = G. N( f ) 3.3 Perfomances du schéma de transmission C 3.4 On Probabilité obtient ainsi d'erreur un partage binaire optimal minimale du canal - Rapport de Nyquist E b /N. Les 0 filtres d'émission et de Dans réception le cas optimal, sont des la "filtres probabilité demi-nyquist". d'erreur binaire En pratique, est minimale. on utilise D'après couramment (), (7) : un Probabilité d erreur minimal, rapport signal-à-bruit filtrage global en "cosinus surélevé" (16) M : les filtres d'émission et de réception sont alors en "racine de cosinus Psurélevé" e Dans le cas optimal, la probabilité (root d erreur M raised binaire M cosine Q E h b( ) ( )! 1 " % min = $ filters). ' (30) log est # minimale, N0 & ( ) Remarque : P b = P b(min) = M 1 Si le canal ne peut pas être assimilé à une M simple log M Q Eh Il s'avère plus intéressant d'exprimer cette probabilité d'erreur. atténuation N 0 en fonction de (avec un retard pur l'énergie moyenne par bit E b définie par : de Il propagation) s avère plus intéressant mais possède d exprimer véritablement cette probabilité un caractère d erreur sélectif en fonction en fréquence, de l énergie une moyenne égalisation par bit E b devient définie par alors : nécessaire pour ( réduire P le plus possible l'ies résultante. s E Diverses techniques sont possibles, b = P le principe s Tb = E b = P s Tgénéral = P s (31) D, consistant à rajouter un filtre b D numérique discret supplémentaire "égaliseur" dont le b gain complexe est, idéalement, où P s est la puissance moyenne de signal utile, T b est la période bit et b et le débit binaire. Les où l'inverse P s est la de puissance celui du moyenne canal de propagation. de signal utile, T b est la période bit et D b est le débit grandeurs qui interviennent ici sont définies à l entrée du récepteur : binaire. Les grandeurs qui interviennent ici sont définies à l'entrée du récepteur : C a n a l h ( t ) c s ( t ) n ( t ) N o R é c e p t i o n h ( t ) r E b E b N o Figure 3.11: Illustration pour E b. Dans le cas de symboles non corrélés équiprobables, et à l'aide de (10) et (11), on en déduit Dans la le puissance cas de symboles moyenne nonde corrélés signal équiprobables, reçu : on peux déduire la puissance moyenne de signal reçu : + a Ps = ) * ( f ) df = h f df s T ) ( ) RP s = γ s (f)df R = M 1 E h, T s M! 1 = h t dt T ) ( ) Perfomances du schéma de transmission 3 37 s s R M! 1 = T E h 3

38 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques d où E b = M 1 log s M E h. On en déduit la probabilité d erreur binaire minimale en fonction du rapport signal-à-bruit E b /N 0 et du parametre M : 30 Communications numériques ( P b(min) = M 1 3 M log M Q log M M 1 E b N 0 ) M = M = 4 M = 8 M = 1 6 P ( e ) b ( m i n ) E 1 0. l o g b ( d B ) N Remarques Figure 3.1: P Dans le cas de symboles binaires (M b en fonction du SNR pour différents M. = ), l'expression (3) devient : Remarques Eb Pb ( min ) ( e ) = Q! " # $ & (33) Dans le cas de symboles binaires (M = ), N l expression 0 % devient : ( ) La probabilité d'erreur binaire minimale est d'autant Eb P plus faible que l'on b(min) = Q. consacre une énergie moyenne par bit E b élevée : il faut N 0 pour cela augmenter la puissance moyenne P s du signal ou/et diminuer le débit binaire D b. La probabilité d erreur binaire minimale est d autant plus faible que l on consacre une énergie L'augmentation moyenne par du bit nombre E de bits par symbole permet une réduction de la b élevée : il faut pour cela augmenter la puissance moyenne P s du signal bande passante ou/et diminuer et donc le par débit là binaire du bruit. D Néanmoins, pour un RSB E b /N 0 fixé, cet b. effet positif ne suffit pas et l'augmentation de M conduit globalement à une dégradation Perfomances des duperformances schéma de transmission en terme de probabilité d'erreur. 38 Inversement, le maintien d'une probabilité d'erreur constante requiert une augmentation du RSB E b /N 0 lorsque M croît : pour un même débit binaire, le passage, par exemple, de M= à M=4 nécessite une augmentation de la puissance 0

39 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques L augmentation du nombre de bits par symbole permet une réduction de la bande passante et donc du bruit. Néanmoins, pour un E b /N 0 fixé, cet effet positif ne suffit pas et l augmentation de M conduit globalement à une dégradation des performances en terme de probabilité d erreur. Canal de Nyquist en bande de base 31 Inversement, le maintien d une probabilité d erreur constante requiert une augmentation du E b /N 0 lorsque M croît : pour un même débit binaire, le passage, par exemple, de M = à 3.5 Taux d'erreur binaire M = 4 nécessite une augmentation de la puissance d environ 4 db et, asymptotiquement, de En pratique, 6 db pourla chaque probabilité doublement d'erreur M. est estimée par une mesure du Taux d'erreur Binaire (TEB) (Binary Error Rate, BER), par le comptage du nombre d'erreurs qui se sont produites lors de la transmission d'un nombre donné de bits. Soient: 3.3. Taux d erreurs binaires p : probabilité d'erreur binaire théorique (inconnue) En pratique, n : la nombre probabilité total d erreur de bits transmis est estimée par une mesure du Taux d Erreur Binaire (TEB) (Binary Error N : nombre Rate, BER), d'erreurs par le constatées comptage du nombre d erreurs qui se sont produites lors de la transmission d un nombre donné de bits. Soient p la probabilité d erreur binaire (inconnue), (34) n le Le TEB! est défini par nombre total des bits transmis et N le nombre des erreurs constatés. Le BER est défini par! " = N n BER = N n. # C'est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B p pq & %, ( (q = 1 ) p). p(1 p) $ n ' C est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(p, n ). Intervalle de confiance Le BER Le TEB est donc est donc un estimateur un estimateur non-biaisé non-biaisé dont l écart-type dont l'écart-type est d autant est d'autant plus faible plus quefaible nombre de que bits le émis nombre n est de élevé. bits émis On n cherche est élevé. la valeur On cherche de n correspondant la valeur de n à correspondant un certain intervalle à un de confiance certain intervalle pour unde risque confiance α donné. pour un risque * donné. Pour Pour nn et et np+ 5 np 5,, on on peut peut utiliser utiliser une une loi loi normale normale réduite réduite centrée centrée posant en posant!( ) p ) 1 z = p(1 p) z = (BER p) pq. n n L intervalle de confiance du BER est alors m BER ± zσ BER. Valeurs courantes: L'intervalle de confiance du TEB est alors m ± z *,. Valeurs courantes:!! f ( z ) risque * z * 5 % 1,96 1 %, % 3 * - z * O z * * z La dispersion relative doit rester limitée, soit z *,. -. On en déduit Perfomances du schéma de transmission m 39 z np + # $ % * & ( - '.!!

40 Section 4 Transmission en bande transposée Dans cette partie du cours nous allons considérer la communication par les canaux gaussiens en bande transposée et allons déterminer son modèle équivalent en bande de base. Dans le premier cours nous avons présenté le modèle général du canal de transmission constituant du filtre du canal avec la réponse impulsionnelle h c (t) et du module de l addition du bruit additif. Jusqu à présent, nous n avons considéré que le cas du canal en bande de base, la transmission ayant lieu dans la région des fréquences basses. A partir de ce cours, nous adopterons le cas de la transmission en bande transposée. Le modèle du canal en bande transposée contient le filtre du canal avec la caractéristique suivante: 1, f f 0 B hc (f) =, 0, sinon. Il existent plusieurs raisons à s intéresser à la transmission en bande transposée, venant de la physique ainsi que des choix pratiques. Il est important de mentionner que le canal entre l antenne à l émission et l antenne à la réception pour les communications sans fils est toujours un canal de bande transposée, puisque les composants des fréquenes basses ne peuvent pas générer des ondes électromagnétiques, capables de se propager sur de grandes distances avec une petite atténuation. Les bandes passantes de ces canaux sont assez larges, mais elles doivent satisfaire des contraintes dictées pas les agréments internationaux, specifiant quelle partie du spectre peut être utilisée et avec quel but. Si f 0 et B sont tels que (h e h c )(t) vérifie les conditions de Nyquist, alors les résutats présentés lors des cours précedents restent valables. Donc,si h e (t) est le filtre d émision de la chaîne construite, alors h r (t) est le filtre adapté correpondant. Néanmois, il existe une autre approche, beaucoup 40

41 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques plus utlisé dans la pratique, indépendant de la fréquence porteuse f 0 et de la bande passante B. Il consiste dans le suivant: on génére un symbole en bande de base et ensuite on décale le spectre du signal vers les fréquences plus hautes pour ensuite l envoyer par le canal en bande transposée. Le récepteur procéde de la manière inverse. 4.1 Quelques notions utiles sur la transformée de Fourier Dans cette partie introductive nous rappelons quelques notions utiles sur la transformée de Fourier. Si s(t) est un signal réel, alors sa transformée de Fourier s(f) satisfait la condition de symétrie: s(f) = s ( f), où s est la conjugée complexe de s. Si s(t) est un signal purement imaginaire, alors sa transformée de Fourier satisfait la condition d antisymètrie: s(f) = s ( f). Nous allons également utiliser la propriété de décalage fréquentiel de la transformée de Fourier: s(t)e jπf0t s(f f 0 ). On déduit de la propriété de symétrie que le spectre d un signal réel a une information redondante. Si nous connaissons s(f) pour f 0, nous pouvons reconstruire la densité spectrale pour tout f et, donc, retrouver s(t). On en déduit également qu un signal réel s(t) est lié directement avec un signal complexe s C (t) occupant la moitié de la bande passante de s(t), notamment le signal obtenu par suppression des composants de s(t) avec les fréquences negatives. Si nous décalons s C (f) par f 0, nous obtenons un signal s 0 (f) avec le support centré aux alentours de f = 0. Sa représentation temporelle s 0 (t) est un signal complexe en bande de base (puisqu il n est pas nécessairement symétrique). Donc, il y a une correspondance entre l ensemble des signaux complexes en bande de base ayant le support [ B, B ] dans le domaine fréquentiel et l ensemble des signaux réels en bande transposée avec le support [ B f 0, B f 0] [ B + f 0, B + f 0]. Maintenant nous développons cette relation. Quelques notions utiles sur la transformée de Fourier 41

42 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques Définissons le filtre avec la réponse impulsionnelle h > (t) par sa transformée de Fourier h > (f): 1, f > 0; h> (f) = 1/, f = 0; 0, f < 0. Ceci est un filtre qui supprime la partie negative du spectre. Si s(t) est un signal réel, on définit s 0 (t) comme signal ayant la transformée de Fourier suivante: s 0 (f) = s(f)h > (f). En passant de s(t) à s 0 (t), nous avons supprimé la partie negative du spectre. Le facteur a été introduit pour que les deux signaux aient la même L norme (et donc la même puissance). Definition Le signal s 0 (t), ne contenant pas des fréquences négatives dans son spectre, s appelle le signal analytique. Il est appelé aussi l équivalent analytique de s(t). Comme s(t) est réel, la partie positive de son spectre contient toute l information nécessaire. Nous pouvons donc faire l opération inverse et reconstruire s(t) de s 0 (t). Nous avons s(t) = Re{s 0 (t)}, puisque Re{s0 (t)} = 1 (s 0 (t) + s 0(t)), dont la transformée de Fourier est s(f) h > (f) + s ( f) h >( f). Pour les fréquences positives, le premier terme est égal à s(f) et le deuxième disparait. Alors, Re{s0 (t)} et s(t) coincident pour les fréquences positives. On prend aussi en compte que deux signaux réels avec les spectres égaux pour les fréquences positives, ont les spectres égaux pour tous f. Pour conclure: soit s(t) un signal réel. En supprimant les fréquences négatives dans son spectre et en multipliant le spectre par pour compenser la perte d énergie, on obtient son signal analytique s 0 (t). La partie réelle du signal analytique est s(t). Passer de s 0 (t) à s(t) est juste la question de décalage de fréquence. Quelques notions utiles sur la transformée de Fourier 4

43 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques 4. Détection en absence du bruit: équivalent du signal en bande transposée dans la bande de base Dans cette section nous allons voir que, pour chaque signal s(t) en bande transposée et pour chaque fréquence porteuse f 0, il existe un signal en bande de base x(t), étant l équivalent de s(t) en bande de base. L importance de cette relation est dans le fait que, en pratique, il est beaucoup plus facile de former le signal x(t) et de le convertir à s(t), plutot que travailler avec s(t) directement. De coté réception, il est également plus facile de travailler avec l équivalent en bande de base plutot qu avec le signal en bande transposée reçu. Deux raisons principales pourquoi il est plus facile de travailler avec x(t): 1. x(t) contient des fréquences basses. Pour les signaux des fréquences basses les fils sont come les passes-partout, tandis que pour les signaux des hautes fréquences ils agissent comme des antennes, alors l interférence entre symboles n est plus nulle.. On peux construire les meilleurs circuits pour une bande passante fixe, et ceci est le cas de la bande passante de x(t). La bande passante de s(t) change si on choisit de faire la transmission sur une autre fréquence porteuse. Pour passer aux fréquences plus basses, nous décalons la fréquence centrale du signal analytique 7.3. Up/Down Conversion 185 s 0 (t) (regardez la section précedente) en utilisant la propriété de décalage de la TF: on le multiplie par e jπf t, où f est le décalage fréquentiel desiré (regardez Fig.4.1). f Before 0 f After f 0 Figure 4.1: Décalage fréquentiel. Let s(t) be real-valued and bandpass. This implies that s F ( f f 0 ) = 0 for f f 0 B for some Soit s(t) B. unthe signal Fourier réel entransform bande transposée. (amplitude Alorsonly) nous avons of such quea s( f f signal 0 is ) = shown 0 pour in f f the 0 B, figure en below supposant (topque figure). B est fixe. TheLa figure TF (l amplitude also depictsseulement) the analytic est présentée equivalent sursignal Fig.4. ŝ(t) (figure du (middle haut). figure) Le signal and the analytique baseband équivalent equivalent s signal s E (t). This is the signal 0 (t) est présenté par la figure au milieu (le changement s E (t) = ŝ(t)e jπf 0t d échelle par n est pas montrée), (Complex-Valued et signal en Baseband-Equivalent bande de base x(t) équivalent of s(t)) est donné par la whose Fourier transform is Détection en absence du bruit: équivalent s E,F (f) = ŝ F (f + f 0 ). (The figure does not show the scaling by du signal en bande transposée dans la bande de base 43 in going from s(t) to ŝ(t).)

44 7.3. Up/Down Conversion 185 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques f figure en bas. Notons que le Before signal équivalent est égal f 0 x(t) = s 0 (t)e jπf 0t (Equivalent complexe de s(t) en bande de base) After f avec la TF 0 x(f) = s 0 (f + f 0 ). Let s(t) be real-valued and bandpass. This implies that s F ( f f 0 ) = 0 for f f 0 B Le forpassage some inverse B. The estfourier évident: transform à partir de(amplitude x(t), on obtient only) diretement of such as(t) signal comme is shown suit: in the figure below (top figure). The figure s(t) = also depicts the analytic equivalent signal ŝ(t) (middle figure) and the baseband equivalent Re{s signal 0 (t)e jπf s 0t E (t). }. This is the signal s E (t) = ŝ(t)e jπf 0t (Complex-Valued Baseband-Equivalent of s(t)) whose Fourier transform is s(t) = Re{x(t)e jπf0t }. s E,F (f) = ŝ F (f + f 0 ). (The figure does not show the scaling by in going from s(t) to ŝ(t).) 0 f 0 f 0 f Figure 4.: Transposition du signal. Going the other way is straightforward. As shown in the Appendix, from s E (t) one immediately obtains s(t) according to s(t) = R{s E (t)e jπf0t }. 4.3 Conversion bande de base/bande transposée 7.3 Up/Down Conversion Introduisons la conversion du signal en bande de base au signal en bande transposée et inversement. Ses conversions sont effectués à l émetteur et au recepteur comment c est demontré sur Fig.4.3. Le As the name indicates, s E (t) is a baseband signal. We know how to generate any such signal envia sortie thedu sampling canal esttheorem w(t) = s(t)+n(t). or via Nyquist Son équivalent pulses asen explained bande de base in Chapter est y(t) 5. = 1 x(t)+v(t) ( Nous 1 allons voir dans la section suivante comment se caractérise v(t)). y(t) est la sortie d un canal The sampling theorem holds unchanged for complex-valued signals. équivalent en bande de base. Conversion bande de base/bande transposée 44

45 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques Re{ } h> (t) Figure 4.3: Conversion du signal. Le traitement du signal présenté sur Fig.4.3 est très repandu dans les systèmes pratiques. Il permet d effectuer le plupart du traitement aux fréquences plus basses, avant de passer aux fréquences plus hautes, et il crée donc le minimum d intérference entre symboles. Dans la partie des exercises nous verrons comment le signal s(t) = Re{x(t)e jπf0t } peut être représenté avec l aide des sinus et cosinus. Ceci nous donne un autre schéma de passage vers la bande transposée, qui est équivalent. 4.4 Bruit du canal équivalent en bande de base Pour confirmer le modèle équivalent en bande de base, il nous faut encore trouver l équivalent du bruit du canal, présent en bande transposée. Bruit du canal équivalent en bande de base 45

46 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques Réponse impulsionnelle équivalente en bande de base Supposons qu un canal en bande transposée a une réponse impulsionnelle réelle h c,bt (t), c est-à-dire il possède la densité spectrale h c,bt (f) dans la bande f f 0 B et est zéro ailleurs. Dans un premier temps, nous nous concentrons sur la reponse impulsionnelle h c,bt (t). Nous voulons retrouver un modèle en bande de base pour h c,bt (t), ne prenant pas en compte le bruit additif du canal. Notons que nous pouvons traiter le filtre de canal et le bruit additif separément grâce à linéarite du modèle de canal. Donc, nous avons la sortie du canal w(t) = (s h c,bt )(t). Prenons la TF de cette expressions. Nous obtenons que ẘ(f) = s(f) h c,bt (f); ẘ(f)h > (f) = s(f)h > (f) h c,bt (f)h > (f); ẘ 0 (f) = s 0 (f) h c0 (f) ; ẙ(f) = x(f) h c (f). La dernière expression obtenu fait le lien entre les signaux x et y, définis en bande de base. Alors, quand on envoit le signal s(t) par un canal avec la réponse impulsionnelle h c,bt (t), c est équivalent à transmettre le signal équivalent x(t) par le canal de réponse impulsionnelle hc(t). Le canal équivalent en bande de base est présenté sur Fig.4.4. h c(t) Figure 4.4: Canal équivalent en bande de base Bruit additif équivalent en bande de base Sur Fig.4.4, le bruit additif n(t) est le bruit équivalent en bande de base au bruit additif gaussien en bande transposée n bt (t). Pour la description complète du canal, il nous reste à déterminer n(t). Bruit du canal équivalent en bande de base 46

47 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques Tout d abord, n(t) est clairement gaussien (en général complexe), avec la moyenne nulle (comme il a été obtenu par des opérations linéaires sur le bruit gaussien). On peux aussi démontrer que n(t) est décorrelé et que sa densité spectrale de puissance est égale à celle de n bt (t), transposée vers la bande de base par f 0 et multipliée par. Le facteur est dû au fait que la variance du bruit en bande de base et en bande transposée est la même. Alors, pour trouver la variance de n bt (t), on l intégre sur la bande de B Hz, tandis que, en bande de base, nous avons la bande passante B Hz. Alors, la densité spectrale de puissance de n(t) doit être le double de n bt (t). Ensuite, il est possible à demontrer que les parties réelle et imaginaire de n(t) ont les mêmes fonctions d autocorrélation et, donc, les mêmes densités spectrales de puissance. Si n bt (f) est symétrique aux alentours de f 0, alors les parties réelle et imaginaire de n(t) sont décorrelées, et, comme elles sont gaussiennes, elles sont indépendentes. Donc, leur densités spectrales de puissance sont les moitiés de n(t). 4.5 Exemple important Considérons un canal gaussien en bande transposée avec la bande passante B. Son canal équivalent en bande de base est un canal gaussien complexe avec la bande passante B/. Nous avons que x(t) = k Z a k h e (t kt s ), ou h e (t) est sinc (où, plus généralement, un filtre répondant aux conditions de Nyquiste). Notons que a k sont les symboles complexes. Le signal s(t) s écrit comme s(t) = Re{x(t)e jπf0t } = cos(πf 0 t)re{x(t)} cos(πf 0 t)im{x(t)} = cos(πf 0 t) Re{x(t)}h e (t kt s ) k Z cos(πf 0 t) Im{x(t)}h e (t kt s ). k Z Exemple important 47

48 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques s(t) = Re{x(t)e jπf0t } = cos(πf 0 t)re{x(t)} sin(πf 0 t)im{x(t)} = cos(πf 0 t) Re{a k }h e (t kt s ) k Z sin(πf 0 t) Im{a k }h e (t kt s ). k Z Ceci est une modulation QAM (quadrature amplitude modulation). Fig.4.5 montre une partie de la chaîne de communication pour l exemple donné. L émetteur est présenté dans la forme utilisant les opérations en domaine réel tandis que la récepteur utilise la notation complexe. Remarque: Sur Fig.4.5, le filtre h > (t) n est plus présent. Il est utile pour le calcul mais, en réalité, si le filtre de réception est un filtre adapté (toujours le cas), alors il mettra lui-même à zéro toutes les fréquences en dehors de la bande passante [ B, B ]. Soit les symboles a k prennent 4 valeurs possibles: 1 + j, 1 + j, 1 + j et 1 j. Autrement dit, a k est formé à partir des vecteur de bits, l un desquels agit sur la partie réelle du symbole, et l autre - sur la partie imaginaire. La bande passante nécessaire pour la transmission est égale à la bande passante quand a k sont les symboles réels et prennent seulement deux valeurs, a k = {±1}. Ceci est le cas quand a k sont formés à partir d un seul bit. En plus, il est possible à montrer que la probabilité d erreur par bit dans ces deux cas est la même, même si nous avons deux bits par symboles au lieu d un. Donc, en utilisant cette modulation avec 4 points dans la constellation, nous pouvons augmenter l efficacité spectrale. Definition L efficacité spectrale D b /B est la quantité de l information utile transmise dans le système de communication ayant la bande passante fixé B. Le plus souvent, D b /B se mesure en bits/s/hz. Exemple important 48

49 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques cos(πf0 t) h e (t) h e (t) sin(πf 0 t) r[jt s ] x(t) + v(t) h e ( t) Figure 4.5: M QAM. e jπf 0t Exemple important: constellation du signal ou a k peut prendre M valeurs. Ceci est Exemple important 49

50 Section 5 Modulations numériques 5.1 Compromis entre l efficacité spectrale, la puissance et le taux d erreurs Lors de construciton d un système des communications, trouver le meilleur compromis entre les divers paramètres de système est fondamental. Les objectifs du constructeur peuvent être les suivants: a) maximiser l efficacité spectrale; b) minimiser le taux d erreurs pas bit; c) minimiser la puissance émise; d) minimiser la bande passante; e) améliorer la qualité de service, c est-à-dire accepter le maximum utilisateurs avec le minimum d intérferences crées entre eux; f) minimiser la complexité du système, etc. Dans cette partie du cours nous nous concentrons sur le compromis entre l efficacité spectrale D b /B, la probabilité d erreurs par bit P b et la puissance du signal émis. Très souvent, P b est remplacé par le BER et la puissance du signal émis par le SNR; c est équivalent. Le but est de maximiser D b /B et de minimiser le BER et le SNR. Comme il est difficile d optimiser ses trois paramétres au même temps, nous allons les considérer par paires, en fixant le troisième paramétre. 50

51 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques La question est jusqu où l optimisation est possible. La théorie de l information est une matière qui étudie les limites théoriques des systèmes de communication. Voici deux exemples importants. Considérons la paire D b /B - SNR, supposant la transmission sur le canal gaussien. théorique dans ce cas est donnée par la théorème de Shannon: ( C B = log 1 + E ( )) b C, N 0 B La limite ou E b N 0 est le SNR, et C/B est l efficacité spectrale maximale (quand le débit binaire D b est égale à la capacité théorique C, étant la valeur maximale possible). Cette relation est présentée sur Fig.5.1. D ailleurs, les systèmes des communications existants sont à peu près à 10 db de cette limite (regardez Fig.5.4). Figure 5.1: Capacité du canal en fonction du SNR. Ici W = B. Pour simplifier, supposons dans la suite que la probabilité d erreurs pas bit P b est fixe. Alors, nous avons à trouver le compromis entre l efficacité spectrale D b /B et la puissance du signal émis (SNR pour P b donné). Le choix du modulateur/démodulateur est dicté par ce compromis. Compromis entre l efficacité spectrale, la puissance et le taux d erreurs 51

52 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques 5. Modulation/démodulation dans la chaîne de communication Les techniques de modulations sont utilisées pour adapter le signal à la bande transposée. Il existe trois méthodes possibles: modulation d amplitude modulation de fréquence modulation de phase Dans les communications numériques, on utilise la modulation d amplitude et la modulation de phase. Ces deux modulations peuvent être utilisées separément, mais dans ce cas elles sont difficiles à générer à l émetteur et difficiles à détecter au récepteur. Donc, en pratique, nous utilisons ces deux modulations d une manière qu elles dépendent l une de l autre: le signal à émettre (qui est complexe) est separé en deux composants, I ( In-phase ) et Q ( quadrature ), qui correspondent aux parties réelle et imaginaire du signal. Definition: La modulation s appele M-aire, si chaque symbole émis peut prendre M valeurs possibles. Dans la plupart des cas, le symbole est formé à partir d un vecteur de k bits, ce qui conduit à M = k. Definition: La modulateur est un module de la chaîne de communication qui forme des symboles a k (en général, complexes), en fonction des vecteurs de bits à son entrée. Le démodulateur est un module situé à la réception, qui estime les valeurs des bits correspondant au symboles a k, en ayant une estimation des a k à son entrée. Lors du design du modulateur, deux choses principales sont à determiner: type de modulation ou la constellation dans la plan complexe, étiquettes des points de la constellation (mapping). Le type de modulation est défini par le fait si le système est plutot limité en puissance ou en bande passante. En ce qui concerne le démodulateur, il est placé derrière le module de prise de décision ou il le remplace. Pour démoduler, on définit les régions de décision sur la plane complexe et on accorde au vecteur des bits estimé la valeur correspondante. Modulation/démodulation dans la chaîne de communication 5

53 - l'intérêt des modulations "bi-dimensionnelles" On n'étudiera du type en détail M-PSK dans et surtout la suitem modulations MDA-M (M-ASK) et MAQ-M ( est mis en évidence sur ces courbes. Une des raisons des bonnes performan modulations classiques du type MDP- (BPS QAM tient à la dépendance en M de la puissance moyenne de porteuse (5) démodulation cohérente; les résultats d'autr en M comme pour la modulation d'amplitude (4) ou la modulation de phas Université de Cergy-Pontoise Communications numériques FSK) seront donnés sans démonstration, à tit - on constate que la modulation QPSK (MDP-4) a les mêmes performan liminée : on est ramené à une étude en bande de base. s calculs sont allégés de façon considérable, surtout en hautes ue la fréquence d'échantillonnage doit simplement vérifier B Fe % & ( f ' + ) 0 +. * riques UX MODULATIONS NUMERIQUES 5.3 Types des modulations La composante de "signal" reçue est de la form P e Q E b Nous allons maintenant présenter les types de modulation les b & plus repandues, Nen 0 % utilisant Fig.5. s( t) = # ik h( t " comme illustration. k Eb Exemple : ( N ) = 105. db ' Pb e i k = { ± 1, ± 3,.. 0 (min) ( ) = 10 ( 6 db q q k k Cependant, l'efficacité spectrale de la modulation QPSK est le double d ond au plan complexe de l'enveloppe complexe. Le lieu des rs du temps l'enveloppe complexe dans ce plan constitue la e de la modulation. L'ensemble des points de l'enveloppe à l'instant 10 de Communications décision correspond numériques à une constellation. k i MDP-4 (QPSK), x ( t) = i g( t # kt ) E k s k est, dans ce cas, réelle. " probabilité d'erreur que la modulation 3.1 BPSK MODULATION (MDP-) soit, A DEPLACEMENT d'après (6): D' en quadrature Q, qui permet de doubler le débit binaire, i s'effectu k accroissement i k de la bande passante. La modulation QPSK constitue un d'optimum et se trouve donc très utilisée pour cette raison. ( t! kts ).cos # f0t! " qk g( t! kts ).sin # f0t k - bien que très performante, la modulation La modulation QAM résiste est à caractère mal aux unidimensi non-linéar xe( t) = " ( ik + jqk ). g( t! kts ) canal, alors que les modulations à la enveloppe porteuse modulée constante est (PSK, nulle. MSK, GMSK k BPSK QPSK 8-PAM Canal de Nyquist en ba MDP- (BPSK) MDP-4 peuvent (QPSK) sans trop d'inconvénients traverser une chaîne non-linéaire : Probabilité d'erreur binaire minimale : q q x( t) =, ik g( t # ktx ( s).cos t) = " $ fi k 0 tg( t! kts ).cos # f0t! " qk g( t! kts ).sin # f k 0t q k k La puissance moyenne du signal utile reçu MAQ-16 (16-QAM) " ( t! kt ).cos # f t! q g( t! kt ).sin # f t x ( t) = ( i + jq ). g( t! kt ) E k k s k 1 P = % = % s s i i k On cherche à exprimer un résultat i en fon pose E = P. T, le remplacement de E h dans b s b M Pb(min) ( e ) " 1 = P S K - 8 G M S K M.log M 16-QAM 8-PSK GMSK MDF (GMSK) - un codage Figure 5.: différentiel Exemples peut des modulations. être utilisé Ce résultat conjointement est exactement à une démodulati le même qu modulation d'amplitude n'apporte t donc aucun gain cohérente évitant la récupération de porteuse;! ce type de codage permet $ a BPSK (Bipolar Phase Shift Keying) - la modulation la plus simple. x( t) = cos Nous # * avons f0t + a k * = ) {±1}., f ( + ) d+ & s'affranchir de l'ambiguïté de phase inhérente à "# cette récupération '( %& (utilisé e Chaque symbole est réel, et ou en Pi/4-DQPSK). Dans ce cas, une erreur sur 1un symbole peut rendre symbole suivant d'où un accroissement de la probabilité - d'erreur: à prob s 0 k s 0 k " x ( t) = ( i + jq ). g( t! kt ) E k k s k (min) ( ) =! " # $ obtenue en BPSK, comme on le voit d'après (4) : en effet, l'exploitation de MAQ-16 (16-QAM) s(t) = a k g(t kt s ) cos(πf 0 t).,f ( t) = ak h( t ' kts ) 4T x( t) = " ik g( t! kts ).cos d'erreur # f t! " 0 constante, qk g( t! kts ).sin le rapport # f 0 t Eb / s k k Z N0 doit alors être augmenté de à 3 db. k k t j* ), f ( + ) d+ QPSK ou 4-QAM - la (Quadriple modulation Phase de Shift fréquence Keying ou binaire Quadrature classique Amplitude x est moins performante xe( t) = " ( ik + jqk ). g( t! kts ) E( t) = e Modulation '( avec M = 4). kles modulation symboles ade k prennent phase, sauf les valeurs sous la 1 + forme j, 1 MSK j, 1 + qui j, possède 1 j. Chaque les mêmes perfor que la modulation On BPSK. a une En modulation GMSK, la à présence phase continue d'ies exige et à enveloppe une augmenta cons rapport Eb / de la modulation GMSK, les symboles ak h( t ' kts ) résultent du f N0 d'environ 0.5 db par rapport à la modulation MSK. Types des modulations NRZ binaire bipolaire par un filtre passe-bas gaussien 53(sans filtre "b i E T * B t h( t) = B.exp. * 0' ln / ln 1 f 3 4 h( f ) = exp. 0' / B

54 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques symbole est généré à partir d un vecteur de bits et s(t) = k Z i k g(t kt s ) cos(πf 0 t) k Z q k g(t kt s ) sin(πf 0 t), avec i k =Re{a k } et q k =Im{a k }. M-PAM (Pulse Amplitude Modulation avec M symboles): a k = {±1, ±,... ± M/}. Les symboles sont réels. Comme nous avons vu dans les cours précedents, cette modulation n est pas très efficace quand M est grand, puisqu elle prend beaucoup de puissance émise. Notons que BP SK est un cas particulier de M-PAM. M-QAM (Quadrature Amplitude Modulation avec M symboles): a k = n+jm, ou n, m Z, n, m M. Ceci est une modulation largement utilisé dans les systèmes avec des limitations en bande passante. Quand la constellation est grande (M grand), elle peut consommer beaucoup de puissance. QPSK est un cas particulier. D habitude, M = 4, 16, 64, 56, parce que, pour les constellations carrées, les voies I et Q peuvent être indépendentes. M-PSK (Pulse Shift Keing modulation avec M symboles): a k = n+jm ou l amplitude de a k est égale à 1, a k = n + m = 1. Autrement dit, les points de la constellation sont situées sur un cercle unitaire autour du zéro. Ceci est une modulation bien adaptée aux systèmes avec des limitations en puissance émise (la puissance émise par symbole est constante et égale à 1). BPSK et QPSK sont des cas particuliers. On rencontre également 8-PSK, mais rarement plus, car avec le nombre des points la probabilité d erreurs par symbole augmente. GMSK (Gaussian Message Shift Keying modulation): une modulation à phase continue et amplitude constante. Pour cette modulation, avec t s(t) = cos(sπf 0 t + π f(θ)dθ) f(t) = 1 a k h(t kt s ), T s sachant que le filtre h(t) est le filtre passe-bas gaussien: π π b t h(t) = b e ln ou ln h(f) = e f b ln. k b est la fréquence de coupure à 3dB du filtre. La modulation GMSK est utilisée dans le système GSM. Types des modulations 54

55 16 Communications numériques Soit encore : y! ( t) = y ( t). e E Université Une de erreur Cergy-Pontoise de phase - 01 " non - Communications nulle entraîne numériques donc une rotation d'angle -" de l'enveloppe complexe : q y E! j" q^ y i y ^ i - y " Il en résulte un mélange des composantes i et q (diaphonie) sauf pour " = # (erreur de Figure signe sur i et sur q) et pour " = 5.3: ± # / Rotation de constellation. (permutation des composantes i et q avec une erreur de signe). La reconstitution locale des porteuses doit donc s'effectuer Considérons une rotation φ de la constellation (Fig.5.3). Notons que, lors de la détection, une erreur idéalement avec une erreur de phase nulle (démodulation cohérente). de phase φ non-nulle entraine une rotation de l angle Ceci conduit au mélange des composants I Faute de pouvoir disposer d'une référence de phase absolue, les systèmes de et Q. Idéalement, la reconstitution des symboels doit s effectuer avec une erreur de phase nulle récupération de porteuse sont en réalité affectés d'une certaine ambiguïté de phase (démodulation cohérente). égale à k.#/. Toute diaphonie entre les composantes est alors évitée, mais il devient Notons nécessaire aussi que d'utiliser chaqueun constellation codage différentiel possède une ou certaine en treillis ambiguité pour retrouver de phase, le autrement message dit, l angle binaire de transmis. rotation pour laquelle on ne peut plus distinguer entre la constellation initiale et la constellation Avec un tournée. filtrage Por adapté, éviter l erreur ce procédé d estimation, devient on optimal utilise le vis codage à vis différentiel: de la probabilité les symboles a k d'erreur. ne correspondent Les composantes pas aux vecteurs filtrées i r des et qbits r forment utiles, alors mais àune la enveloppe différence entre complexe deuxreçue vecteurs re( t), résultat du filtrage de l'enveloppe complexe démodulée y! E ( t) voisins. Avec le filtre adapté à la réception, cette procedure est optimale vis : à vis de la probabilité d erreur. ( ) r ( t) = i ( t) + j q ( t) = (! i $ h )( t) + j( q! $ h )( t) = y! $ h ( t) E r r y r y r E r On en déduit le modèle de démodulation : 5.4 Etiquettage des points de constellation F i l t r e a d a p t é y ^ ( t ) r ( t ) E E Lors de l utilisation y ( t ) d une modulation, la h ( probabilité f ) d erreur par symbole est ^c différente de la E r k probabilité d erreur par bit. Le rôle de l étiquettage est de minimiser P b pour P s donné en choisissant k T les étiquettes des points de constellation s e -j " d une telle maniere qu un erreur de démodulation d un symbole introduit le minimum d erreurs dans l estimation des valeurs de bits. Exemple L'enveloppe important complexe reçue re ( t ) se décompose suivant l'expression (" = 0) : Mapping de Grey pour QPSK: Nous avons 4 points 1 + j, 1 j, 1 j et 1 + j de la % ( % ( constellation, ainsirque E( t) 4= vecteurs ' + ik gdes ( t! étiquettes: kts ) + ib ( t) 00, * + 01, j ' + 10qet 11. k g( t! On ktdistribue s) + qb ( t) les * étiquettes (18) parmi & k ) & k les points de constellation de manière que chaque deux symboles voisins ont la différence ) d un seul où i ( t) + jq ( t) est l'enveloppe complexe du bruit b(t) vu en sortie du filtre adapté. b b Etiquettage des points de constellation 55

56 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques bit dans leurs étiquettes. Comme la plupart d évenements d erreurs consiste dans la détection des symboles voisins, alors, avec une grande probabilité, on se trompe dans l estimation d un seul bit quand un symbole est estimé éronnement. Par exemple, demandons que 1 + j - 00; 1 j - 01; 1 j - 11; 1 + j Comparaison des modulations diverses Faisons la comparaison entre les modulations présentées, en comparant leurs probabilités d erreur par bruit minimales (donc, avec l étiquettage oprimal) et leurs efficacités spectrales. Soit α le coefficient d arrondi du filtre du cosinus surélévé utilisé. Pour la BPSK nous avons: ( ) D b B = α, P Eb b = Q. Pour la M-PAM, la puissance du signal reçu vaut Sachant que E b = P T b, nous obtenons P = 1 σ i E h T s P b,min = M 1 M log M Q N 0 = (M 1)E h T s. ( 6 log M M 1 E b N 0 ). Le resultat en bande transposée est le même que celui pour la bande de base. rapport aucun gain particulier pour P b en bande transposée. L efficacité spectrale est la moitié de celle obtenue en bande de base. D b B = log M 1 + α La M-PAM ne Pour la M-QAM, sous condition d indépendence des voies I et Q, P b = P b,i = P b,q. CE QUI SUIT ET JUSQUA LA FIN DE LA SECTION EST MAL EXPLIQUE ET PAS CLAIR!!! La puissance moyenne par symbole est P = M 1 E h, 3 T s Comparaison des modulations diverses 56

57 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques qui conduit à ( ) M 1 3 P b,min = 4 M log M Q log M E b. M 1 N 0 Comme le spectre de l enveloppe constante occupe la même largeur de bande que les spectre des composants I et Q, Pour la M-PSK, nous avons et P b,min = D b B = log M 1 + α D b B = log M 1 + α ( ) log M Q log M E b sin π N 0 M Fig.5.4 demontre les performances des modulations différentes par rapport aux limites théoriques. Comparaison des modulations diverses 57

58 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques Figure 5.4: Exemple: modulations diverses. Comparaison des modulations diverses 58

59 Section 6 Détection vectorielle Dans cette partie du cours nous allons considérer la détection vectorielle dans le bruit gaussien. Jusqu à présent, nous avons considéré le cas quand les symboles transmis correspondaient aux bits et se trouvaient sur une ligne (BPSK, a i = ±1 R). Regardons maintenant comment change la probabilité d erreur si a i sont des m-uplets de bits, associé à des points dans l espace n-dimensionnelle (a i R m ). Ceci va nous être utile pour les modulations numériques M-aires. Nous allons commencer par considérer points dans l espace R. Ensuite, on généralisera le résultat sur le cas de plusieurs points. 6.1 Cas binaire sur le canal gaussien vectoriel Supposons que les valeurs du bit transmis b (b {0, 1}) sont associés avec les m-uplets a 0 et a 1 : a 0 R m, b = 0; a(b) = a 1 R m, b = 1. z b Mod a y Demod ˆb Figure 6.1: Canal gaussien vectoriel. 59

60 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques Considérons aussi le canal vectoriel gaussien avec Z N (0, σ I m ). Donc, p Z (z) = m 1 z πσ e i=1 i σ = 1 z (πσ e σ ) m/. Suivant Figure 6.1, alors y = a + z; N (a 0, σ I m ), si a = a 0 ; Y N (a 1, σ I m ), si a = a 1. Nous écrivons donc et p Y b (y 0) = p Y b (y 1) = Λ(y) = p Y b(y 1) p Y b (y 0) = exp En prenant logarithme de deux cotés, nous avons 1 y a 0 (πσ e σ ) m/ ; 1 y a 1 (πσ e σ ) m/ ; ( y a0 y a 1 σ LLR(y) = y a 0 y a 1 σ. Si < a, b > denote le produit scalaire de vecteurs a et b, ). alors nous obtenons < a, b >= LLR(y) =< y, a 1 a 0 σ m a i b i ; i=1 > + a 0 a 1, σ le seuil de décision est LLR(y) =< y, a 1 a 0 σ > + a 0 a 1 σ, γ = σ ln p 0 + a 0 a 1 p 1 σ γ = σ ln p 0 + a 0 a 1 p 1 Cas binaire sur le canal gaussien vectoriel 60

61 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques et la règle de décision: < y, a 1 a 0 > ˆb=0 ˆb=1 γ..4. Ceci Receiver dit, lesdesign régions de fordécisions Discrete-Time pour ˆb = AWGN 0 et ˆb = Channels 1 sont separées par un hyperplan 1 We obtain additional insight by analyzing {y R(.8) m :< and y, a(.9). 1 a 0 To >= find γ}. the boundary between R 0 and R 1, we look for the values of y for which (.8) and (.9) are constant. As shown by theceleftqui figure SUIT below, ESTthe MAL setpresente, of points y PAS for which CLAIR!!! (.8) Notez is constant que laisdécision a hyperplane. est basée sur la Indeed, projection by Pythagoras, de y a 0+a y 1 sur al espace y linéaire b equals spannée p par qa 1. The a 0 (qui rightest figure un hyperplan, indicates regardez that rule Figure (.9) 6.a). performs Notezthe aussi projection que y of a 0 y a+b y onto a 1 the = linear p q space, ou pspanned et q sontby lesb a. projections sur The set of points for which this projection is constant is again a hyperplane. Figure 6.b. b q p a y hyperplane (a) y a y b a y (b) b a+b hyperplane The value of p (distance from a to the separating hyperplane) may be found by setting Figure y, b a = T for y = b a 6.: Hyperplan de décision (b) et projections (a). p. This is the y where the line between a and b intersects b a the separating hyperplane. Inserting and solving for p we obtain Etant donné d = a 1 a 0 et d = p + q, on déduit que p = d + σ ln η p = d d q = d + σ ln(p 0 /p 1 ) d σ ln η q = d d σ ln(p 0 /p 1 ) d with d = b a and q = d p. Remarque Dans le cas particulier quand p 0 = p Of particular interest is the case P H (0) = P H (1) = 1 1 = 1/, nous obtenons p = q, et le hyperplan. In this case the hyperplane is the séparant deux régions de décision se trouve de la même distance de a set of points for which (.8) is 0. These are the points y that are at 0 et a the same 1. Alors la décision est distance from aprise andenfrom fonction b. Hence vers quel thepoint ML ydecision est plusrule proche. for the AWGN channel decides for the transmitted vector that is closer to the observed vector. Les observations suivantes peuvent être faites: A few additional observations are in order. Le hyperplan séparant deux régions de décision est plus proche de a 1 quand p 0 p 1 augmente la région de décision The separating hyperplane ˆb = 0 devient plus grande puisque le cas de b = 0 devient plus probable. moves towards b when the threshold T increases, which is the case when P H(0) P H increases. This makes sense. It corresponds to our intuition (1) that the decoding region R 0 should become larger if the prior probability becomes more Cas binaire in favorsur ofleh canal =0. gaussien vectoriel 61 If P H(0) P H exceeds 1, then ln η is positive and T increases with σ. This also makes (1) sense. If the noise increases, we trust less what we observe and give more weight to the prior, which in this case favors H =0.

62 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques 16 Chapter. Si p 0 p 1 > 1, alors le hyperplan de de séparation devient plus proche de a 1 avec σ plus le is bruit est fort, moins on donne de l importance à l observation y et plus - à la probabilité a Ĥ priori p 0. MAP (y) = arg max P H Y (i y) i f Y H (y i)p H (i) Les expressions pour le cas scalaire= sont argun max cas particulier de la détection vectorielle. i f Y (y) De la manière similaire au cas scalaire, = argonmax trouve f Y H (y i)p H (i), i ( d P (err b = 0) = Q σ + σ ln(p ) 0/p 1 ) ; d where f Y H ( i) is the probability density function ( of the d P (err b = 1) = Q σ σ ln(p observable ) Y when the hypothesis is i and P H (i) is the probability of the i th hypothesis. This. rule is well defined 0/p 1 ) d up to ties. If there is more than one i that achieves the maximum on the right side of one Donc, (and thus la probabilité all) of the d erreurs above par expressions, symbole Pthen e est we may decide for any such i without affecting the probability of error. If we want the decision rule to be unambiguous, we can for instance agree that in case P e of = ties p 0 P we (err b pick = the 0) + largest p 1 P (err b i that = 1), achieves the maximum. When all hypotheses have the same probability, then the MAP rule specializes to the ML et, si p 0 = p 1 = 1/, on obtient rule, i.e., ( ) d Ĥ ML (y) = Parg e = max Q. σ f Y H (y i). We will always assume that f Y H is either given as part of the problem formulation or 6. that itcas can be M-aire figuredsur out from le canal the setup. gaussien In communications, vectoriel one typically is given the transmitter, i.e. the map from H to S, and the channel, i.e. the pdf f Y X ( x) for all Considérons x X. From maintenant these two le cas one avec immediately M points, obtains M >. f Dans Y H (y i) ce cas, =f le Y X module (y s i ), de where décision s i à is la the signal assigned to i. réception doit decider lequel de M points a été transmis, en ayant observé y. Donc, il faudra trouver Note that une région the decoding décision (orcorrespondant decision) function à chacun Ĥ de assigns M points, an i regardez H to pour each exemple y Rn Figure. As already mentioned, it can be described by the decoding (or decision) regions R 6.3. i, i H, where R i consists of those y for which Ĥ(y) =i. It is convenient to think of Rn as being partitioned by decoding regions as depicted in the following figure. i R 0 R 1 Ri R m 1 We use the decoding regions to express the error probability P e or, equivalently, the Figure 6.3: Régions de décision. probability P c of deciding correctly. Conditioned on H = i we have P e (i) =1 P c (i) Cas M-aire sur le canal gaussien vectoriel 6 =1 f Y H (y i)dy. R i

63 hyperplane Université de Cergy-Pontoise Communications numériques.4.3 m-ary Decision for n-tuple Observations When Si unh symbole = i, i ah i a, let étés émis, = s i la porbabilité R n. Assume d erreur P H (i) est = 1 donc (this laisprobabilité a commonque assumption m y se trouve à in communications). The ML decision rule is l exterieur de la région de décision correcte R i, Ĥ ML (y) = arg max f Y H (y i) P (err a i i ) = 1 p Y ai (y a i )dy. R 1 i = arg max i (πσ ) exp y s i n/ σ Remarque : Considérons un canal vectoriel gaussien. Si p i = 1 M pour i, 1 i M, alors la = arg min y s i. règle de décision optimale est de choisir i le point a i le plus proche du symbole reçu y. Donc, les régions de décision sont formées par des hyperplans séparateurs, se trouvant à distance égales des Hence a ML decision rule for the AWGN channel is a minimum-distance decision rule as points a i. shown in Figure.5. Up to ties, R i corresponds to the Voronoi region of s i, defined as thedefinition set of points : Les in Rrégions n thatde are décision, at leastformée close avec tolas i règle as to deany la distance other sminimale, j. s appelent les Example régions de 5. Voronoi. (PAM) Figure.6 shows the signal points and the decoding regions of a ML decoder for 6-ary Pulse Amplitude Modulation (why the name makes sense will become L exemple des régions de Voronoi pour M = 3 est donné sur Figure 6.4. clear in the next chapter), assuming that the channel is AWGN. The signal points are elements of R and the ML decoder chooses according to the minimum-distance rule. R 0 R 1 s1 s 0 s R Figure.5: Example of Voronoi regions in R. Figure 6.4: Régions de décision pour M = 3 et R Borne de l union (des évenements) Quand le nombre de points M est très grand et/ou les régions de décision ont une forme assez compliqués, il peut être difficile de trouver l expression exacte de P e. Il y a une borne simple et très utile, qui vient de l observation que, pour deux évenements A et B, P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A) + P (B). Cas M-aire sur le canal gaussien vectoriel 63

64 s 5 s 7 R 5 R 7 R 6 Université de Cergy-Pontoise - 01Figure - Communications.9: 8-ary PSK numériques constellation in R and decoding regions. Cette borne s appele la borne de l union : where E s = s i, i H. Assuming the AWGN channel, the hypothesis testing problem is specified by P ( N ) N i=1a i P (A i ). H = i : Y N (s i, σ I ) i=1 and the prior P H (i) is assumed to be uniform. Since we have a uniform prior, the MAP Appliquée à l expression P (err a i ), cette borne donne and the ML decision rule are identical. Furthermore, since the channel is the AWGN channel, the ML decoder is a minimum-distance P (err a i ) decoder. The decoding regions (up to P (err a i, {a i, a j }), ties) are also shown in the figure. j:i j One can show that ou la notation {a i, a j } montre qu on considère le cas binaire avec les points a i et a j. Dans le cas du canal gaussien vectoriel, on peut développer encore et obtenir P e (i) = 1 π π m exp sin π m E s π P (err a i ) 0 ( sin) ai a j (θ + π ) dθ. σ m Q. The above expression does not lead to a simple σ formula for the error probability. j:i j Now we use the union bound to determine an upperbound to the error probability. With reference to Fig..10 we have: s 3 B 4,3 R 4 s 4 B 4,3 B 4,5 s 5 B 4,5 Exemple : Figure.10: Bounding the error probability of PSK by means of the union bound. Figure 6.5: Exemple d utilisation de la borne de l union. Considérons un exemple d une PSK (Figure 6.5). Considérons P (err s 4 ) pour le point s 4 et les régions de décision paire-par-paire pour ses voisins s 3 et s 5. On peut voir que la région B 4,3 B 4,5 sera comptée deux fois dans la borne de l union tandis qu elle devrait être comptée une seule fois dans l expression exacte de P (err s 4 ). Ceci démontre très clairement que la borne de l union est une borne supérieure. Cas M-aire sur le canal gaussien vectoriel 64

65 Section 7 Codage de canal et de source Dans cette partie du cours nous allons brièvement présenter quelques schémas de codage de source et de canal. 7.1 Codage de canal: quelques schémas de base Nous avons vu aux cours précedents qu il existe un compromis entre la puissance émise de signal et la probabilité d erreur par bit du système: on souhaite émettre le signal à la puissance la plus petite possible (SNR le plus petit possible), mais la probabilité d erreur par bit à la sortie de démodulateur augmente dans ce cas. Pour diminuer la probabilité d erreur par bit, nous utilisons les codes correcteurs d erreurs de canal. Dans la chaîne de communication, le codeur de canal est situé avant le modulateur et le décodeur de canal est situé après le démodulateur. Le codeur de canal procède comme suit: il met en correspondence un vecteur de n bits à un vecteur de k bits a son entrée, oú k < n. Alors, le vecteur en sortie du codeur (appelé le mot de code) contient une certaine redondance par rapport au vecteur à l entrée (appelé le mot d information). Définition Le rendement de code R est le rapport R = k n. 65

66 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques L objectif du codage de canal est de fiabiliser la transmission, c est-à-dire minimiser la probabilité d erreur. Le rendement maximal qu on peut avoir est donné par le résultat suivant: Pour un canal discret sans mémoire de capacité C et pour ɛ > 0 (petit), il existe un code de longueur N (N grand) de rendement R < C et un algorithme de décodage tel que la probabilité d erreur après le décodage est ɛ. Si R > C, la transmission fiable n est pas possible. Voici quelques schémas de codage les plus simples: Exemple 1 (code de parité): à partir de k bits d entrée, le codeur génére k + 1 bits dont les k premiers sont égaux au mot d information et le dernier est XOR du mot d information. Exemple (code à répétition): à chaque bit d entrée, le codeur met en correspondence n bits, dont chacun est la répétition du bit d entrée. Les performances du schéma de codage de canal sont données par les capabilités de détection et/où correction d erreurs, aussi que par le gain de codage. Définition La capabilité de correction d un code est le nombre d erreurs maximal introduits par le canal qui peuvent être corrigés lors le processus de décodage. La capabilité de détection d un code est le nombre d erreurs maximal introduits par le canal qui peuvent être détectés (mais pas forcement corrigés!). Remarque : Notons que la limite théorique asymptotique de correction pour un code de rendement R sur le canal blanc additif gaussien est 1 log (1 + R E b N ), où N = N 0B, et les codes qui atteignent cette limite s appelent les codes s approchant à la capacité. Notons aussi que, en codant l information, nous avons de besoin de transmettre plus de bits, ce qui diminue notre débit binaire utile. Alors est-il utile de coder? Le gain de codage nous montre qu est-ce qu on gagne par rapport à une transmission non-codée des bits d information: Définition Le gain de codage pour une probabilité d erreur P b fixe est la difference des SNR de la transmission non-codée et de la transmission codée utilisant le code sous considération, g db (P e ) = SNR sans codage,db (P b ) SNR codé,db (P b ). Notons que le SNR pour la transmission codée est calculé en prenant en compte la transmission des bits redondants, c est-à-dire la puissance utilisé pour transmettre 1 bit d information utile est égale á 1/n-ème de la puissance totale de transmission du mot de code. Donc, si le gain de codage, Codage de canal: quelques schémas de base 66

67 Université de Cergy-Pontoise Communications numériques calculé de cette manière, est positif, alors le schéma codée rapporte un gain par rapport au schéma sans codage. Le gain de codage peut être negatif si ceci n est pas le cas. Fig.7.1 présente un exemple 3.5. Capacity of the AWGN channel 59 d un gain de codage trouvé pour P b = P e = Figure 7.1: Gain de codage: exemple de [Biglieri]. Figure 3.5: Illustration of coding gain. La question est comment construire la paire codeur/décodeur le plus efficace possible, qui pourraient ing capacity at a certain SNR. Define first the normalized SNR opérer très proche de la limite théorique et avoir une complexité (et, donc, le coût) faible. SNR SNR '- "- C-l(p) Théorie de codage classique Here C denotes the capacity of the channel, interpreted as a function of SNR, such Dans la théorie that de C-I codage (p) is the classique, minimum ouvalue algébrique, of SNR required on étudie to support quelles the constructions actual data rate algébriques p, des codes ont lesin meilleures bitfdimension. capabilité Thus, SNR, de correction. measures Ensuite, how much onthe cherche SNR exceeds des algorithmes this minimal de décodage value. For a capacity-achieving coding scheme, p = C, and hence SNR, = 1 (that efficaces pour les codes proposés. is, 0 db). A practical scheme (which has p < C) requires an SNR that is larger Dans la très than grande SNR, plupart by some desfactor, cas, nous which demandons is precisely authe code normalized d être linéaire, SNR. Thus, c est-à-dire the value représenter of the normalized signal-to-noise ratio signifies how far a system is operating from une transformation linéaire des mots d information vers les mots de code. Ceci nous donne une the capacity limit. description compacte Recall that, du code, with ainsi no constraint que un algorithme on the choice deof décodage the (one-dimensional) de moindre complexité. signal constellation X, the channel capacity is given by Depuis des années 50, nous connaissons des constructions des codes optimales des longueurs de quelques dizaines de bits (code de Hamming 1 et codes de Golay par exemple). Cependent, pour les C = - log(1 + SNR) bitjdimension systèmes des communications sans fils nous avons d habitude besoin des codes avec des longueurs Codage de canal: quelques schémas de base 67