Exercices. La fonction logarithme népérien. Ensemble de définition Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes : 1) ln(x 2 1

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1 Eercices. La fonction logarithme népérien Eercice I Simplifications Simplifer les écritures suivantes : 1) A=e ln 3 ; B= e3+ln 8 e 2+ln 4 ; C= eln 8 e 3 ln 2 2) f )=e ln 1)+ln ; g)=ln e 1 + e ln Eercice II Ensemble de définition Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes : 1) ln 2 1 ) ; ln1 ) ; ln 3) ; ln1+ ) ; 1 ln 2) ln 2 + 4) ; ln ; ln +1 ln 1 ; ln 3) lne 1) ; e + ln ; ln e e ln+1) ; e ln2 1) Eercice III Équations : Résoudre les équations suivantes : ) 3 2 1) ln2 2)=1 2) ln2 )= 3 3) ln 2 8)=0 4) ln 1 1 ) = 2 5) e +2 = 3 6) e +1 = 2 7) e + 1)e 4)=0 8) ln3 4)=ln 2 4) 9) ln 3)=ln 2 4) 10) ln 2)=ln 2 11) ln 2)=ln 2 2) Eercice IV Inéquations : Résoudre les inéquations suivantes : 1) ln <1 2) ln 2 3) 1 ln 2 4) ln2 1)> 1 5) e 1 < 2 6) e +1 > 3 7) 1 2 e 2 paulmilan 1/ 6 5 décembre 2011

2 eercices 8) e + 1)e 4) 0 9) ln 2) ln2 1) 10) ln 3) ln 2 4) 11) ln 1+ 2 ) ln 12) ln ln 2 2) Eercice V Logarithme du produit 1) Simplifier : a=ln 3+ln 1 3 ; b=ln 1 16 ; c= 1 2 ln 2 2) Eprimer les nombres suivants en fonction de ln 2 et ln 5 a=ln 50 ; b=ln 16 ; c=ln ) Démontrer que : ln2+ 3)+ln2 3)=0 4) Préciser l ensemble des réels pour lesquels l égalité est vraie. ) 1 ln 2 )=ln +ln 1) ; ln = ln 1) ln+2) +2 5) Résoudre les inéquations suivantes d inconnue n entier naturel ) n a) 2 n c) 0, 2 5 ) n 1 b) 10 2 d) 1+ 3 ) n Eercice VI Équations plus difficiles : Résoudre les équations suivantes : 1) 2 ln =ln+4)+ln 2 2) ln+3)+2)=ln+11) 3) ln 3 1+ln 1=ln 2) 4) ln +2 +ln 2 =0 5) ln 2 +ln+4)=3 ln 2 6) ln 2+3 +ln 1 =2 ln 7) ln 2 2 ln 3=0 8) e 3 = 4e 9) e 2 5e + 4=0 10) e 2 5e + 6=0 { 2 + y 2 = 10 11) ln +ln y=ln 3 +y=1 12) 3e e y+3 2e 2 = 0 { 2 ln +ln y=7 13) 3 ln 5 ln y=4 { ln ln y= 12 14) ln y=1 e 1 15) e ey = 1 2e + e y = 4+e paulmilan 2/ 6 5 décembre 2011

3 eercices Eercice VII Inéquations plus difficiles : Résoudre les inéquations suivantes : 1) ln5 ) ln 3+ln 1) 0 2) ln3 2 ) ln +ln 2 3) ln3 2 2) ln6+4) 4) 3 ln >ln3 2) 5) e 2 < 2e 6) e +ln 4 > 2 3 7) e +2 3 e 8) ln 2 2 ln 3 0 9) ln 2 ln 2 3>0 10) 3e 2 7e + 2<0 Eercice VIII Inéquation du 3 e degré Pour tout réel, on pose : P)= ) a) Vérifier que P 1) = 0 b) En déduire une factorisation de P) c) Résoudre alors l inéquation : P) 0 2) Utiliser les résultats précédents pour résoudre l inéquation : 2 ln +ln2+5) ln2 ) Eercice IX Limites Déterminer les limites au point considéré : 1) f )= ln en+ 4) f )= + ln 1+ 1 ) en+ 2) f )= +1+ ln en+ 5) f )=lne + 2) en et+ 3) f )= 1 ) e ln en 0 6) f )=ln en et+ 2e + 3 Eercice X Dérivées Pour les fonctions suivantes calculer la fonction dérivée 1. f )=ln1+ 2 ) 1 2. f )=ln f )=lnln ) 4. f )= ln+1) ln 5. f )=e ln 6. f )=e ln 7. f )=ln1+e ) 8. f )=lne 2 e + 1) paulmilan 3/ 6 5 décembre 2011

4 eercices Eercice XI Études de fonctions 1) Soit la fonction f définie surr + par : ) f )= 4+ln +1 a) Démontrer que f est strictement croissante. b) Démontrer que la droite d d équation y= 4 est asymptote à la courbe C f au voisinage de+. Priciser les positions relatives. c) Tracer d et C f. 2) Soit la fonction f définie sur ]1;+ [ par : ) f )= +1+2 ln 1 a) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation. b) Démontrer que la droite d équation y= +1 est asymptote à la courbe C f au voisinage de+. On précisera les positions relatives. c) Tracer d et C f. 3) f est la fonction définie sur ]1;+ [ par : f )= +ln 2 1) a) Démontrer que f est strictement croissante sur ]1;+ [. b) Visualiser la courbe C f sur votre calculatrice. La courbe admet-elle une asymptote? c) Démontrer que l équation f )=0 a une unique solutionαdans ]1;+ [. Trouver un encadrement deαà10 1. Eercice XII Eercice BAC 1 f est la fonction définie sur I=]0;+ [ par : f )= ln 2 C f est sa courbe représentative dans un repère orthonormal. 1) a) Pourquoi la droite d d équation y= est-elle asymptote oblique à C f? b) On note h la fonction définie sur I par h) = + ln. Démontrer que l équation h)=0 a sur I une solution uniqueαtelle que : 0, 5<α<0, 6. c) En déduire la position relative de C f et d. 2) a) Démontrer qe pour tout réel de I, f )= g) où g est une fonction définie sur I que l on précisera. 3 paulmilan 4/ 6 5 décembre 2011

5 eercices b) Démontrer que pour tout de I, on a g) 1. c) En déduire les variations de f et tracer C f. Eercice XIII Eercice BAC 2 f est la fonction définie sur ]0;+ [ par : f )= ln 2 et C f est sa courbe représentative dans un repère orthonormal. 1) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations. 2) a) On note A le point de C f d abscisse 1. Trouver une équation de la tangente T à C f en A. b) Construire T, puis C f. 3) M est un point de C f. Démontrer que la tangente T u à la courbe C f en M est parallèle à la droite d équation y= si, et seulement si : u ln u=0 [1] 4) À partir de l équation [1], démontrer que A est le seul point de C f en lequel la tangente est parallèle à la droite d équation y=. Eercice XIV Eercice BAC 3 A : Étude d une fonction auiliaire g est la fonction définie sur [0;+ [ par : g)= ln1+ 2 ) 1) Démontrer que sur l intervalle [1; + [, l équation g) = 0 admet une solution unique α et doner pourαun encadrement d amplitude ) Préciser le signe de g) sur l intervalle [0;+ [. B : Étude d une fonction f est la fonction d"éfinie sur [0;+ [ par : f )= ln1+ 2 ) f 0)=0 si >0 1) a) Quelle est la limite de f ) f 0) quand tend vers 0? paulmilan 5/ 6 5 décembre 2011

6 eercices b) En déduire que f est dérivable en =0 et trouver une équation de la tangente T en =0 à la courbe C f. 2) a) Vérifier que pour tout réel >0, b) En déduire la limite en+. f )= 2 ln 3) a) Démontrer que pour tout réel >0, b) En déduire les variations de f. c) Contruire T, puis C f. + 1 ln ) f )= g) 2 Eercice XV Eercice BAC 4 f est la fonction définie sur [0; 1] par : f )= ln 2 +1) si >0 et f 0)=0 C f est sa courbe représentative dans un repère orthonormal. 1) a) Démontrer que lim 0 + ln2 =0. b) La fonction f est-elle dérivable en zéro? c) Pourquoi C f admet-elle une tangente verticale au point d abscisse 0? 2) Étudier les variations de f sur l intervalle [0; 1]. 3) On note A le point de coordonnées 0; 1). a) Démontrer que la tangente en A à C f passe par O. b) Étudier la position relative de C f et de la droite OA). 4) Tracer la courbe C f. Eercice XVI Eercice BAC 5 : avec des suites u n ) est la suite définie par : { u0 = e 3 u n+1 = e u n On note v n ) la suite définie pour tout n par : v n = ln u n 2 1) Démontrer que la suite v n ) est géométrique et préciser v 0 et sa raison r. 2) En déduire v n, puis ln u n, en fonction de n. 3) a) Quelle est la limte de la suite v n )? b) En déduire que la suite u n ) converge vers e 2. paulmilan 6/ 6 5 décembre 2011