2. Equations et inéquations du second degré

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1 I- Eemples de résolution simple. Résoudre dans R les équations suivantes : (E) : = 0 (E2) : ( )(4 + ) = 0 Rappel : Si un produit de facteurs est nul, alors l'un au moins des facteurs est nul. 2. Factoriser puis résoudre dans R les équations suivantes : (E 3 ) : = 0 (E 4 ) : = 0 3. Problème conduisant à la résolution d'équation du second degré. ABCD est un trapèze tel que DC = 20 cm et AB = BH =. a) Eprimer l'aire du trapèze en fonction de A B Rappel : L'aire d'un trapèze de bases b et B et de hauteur h est A = (b + B) h. 2 D H C b) L'aire du trapèze est de 22 cm 2. Quelle équation obtient-on? c) Développer, réduire et ordonner P() = ( - 2)( + 22).... d) En déduire les solutions de l'équation obtenue à la question 3. b) et la valeur de pour laquelle l'aire du trapèze est de 22 cm

2 4. Résoudre dans R les inéquations suivantes : (I) : > 0 (I2) : > 0 5. Dans le repère orthonormal (O, i, j), on considère la parabole d'équation y = Résoudre graphiquement l'équation = 0. y y = j O i

3 II- Résolution de l'équation a 2 + b + c = 0 dans R, a 0 On appelle équation du second degré une équation de la forme a 2 + b + c = 0 avec a 0. a est le coefficient de 2, b le coefficient de, c le terme constant.. Pour chaque équation du second degré proposée : donner le valeur des coefficients a, b et c Equation a b c = = = = = = calculer la valeur du nombre réel = b 2-4 a c appelé discriminant. calculer, quand cela est possible, les valeurs de et 2 telle que : = (si cela n'est pas possible, indiquer la raison) vérifier que et 2 sont solutions de l'équation. (-b - ) (2a)... ; 2 = (-b + ) (2a) Que conclure sur l'eistence et le nombre de solutions de l'équation a 2 + b + c = 0? Généralier et compléter les phrases : le nombre de solutions dans R de l'équation a 2 + b + c = 0 dépend... si < 0 l'équation... si = 0 l'équation... si > 0 l'équation...

4 4. Résoudre dans R les équations suivantes : (E) : = 0 (E2) : = 0 (E3) : = 0 (E4) : = 0 5. Interprétation géométrique Pour chaque cas vu précédemment, on considère la parabole d'équation y = a 2 + b + c. A partir du tracé, (figure ci-dessous), des paraboles d'équation : P : y = ; P 2 : y = ; P 3 : y = ; P 4 : y = résoudre graphiquement (E ) : = 0,... P3 y P... P 2... résoudre graphiquement (E 2 ) : = 0, résoudre graphiquement (E 3 ) : = 0, O... P 4 résoudre graphiquement (E 4 ) : = 0,... 2

5 III- Factorisation du polynôme du second degré. Résoudre dans R les équations suivantes : (E) : = 0 (E2) : ,5 + 0,5 = Développer les epressions P() et Q() : P() = 3( - )( + 2) Q() = -2( + 0,25)( - ) Soit l'équation a 2 + b + c = 0 (a 0), (= b 2-4 ac) son discriminant et P le polynôme du second degré défini par P() = a 2 + b + c. Compléter le tableau. L'équation a > 0 = 0 < 0 = = et 2 = P() peut se factoriser P() peut se factoriser P() P() = L'équation a P() = 4. Factoriser le polynôme P() = = L'équation Signe du polynôme P() = : compléter le tableau de signe, ligne par ligne On place les valeurs et P() On place les signes du premier facteur On place les signes du second facteur On applique le produit des signes. 6. Conclure :

6 7. Résoudre dans R l'inéquation < 0 en détaillant les étapes On donne le tableau de variation de la fonction f définie sur R par f () = Compléter le tableau de valeurs. - -2,5 + -2,5-2 -,5 - -0,5 0 f () -0,25 f ()... Construire la représentation graphique de f et retrouver graphiquement les solutions de l'inéquation précédente. y j O i

7 IV- Eemple d'arithmétique L'objectif du problème est de trouver deu nombres dont le somme est 8 et le produit Soit et y ces deu nombres s'ils eistent. Quel système d'équations vérifient-ils? En utilisant la méthode de substitution montrer que le problème se ramène à une équation du second degré Résoudre cette équation et déterminer et y V- Eemple de géométrie Le parallélépipède rectangle ci-contre a une base carrée de cm de côté et une hauteur de 0 cm.. Eprimer en fonction de l'aire totale de toutes les faces Déterminer sachant que l'aire totale est de 7000 cm

8 VI- Eemple d'économie M. Hervé place une somme de à intérêts simples au tau annuel de 5 % pendant mois. Au bout de mois, il retire ce capital et les intérêts obtenus pour les placer (à intérêts simples) au tau annuel de 0 % pendant la même durée mois. Rappel : L'intérêt i produit par un capital C, placé pendant n années au tau annuel t est : i = C t n. Déterminer en fonction de le montant C () du capital acquis (capital + intérêts) à la fin du premier placement Déterminer en fonction de le montant C2() du capital acquis (capital + intérêts) à la fin du deuième placement Calculer si à la fin du deuième placement, il dispose d'un montant de 2 472,