Chapitre 1 MATRICES TES-spécialité

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1 Chapitre 1 MATRICES TES-spécialité I Généralités sur les matrices Définition Une matrice de taille m n est un tableau de nombres réels formé de m lignes et n colonnes. On note a i, j l'élément (appartenant à R ) de la matrice situé à l'intersection de la i-ième et de la j-ième colonne. Les nombres a i, j sont appelés les coefficients de la matrice. Une matrice A est représentée entre deux parenthèses comme suit : =( Exemple P ) est une matrice d'ordre 2 3 et a =120, a =60. 2,3 1,1 Définition Une matrice ayant le même nombre n de lignes et de colonnes est une matrice carrée d'ordre n. =( 2 Exemple C ,5 0, ) est une matrice carré de taille 3. Définition Une matrice formée d'une seule ligne et de n colonnes (c'est à dire de taille 1 n) est une matrice ligne ou vecteur ligne. Exemple A=( ) est une matrice ligne de taille 1 3. Définition Une matrice formée d'une seule colonne et de m lignes (c'est à dire de taille m 1) est une matrice colonne ou vecteur colonne. Exemple C =(28 ) 6 est 0 une matrice colonne de taille 3 1. Propriété Deux matrices sont égales si, et seulement si, elles ont la même taille et ont les coefficients égaux placés aux mêmes positions.

2 II Opérations sur les matrices 2.1 Somme de matrices Définition Soit A et B deux matrices de même taille. La somme des deux matrices A et B, notée A+B, est la matrice obtenue en ajoutant les coefficients de A et ceux de B situés à la même place. A=( Exemple ) et B = ( 0 2 ) 3 5 alors C =A+B = ( ) = ( ) Remarque Soit A et B deux matrices de même taille, alors on a A B = A + (-B). (en prenant soin de prendre l'opposé des coefficients de la matrice B) Propriété Soit A, B et C trois matrices de même taille. 1) Commutativité : A + B = B + A 2) Associativité : (A + B) + C = A + (B + C) 2.2 Multiplication par un réel Propriété Soit A une matrice et k un nombre réel. Le produit de A par le réel k est la matrice ka, dont les coefficients sont obtenus en multipliant tous les coefficients de A par k. Exemple A=( ) et B= 1 2 A = ( ) Propriété Soit A et B deux matrices de même taille et k, k' deux réels. 1) k (A + B) = ka + kb 2) (k + k') A = ka + k'a 3) kk'a = k (k'a) 2.3 Transposée d'une matrice Définition Soit A une matrice de taille m n. La transposée de la matrice A, notée t A, est la matrice de taille n m obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A.

3 Exemple A=( ) est de taille 2 3 d'où t A= ( ) est de taille Produit d'une matrice carrée par une matrice colonne Définition Soit A une matrice carrée de taille n et B une matrice colonne à n lignes telles que : 11 a a 1n 1 a A=(a 21 a a 2n b et B =(b a n1 a n2... a nn) n)... b Le produit de la matrice A par la matrice colonne B est la matrice colonne à n lignes, notée A B et égale à : =( a 11 b 1+a 12 b a 1n b n a A B 21 b 1 +a 22 b a 2n b n) n... a n1 b 1 +a n2 b a nn b A=( Exemple Soit 2 5 1) 3 et B = ( 3 4) alors A B = ( ) = ( 5) Produit de deux matrices Définition Soit A une matrice de taille n p et B une matrice de taille p m telles que : 11 a a 1p b... b m a A=(a 21 a a 2p b et B =(b 21 b b 2m a n1 a n2... a np) b p1 b p2... b pm) Le produit de ces deux matrices est la matrice de taille n m, notée C=A B et le premier coefficient est obtenu en faisant le produit de la première ligne de A par la première colonne de B, le deuxième coefficient est obtenu en faisant le produit de la première ligne de A par la deuxième colonne de B, et ainsi de suite :

4 Moyen mnémotechnique Exemple

5 Remarques Propriété Soit A, B et C trois matrices telles que les sommes et les produits sont définis ci-dessous sont définis : 1) A (B C) = (A B) C 2) A (B + C) = A B + A C 3) ( A + B) C = A C + B C III Matrice carrée 3.1 Matrice unité Définition Une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls, sauf éventuellement les coefficients de la diagonale, est appelée matrice diagonale. Exemples D =( ) est une matrice diagonale. A=( diagonale n 'est pas une matrice 6 0 3) Définition Soit n un entier naturel tel que n 2. La matrice diagonale d'ordre n (n lignes et n colonnes) dont tous les coefficients sur la diagonale sont égaux à 1 est appelée matrice unité (ou identité) d'ordre n, et on la note I n.

6 =( Exemples I 1 0 1) I 0 3 =( ) I =(1 1) Propriété Soit A une matrice carrée d'ordre n. Alors, on a : A I n =I n A, où I n est la matrice unité d'ordre n. Exemple 3.2 Puissances d'une matrice carrée Définition Soit A une matrice carrée d'ordre n. La puissance p-ième de la matrice A est la matrice carrée d'ordre n obtenue en effectuant le produit de p matrices égales à A. A p = A A A... A Par convention A 0 = I n Exemple

7 Méthode Utiliser la calculatrice pour effectuer des calculs matriciels

8 3.3 Inverse d'une matrice carrée Définition Une matrice carrée A d'ordre n est une matrice inversible s'il existe une matrice carrée B d'ordre n telle que A B=B A= I n. La matrice B, notée A 1 est appelée la matrice inverse de A. Toutes les matrices ne sont pas inversibles A=( Exemple Soit 3 1 ) 2 1 et B = ( 0,2 0,2 0,4 0,6). A et B sont inversibles. Propriété La matrice A=( a b ) c d est inversible ssi ad bc = 0 Exemple et méthode Propriété Soit A une matrice carré inversible de taille n et M, N deux matrices carées ou colonnes de taille n. On a : A M =N ssi M =A 1 N Démonstration

9 Méthode Résoudre une équation matricielle 3.4 Applications au système linéaire Exemple

10 Exemple et méthode