4 Compléments à l étude de fonctions:développements limités, convexité. 4.1 Rappels de théorèmes importants

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1 Licence Economie Gestion 1 e année. Cours de Mathématiques. Chap 4 p1/9 4 Compléments à l étude de fonctions:développements limités, convexité 4.1 Rappels de théorèmes importants Théorème de ROLLE Si a,b sont deux nombres réels distincts, f une fonction: x [a; b] a f(x) définie et continue sur [a;b], dérivable sur ]a;b[ et telle que f(a) = f(b), alors il existe au moins une valeur c de l intervalle ouvert ]a;b[ qui vérifie f (c) = 0. Démonstration: si f est constante sur [a,b], alors pour tout c de ]a,b[ f (c) =0. Supposons f non constante. Puisque f est continue, l image par f de l intervalle [a; b] est un intervalle. De plus, (propriété admise) l image par une fonction continue d un intervalle fermé est un intervalle fermé ( attention, en revanche il n y a pas de propriété analogue pour des intervalles ouverts). Il existe donc m et M réels tels que f( [a,b] ) = [m,m] et il existe donc c1 et c2 tels que f(c1)=m et f(c2)=m. Or f est non constante, et f(a) = f(b). Donc au moins un des 2 nombres m,m est différent de f(a). Si M f(a), f atteint son maximum M en c2 de ]a;b[, donc f (c2)=0. Si m f(a), f atteint son minimum m en c1 de ]a;b[, donc f (c1)=0 Conséquence : théorème des accroissements finis Si une fonction f : x [a;b] a f(x) est définie et continue sur le segment [a;b], dérivable sur l intervalle ] a;b[, il existe alors au moins une valeur c de ]a;b[ telle que : f (b) - f(a) = (b - a) f (c) Interprétation géométrique de ce théorème: f ( c) est le coefficient directeur de la tangente à C(f) au point C ( c, f(c)). f(b) - f(a) b - a est le coefficient directeur de la droite (AB) ( avec A ( a,f(a)) et B ( b, f(b) ). f(b) f(c) f(a) B A b c a Démonstration : il suffit d appliquer le théorème de Rolle à la fonction Φ telle que : f(b) - f(a) Φ(x) = f(x) - [ (x -a) b - a + f(a) ] ( l expression entre crochets définit une fonction affine de x dont la représentation graphique est (AB) ), après avoir vérifié que toutes les hypothèses du théorème sont satisfaites.

2 Licence Economie Gestion 1 e année. Cours de Mathématiques. Chap 4 p2/9 4.2 Développements limités de fonctions à une variable Formule de Taylor-Young On sait qu une fonction est dérivable en x 0 et admet f (x 0 ) pour nombre dérivé en x0, si et seulement f(x0 + h ) - f(x0) si : lim = f (x0) h->0 h c est-à-dire si et seulement si : f(x0 + h ) = f (x0) + h f (x0) + h ε ( h) avec lim h->0 ε ( h) = 0 On dit alors que f admet un développement limité d ordre 1 en x 0. La formule de Taylor - Young généralise ce développement: Théorème : Si une fonction f admet des dérivées jusqu à l ordre n en x 0, alors il existe un intervalle V, ouvert contenant 0 tel que : ( h V) f ( x 0 + h) =f (x 0 )+ h 1! f '(x 0) + h2 2! f '' (x 0) hn n! f (n) (x 0 )+hn ε(h) avec lim h->0 ε(h) = 0 Si f admet des dérivées à droite (respectivement : à gauche), jusqu à l ordre n, en x 0, on a une propriété analogue en remplaçant V ouvert par V ouvert à droite (respectivement : à gauche). 4.3 Développements limités Définition On dit qu une fonction f définie sur un voisinage V 0 de 0 admet un développement limité (D.L.) d ordre n au voisinage de 0 s il existe un polynôme F de degré au plus égal à n tel que f(x) - F(x) soit un infiniment petit d ordre n par rapport à x, c est-à-dire si on peut écrire: x V 0 f(x) = a 0 + a 1 x a n x n + x n ε ( x) avec lim x->0 ε ( x) = 0 a 0 + a 1 x a n x n s appelle la partie régulière du D. L. et x n ε(x) est le reste du D.L. De même si f est définie sur le voisinage V x0 de x 0 on définit le D.L. d ordre n de f(x) au voisinage de x 0 par celui de f(x 0 +h) ( en posant x = x 0 + h) au voisinage V 0 de 0. Ainsi pour h V 0 ou x V x0 : f(x) = a 0 + a 1 h + a 2 h a n h n + h n ε (h) = a 0 + a 1 (x - x 0 ) + a 2 (x -x 0 ) a n (x - x 0 ) n + (x-x 0 ) n ε(x-x 0 ) avec lim ε( x - x0) = 0. x->x 0 Remarques : 1) la plupart du temps pour trouver un D. L. au voisinage de x0 on pose x=x 0 +h et on se ramène à un D.L. au voisinage de 0. 2) la formule de Taylor-Young est un moyen pour déterminer certains D.L. mais il y a d autres méthodes comme on va le voir plus loin. Exemples: 1) Trouver la partie régulière du D.L. de ex d ordre 4 à l origine. En déduire une valeur approchée de e0,1 et étudier l erreur commise. 2) Déterminer le développement limité d ordre n de x a 1 1-x au voisinage de Opérations simples sur les développements limités Etant données les parties régulières ( PR) des D.L. d ordre n de deux fonctions f et g au voisinage de x 0, on a: f + g admet un D.L. d ordre n au voisinage de x 0 et PR ( f +g ) = PR ( f) + PR ( g ) f.g admet un D.L. d ordre n au voisinage de x 0 et PR ( f.g) = (PR(f).PR(g) ) n

3 Licence Economie Gestion 1 e année. Cours de Mathématiques. Chap 4 p3/9 où PR(f).PR(g) )n désigne le produit des 2 polynômes de degré n dans lequel on ne garde que les termes de degré inférieur ou égal à n. f * g admet un D.L. d ordre n au voisinage de x 0 si g(x 0 ) 0 et PR ( f g ) = ( PR(f) PR(g) ) n, où ( PR(f) PR(g) ) n désigne le quotient des 2 polynômes dans la division suivant les puissances croissantes quand on s arrête au degré n. Exemple : Supposons que f(x) = x 2 x 2 + x 2 ε 1 (x) et g(x) = 2+5x +2x 2 +x 2 ε 2 (x) Avec lim x 0 ε 1(x) = lim x 0 ε 2(x) = x -2x x +2x 2 -(6 +15x +6x 2 ) 3 -x -3x 2 /2-2x -8x 2 -(-2x -5x 2-2x 3 ) -3x 2 +2x 3 -(-3x 2-15x 3 /2-3x 4 ) 19x 3 /2 +3x 4 Alors f(x)/g(x) = 3-x-3x 2 /2 + x 2 ε 3 (x) avec lim x 0 ε 3(x) = Dérivation et intégration d un développement limité Théorème 1 si la fonction f est dérivable sur un voisinage de x0 et si f admet un D.L. d ordre n au voisinage de x 0, alors la fonction f admet au voisinage de x0 un D.L.d ordre n+1 dont la partie régulière est la primitive de celle de f qui prend la valeur f(x0) en x0. Théorème 2: si f est une fonction dérivable au voisinage de x0 et si f et f admettent des D.L. d ordres respectifs n et n - 1 au voisinage de 0, alors PR(f ) est la dérivée de PR (f). Attention ce théorème n indique rien dans le cas où vous ne savez pas si f admet un d.l Développements limités usuels Voici les principaux D.L. à connaître. Ce sont des D.L. au voisinage de 0, et dans chaque D.L. ε désigne une fonction définie sur un voisinage de 0 et telle que lim ε(x) = 0. A chaque ligne la fonction désignée par x->0 ε est évidemment différente de celles des autres lignes x = 1 + x + x2 + x x n + x n ε(x). ln (1+x) = x - x2 2 +x3 3 (1+x) m = 1 + mx + m(m-1) 2! ( -1 ) n-1 xn n + xn ε ( x) x 2 e x = 1 + x 1! + x2 2! xn n! + xn ε(x) sin x = x - x3 3! + x5 5! - x7 7! (-1)n+1 cos x = 1 - x2 2! + x4 x2n 4! (-1)n (2n)! + m(m-1)(m-2) 3! x 2n - 1 (2n - 1)! + x2n ε(x) + x 2n+1 ε(x) x 3 m(m-1)(m-2)... (m-n+1) n! x n + x n ε(x) ( m IR )

4 Licence Economie Gestion 1 e année. Cours de Mathématiques. Chap 4 p4/9 La plupart de ces D.L. peuvent être obtenus à partir de la formule de Taylor-Young, ou en prenant des primitives d autres D.L. On pourra le montrer en exercice. Exemples de calculs de D.L. : 1) Déterminer le D.L. de f(x) = ln(1+x) à l ordre 4 au voisinage de 0. 1+x 2) Déterminer le D.L. de f(x) = tan x au voisinage de 0 à l ordre 5. 3) Attention à une erreur fréquente! On cherche à établir un développement limité à l ordre 2 de x ]-2, + [ a ln(2+x), au voisinage de x = 0. Le raisonnement suivant est FAUX! Trouver l erreur et établir un raisonnement correct : «ln(2+x) = ln( x) = ln(1+ u) en posant u = 1+x d où ln(2+x) = u u2 + u 2 ε (u) avec lim ε(u) = 0, u->0 d où ln(2+x) = 1+x (1+x)2 + x 2 ε 1 (x) avec lim x->0 ε 1(x) = 0, donc ln(2+x) = x2 + x 2 ε 1 (x) avec lim x->0 ε 1(x) = 0» Application au calcul des limites Les D.L. permettent de faire une approximation d une fonction par un polynôme. Cela permet en particulier de simplifier de nombreux calculs de limites et lever des indéterminations. Rappelons que si l on peut utiliser des équivalents pour des produits et des quotients de fonctions, on ne peut pas les utiliser dès que des additions interviennent. Seuls les développements limités sont utilisables pour toutes les opérations. Résolvons à titre d exemple les deux exercices suivants: 1) Trouver lim x->0 (1 - cos 2x).sin 3 x x 4 ln ( 1 1-x ) Solution : Numérateur et dénominateur tendent vers 0 et nous avons affaire à une forme indéterminée. Utilisons les développements limités des fonctions en présence: Dans le paragraphe suivant, les fonctions ε i ont toutes 0 pour limite en 0. cos x = 1 - x2 2 + x2 ε 1 (x), donc cos (2x) = 1 - (2x)2 2 + x 2 ε 2 (x). donc 1 - cos 2x = 2x 2 + x 2 ε 3 (x). sin t = t + t ε 4 (t) d où sin 3 x = x 3 + x 3 ε 5 (x) ln ( 1 1-x ) = - ln (1 - x) = - ( -x + x ε 6(x)) soit ln ( 1 1-x ) = x + ε 6(x). Finalement : (1 - cos 2x).sin3 x x 4 ln ( 1 = 1-x ) et après simplification par x 5, on obtient lim x->0 (2x 2 + x 2 ε 2 (x))(x 3 + x 3 ε 7 (x)) x 4 (x+ε 8 (x)) (1 - cos 2x).sin 3 x x 4 ln ( 1 1-x ) = 2 = 2x5 + x 5 ε(x) x 5 +x 5 ε(x) Remarques: 1) il est inutile de prendre des développements limités d ordre trop élevé, d autant plus que dans le cas d infiniment petits, le rapport de fonctions ne fait intervenir que les termes de plus bas degré. 2) Donner un infiniment petit équivalent à y = e 2x x + 7 lorsque x tend vers -1. Solution : posons tout d abord x = -1 + h pour se ramener à un voisinage de 0. e 2x+2 = e 2h = 1 + 2h + 4h2 2 + h2 ε (h).

5 Licence Economie Gestion 1 e année. Cours de Mathématiques. Chap 4 p5/ x = 4+h = 2 1+ h 2 = 2 ( 1 + h 2 )1/2 = 2 (1+ h ( )( ( h 2 ) 2 = 2 + h 2 - h2 32 +h2 ε(h) 2 )+h 2 ε(x)) d où y 0 (1+ 2h + 2h 2 ) - 4 ( h h2 ) + 7. Soit y h=0 9 4 h2. D où y (x+1)2. On remarque que l on a développé à l ordre 2 car les termes de degré 1 s annulent. Exercice : trouver lim (cos x) x1 2 x->0 Règle de l Hôpital: Elle permet parfois de lever des indéterminations sur des quotients. Mais l utilisation des développements limités est plus efficace et plus générale. Notez que l énoncé présenté dans ce cours (il en existe d autres, hors programme cette année) ne concerne que le cas de recherche d une lmite en un nombre x 0 (et non en + ni - ) pour lequel f et g sont définies et dérivables, avec g (x 0 ) 0.. Soient deux fonctions f et g dérivables en x 0. Si f(x 0 ) = g (x0) = 0, f(x) g(x) prend la forme indéterminée 0 0 en x0. Si de plus f (x0) g (x0) existe, alors lim x->x0 Preuve: f(x) f(x) g(x) existe et lim x->x0 g(x) = f ' (x0) g' (x0) Supposons donc f et g dérivables en x0, telles que f(x0) = g(x0) = 0, et telles que f (x0) g (x0) existe (donc g (x0) 0) Donc f et g admettent des D.L. d ordre 1 et au voisinage de x0: f(x) = f ( x0) + ( x - x0) f ( x0) + ( x - x0) ε(x-x0) et g(x) = g(x0) + (x - x0) g ( x0) + ( x - x0) ε(x-x0), f(x) donc lim x->x 0 g(x) = x->x lim (x - x 0 ) f (x 0 ) + (x - x 0 ) ε(x-x 0 ) 0 (x - x 0 ) g (x 0 ) + (x - x 0 ) ε(x-x 0 ) = f (x 0) g (x 0 ), par hypothèse ce quotient est défini. 4.4 Développements limités à l ordre 2 pour des fonctions numériques de deux variables réelles Nous nous limiterons aux développements limités d ordre 2 On dit qu une fonction f de 2 variables admet un développement limité d ordre 2 au voisinage de (x 0,y 0 ) s il existe un ensemble ouvert contenant (0,0) tel que pour tout (u,v) de cet ensemble, f(x 0 + u, y 0 + v) = P(u,v) + (u 2 +v 2 )ε (u,v) Polynôme de degré 2 Reste où P(u,v) est un polynôme des deux variables u et v, de degré 2, c est-à-dire que P(u,v)= α u 2 + βv 2 + γ uv +δu +θ v+ ϕ, et ε (u,v) est une fonction de 2 variables telle que lim (u,v) (0,0) ε (u,v) = 0 C est-à-dire que le reste est un infiniment petit devant u, v, u 2, et v 2. Théorème : formule de Taylor à l ordre 2 pour une fonction de 2 variables

6 Licence Economie Gestion 1 e année. Cours de Mathématiques. Chap 4 p6/9 Si une fonction f de 2 variables est définie et a des dérivées partielles secondes continues sur un voisinage convexe la définition d un sous-ensemble convexe de IR 2 est donnée en 4.6 de (x 0, y 0 ), alors : f(x 0 +u, y 0 +v) = f(x 0, y 0 ) + u f x (x 0, y 0 ) + v f y (x 0, y 0 )+ 1 2 (u2 2 f x 2 (x 0, y 0 )+ v 2 2 f y 2 (x 0, y 0 )+ 2uv 2 f x y (x 0, y 0 )) + (u 2 +v 2 )ε(u,v), avec lim (u,v) (0,0) ε (u,v)=0 Cette formule permet de trouver des développements limités, mais on peut aussi utiliser les développements limités usuels, en sachant que tout terme u k v j est, au voisinage de (0,0), infiniment petit devant u 2 +v 2 dès que k+j 2 Exemple : donner un développement limité à l ordre 2 de sin(x+y) + x ln(1+2y) 4.5 Convexité, concavité pour une fonction d une variable Définition : convexité Une fonction d une variable réelle définie dans un intervalle I est dite convexe lorsque pour tous x 1, x 2 de I et pour tout de [0;1], f ( tx 1 + ( 1 - t )x 2 ) t f (x 1 )+(1-t) f(x 2 ). Lorsque est remplacé par <, on dit que la fonction est strictement convexe. Interprétation géométrique : Soient A x1 f(x1) et B x2 f(x2) 2 points de f(x C(f). 1 ) A tx1 + (1-t) x2 Soit N tf(x1)+ ( 1 - t) f( x2), N [A;B] et tf(x 1)+(1-t)f(x 2) N N est barycentre de A (t) et B (1-t). tx1 + (1-t) x2 Soit M f (tx1 + (1-t) x2), M est sur la courbe C(f) M a même abscisse que N, et M se trouve en dessous de N d après l inégalité. f ( tx 1+(1-t)x 2) M L arc de courbe AMB se trouve en dessous de la corde [AB] B x 1 tx 1+(1-t)x 2 x 2 Concavité Une fonction de la variable réelle définie sur un intervalle I est dite concave lorsque : pour tous x1, x2 de I et pour tout de [0;1], f ( tx 1 + ( 1 - t )x 2 ) t f (x 1 ) + (1-t) f (x 2 ). lorsque est remplacé par >, on dit que la fonction est strictement concave. Interprétation géométrique: en reprenant les mêmes notations que dans 1), M est au dessus de N et l arc de courbe AMB est au dessus de la corde [AB]. f(x 1 ) f ( tx 1 +(1-t)x 2 ) A M tf(x 1 )+(1-t)f(x 2 ) N B x 1 tx 1+(1-t)x 2 x 2

7 Licence Economie Gestion 1 e année. Cours de Mathématiques. Chap 4 p7/9 Remarques: 1) Les notions de concavité et de convexité ne sont pas contraires l une de l autre: si une fonction n est pas convexe, elle n est pas obligatoirement concave. 2) En revanche une fonction est convexe si et seulement si -f est concave 3) les seules fonctions à la fois convexes et concaves sont les fonctions affines: x IR a ax+b 4) Une somme de fonctions convexes définies sur un même intervalle est une fonction convexe. Exercice : Prouver la propriété indiquée en 4) ci-dessus Peut-on affirmer de la même façon qu une combinaison linéaire de fonctions convexes définies sur un même intervalle est aussi une fonction convexe? Convexité et dérivée seconde Théorème : si une fonction f admet sur un intervalle I une dérivée seconde positive (respectivement négative ), alors f est convexe ( respectivement concave) sur I. Démonstration: Soient x1 et x2 deux réels de I et M1, M2, les points de C(f) d abscisses respectives x1 et x2. Soit y = mx + n l équation de la droite (M1M2). Etudions sur [x1; x2] le signe de Φ (x) = f(x) - (mx+n) = QM. Puisque f est deux fois dérivable sur I, Φ l est aussi, Φ (x) = f (x) - m et Φ (x) = f (x). Comme Φ1 (x) = Φ2(x) = 0, on peut appliquer le théorème de Rolle : il existe au moins un réel c de ]x1;x2[ tel que Φ (c) = 0. D autre part Φ est monotone sur I puisque sa dérivée a un signe fixe, elle est même strictement monotone si sa dérivée est strictement positive ou strictement négative. Le tableau de variations de Φ est donc l un des deux tableaux suivants: f (x) 0 f (x) 0 X x 1 C x 2 X x 1 C x 2 Φ (x) Φ (x) Φ (x) 0 µ 0 Φ (x) 0 µ 0 L arc de courbe de M 1 à M 2 est donc situé en dessous de la droite (M1M2) si f (x) > 0 et au dessus si f (x) < 0, ce qui prouve le théorème. Exercice: a) Montrer que la somme de deux fonctions convexes définies sur un même intervalle est une fonction convexe. Une combinaison linéaire de fonctions convexes est-elle convexe? b) Montrer le plus simplement possible que : x IR x, puis x IR exp(x), enfin x IR x+ exp(x) sont des fonctions convexes Point d inflexion Il peut se produire que la dérivée seconde de f s annule en x0 en changeant de signe. Cela signifie que C(f) change de concavité en M0(x0; f(x0) ). On dit que M0 est un point d inflexion de C(f) et on obtient en M0 une représentation graphique d une des formes suivantes :

8 Licence Economie Gestion 1 e année. Cours de Mathématiques. Chap 4 p8/9 Ou Exemples : dans les deux cas suivants déterminer si C(f) admet des points d inflexion: 1) f : x IR a x 3-3x 2 2) g : x IR a x e x. 4.6 Convexité, concavité pour des fonctions de 2 variables réelles. Définition : ensemble convexe Un sous-ensemble D de IR 2 est appelé un ensemble convexe, lorsque pour tous (a,b) et (c,d) de cet ensemble, et pour tout de [0, 1], (ta +(1-t)c, tb + (1-t) d) est aussi dans cet ensemble. Graphiquement, si l on prend 2 points de cet ensemble, alors le segment liant ces 2 points est aussi dans cet ensemble, Ceci est un convexe Ceci n est pas un convexe Définition : fonction convexe Une fonction définie sur un ensemble convexe de IR 2 est dite une fonction convexe lorsque pour tous (a,b) et (c,d) de son ensemble de définition, et tout t de [0,1] f(ta +(1-t)c, tb + (1-t) d) t f(a,b) +(1-t) f(c,d). Graphiquement : si on trace un segment entre 2 points, quels qu ils soient, du graphe d une fonction convexe, ce segment est au-dessus du graphe.

9 Licence Economie Gestion 1 e année. Cours de Mathématiques. Chap 4 p9/9 y^2+x^ Par exemple la fonction définie sur tout IR 2 par : (x,y) IR 2 x 2 +y 2 est une fonction convexe. Le démontrer en exercice, en montrant d abord que les fonctions (x,y) IR 2 x 2 et (x,y) IR 2 y 2 sont convexes. Une condition suffisante pour qu une fonction de deux variables soit convexe : Si f a des dérivées partielles secondes continues sur un ensemble convexe D et que pour tout (x,y) de D, et tous u,v de IR, u 2 2 f x 2 (x,y) + 2 u v 2 f x y (x,y) + 2 f v2 y 2 (x,y) 0, alors f est convexe sur D. Exemple : Montrer à l aide de cette propriété que la fonction précédente, définie sur IR 2 par : (x,y) IR 2 x 2 +y 2. est convexe.