Conditionnement. Terminale S. P. Flambard. Année scolaire Lycée Max Linder. Probabilités conditionnelles Probabilités totales Indépendance

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1 Probabilités conditionnelles Conditionnement Terminale S P. Flambard Lycée Max Linder Année scolaire

2 Probabilités conditionnelles Probabilité conditionnelle de B sachant A Définition A et B sont deux événements d une expérience aléatoire. On suppose que P(A) 0.

3 Probabilités conditionnelles Probabilité conditionnelle de B sachant A Définition A et B sont deux événements d une expérience aléatoire. On suppose que P(A) 0. La probabilité conditionnelle de l événement B sachant que l événement A est réalisé, que l on appelle probabilité de B sachant A par abus de langage,

4 Probabilités conditionnelles Probabilité conditionnelle de B sachant A Définition A et B sont deux événements d une expérience aléatoire. On suppose que P(A) 0. La probabilité conditionnelle de l événement B sachant que l événement A est réalisé, que l on appelle probabilité de B sachant A par abus de langage,est le nombre P A (B) défini par P A (B) = P(A B). P(A)

5 Probabilités conditionnelles Probabilité conditionnelle de B sachant A Définition A et B sont deux événements d une expérience aléatoire. On suppose que P(A) 0. La probabilité conditionnelle de l événement B sachant que l événement A est réalisé, que l on appelle probabilité de B sachant A par abus de langage,est le nombre P A (B) défini par P A (B) = P(A B). P(A) Remarque : Dans un cas fini, c est le rapport entre le nombre d éléments de l univers présents dans A et réalisant B (soit l ensemble A B) et le nombre d éléments dans A.

6 Probabilités conditionnelles Propriétés élémentaires Propriété A et B sont deux événements d une expérience aléatoire. On suppose que P(A) 0.

7 Probabilités conditionnelles Propriétés élémentaires Propriété A et B sont deux événements d une expérience aléatoire. On suppose que P(A) 0. 0 P A (B) 1 ; P A (B) + P A ( B ) = 1.

8 Exemple Probabilités conditionnelles Exemple Parmi les habitants des quartiers Evergreen (évènement E) et Melrose (évènement M), on s intéresse aux possesseurs de téléphone de marque Pear (évènement P) et Cyborg (évènement C).

9 Exemple Probabilités conditionnelles Exemple Parmi les habitants des quartiers Evergreen (évènement E) et Melrose (évènement M), on s intéresse aux possesseurs de téléphone de marque Pear (évènement P) et Cyborg (évènement C). Dans l échantillon étudié, il y a deux fois plus d habitants du quartier Evergreen que Melrose. Parmi les habitants d Evergreen, 45 % possèdent un téléphone de marque Pear. 68 % des habitants de Melrose ont opté pour un téléphone de marque Cyborg. 1 Traduire les données sous forme de probabilités, éventuellement conditionnelles. 2 Donner les valeurs de P E ( P ) et PE ( P ).

10 Probabilités conditionnelles Retournement de conditionnement Propriété A et B sont deux événements d une expérience aléatoire. On suppose que les événements A et B sont non impossibles, i.e. que P(A) 0 et que P(B) 0. P(A B) = P A (B) P(A) = P B (A) P(B).

11 Arbre pondéré Probabilités conditionnelles Dans une expérience aléatoire, on considère deux événements A et B. On peut représenter la situation par un arbre de probabilités. P(A) P ( A ) A A PA(B) ( ) PA B P A (B) P A ( B ) A B A B A B A B

12 Remarque Probabilités conditionnelles Par abus d écriture, on omet souvent de préciser l intersection pour les nœuds au-delà du deuxième étage. Ainsi, dans la propriété précédente, on obtiendrait le même arbre mais avec uniquement B ou B au deuxième étage.

13 Probabilités conditionnelles Règles des arbres pondérés Propriété La somme des probabilités issues d un même nœud fait 1.

14 Probabilités conditionnelles Règles des arbres pondérés Propriété La somme des probabilités issues d un même nœud fait 1. La probabilité d un chemin vaut le produit des probabilités inscrites sur chaque branche parcourue.

15 Probabilités conditionnelles Règles des arbres pondérés Propriété La somme des probabilités issues d un même nœud fait 1. La probabilité d un chemin vaut le produit des probabilités inscrites sur chaque branche parcourue. La probabilité d un événement correspondant à plusieurs chemins est la somme de des probabilités de chaque chemin.

16 Exemple Probabilités conditionnelles Exemple filé En reprenant l exemple précédent, déterminer P(C). Interpréter cette valeur.

17 Probabilités conditionnelles Formule des probabilités totales Propriété On considère A 1,..., A n, chacun non impossible, deux à deux incompatibles et tels que leur réunion est l univers Ω. On a ainsi : pour tout k 1;n,P(A k ) 0, i j A i A j = n et A k = Ω. k=1 On dit alors que la famille (A k ) 1 k n est une partition de l univers Ω ou encore que c est un système complet d événements. Alors, pour tout événement B, P(B) = n P(A k B) = k=1 n P(A k ) P Ak (B) = P(A 1 ) P A1 (B)+ +P(A n ) P An k=1

18 Le cas n = 3 Probabilités conditionnelles Pour réaliser l événement B, on a trois possibilités : réaliser A 1 B, de probabilité P(A 1 B) ; réaliser A 2 B, de probabilité P(A 2 B) ; réaliser A 3 B, de probabilité P(A 3 B) ; P(A) P ( A ) A A PA(B) ( ) PA B P A (B) P A ( B ) A B A B A B A B et donc P(B) = P(A 1 B) + P(A 2 B) + P(A 3 B).

19 Exemple filé Probabilités conditionnelles En reprenant l exemple précédent, présenter la situation à l aide d un arbre pondéré.

20 Définition Probabilités conditionnelles Définition On considère A et B deux événements non impossibles. A et B sont indépendants si P(A B) = P(A) P(B).

21 Définition Probabilités conditionnelles Définition On considère A et B deux événements non impossibles. A et B sont indépendants si P(A B) = P(A) P(B). Remarque : L indépendance et la causalité sont des notions distinctes.

22 Exemple filé Probabilités conditionnelles Exemple En reprenant l exemple précédent, déterminer si les évènements P et C sont indépendants. Interpréter le résultat.

23 Propriété & R.O.C. Probabilités conditionnelles Propriété Si A et B sont indépendants, alors A et B le sont aussi.

24 Probabilités conditionnelles Caractérisations de l indépendance Propriété On considère A et B deux événements non impossibles, i.e. que P(A) 0 et que P(B) 0. Les événements A et B sont indépendants P(A B) = P(A) P(B) P A (B) = P(B) P B (A) = P(A)

25 Exemples Probabilités conditionnelles Exemple On lance une pièce truquée qui a une probabilité de faire «pile» avec ,75 Si la pièce fait «pile», on pioche une 0,4 boule dans l urne U 1 = { 3 boules vertes, 0,6 0,25 2 rouges}. Si la pièce fait «face», on F 0,4 pioche une boule dans l urne U 2 = { 9 boules vertes, 6 rouges}. Et par exemple, P(V) = 0,75 0,6 + 0,25 0,6 = 0,6 puis P(P) P(V) = 0,75 0,6 = 0,45 et P(P V) = 0,6 0,75 = 0,45 donc les évènements P et V sont indépendants : le résultat du pile ou face n influe pas sur les résultats du tirage de l urne. P 0,6 P V P R F V F R

26 Exemples Probabilités conditionnelles Exemple On lance une pièce truquée qui a une probabilité de faire «pile» avec ,75 Si la pièce fait «pile», on pioche une boule dans l urne U 1 = { 3 boules vertes, 0,25 2 rouges}. Si la pièce fait «face», on F pioche une boule dans l urne U 2 = { 7 boules vertes, 3 rouges}. Et par exemple, P(V) = 0,75 0,6 + 0,25 0,7 = 0,625 puis P(P) P(V) = 0,75 0,625 = 0, et P(P V) = 0,6 0,75 = 0,45 donc les évènements P et V ne sont pas indépendants : le résultat du pile ou face a une influence numérique sur les résultats du tirage de l urne. P 0,6 0,4 0,7 0,3 P V P R F V F R