Évaluation de contrats. une problématique actuelle. Pierre THEROND. Séminaire ISFA-ENSIMAG Lyon, 13 mars

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1 Évaluation de contrats d assurance vie en euro : une problématique actuelle Séminaire ISFA-ENSIMAG Lyon, 13 mars 2008 Pierre THEROND ptherond@winter-associes.fr

2 Introduction ti Les contrats d assurance vie en euros représentaient en 2006 : 61 % de la collecte assurance de personnes (vs 20 % pour les UC) ; 105,55 G ; 900 G de provisions techniques. Source : rapport annuel FFSA, Généralement qualifié de «placement préféré des français», ce type de contrat permet de se constituer une épargne en confiant à la société d assurance la charge de la gestion des placements. Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 2

3 Introduction ti Ces contrats prévoient la garantieducapital, généralement accompagnée d une garantie minimale de revalorisation (tmg) et d une clause de participation aux bénéfices. Ils peuvent comprendre une grande diversité d options et de garanties : conversion en rente (avec éventuellement des garanties de table et de taux) ; possibilité de versements programmésoulibres(associésoupasà d autre garanties) ; etc. Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 3

4 Sommaire 1. Contexte d évaluation 2. Lecture optionnelle d un contrat 3. Hypothèses comportementales 4. Illustration Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 4

5 1. Contexte t d évaluation 1. La réglementation française Dans le contexte français, la comptabilisation de l engagement résultant de ce type de contrat se traduit en un amoncellement de provisions : Provision mathématique (PM) ; Provision pour participation aux excédents (PPE) ; Provision pour dépassement de taux garanti ; Provision pour aléa financiers (PAF) ; Provision globale de gestion (PGG). Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 5

6 1. Contexte t d évaluation 2. Les nouveaux référentiels Normes IFRS, Solvabilité 2 et Embedded Value requièrent une évaluation économique du risque supporté par l assureur. Plus précisément, il s agit de déterminer la valeur que le marché accorderait à cet engagement. En pratique, ce marché n existant pas, une approche mark-to-model est nécessaire. Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 6

7 1. Contexte t d évaluation Objectifs Information fournie Niveau d'application MCEV Solvabilité 2 IFRS phase 2 Valorisation économique (transactions) Information financière Valeur de la compagnie Rentabilité des affaires en portefeuille (et des affaires nouvelles) Contrôle prudentiel Provisions techniques Exigence de fonds propres Information financière Provisions techniques, Capitaux propres (variation des éléments d'actifs et de passifs) Social puis consolidé Social puis consolidé Consolidé Valorisation Espérance complétée de des la valeur de l'ensemble engagements des options et des d'assurance garanties financières Valorisation des risques Risques valorisés à travers les cash-flows futurs et les options & garanties Espérance + marge pour risque marge pour risque explicite (CoC ou VaR) au niveau du portefeuille + capital de solvabilité (SCR) qui doit contrôler le risque global de la compagnie Current Exit Value : montant qui serait exigé en contrepartie du transfert de l'engagement sur un marché (espérance + marge pour risque + marge pour service) marge pour risque, au niveau du portefeuille, qui correspond à une prime de risque normalement disponible sur les marchés Actualisation Taux sans risque Taux sans risque Taux sans risque Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 7

9 2. Lecture optionnelle d un contrat t Comme cela avait été le cas pour les contrats en unités de comptes (cf. Brennan & Scwhartz (1976)), la littérature académique s intéresse, depuis Briys et de Varenne (1994), au problème de la valorisation économique de ce type de contrat fondée sur l analogie entre garanties d assurance vie et dérivés financiers. Références : Grosen & Jorgensen (2000), Bouwknegt & Pelsser (2001), Autier & de Cayeux (2002). Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 9

10 2. Lecture optionnelle d un contrat t Considérons un contrat d assurance vie de type «épargne en euros». La réglementation impose pour ce type de contrats : une clause de participation aux bénéfices techniques et financiers ; une possibilité de rachat avant le terme moyennant une pénalité limitée. Par ailleurs, les dispositions contractuelles ou la communication de l assureur peuvent prévoir : un taux minimum garanti ou un taux annuel garanti ; la possibilité d effectuer des versements libres ou programmés ; la tacite reconduction au-delà du terme. Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 10

11 2. Lecture optionnelle d un contrat t La plupart de ces garanties peuvent s interpréter comme des options financières. Exemple : Évolution de l épargne acquise sur une année (TMG + PB) ( ) PM 1 PM 1 tmg β ρ tmg + t+ = t + + t avec : ρ t = taux de rendement des placements, tmg = taux minimum garanti, β = taux de participation aux bénéfices. Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 11

12 2. Lecture optionnelle d un contrat t Du point de vue de l assuré, on a la correspondance : Garantie du contrat Dérivé financier correspondant Clause de participation bénéficiaire Option d achat européenne Clause de remboursement anticipé Option de vente américaine Garantie de taux sur des versements futurs Swaption Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 12

13 2. Lecture optionnelle d un contrat t Outre les limites traditionnelles de la théorie financière les garanties d assurance présentent d autres spécificités : latitude dans la revalorisation de l épargne : gestion du rendement financier (rendement comptable rendement économique de l actif) et caractère discrétionnaire de la PB ; comportements des assurés différent de celui des investisseurs «rationnels» sur un marché organisé : versements libres, rachats, prorogations, conversion en rente, etc. interdépendance de risques financiers et non-financiers (cf. Frantz, Chenut & Walhin (2003) pour l analyse de cet aspect sur les contrats en UC). Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 13

15 3. Hypothèses comportementales t Exemple : gestion du portefeuille financier Portefeuille de contrats d épargne : durée fixe = 8 ans ; TMG annuel = 2,5 % ; participation p aux bénéfices financiers = 90 % ; Hypothèses : Pas de PB (discrétionnaire) au-delà de l engagement contractuel ; Pas de rachat avant le terme, ni de décès. Objectif : donner une valeur à ce portefeuille de contrats. Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 15

16 3. Hypothèses comportementales t Exemple : gestion du portefeuille financier Si l on note PM k, la valeur de l épargne à la date anniversaire k, le processus de revalorisation, à chaque date anniversaire est le suivant : PM ( 1 max { 2,5%;90% % ρ } ) = + PM k + 1 k + 1 k où ρ k est le rendement financier sur la k-ème période. Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 16

17 3. Hypothèses comportementales t Exemple : gestion du portefeuille financier L assureur a investi en 0 la prime dans un actif financier composé : pour 30 % d actions de volatilité 20 % ; pour 70 % d un bon de capitalisation sans risque qui sert un rendement de 4 %. On suppose que le taux sans risque est constant sur les 8 ans. Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 17

18 3. Hypothèses comportementales t Exemple : gestion du portefeuille financier Étudions 2 stratégies de gestion du portefeuille financier : l assureur ne touche plus à ses actifs jusqu au terme du contrat : ( ) ( ) θsk + 1 θ Bk ρ ( k ) = 1 θs + 1 θ B k 1 k 1 chaque début d année, le portefeuille est recomposé pour conserver la répartition initiale (30/70) : S ρ( ) θ k B k = + ( 1 θ k ) 1 S B k 1 k 1 Dans l univers risque-neutre, les deux processus de rendement ont, sur une période, une même espérance égale au sans-risque. Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 18

19 3. Hypothèses comportementales t Exemple : gestion du portefeuille financier Distribution empirique de la revalorisation de l épargne au terme 8% Pas de recomposition 7% Recomposition annuelle 6% 5% 4% 3% 2% 1% 0% 20% 28% 35% 43% 50% 58% 65% 73% 80% 88% 95% 103% 110% 118% 125% 133% 140% 148% 155% 163% 170% Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 19

20 3. Hypothèses comportementales t Exemple : gestion du portefeuille financier Quelques remarques : La politique de recomposition annuelle conduit à une distribution plus resserrée autour de la moyenne. Dans les deux cas, l espérance de revalorisation au terme est de l ordre de 51 % (gain de 10 % sur 8 ans par rapport à un investissement sans-risque). Les profils de rendement sont très différents (cf. graphiques suivants). Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 20

21 3. Hypothèses comportementales t Exemple : gestion du portefeuille financier 5,34% 5,32% Évolution du taux de revalorisation moyen Pas de recomposition Recomposition annuelle 5,30% 5,28% 5,26% 5,24% 5,22% 5,20% 5,18% 5,16% Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 21

22 3. Hypothèses comportementales t Exemple : gestion du portefeuille financier Évolution du coefficient de variation du taux de revalorisation 80,0% Pas de recomposition Recomposition annuelle 79,5% 79,0% 78,5% 78,0% 77,5% 77,0% 76,5% 76,0% Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 22

24 4. Illustration ti 1. Le contrat Contrat d épargne en euros. Prime unique, pas de possibilité de versements libres. TMG sur 8 ans fixé à la souscription. Participation aux bénéfices réglementaire (90 % des bénéfices techniques et 85 % des bénéfices financiers). Revalorisation annuelle en fin d exercice. Durée fixe égale à 8 ans. Prorogation par tacite reconduction avec TMG à 60 % du TME. Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 24

25 4. Illustration ti 1. Le contrat Deux types de frais : prélèvements sur encours chaque fin d année ; frais sur versements lors du paiement de la prime. Versements de l épargne aux ayant-droits en cas de décès avant terme. Possibilités de rachats totauxt ou de retraits moyennant une pénalité dégressive avec le nombre de semestres restant à courir. Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 25

26 4. Illustration ti 2. Le portefeuille Production nouvelle 2006 : 160 assurés Âge moyen = 55 ans Épargne moyenne accumulée = 14 k Somme de l épargne acquise au 31/12/2006 = k Terme résiduel moyen = 7,5 ans Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 26

27 4. Illustration ti 3. L analyse des risques Trois risques principaux : Risque financier : garantie de taux, impact sur le rachat. Risque de mortalité. Risque de rachat : lien avec le rendement servi / attendu. Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 27

28 4. Illustration ti 4. Les modèles retenus Variables de base : Rendement financier du marché (assureurs) : mouvement brownien arithmétique ; Rendement financier de l assureur : mouvement brownien arithmétique corrélé avec le rendement du marché ; Mortalité : modélisation des fluctuations ti d échantillonnage sur la TH Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 28

29 4. Illustration ti 4. Les modèles retenus Modèles de gestion : Rachat : loi centrale fonction de l ancienneté du contrat déformée en fonction de l écart de revalorisation avec le marché. Participation aux bénéfices : pas de PPE, attribution de la PB au cours de l exercice de constitution de l excédent. Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 29

30 4. Illustration ti 4. Les modèles retenus Le calcul consiste à simuler des réalisations des flux de prestations futures. L actualisation au taux sans risque de ces flux fournit une réalisation de la valeur en 0 des prestations futures. On simule une trajectoire d actif. Cette trajectoire conduit à une loi de rachat, qui permet de simuler une trajectoire du passif. Tout se ramène à calculer la date de service de la prestation (rachat, décès ou terme), T j et le montant de cette prestation,. F j Λ= F j A F P Q T V = E j ( ) Λ j J( 1+ r) Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 30

31 4. Illustration ti 4. Les modèles retenus Le flux de prestation est déterminé à partir de : ( 1 max { ; 90% ρ } ) PM = + r PM k+ 1 g k+ 1 k cette formule étant appliquée entre la date de calcul et la date de sortie simulée. La date de sortie simulée tient compte du rachat, du décès et du terme du contrat. t Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 31

32 4. Illustration ti 5. Les résultats Distribution de la valeur actuelle des prestations futures 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page

33 4. Illustration ti 5. Les résultats Distribution de la valeur actuelle des prestations futures (non-financier) 25% 20% 15% 10% 5% 0% Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page , , , , , , , , , , , , , , , ,7

34 4. Illustration ti 5. Les résultats Par décomposition de variance, on obtient que le risque financier (rendement + déformation du rachat) représente 99 % du risque global. Dans un contexte IFRS ou MCEV, la marge pour risque pour : la partie mutualisable du risque de mortalité, la partie centrale du risque de rachat, est très faible (cf. le graphe précédent). Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 34

35 Conclusion L analogie entre les garanties des contrats d assurance vie en euros et les dérivés financiers est limitée : gestion des variables sousjacentes, comportements «non-rationnels». Du fait de la complexité des mécanismes en jeu, l évaluation passe par des modélisations complexes et des méthodes de simulation. Décisions de gestion : hypothèses très sensibles qui doivent être justifiées et être «réalistes» dans des situations non-standard (issues des scénarios aléatoires). Les principes de valorisation des différents référentiels peuvent conduire à des situations invraisemblables sur lesquelles une attention particulière doit être portée. Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 35

36 Références bibliographiques Autier G., de Cayeux H. (2002) Garanties implicites d un contrat d assurance vie en euros, mémoire d actuariat actuariat, ENSAE. Ballotta L. (2005) «A Lévy process-based farmework for the fair valuation of participating life insurance contracts», Insurance: Mathematics and Economics 37 (2), Bouwknegt P., Pelsser A. (2001) «Market value of Insurance contracts with profut sharing», Proceedings of the 11th AFIR Colloquium, Toronto. Brennan M.J., Schwartz E.S. (1976) «The pricing of equity-linked life insurance policies with an asset value guarantee», Journal of Financial Economics 3, Briys E., de Varenne F. (1994) «Life insurance in a contingent clamin framework: princing and regulatory implications», The Geneva Papers on Risk and Insurance Theory 19, Frantz C., Chenut X., Walhin J.F. (2003) «Princing and capital allocation for uni-linked life insurance contracts with minimum death guarantee», Proceedings of the 13th AFIR Colloquium, Masstricht. Grosen A., Jorgensen P. (2000) «Fair value of life insurance liabilities: the impact of interest rate guarantees, surrender option and bonus policies», Insurance: Mathematics and Economics 26, Planchet F., Thérond P.E. (2007) Mesure et gestion des risques d assurance,, Paris : Economica. Thérond P.E. (2007) Mesure et gestion des risques d assurance : analyse critique des futurs référentiels prudentiels et d information financière, thèse de doctorat, Université Lyon 1, ISFA. Séminaire ISFA-ENSIMAG - 13 mars 2008 Page 36