La tension supercielle

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1 La tension supercielle Clélia de Mulatier & Pierre-Élie Larré Le 8 janvier Mise en évidence expérimentale de l'existence de la tension de surface Considérons un cadre rectangulaire rigide sur lequel est disposée une tige mobile. En trampant le cadre dans une solution savonneuse, on forme deux lms de savon de part et d'autre de la tige (lm (1) et lm ()). Puis on perce l'un des deux lms d'eau savonneuse, par exemple le lm (). On constate que le lm (1) se rétracte immédiatement sur lui même : la tige mobile sur laquelle la membrane de savon est attachée glisse le long du cadre et vient s'accoler à l'un des côtés du cadre qui lui est parallèle. Le lm (1) de savon exerce nécessairement une force sur la tige mobile pour que cette dernière puisse se déplacer. Cette force est appelée tension supercielle : son rôle est de minimiser la surface libre de la membrane de savon car il lui est énergétiquement défavorable de rester étendue. Fig. 1 Films de savon Mise en évidence de l'existence de la tension supercielle. 1

2 Expression du coecient de tension supercielle Cette fois-ci, on ne considère que le lm (1) de savon et on exerce une force f de norme f sur la tige mobile pour augmenter la surface de la membrane de dσ = Ldx ( parce qu'il existe deux interfaces air/eau savonneuse). À chaque équilibre mécanique, la force f s'oppose exactement à la tension supercielle ; f est donc l'intensité de la tension de surface. Fig. Extension d'un lm de savon Expression de la tension de surface. Le travail nécessaire à l'augmentation de la surface du lm est : δw = f dx = f L Ldx = f L dσ d'où f L = δw dσ W Σ. On appelle la quantité f/l le coecient de tension supercielle. On le note généralement γ et on a : γ = W Σ. De ce fait, le coecient de tension de surface mesure l'énergie qu'il faut apporter pour augmenter ou diminuer la surface de la membrane savonneuse d'une unité. D'un point de vue dimensionnel, on a [γ] = Énergie = Force. Dans les Surface Longueur unités du Système International, on écrit donc [γ] = J.m = N.m 1. Rigoureusement, on devrait cependant écrire : γ déf = ( F Σ ), T,V,N,{x i } où F = U T S est l'énergie libre du lm de savon d'énergie interne U, de température T et d'entropie S. L'évolution d'un système thermodynamique vers un état d'équilibre est caractérisée par l'inéquation df < 0. Comme γ est par dénition positive, il vient que dσ < 0 : le lm savonneux doit nécessairement diminuer sa surface libre pour être à l'équilibre thermodynamique.

3 Échanges gazeux entre deux bulles de savon Clélia de Mulatier & Pierre-Élie Larré Le 8 janvier 009 On considère le montage expérimental schématisé à la gure 1. Deux bulles sphériques d'eau savonneuse de rayons diérents sont formées en souf- ant dans les tuyaux (1) et (), le robinet (3) étant fermé. On ferme ensuite les robinets (1) et () puis on ouvre le robinet (3) pour mettre l'air des deux bulles en contact. On étudie l'évolution des deux bulles. Fig. 1 Bulles de savon de tailles diérentes. On néglige le volume du tube de liaison entre les deux bulles. Les évolutions thermodynamiques sont considérées quasi-statiques : dans chaque bulle, on peut dénir à chaque instant une température T 1 ou T et une pression p 1 ou p uniformes. L'atmosphère impose une pression extérieure uniforme p 0 ; elle se comporte comme un thermostat à la température T tel que l'équilibre thermique est atteint à tout instant : T 1 = T = T. Les pressions p 1 et p à l'intérieur des bulles sont données à l'équilibre par les lois de Laplace : p 1 p 0 = 4γ r 1 et p p 0 = 4γ r, 1

4 où γ est une constante positive appelée coecient de tension supercielle. On suppose que l'équilibre mécanique entre chaque bulle et l'atmosphère est atteint de sorte que les lois précédentes soient valables à tout instant. 1 Étude qualitative En soustrayant p p 0 = 4γ r p 1 p = 4γ à p 1 p 0 = 4γ, on obtient : r 1 ( 1 1 ), r 1 r d'où p 1 < p si r 1 > r. La pression est donc toujours plus forte dans la petite bulle que dans la plus grosse. Les molécules d'air ont alors tendance à migrer de la petite bulle vers la plus grande, ce qui entraîne une diminution du rayon de la petite bulle et une augmentation de celui de la grande. Progressivement, la petite bulle se vide dans la plus grosse. Étude quantitative Soit un système fermé, d'énergie interne U, d'entropie S et de volume V, en évolution isotherme (température extérieure T ) et isobare (pression extérieure p 0 ), n'échangeant pas d'autre forme de travail avec l'extérieur que celui des forces de pression. Le premier et le second principe de la Thermodynamique s'écrivent respectivement : U F U I = p 0 (V F V I ) + Q et S F S I Q T, ce qui donne : U F T S F + p 0 V F (U I T S I + p 0 V I ) 0. En posant G = U T S + p 0 V, on écrit alors : G F G I 0 G 0. G est une fonction qui décroît au cours de l'évolution et qui est minimale à l'équilibre. C'est donc un potentiel thermodynamique ; on l'appelle enthalpie utilisable. Au vu des hypothèses qui ont permis d'aboutir à la dernière équation, cette enthalpie paraît a priori apte à décrire l'évolution de notre système thermodynamique de bulles.

5 On néglige le volume d'air contenu dans le tube de liaison entre les bulles (1) et () et on étudie le système constitué : d'une part de l'air contenu dans les deux bulles et assimilé à un gaz parfait ; on note, avec i = 1 ou i = selon le compartiment, V i le volume, r i le rayon, p i la pression, n i le nombre de moles d'air, S i l'entropie de l'air ; la température T est commune aux deux compartiments ; d'autre part des membranes d'eau savonneuse qui limitent les deux bulles, d'épaisseur négligeable, d'énergies internes respectives U (m) i, de températures T (m) i = T, d'entropies S (m) i et de surfaces Σ (m) i = 8πri (double de la surface de la sphère car il y a deux interfaces air/eau savonneuse), pour lesquelles l'identité thermodynamique fondamentale s'écrit du (m) i = T ds (m) i + δw i avec δw i = γdσ (m) i (travail élémentaire des forces de tension supercielle). Comme G = U T S + p 0 V et comme le volume des membranes est nul, on a l'égalité : soit avec les hypothèses : dg = du 1 + du T ds 1 T ds + p 0 dv 1 + p 0 dv + du (m) 1 + du (m) T ds (m) 1 T ds (m), Or, on a aussi γdσ (m) i dg = du 1 + du T ds 1 T ds + p 0 dv 1 + p 0 dv + γdσ (m) 1 + γdσ (m). = γ16πr i dr i = 4γ r i 4πr i dr i = (p i p 0 )dv i, d'où : dg = du 1 + du T ds 1 T ds + p 1 dv 1 + p dv. L'identité thermodynamique fondamentale pour l'enthalpie libre de la bulle (i), alias G i = U i T S i + p i V i, est : dg i = S i dt + V i dp i + µ i dn i = V i dp i + µ i dn i ; T = cste, où µ i (p i, T ) est le potentiel chimique de l'air dans la bulle (i). Une diérenciation simple de la formule G i = U i T S i + p i V i conduit d'autre part à l'équation : dg i = du i T ds i + p i dv i + V i dp i. En identiant les deux dernières formules, on arrive nalement à : du i T ds i + p i dv i = µ i dn i. 3

6 Par voie de conséquence, il vient que : dg = µ 1 dn 1 + µ dn, et par conservation du nombre total de moles : dn 1 + dn = 0, il en résulte que : dg = (µ 1 µ )dn 1. On sait également pour un gaz parfait que le potentiel chimique vaut µ i (p i, T ) = f(t ) + RT ln p i, où f est une fonction de la température, identique dans les deux bulles car le gaz est le même. Dès lors, on satisfait à : ( ) dg p1 = RT ln dn 1. La loi de Laplace implique : dp i = 4γ dr i ri p < 0. D'autre part, la loi des gaz parfaits n i = p iv i donne : dn i dr i = RT = 1 4π 3RT (3p 0r i + 8γr i ) > 0. RT 4 3 πr3 i (p 0 + 4γ/r i ) Ainsi, lorsque r 1 croît, p 1 décroît et n 1 croît. Puisque dn = dn 1, n doit en même temps décroître ; de ce fait, r décroît puis p croît. Dans le cas particulier r 1 > r, on a vu que p 1 < p, d'où ln(p 1 /p ) < 0. Comme on a toujours dg < 0 (G est un potentiel thermodynamique), il vient d'après ce qui précède : dn 1 > 0 ; autrement dit, n 1 croît puis n décroît par conservation de la matière, en même temps que r décroît. La petite bulle se vide dans la plus grosse. 4