Second degré STI2D 1. Le second degré

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1 Second degré STID 1 Le second degré I. Résolution d une équation du second degré Activité p 1 Nous savons déjà résoudre certaines équations du second degré particulières : x² 1 = 0 peut s écrire x² = 1 et n a donc pas de solution. (x 4)(x 3) = 0 est une équation du second degré écrite sous forme de produit : elle a deux solutions 4 et 3 x² x 1 = 0 peut s écrire (x 1) = 0et a donc 1 pour seule solution. A. Equation x² x = 0 Elle ressemble à x² x 1 = 0. Pour tout nombre réel x, on a x x = (x x 1) 1 On observe que x² x est le début du développement de (x 1)² x x = (x 1) 1 L équation x x = 0 est donc équivalente à (x 1) 1 = 0 qui n a pas de solution car un carré est positif. L équation x x = 0n a donc pas de solution dans l ensemble R des nombres réels. B. Equation x² 4x 3 = 0 On commence par mettre en facteur le coefficient de x². Pour tout nombre réel x, on a x 4x 3 = (x x 3 ) x² 4x 3 = [(x 1) 1 3 ] On observe que x² x est le début du développement de (x 1)² x² 4x 3 = [(x 1) 5 ] On observe que (x 1) 5 est de la forme A²-B avec A=x 1 et B = 5 x² 4x 3 = [(x 1) ( 5 ) ] A² B = (A B)(A B) x² 4x 3 = (x 1 5 ) (x 1 5 ) On a factorisé x 4x 3 sous la forme du produit de deux polynômes du premier degré. L équation x 4x 3 = 0 équivaut à x 1 5 = 0 ou x 1 5 = 0 L équation x 4x 3 = 0 a donc deux solutions dans R 1 5 ou 1 5 C. Equation ax² bx c = 0 On procède comme dans l exemple ci-dessus. f(x) = ax bx c f(x) = a [x² b a x c a ] f(x) = a [(x b a ) b 4a² c a ] On considère x² b a x comme le début du développement de (x b a )² f(x) = a [(x b a ) b 4ac ] On regroupe les termes constants. 4a² (x b a ) est un carré donc positif. Le signe de b 4ac dépend des coefficients a, b, c de l équation. Selon le signe de b 4ac, l expression de f(x) sera de la forme A² B² comme dans l exemple ou strictement positive comme dans l exemple 1.

2 Second degré STID Définition Le nombre = b² 4ac est appelé discriminant de ax² bx c. On a donc pour tout nombre réel x, f(x) = a [(x b a ) 4a² ] 1 er cas : > 0 f(x) = a [(x b a ) ( a ) ] est de la forme A² B² f(x) = a [(x b a a ) (x b a a )] L équation ax² bx c = 0 est équivalente à x b L équation a deux solutions distinctes dans R x 1 = b et a On a alors la factorisation ax² bx c = a(x x 1 )(x x ) ème cas : = 0 f(x) = a (x b a ) L équation ax² bx c = 0 est équivalente à x b a = 0 L équation a une solution unique dans R a x 1 =x = b a On a alors la factorisation ax² bx c = a (x b a ) = 0 ou x b a = 0 x = b a 3 ème cas : < 0 4a > 0 donc pour tout nombre réel x, (x b a ) 4a > 0 L équation f(x) = 0 n a pas de solution dans R. Définition ax² bx c est appelé trinôme (du second degré), car c est une somme de trois termes. Voir exercice résolu 1 p 13 Applications n 1 p 13 Exercices n 1 à 16 p 17 Exercices n 17 p 17 (algorithme) Exercices n 18 à 5 p 17

3 Second degré STID 3 D. Interprétation graphique En seconde, on a vu que la courbe représentative d une fonction polynôme du second degré définie sur R par f(x) = ax² bx c est une parabole P Cette courbe possède un axe de symétrie passant par le sommet S, qui correspond à un minimum si a > 0 ou à un maximum si a < 0. Exercices n 35 p 19

4 Second degré STID 4 II. Signe du trinôme ax² bx c (a 0) Activité p 14 A. Signe de x² x x x = (x 1) 1 > 0 d après I.A. Graphiquement, les points de la parabole d équation y = x² x ont tous une ordonnée positive ; ils sont donc situés au-dessus de l axe des abscisses. B. Signe de x² 4x 3 x² 4x 3 = (x 1 5 ) (x 1 5 ) d après I.B. Tableau de signe de x² 4x 3 suivant les valeurs de x x Signe de x Signe de x Signe de x² 4x Graphiquement, les points de la parabole d équation y = x² 4x 3 dont l abscisse est inférieure à 1 5 ou supérieure à 1 5 ont une ordonnée positive. Ils sont situés au-dessus de l axe des abscisses. Par contre, les points de la parabole dont l abscisse est comprise entre 1 5 et 1 5 ont une ordonnée négative ; ils sont situés en-dessous de l axe des abscisses. C. Signe de ax² bx c ax bx c = a [(x b a ) b 4ac ] d après I.C. 4a² 1 er cas : < 0 4a > 0 donc pour tout nombre réel x, (x b a ) 4a > 0. Donc, pour tout réel x ; ax bx c est du signe du coefficient a. ème cas : = 0 ax bx c = a (x b a ) Donc, pour tout réel x ; ax bx c est du signe du coefficient a, sauf pour x = b où il s annule. 3 ème cas : > 0 ax² bx c = a(x x 1 )(x x ) où x 1 et x sont les solutions de l équation ax² bx c = 0 On obtient le signe de ax bx c grâce au tableau ci-dessous (on suppose x 1 < x ). x x 1 x x x 1 0 x x 0 a(x x 1 )(x x ) Signe de a 0 Signe de a 0 Signe de a a

5 Second degré STID 5 Propriété Remarque On peut retenir cette propriété, en disant que «ax bx c est toujours du signe de a, sauf entre les racines lorsque > 0» Voir exercice résolu p 15 Applications n 1 p 15 Exercices n 6 à 34 p 18 D. Inéquations du second degré Une inéquation du second degré à une inconnue x est une inéquation qui peut s écrire sous l une des formes suivantes : ax bx c > 0 ax bx c 0 ax bx c < 0 ax bx c 0 Pour résoudre une telle inéquation, on étudie le signe du trinôme ax bx c QCM n p Problèmes n 47 à p 3-4 DM n 61-6 p 5