Seconde DS de Mathématiques 6 février H

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1 Seconde DS de Mathématiques 6 février 9 H EXERCICE I ( poiuts ) NOM : Soit I le milieu d un segment [AB] et M un point n appartenant pas à (AB). Montrer que MA + MB = MI EXERCICE II ( poiuts ) ABCD est un parallélogramme de centre O, et I le milieu de [AD] et J le milieu de [BC]. ( On placera O, I et J sur la figure ). Ecrire plus simplement les vecteurs suivants ( en utilisant uniquement les points de la figure ) On pourra, pour cette question, répondre directement sur l énoncé : AB+ AD =.. JD + JB =.. AB+ CD =.. AC AD =.. DB+ JC =.. OA OB OC OD =.. AO+ BO =.. AB DB+ DC =... Montrer que, pour tout point M quelconque, on a : MA MB + MC MD =. Placer les points E et F tels que : BE = BA et FC+ FD =. 4. Quelle conjecture peut-on faire concernant les points O, E et F? ( On ne demande pas de preuve ) 5. Placer les points G et H tels que : OG = OB et HA+ HB = CB 6. Démontrer que GA+ GB+ GC =.

2 EXERCICE III ( poiuts ) Soit f la fonction affine telle que f() = et f() =. Déterminer l'expression de f en fonction de x.. Tracer la courbe représentative de la fonction f. EXERCICE IV ( 5 poiuts ) Le coût total de fabrication de x milliers d articles est donné par Cx ( ) = 45x+ (où ( ) est exprimé en milliers d euros) avec x ;5. Cx ] ] La figure ci-dessous, donne la courbe représentative de la fonction coût total dans un repère orthogonal. Milliers d euros Articles ( x ) On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 6. La recette exprimée en milliers d euros que l entreprise obtient pour la vente de x milliers d articles est donc R( x) = 6x. ) Tracer dans le repère ci-dessus la courbe représentative de la fonction recette. ) Quel est en milliers d euros, le montant du bénéfice lorsque l entreprise produit et vend milliers d articles? ) Est-il intéressant pour l entreprise de fabriquer et vendre 4 articles? 4) On note B( x) le bénéfice lorsque l entreprise produit et vend x milliers d articles. Le bénéfice que réalise l entreprise est égal à la différence entre la recette et le coût total de fabrication. a. Donner l expression de ( ) x ;5. B x en fonction de x avec ] ] b. Etudier le signe de ( ) B x. En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (positif).

3 EXERCICE I ( poiuts ) MA + MB = MI + IA + MI + IB ( relation de Chasles ) = MI+ IA+ IB MI EXERCICE II ( poiuts ) = + car I milieu d un segment [AB] donc MA + MB CORRIGE = MI ABCD est un parallélogramme de centre O, et I le milieu de [AD] et J le milieu de [BC].. Ecrire plus simplement les vecteurs suivants AB+ AD = AC.. JD + JB = JD+ DI = JI.. AB+ CD = DB+ JC =.. AC AD = DB+ BJ = DJ OA+ OB+ OC+ OD = AC+ DA= DC.... AO+ BO = AD.. AB DB+ DC = AB+ BD+ DC = AC... MA MB + MC MD = MA+ BM+ MC+ DM = BM+ MA+ DM+ MC = BA+ DC = BA+ AB = En effet, DC = AB car ABCD parallélogramme donc, pour tout point M quelconque, on a : MA MB + MC MD =. BE = BA FC+ FD = FC+ FC+ CD = ( relation de Chasles ) FC+ CD = FC = DC FC = DC CF = 4. On conjecture que les points O, E et F sont alignés. CD

4 5. OG = OB HA+ HB= CB HA+ ( HA+ AB ) = CB HA+ HA+ AB = CB HA+ AB = CB HA= BA + CB HA= BA + CB AH= AB + BC 6. GA+ GB+ GC = GO+ OA+ GO+ OB+ GO+ OC = GO+ OA+ OB+ OC = GO + + OB car OA+ OC = ( O milieu des diagonales ) = BO + OB car OG = OB = BO + OB = donc GA+ GB+ GC =. EXERCICE III ( poiuts ) Soit f la fonction affine telle que f() = et f() =. f est une fonction affine donc on peut écrire : f (x) = a x + b f() = donc a + b = f() = donc a + b = a+ b= Nous obtenons donc le système suivant : a+ b= Lorsqu on soustrait les équations ( càd () () ), on obtient a. a+ b = a = a = a = a+ b = a+ b = b = a+ b = 5 ainsi f (x) = - x + 5 Autre méthode : On sait que la courbe représentative d une fonction affine est une droite. Cherchons l équation réduite de la droite passant par A ( ; ) et B ( ; ) : xa xb donc la droite (AB) n est pas «verticale». Par conséquent, elle admet une équation du type : y = ax+ b. yb ya a = = = = x x B A A(; ) (AB) donc ya = axa + b, donc = ( ) + b donc b = 5 Une équation de la droite (AB) est donc y = x+ 5 ainsi f (x) = - x + 5. Courbe représentative de la fonction f :

5 EXERCICE IV ( 5 poiuts ) Le coût total de fabrication de x milliers d articles est donné par Cx ( ) = 45x+ (où ( ) est exprimé en milliers d euros) avec x ;5. Cx ] ] La figure ci-dessous, donne la courbe représentative de la fonction coût total dans un repère orthogonal On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 6. La recette exprimée en milliers d euros que l entreprise obtient pour la vente de x milliers d articles est donc R( x) = 6x. ) R est une fonction affine linéaire. La courbe est donc une droite passant par O et par A (, 6 ) ) Le coût est C() = 66 milliers d euros ; La recette est R() = 7 milliers d euros. Le bénéfice est donc B = 7 66 soit B = 6 milliers d euros pour milliers d articles vendus ) Le coût serait C(4) = milliers d euros ; La recette est R(4) = 4 milliers d euros. On aurait donc un déficit de 6 milliers d euros ( B = 4 = -6 ) Il n est donc pas intéressant pour l entreprise de fabriquer et vendre 4 articles On note B( x) le bénéfice lorsque l entreprise produit et vend x milliers d articles. Le bénéfice que réalise l entreprise est égal à la différence entre la recette et le coût total de fabrication. a. Bx ( ) = Rx ( ) Cx ( ) = 6 x (45x+ ) ; Bx ( ) = 5x b. Etudions le signe de B( x ) ( de la forme ax + b ). x 8 5 Bx ( ) + Signe de a B( x) = 5x = 5x = x = 5 x = 8 Il faut donc produire entre 8 et 5 milliers d articles pour réaliser un bénéfice (positif).