Analyse Complexe, L3, printemps 2014

Transcription

1 Université de Lorraine Département de Mathématiques Analyse Complexe, L3, printemps 2014 Interro n 1 Les 10 exercices sont indépendants. Pour chaque exercice 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque exercice, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Documents, calculatrices, téléphones portables, etc. sont interdits. Exercice I. La fonction f : C C est C-différentiable en 0 si 1. f est partout R-différentiable. 2. La limite existe dans C. 3. La limite existe dans C. lim h 0, h C f(0) f(h) h f(h) f(0) lim h 0, h C h 4. f(z) = f(0) + zf 1 (z) + zf 2 (z), z C pour deux fonctions f 1, f 2 continues en f(z) f(0) = zf 1 (z), z C pour une fonction f 1 continue en 0. Exercice II. La fonction f : C C est holomorphe sur C si 1. f(x + iy) = x, x, y R. 2. f(x + iy) = x iy, x, y R. 3. f(x + iy) = x 2 + iy 2, x, y R. 4. f(x + iy) = e x (cos y + i sin y), x, y R. 5. f(x + iy) = (x + iy) 3, x, y R. Exercice III. Une fonction holomorphe f : C C avec u = Ref, v = Imf est constante dès que 1. u est constante. 2. u R est bornée. 3. v R est bornée. 4. u = v 5. u x v (z) = y (z), z C. 1

2 Exercice IV. On pose D = D(0, 1) = {z C z < 1}. La fonction f : D C est C- différentiable en 0 si 1. f(z) = z, z D. 2. f(z) = z, z D. 3. f(z) = z 2, z D. 4. f(z) = Rez, z D. 5. f(z) = 1 1 z, z D. Exercice V. Pour une fonction f : C C R-différentiable on a z = f z. z = f z. z = f z. z = f si f est holomorphe. z = z si f est holomorphe. Exercice VI. Soit f : D C, f(z) = exp( 1 z ). Alors 1. f est injective si D = D( 1 4πi, 1 4π ) \ D( 1 8πi, 1 8π ). 2. f est surjective si D = {z C Imz < 0} \ D( 1 4πi, 1 4π ). 3. f est surjective si D = D( 1 4πi, 1 4π ) \ D( 1 16πi, 1 16π ). 4. f est bijective si D = D( 1 4πi, 1 4π ) \ D( 1 16πi, 1 16π ). 5. f est injective si D = {z C 0 < Imz < 2π}. Exercice VII. Soit l(z) = n=0 zn+1 n+1 1. l(z) = Log(1 + z). 2. l(z) = Log(1 z). 3. l(z) = Log(1 z). 4. l(z) = Log(1 + z). 5. exp( l(z)) = 1 z. pour z D. Alors on a pour tout z D 2

3 Exercice VIII. w, z C on a 1. cos w cos z = 2 sin w+z 2 sin w z sin 2 (w + z) + cos 2 (w + z) = sin(w z) = (z w) 2k+1 k=0 (2k+1)!. 4. sin 2 (w) = 1 4 (2 exp(2iw) exp( 2iw)). 5. cos z = 1 2i (exp(iz) + exp( iz)). Exercice IX. Pour tout nombre complexe σ C et tout k N on pose ( ) k σ j=1 (σ j + 1) =. k k! Alors le rayon de convergence de la série entière est égal à 1. pour tout σ C. 2. pour tout σ N. 3. si σ C \ N si σ C \ N si σ C \ N. Exercice X. 1. exp : C C est injective. 2. exp : C C est surjective. 3. sin : C C est injective. 4. sin : C C est surjective. 5. Log(i) = iπ 2. b σ (z) = k N ( ) σ z k. k 3

4 Université de Lorraine Département de Mathématiques Analyse Complexe, L3, printemps 2014 Examen partiel Calculatrices, documents, téléphones portables, etc. sont interdits. 1. (a) Donner la définition de la C-dérivabilité d une fonction complexe en un point et formuler le critère de C-dérivabilité en termes d équations de Cauchy-Riemann. (b) Soit f la fonction définie dans C par f(z) = x3 (1 + i) y 3 (1 i) x 2 + y 2 pour un nombre complexe non nul z = x+iy avec x, y R et par f(0) = 0. Montrer que f est continue en 0 et que les équations de Cauchy-Riemann sont satisfaites en 0 mais que f n est pas C-dérivable en ce point. Comment se place cet exemple par rapport au critère formulé à la question précédente? 2. Donner les développements en série entière autour de 0 et autour de π pour les deux fonctions suivantes et préciser les rayons de convergence correspondants : (a) sin, (b) z z2. (z 1) 2 3. Le but de cet exercice est de définir une fonction arcsinus complexe. (a) On veut définir d abord la fonction z 1 z 2. Pour ceci on se rappelle que le domaine de définition de la fonction := p 1 2,Log est C := C\], 0]. Soit f : C C, f(z) = 1 z 2. Décrire D := f 1 (C ). Est-ce que D est connexe? (b) Soit a [0, + [. Montrer que iz + 1 z 2 a, z D. En déduire que iz + 1 z 2 C, z D. (c) Soit g : D C, g(z) = ilog(iz + 1 z 2 ). Montrer que sin(g(z)) = z, z D. (d) Quelle est la relation entre la fonction g et la fonction arcsin :] 1, 1[ R usuelle? 4

5 Université de Lorraine Département de Mathématiques Analyse Complexe, L3, printemps 2014 Interro n 2 Les 10 exercices sont indépendants. Pour chaque exercice 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque exercice, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Documents, calculatrices, téléphones portables, etc. sont interdits. Exercice XI. Soit f O(C). 1. Si Imf admet un maximum local, alors f est nulle sur C. 2. Si f est constante sur le segment [ 1, 1], alors f est constante sur C. 3. Si f est nulle sur le segment [ 1, 1], alors f est identiquement nulle. 4. Si f admet un maximum local sur le demi-plan {z C Rez > 0}, alors f est constante sur C. 5. L image par f du demi-plan {z C Rez > 0} est un demi-plan ouvert de C. Exercice XII. Soient z 0 U et f(z) = n=0 a n(z z 0 ) n le développement en série entière centré en z 0 d une fonction f O(U). Si R est le rayon de convergence de cette série entière, alors pour tout n N 1. a n = f (n) (z 0 ) (n+1)!. 2. a n = 1 2iπ 3. a n = f (n) (z 0 ). 4. a n = 1 2iπ 5. a n = 1 2iπ Exercice XIII. D(z 0,R/2) D(z 0,R/2) D(z 0,R/(2π)) f(z) (z z 0 ) n+1. f(z) (z z 0 ) n. f(z) (z z 0 ) n L ensemble des zéros de la fonction sin : C C est localement fini dans C. 2. Si U est connexe et si les fonctions f, g O(U) ont les mêmes zéros dans U, alors f = g sur U. 3. Pour toute partie fermée A C de C il existe une fonction entière non constante qui s annule identiquement sur A. 4. Une fonction entière non constante ne peut avoir qu un nombre fini de zéros. 5. Une fonction f : R C admet au plus un prolongement holomorphe à C. 5

6 Exercice XIV. 1. D 2. D 3. D(i,1) 4. D(i,1) 5. D z = 1 2iπ. z+2 = 0. z 2 +1 = π. exp(z 2 )+1 = 2iπ. cos z = 4iπ. Exercice XV. Le rayon de convergence du développement en série entière centrée en zéro de la fonction f est égal à 2π. 1. f(z) = tan( z 2 ). 2. f(z) = z tan(2z). 3. f(z) = z sin(z). 4. f(z) = z exp(z) f(z) = exp(z) z 2π 1. Exercice XVI. 1. La fonction f(z) := sin 3 (z 2 + 1)Log(1 + z) définit une application biholomorphe du disque unité D à valeurs dans C. 2. La fonction sin : C C est à croissance polynômiale. 3. Il n existe aucune fonction holomorphe non constante f : C D. 4. La fonction f(z) = exp(z) sin(z) est une application ouverte de C à valeurs dans C. 5. cos(z) 1, z C. Exercice XVII. Soit U un voisinage ouvert de 0 dans C. Une fonction f O(U \ {0}) a un pôle en 0 si et seulement si 1. f est bornée au voisinage de f n est pas bornée au voisinage de 0 et n N tel que la limite lim z 0 z n f(z) existe dans C. 3. La limite lim z 0 f(z) existe dans C. 4. l C { } (z n ) n suite convergeant vers 0 telle que lim n f(z n ) = l. 5. La partie principale du développement de f en série de Laurent centrée en 0 est une somme finie. 6

7 Exercice XVIII. La fonction f a un pôle d ordre 2 en π f(z) = exp(4iz). 2. f(z) = 1 exp(4iz) f(z) = 1 (exp(4iz) 1) f(z) = 1 (exp(4iz)) f(z) = tan 2 (z). Exercice XIX. La valeur de l intégrale est D ζ 10 dζ (ζ z) z 6 si z > si z > iπz 6 si z > iπz 6 si z < si z < 1. Exercice XX. Soit γ : [0, 3π] C le lacet défini par γ(t) := exp(3it) pour t [0, π], γ(t) := 2 + exp( 2it) pour t [π, 2π] et γ(t) := exp(it) pour t [2π, 3π]. 1. Ind(γ, 0) = L indice de γ par rapport à Ind(γ, 1 2 ) = Ind(γ, 1 + i) = 0. n est pas défini. 5. Ind(γ, 2) = 1. 7

8 Université de Lorraine Département de Mathématiques Analyse Complexe, L3, printemps 2014 Examen Durée: 2h. Calculatrices, documents, téléphones portables, etc. sont interdits. 1. Soit f O(D) une fonction holomorphe sans zéros sur le disque unité D = D(0, 1). (a) Montrer qu il existe une suite (z n ) n N de points de D telle que lim n z n = 1 et que la suite (f(z n )) n N soit bornée. Indication: pour n > 1 considérer le maximum de la fonction 1 f sur le disque fermé D(0, 1 1 n ). (b) Montrer qu il existe une suite (z n ) n N de points de D qui converge vers un point de D et telle que la suite (f(z n )) n N soit convergente elle-aussi. 2. Soient z 0 U, f O(U \ {z 0 }) et P O(C) une fonction polynômiale non constante. Montrer que z 0 est une singularité effaçable, resp. un pôle, resp. une singularité essentielle de f si et seulement si elle est une singularité effaçable, resp. un pôle, resp. une singularité essentielle de P f. 3. Calculer l intégrale en utilisant la théorie des résidus. 0 x sin x 1 + x 6 dx Indication: vérifier que x sin x dx = ix exp(ix) 1+x 6 dx et calculer 1+x 6 le modèle de calcul des intégrales impropres des fonctions rationnelles. ix exp(ix) 1+x 6 dx d après 8