Lycée Louise Michel 2016/2017 MATHEMATIQUES. Exercices chapitre 5

Transcription

1 Lcée Louise Michel 06/07 TES/L MTHEMTIQUES Exercices chapitre 5 Exercice La capacité de production mensuelle d une entreprise est limitée à 9 milliers d articles. Soit x le nombre de milliers d articles fabriqués. Le coût total de production f(x), exprimé en milliers d euros, est représenté par la courbe dans le plan muni d un repère orthogonal. La tangente à la courbe au point (; 6) est tracée sur le graphique. La tangente au point (5; 75) à la courbe passe par l origine du repère x On admet que la fonction f est définie et dérivable sur l intervalle [0; 9] et, on note f la fonction dérivée de la fonction f et f la dérivée seconde de la fonction f. partie a Le coût marginal est assimilé sur l intervalle [0; 9] à la dérivée du coût total de production.. À partir du graphique et des renseignements fournis déterminer la valeur du coût marginal pour x = 5.. Quelle est, parmi les trois courbes proposées ci-dessous, celle qui représente le coût marginal? C 0 0 partie b x C x C x La fonction f est définie pour tout réel x de l intervalle [0; 9] par f(x) = x 9x + 0x Calculer.. Étudier les variations de la fonction f.. a. Étudier la convexité de la fonction f. b. La courbe admet-elle des points d inflexion? partie c Le prix de vente d un article est de 0 e. Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d euros, réalisé par l entreprise pour x milliers d articles vendus est donné par (x) = 0x f(x).. Pour quelle quantité d articles vendus, le bénéfice est-il maximal?. Déterminer les quantités commercialisées, arrondies à la centaine d articles près, dégageant un bénéfice positif.

2 Exercice Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x) = x e x. On note f la fonction dérivée de la fonction f et f la dérivée seconde de la fonction f. Étudier la convexité de la fonction f. La courbe représentative de la fonction f a-t-elle un point d inflexion? Si oui, donner ses coordonnées. Exercice partie a Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x) = x + 6, 5x 0x +. On note f la dérivée de la fonction f et f la dérivée seconde.. a. Déterminer. b. Étudier les variations de la fonction f.. a. Déterminer f (x). b. Étudier la convexité de la fonction f. partie b La fonction f, définie dans la partie, modélise sur l intervalle [0; ], le cours d une action sur une année. x est le temps écoulé exprimé en mois et f(x) est le cours de l action en euros x. Sur un an, quel a été le cours le plus bas de cette action? le cours le plus haut?. À quel moment la croissance du cours de cette action s est-elle ralentie? Exercice 4 x Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x) = x x + 4. On note sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthogonal x -. On note f la dérivée de la fonction f. a. Calculer et vérifier que pour tout réel x, = x ( x 4x + ) b. Étudier les variations de la fonction f. - (x x + 4).. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point d abscisse. Tracer la tangente T dans le repère précédent.. La dérivée seconde de la fonction f est définie pour tout réel x par f (x) = 48x + 96x (x. Étudier la convexité x + 4) de la fonction f. La courbe représentative de la fonction f admet-elle des points d inflexion?

3 Exercice 5 On injecte à un patient un médicament et on mesure régulièrement, pendant 5 heures, la concentration, en grammes par litre, de ce médicament dans le sang. On obtient la courbe fournie en annexe.. Étude graphique vec la précision permise par le graphique, indiquer :. la concentration à l instant initial ;. l intervalle de temps pendant lequel la concentration est supérieure ou égale à 0, 4 gramme par litre. On fera apparaitre sur le graphique les traits de construction nécessaires.. Étude théorique : On admet que la concentration peut être modélisée par la fonction f définie sur l intervalle [0 ; 5] par : f(x) = (x + )e 0,5x, où x représente le nombre d heures écoulées depuis l instant initial et f(x) la concentration, en grammes par litre, du médicament dans le sang.. On note f la fonction dérivée de la fonction f. Justifier que = 0, 5xe 0,5x et en déduire le tableau de variation de la fonction f sur [0 ; 5].. Justifier que l équation f(x) = 0, admet une unique solution α sur l intervalle [0; 5].. Déterminer un encadrement de α d amplitude un dixième. 4. Un logiciel de calcul formel donne le résultat ci-dessous : deriver ((x + ) exp( 0.5 x)) deriver (exp( 0.5 x) 0.5 exp( 0.5 x) (x + )) factoriser ( exp( 0.5 x) exp( 0.5 x) (x + )) exp( 0.5x) 0.5 exp( 0.5x) (x + ) exp( 0.5 x) exp( 0.5 x) (x + ) (0.5 x 0.5) exp( 0.5 x) En vous appuant sur ces résultats, étudier la convexité de la fonction f sur l intervalle [0 ; 5] et préciser l abscisse d un éventuel point d inflexion. C. Interprétation des résultats : En vous aidant des résultats obtenus, soit dans la partie, soit par lecture graphique et sans justifier, répondre aux questions ci-dessous.. On estime que le médicament n est plus actif lorsque la concentration est strictement inférieure à 0, gramme par litre. Pendant combien de temps le médicament est-il actif?. u bout de combien d heures la baisse de concentration ralentit-elle? Concentration (g/l),,0,8,6,4,,0 0,8 0,6 0,4 0, O Temps (en heure)

4 Exercice 6 On considère une fonction f définie sur R et deux fois dérivable. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f, dérivée seconde de la fonction f, dans un repère orthonormé. Les points ( ; 0) et (; 0) appartiennent à la courbe x - - Chaque réponse sera justifiée.. La courbe représentative de la fonction f admet-elle des points d inflexion?. Sur quels intervalles, la fonction est-elle convexe? Est-elle concave?. On note f la dérivée de la fonction f. Donner le tableau de variation de la fonction f. 4. Une des deux courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f et l autre celle de f. Déterminer la courbe qui représente la fonction f et celle qui représente la dérivée f. - Courbe 8 Courbe x x

5 Exercice 7 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l absence de réponse ne rapporte ni n enlève aucun point. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. ucune justification n est demandée. La courbe ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d une fonction f définie et dérivable sur R. La tangente à la courbe au point d abscisse a pour équation = 5. La droite D est tangente à au point d abscisse, seul point en lequel la courbe traverse la tangente. 5 4 D x - -. On note f la dérivée seconde de la fonction f : a) f () < 0 b) f () = 0 c) f () > 0 d) f () > f (). On note f la dérivée de la fonction f : a) f ( ) = 5 b) f ( ) = 0 c) f () = d) f () =. On peut affirmer que : a) f ( ) f ( ) 0 b) f (5) f (6) 0 c) f ( ) f () 0 d) f ( ) f () 0 4. Le tableau de variation de la fonction dérivée f est : x + x + a) b) x + x + c) d)