ARCHIMEDE 1997 Epreuve A de Mathématiques - Option PC

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1 ARCHIMEDE 997 Epreuve A de Mathématiques - Option PC Partie I-A. Pour u = (a, b, c) R, on définit la matrice M u = a b c c a b b c a et f u l endomorphisme de R de matrice M u dans la base (i, j, k). On note M l ensemble des matrices M u, u R et V l ensemble des endomorphismes f u, u R On vérifie que les applications u R M u M et u R f u V sont linéaires et bijectives donc M et V sont des espaces vectoriels (réels) de dimension.. Soient u = (a, b, c) et v = (a, b, c ). Le calcul donne M u M v = M w où w = (aa + bc + cb, ab + ba + cc, ac + bb + ca ). Il en résulte, avec I = M (,0,0) M, que M est une sous-algèbre de M (R), clairement non commutative d après l expression de M u M v.. On note w = (i + j + k). i) Le calcul donne f u (w ) = (a + b + c)w donc w est un vecteur propre commun à tous les f u. ii) L ensemble P = (w ) est un plan contenant la famille orthonormale des deux vecteurs w = (i j) et w = (i + j k). Il en résulte donc que (w, w ) est une base orthonormale de P et B = (w, w, w ) une base orthonormale de R. La matrice de f u dans la base B est donnée par la relation matricielle : M u = P M u P = t P M u P où P = M B (B ) = Les calculs étant fastidieux, on utilise la décomposition En notant M u = ai + bj + cj où J = K = t P JP = 0 0 0

2 on obtient M u = ai + bk + ck = a + b + c a (b + c) (b c) 0 (b c) a (b + c) iii) L écriture en blocs de M u montre que le plan P est stable par f u. 4. Toujours d après l écriture en blocs de M u, l endomorphisme f u est diagonalisable sur R si et seulement si la matrice ( ) α β N = où α = a β α (b + c), β = (c b) est diagonalisable dans M (R). Le calcul du polynôme caractéristique donne χ N (X) = X T r(n)x + det(n) = (x α) + β. Si β 0, alors χ N (X) n est pas scindé dans R[X] et si β = 0 alors N = I. Il en résulte que f u diagonalisable sur R β = 0 ( c-à-d b = c ). Partie I-B. Soit Ψ : u R f u (u) R et P m le polynôme P m = X X + m où m R. Le calcul donne f u (u) = (a + b + c, ab + bc + ca, ab + bc + ca). i) On en déduit l ensemble U = Ψ (i) U = {(a, b, c) / a + b + c =, ab + bc + ca = 0} = {(a, b, c) / a + b + c =, (a + b + c) = } = {(a, b, c) / a + b + c =, a + b + c = ±} L ensemble U est donc composé de deux cercles, intersection de la sphère d équation a + b + c = et des plans d équations a + b + c = et a + b + c =. ii) La condition trouvée précédemment pour u U équivaut à dire que les colonnes de la matrice M u forment une base orthonormale de R donc que M u est orthogonale.. Le calcul donne P m(x) = X X = X(X ) d où le tableau de variation de la fonction polynomiale réelle associée à P m (X) x 0 / + P m(x) P m (x) m m 4/7 + Il en résulte que P m a toutes ses racines réelles si et seulement si m 0 et m 4/7 0.

3 . La matrice M u est de rotation si et seulement si u U et det M u =. D après A..iii, on a det M u = det M u = (a + b + c)(a + b + c ab bc ca). Il en résulte que { a + b + c = M u SO (R) ab + bc + ca = 0 Avec les notations habituelles (X a)(x b)(x c) = X σ X + σ X σ où σ = a + b + c σ = ab + bc + ca σ = abc on en déduit que M u est une matrice de rotation si et seulement si a, b et c sont racines d un polynôme de la forme P m où m désigne σ, donc m [0, 4/7] d après la question précédente. 4. Pour le vecteur u = (/, /, /), l endomorphisme f u a pour matrice 0 0 M u = 0 0 c est donc une rotation d angle θ = π autour du vecteur w. Partie II-A Soit F = {f : x ], [ f(x) = a 0 + a x + a x x R / i {0,, } a i R}.. F est un espace vectoriel, comme sous-ensemble non vide et stable par combinaison linéaire de l espace vectoriel des fonctions de ], [ dans R.. En notant h k, pour k = 0,,, la fonction définie sur ], [ par h k (x) = xk, il apparait x que B = (h 0, h, h ) est une famille génératrice de F. Vérifions qu elle est également libre, et elle sera une base de F. En effet, soit f = a 0 h 0 + a h + a h = 0; alors en considérant la fonction g : x g(x) = ( x )f(x), nulle sur ], [, ainsi que ses dérivées successives calculées en 0, on obtient a 0 = 0, a = 0, a = 0.. L ensemble F des éléments de F ayant une limite finie quand x est un sous-espace vectoriel de F, car non vide et stable par combinaison linéaire. Montrons que F est l ensemble {f = a 0 h 0 + a h + a h / a 0 + a + a = 0}. Il en résultera que F est de dimension égale à dim F = Soit f = a 0 h 0 + a h + a h F. Si f F alors lim ( x )f(x) = 0 = a 0 + a + a x Inversement si a 0 + a + a = 0 alors f = a (h h 0 ) + a (h h 0 ) F car les fonctions h h 0 : x ], [ + x + x et h h 0 : x ], [ + x + x + x

4 admettent chacune une limite finie quand x. Les fonctions rationnelles h h 0 et h h 0 étant prolongeables en des fonctions C sur [, ], il en est de même, par linéarité, pour tout élément de F. 4. Pour x ], [, on note g 0 (x) = ( x), g (x) = (+x+x ), g +x (x) = (+x+x ). On a donc g 0 = h 0 + h + h, g = h 0 h, g = h 0 + h h La matrice de la famille B = (g 0, g, g ) dans la base B est la matrice orthogonale (donc inversible) obtenue à la question I A..ii. Il en résulte que B est une base de F et, comme g F et g F, alors (g, g ) est une base de F. Partie II-B. On note S l ensemble des fonctions développables en série entière de rayon de convergence supérieur ou égal à. i) Les fonctions h 0, h, h admettent des développements en séries entières de rayon x ], [ h 0 (x) = Il en résulte que F S. x k, h (x) = x +k, h (x) = ii) Les coefficients a n de chacune des trois séries entières vérifient x +k. n N a n+ = a n iii) Tout élément f S dont le développement en série entière a n x n vérifie pour tout n N, a n+ = a n s écrit + x ], [ f(x) = a 0 x k + + a x +k + a Il en résulte, avec ii, que. L opération définie sur F par F = {f S / x ], [ f(x) = = a 0 h 0 (x) + a h (x) + a h (x) x +k a n x n avec n N a n+ = a n } (f, g) F F (f g) = f(0)g(0) + f (0)g (0) + f (0)g (0) 4 est clairement bilinéaire, symétrique et positive, il reste à établir qu elle est définie pour qu elle soit un produit scalaire sur F. Soit f F tel que (f f) = 0, alors f(0) = f (0) = f (0) = 0. Il résulte alors de la question 4

5 B..iii que tous les coefficients du développement en série entière de f sont nuls et donc f = 0. En utilisant les développement en séries entières, on obtient aisément h 0 (0) = h 0(0) = 0 h 0(0) = 0 h (0) = 0 h (0) = h (0) = 0 h (0) = 0 h (0) = 0 h (0) = de sorte que B = (h 0, h, h ) est une base orthonormale de F. Comme la matrice de passage de B à B est orthogonale, alors B est également une base orthonormale de F.. Pour f F, on définit g f sur ], [ par g f = f(x) f(0) x si x 0. La fonction g f se prolonge alors en une fonction continue sur ], [ en posant g f (0) = f (0). i) Le calcul, à l aide des développement en séries entières, donne g h0 = h, g h = h 0, g h = h Il en résulte, par linéarité, que si f F alors g f F. ii) La matrice, dans B de l application ϕ : f F g f précédent. On obtient 0 0 J = F est donnée par le calcul D après les calculs de I A..ii, on obtient directement sa matrice dans la base B 0 0 K = 0 0 ϕ est donc une rotation d angle θ = π autour du vecteur g 0. iii) L écriture en blocs de K, matrice dans B de l application ϕ, montre que le plan F est stable par ϕ. On a les limites lim g (x) = x, lim g (x) = x donc (g (x) g (0) lim ϕ(g )(x) = lim = lim g (x) g (0) = x x x x =, et g (x) g (0) lim ϕ(g )(x) = lim = lim g (x) g (0) = = 0. x x x x Partie II-C Soit l équation différentielle ( x )y 9x y 8xy y = 0 () 5

6 . Soit y une solution de () admettant un développement en série entière de rayon R > 0. x ] R, R[ y(x) = En reportant dans (), on obtient a n x n, y (x) = na n x n, etc... x ] R, R[ n(n )(n )a n x n (n(n )(n ) + 9n(n ) + 8n + )a n x n = 0 qui se transforme en x ] R, R[ n(n )(n )a n x n (n + )(n + )(n + )a n x n = 0 Il en résulte que n N F. a n+ = a n. On obtient donc, d après B..iii, tous les éléments de. Soit g une solution de () sur un intervalle I inclus dans R\{} et f définie sur I par f(x) = ( x )g(x). La formule de Leibniz donne x I f () (x) = C k ( x ) (k) f ( k) (x) = ( x )f (x) 9x f (x) 8xf (x) f(x) Il en résulte que f est solution sur I de l équation différentielle f = 0 qui a pour solution x f(x) = a 0 + a x + a x avec a i R i {0,, }. Les fonctions h k, pour k = 0,,, introduites en A., sont donc des solutions de () sur chacun des intervalles ], [ et ], + [. D après la théorie des équations différentielles linéaires, on sait que les solutions de () sur chacun des intervalles ], [ et ], + [ forment un espace vectoriel de dimension. Les fonctions h k, k = 0,,, en constituent une base. Etudions les prolongements en. Soit g = a 0 h 0 + a h + a h une solution de () sur l intervalle ], [ (resp. ], + [ ) ayant une limite en (resp. en + ). Un raisonnement analogue à celui fait en A. implique que a 0 + a + a = 0. Il en résulte que g est une combinaison linéaire des fonctions g et g introduites en A.4 et définies sur R. Soit donc g une solution de () sur R telle que g = { b g + b g sur ], [ c g + c g sur ], + [ où b, b, c, c R. Les continuités de g et de g au point conduisent au système linéaire { (b c )g () + (b c )g () = 0 (b c )g () + (b c )g () = 0

7 de matrice inversible ( g () g () g () g () ) = Il en résulte donc que b = c et b = c. Les solutions de () sur R forment un espace vectoriel de dimension, et de base (g, g ). FIN. 7