Rappels de collège sur la géométrie dans le plan

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1 Rappels de collège sur la géométrie dans le plan I Rappels sur les symétries : I 1 Symétrie axiale : On note I le milieu de On appelle médiatrice du segment la droite perpendiculaire en I à Propriétés : La médiatrice de équidistants des extrémités de est l ensemble des points 1) Si M est un point de la médiatrice de :, alors MA MB 2) Si MA MB, alors M est un point de la médiatrice de On considère un point A n appartenant pas à une droite du plan ire que le point A est le symétrique du point A par rapport à la droite signifie que la droite est la médiatrice du segment AA ' Remarque : Si le point A appartient à la droite, les points A et A sont confondus I 2 Symétrie centrale : On considère deux points A et B distincts du plan ire que le point A est le symétrique du point A par rapport au point B signifie que le point B est le milieu du segment AA ' 1

2 II Rappels sur les configurations du plan : II 1 roites remarquables dans un triangle : Médiatrices : Une médiatrice d un triangle est la médiatrice d un de ses côtés Propriété : Les trois médiatrices d un triangle sont concourantes en un point O, centre du cercle circonscrit au triangle : OA OB OC Médianes : Propriété : Une médiane d un triangle est une droite passant par un des trois sommets du triangle et par le milieu du côté opposé Les trois médianes d un triangle sont concourantes en un point G, appelé centre de gravité du triangle Hauteurs : Une hauteur d un triangle est une droite passant par un des trois sommets du triangle et perpendiculaire au côté opposé 2

3 Propriété : Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes en un point, appelé orthocentre du triangle L aire du triangle C se calcule ainsi : aire C base hauteur BH AC 2 2 Bissectrices : La bissectrice d un angle partage un angle en deux angles adjacents de même mesure Une bissectrice d un triangle est la bissectrice d un de ses trois angles Propriété : Les trois bissectrices d un triangle sont concourantes en un point I, centre du cercle inscrit dans le triangle : IP IQ IR II 2 Théorème de Thalès : Théorème de Thalès : On considère un triangle C, M un point de et N un point de AC distincts de A Si les droites et MN sont parallèles, alors AC AM AN MN Réciproque du théorème de Thalès : On considère un triangle C Si les points A, B et M sont alignés dans cet ordre, si les points A, C et N sont alignés dans le même ordre et si AC, alors les droites et MN sont parallèles AM AN 3

4 Cas particulier de la droite des milieux : On considère un triangle C a) Si I et J sont les milieux respectifs de et AC, alors les droites IJ et sont parallèles et b) Si I est le milieu de, alors la parallèle à par I coupe en son milieu 1 IJ 2 passant II 3 Triangles particuliers : Triangle isocèle : On appelle triangle isocèle tout triangle ayant deux côtés de même longueur Propriétés : 1) Si le triangle C est isocèle en A, alors on dit que A est le sommet principal et que est la base du triangle C 2) Si le triangle C est isocèle en A, alors la médiane issue de A est aussi : - la hauteur issue de A - la médiatrice de - la bissectrice de BAC 3) Cette droite est l axe de symétrie du triangle 4) Les angles à la base d un triangle isocèle ont la même mesure Triangle équilatéral : On appelle triangle équilatéral tout triangle dont les côtés ont la même longueur Propriétés : 1) Les angles d un triangle équilatéral ont la même mesure : 60 2) Un triangle équilatéral a trois axe de symétrie : les médiatrices de ses côtés 2) Les droites remarquables dans un triangle équilatéral sont toutes confondues 4

5 Triangle rectangle : On appelle triangle rectangle tout triangle ayant un angle droit Le côté opposé à l angle droit s appelle l hypoténuse Propriétés : 1) ans un triangle rectangle, le milieu de l hypoténuse est le centre du cercle circonscrit au triangle 2) Si le triangle C est inscrit dans le cercle de diamètre, alors C est AC rectangle en B 3) Théorème de Pythagore : Si le triangle C est un triangle rectangle en A, alors 4) Réciproque du théorème de Pythagore : Si AC, alors le triangle C est rectangle en A AC côté adjacent à BAC 5) cos BAC hypoténuse AC côté opposé à BAC sin BAC hypoténuse AC côté opposé à BAC tanbac côté adjacent à BAC II 4 Quadrilatères particuliers : Parallélogramme : On appelle parallélogramme tout quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles deux à deux Propriétés : 1) Les diagonales d un parallélogramme se coupent en leur milieu 2) Les côtés opposés d un parallélogramme sont deux à deux de la même longueur 3) Un parallélogramme a un centre de symétrie : le point d intersection de ses diagonales 5

6 Propriétés pour démontrer qu un quadrilatère est un parallélogramme : Si les diagonales d un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme Si les côtés opposés d un quadrilatère sont parallèles deux à deux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme Si les côtés opposés d un quadrilatère sont de la même longueur deux à deux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme Rectangle : On appelle rectangle tout quadrilatère ayant trois angles droits Propriétés : 1) Les diagonales d un rectangle se coupent en leur milieu et ont la même longueur 2) Un rectangle a un centre de symétrie : le point d intersection de ses diagonales 3) Un rectangle a deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés Propriétés pour démontrer qu un parallélogramme est un rectangle : Si les diagonales d un parallélogramme sont de la même longueur, alors ce parallélogramme est un rectangle Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs perpendiculaires ( ou un angle droit ), alors ce parallélogramme est un rectangle Losange : On appelle losange tout quadrilatère ayant quatre côtés de même longueur Propriétés : 1) Les diagonales d un losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires 2) Un losange a un centre de symétrie : le point d intersection de ses diagonales 3) Un losange a deux axes de symétrie : ses diagonales 6

7 Propriétés pour démontrer qu un parallélogramme est un losange : Si les diagonales d un parallélogramme sont perpendiculaires, alors ce parallélogramme est un losange Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de la même longueur, alors ce parallélogramme est un losange Carré : On appelle carré tout quadrilatère ayant quatre angles droits et quatre côtés de même longueur Propriétés : 1) Les diagonales d un carré se coupent en leur milieu, ont la même longueur et sont perpendiculaires 2) Un carré a un centre de symétrie : le point d intersection de ses diagonales 3) Un carré a quatre axes de symétrie Propriétés pour démontrer qu un losange est un carré: Si les diagonales d un losange sont de la même longueur, alors ce losange est un carré Si un losange a deux côtés consécutifs perpendiculaires ( ou un angle droit ), alors ce losange est un carré Propriétés pour démontrer qu un rectangle est un carré : Si les diagonales d un rectangle sont perpendiculaires, alors ce rectangle est un carré Si un rectangle a deux côtés consécutifs de la même longueur, alors ce rectangle est un carré II 5 Cercles Le cercle de centre A et de rayon R est l ensemble des points M du plan tels que AM R 7

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