Mémoire Master 2 : Analyse appliquée et Modélisation. Sujet : Modélisation d un tas de sable par la Méthode des Eléments Discrets

Transcription

1 Faculté de math-info Mémoire Master : Analyse appliquée et Modélisation Sujet : Modélisation d un tas de sable par la Méthode des Eléments Discrets Présenté par Ould Bah Hanani Sous la direction de : S. Dumont et J. Fortin LAMFA, Juin 007

2 Contents 1 Mécanique des Milieux Continus Les contraintes dans un matériau continu Équations d équilibre de la Mécanique des Milieux Continus Condition de Stabilité Modèle OSL 11.1 Description du modèle Identification des forces de l étage (q + 1) à la force F (q, r) Identification de forces F (q, r) aux forces de l étage (q 1) Relation entre les contraintes Méthode des caractéristiques Description de la méthode Application Analyse de la symétrie Test de validité du modèle 5 Direction de recherche 8 Référence i

3 Remerciements Tout d abord je voudrais exprimer ma profonde reconnaissance à mes encadrants S. Dumont et J. Fortin qui tout au long de mon stage ont fait preuve d une écoute attentive et ont su me guider avec dynamisme. Sans oublier mes amis et toutes les personnes qui m ont aidé au cours de ce travail. ii

4 Introduction Classiquement pour étudier numériquement le comportement d un corps déformable soumis à diverses sollicitations, on utilise la Méthode des Eléments Finis (MEF) qui est un important outil pour l analyse des structures. Elle s appuie sur la Mécanique des Milieux Continus. Les corps considérés ne sont pourtant pas continus mais l hypothèse de continuité apporte une simplification qui rend possible la résolution des problèmes de mécanique classique. Dans une grande majorité des cas, cette approche permet une bonne représentation de la réalité. Cependant, l hypothèse de continuité semble difficile à admettre pour des systèmes composés de plusieurs parties rigides ou déformables, qui sont reliées entre elles par des liaisons. On parle alors de systèmes multicorps. Actuellement, de nombreuses applications impliquent l étude de tels systèmes. Dans le domaine du sport, on étudie les mouvements des athlètes. Dans le domaine de l automobile et des transports, on recherche continuellement à améliorer les performances, le confort et la sécurité des voitures, des camions et des trains. Dans le domaine du génie civil, la modélisation des matériaux granulaires par un système multicorps, permet de comprendre l origine microscopique des comportements mécaniques macroscopiques [1], etc... Quelque soit le domaine d application, dans toute démarche de modélisation de système, l objectif est d obtenir des équations qui représentent le comportement du système étudié. Afin d écrire ces équations, il est tout d abord nécessaire de se donner un jeu de variables qui permet de décrire la configuration ou l état du système: ce sont les coordonnées généralisées q. Différents choix de coordonnèes sont possibles: les coordonnées relatives, les coordonnées absolues, etc.... Selon les coordonnées choisies, l ingénieur peut alors utiliser différentes méthodes, ou formalismes pour écrire les équations permettant d étudier le comportement du système. Dans le cas des systèmes multicorps, ces équations concernent les mouvements des corps qui sont soumis aux lois de la mécanique rationnelle,(figure 1) Le problème de dynamique consiste à déterminer les accélérations généralisées q lorsque le système est soumis aux forces articulaires Q dans une configuration connue en terme de valeurs des coordonnées généralisées q et de leurs dérivées premières q. Cette dépendance est exprimée par la relation suivante qui correspond aux équations du mouvement du système : M(q) q + h(q; q) = Q où M(q) représente la matrice de masse généralisée du système, h(q; q) regroupe les termes gyroscopiques et centrifuges. Dans la plupart des cas, les équations du mouvement sont accompagnées d un ensemble d équations supplémentaires qui expriment les relations entre les coordonnées généralisées. Le nombre et la nature de ces équations dépendent essentiellement du choix des coordonnées, de la structure du système et des conditions auxquelles le système est soumis []. Dans les domaines où la collection de corps entre lesquels des liaisons unilatérales, usuellement affectées de frottement, sont susceptibles de s établir ou de se rompre, ces équations de contraintes peuvent s écrire sous la forme implicite suivante: f(t, q(t)) 0. 1

5 Figure 1: Système multicorps de p solides Ω k L introduction du frottement de Coulomb conduit à un problème de complémentarité non linéaire [3][4] qui ne peut être résolu par une méthode de programmation linéaire. La séparation des surfaces en cas de glissement provient du non respect de l hypothèse de normalité [5] qui implique une vitesse correspondant à la dilatation de l interface. Dans la majorité des techniques numériques présentées dans la littérature, ces difficultés sont abordées au moyen d approximations régularisantes [6]. La non-interpénétrabilité des corps est remplacée par des lois de répulsion suffisamment raides qui entrent en jeu lorsque deux d entre eux s approchent. De même, la loi du frottement sec de Coulomb est usuellement régularisée. On est ainsi ramené à des équations différentielles traitées par les techniques numériques classiques. L emploi de schémas d intégration en temps explicites possède l avantage d estimer de manière simple les termes non linéaires présents dans les équations. En mécanique des granulats, des géomatériaux ou des maçonneries, les simulations numériques basées sur la prise en compte individuelle des grains ou des blocs, sont qualifiées de méthodes DEM (pour Discrete Element Method ou Distinct Element Method), par opposition à la stratégie FEM (Finite Element Method) utilisée lorsqu une loi de comportement homogénisée a été choisie, assimilant le granulat ou la maçonnerie à un milieu continu. L étape suivante consiste maintenant àessayer d identifier des lois de comportement homogénéisées, rendant compte du comportement global des milieux granulaires. Et ceci en s appuyant sur les résultats déjà obtenus. A l heure actuelle, ces systèmes sont généralement analysés avec la Mécanique des Milieux Continus et la micromécanique. C est donc dans la perspective d enrichir les modélisations déjà existantes que nous avons orienté ce travail. Le sable assemblée de grains posséde un comportement collectif qui n est ni celui d un solide puisqu il coule,ni celui d un fluide. En effet, un tas de sable peut supporter des contraintes de cisillement et en particulier sa surface n est pas forcément horizontale.

6 En fait, elle peut prendre une inclinaison mais limitée : cet angle maximal φ est applé angle de repos, ou angle de talus. Il y a en effet deux manières simples de construire un tas de sable sec : soit avec un point source où bien une couche horizontale (pluie). Dans les deux cas, on a pu mesurer le profil de pression P (x) sous le tas. De façon surprenante, la pression mesurée sous un tas construit avec un point source présente un minimum au centre du tas, c est - à -dire sous la plus grande hauteur de sable. Pour le tas construit en couche horizontale, ce minimum disparaît. On se propose de construire un modèle pour essayer de rendre compte de ces deux profils de pression : Dans la première partie de ce rapport on établit des résultats généraux concernant la mécanique des milieux continus. On modélise dans la partie () les interactions dans le milieu granulaire à l echelle d un grain ce qui permet en passant à la limite continue, d obtenir des relations supplémentaires entre les contraintes il s agit du modèle OSL (Oriented Stress linearity). La partie (3) est ensuite consacrée à l étude de la propagation des interactions dans le matériau (Lignes caractéristiques). Dans la partie (4), on utilise les résultats des trois parties précédentes pour calculer le profil de pression sous un tas, dont la comparaison à l expérience constitue un test de la validité du modèle proposé dans la partie (). Bien que les expériences aient été réalisées avec de vrais tas en trois dimensions, on étudiera pour des raisons de simplicité, que des cas bidimensionnels, et on suppose que le sable est sec et non coésif. On definit le tas bidimensionnel comme un triangle de sommet O pris comme origine des coordonnées z et x de hauteur h et de rayon R (Figure ). Figure : Tas bidimensionnel, de hauteur h,de rayon R et d angle de talus φ 3

7 On pose : c = 1/tan φ. L espace est ainsi rapporté à deux axes Oz et Ox, auxquels est associée la base orthonormée ( e z, e x ). L axe Oz est dirigé dans le sens du champ de pesanteur g, la masse surfacique ρ du matériau sera considérée comme uniforme. 4

8 1. Mécanique des Milieux Continus 1.1. Les contraintes dans un matériau continu On souhaite décrire le matériau granulaire comme un matériau continu. On est alors amené à introduire le tenseur des contraintes que l on va d abord définir. Dans le cas de deux dimensions, on considère un élément rectangulaire ABCD de matériau, de côtés dz et dx respectivement parallèles à oz et ox, sur chacun de ces côtés, l élément est soumis à une action de contact de la part du matériau extérieur, proportionnelle à la longeur du côté. On admet que cette action se réduit à une force appliquée au milieu du côté, que l on décompose en une force normale et une force tangentielle. Ainsi, pour le côté AB, la force que le matériau en x < x A exerce sur le matériau en x > x A à travers AB a pour composantes (σ xz dz, σ xx dx ). Pour le côté AD, c est la force que z < z A exerce sur z > z A à travers AD qui a pour composantes (σ zz dz, σ zx dx ). Dans ces conditions, la force que le matériau en z > z B exerce sur le matériau en z < z B à travers le segment BC a pour composantes ( σ zz dz, σ zx dx ). On notera également que, dans le cas général, σ zz et σ zx n ont pas exactement la même valeur que sur le segment AD. Figure 3: Figure Contraintes mécaniques exercées sur un rectangle élémentaire de matériau : σ zz pression verticale, σ xx pression horizontale, σ xz et σ zx contraintes de cisaillement. 5

9 Par définition, σ ij est donc la composante le long de l axe j de la force par unité de longueur perpendiculaire à l axe i. Dans le cas de tridimensionnel, σ ij serait une force par unité de surface. Les grandeurs σ zz et σ xx sont les pressions (à deux dimensions), respectivement verticale et horizontale. Les grandeurs σ xz et σ zx sont les contraintes de cisaillement. Les σ ij constituent les quatre composantes du tenseur des contraintes qui s écrit en projection sur la base ( e z, e x ) sous forme de la matrice [σ] = [ ] σzz σ zx σ xz σ xx 6

10 1.. Équations d équilibre de la Mécanique des Milieux Continus Comme la relation fondamentale de la dynamique nous donne l égalité entre le torseur des actions mecaniques qui s exerce sur le volume et le torseur dynamique ( le torseur des quantités d accélération), de ce volume matériel. Intéressons nous d abord à présenter l équilibre des forces résultantes de deux torseurs. ρfdω + σ( x, t) nds = Ω Ω Ω ρ γdω avec : f force volumique ρ densité volumique σ tenseur des contraintes comme à l equilibre alors : γ = 0 ρfdω + σ( x, t) n ds = 0 Ω Ω D après la formule d Ostogradski on a : ρfdω + div σ dω = 0 Ω Ω Donc div σ + ρ f = 0 Alors le système d equations suivant : (1.1) { z σ zz + x σ zx + ρf z =0 z σ xz + x σ xx + ρf x =0 7

11 Comme f x = 0 on a finalement que : (1.) { z σ zz + x σ zx =ρg (1) z σ xz + x σ xx = 0 () Et d autre part l égalité de moments résultants de deux torseurs donne : Ω X σ n ds + X ρf dω = X ρ γ dω Ω ( avec X z est de composantes x) Ω L équilibre donne γ = 0 alors: Ω X σ n ds + Ω X ρ f dω = 0 et on a car zσ xi n i ds xσ zi n i ds ρx f z dω = 0 Ω ω Ω X σ n = z(σ xi n i ) x(σ zi n i ), X ρ f = zf x xf z La formule d Ostogradski nous permet d écrire : i (σ xi z)dω i (σ zi x)dω D après (1.1), la simplification donne : Alors la symétrie de tenseur des contraintes : Ω Ω Ω (σ xz σ zx ) = 0 σ xz = σ zx (3) Ω x ρf z dω = 0 Les équations (1), () et (3) permettant le système d équations suivant que l on appelle les équations d équilibre de la MMC : (1.3) z σ zz + x σ zx = ρg (1) z σ xz + x σ xx = 0 () σ xz = σ zx (3) 8

12 1.3. Condition de Stabilité On exprime les trois composantes σ mm, σ nn et σ nm = σ mn du tenseur des contraintes sur le système d axes (Om, On) obtenu à partir de (Oz, Ox) par une rotation d angle θ algébrique (voir Figure 4). On admettra que la matrice [σ] représentant le tenseur des contraintes se transforme dans ce changement d axes par application linéaire. Figure 4: Repère (Om, On) défini par rapport au repère (Oz, Ox) dans le repère (Om, On) on a : σ nn = n [σ] n, σ mm = m [σ] m et σ nm = n [σ] m tel que les composantes de n et m sont successivement : ( ) ( ) sin θ cos θ n, m cos θ sin θ On considère que la base orthonormée de repère (Oz,Ox) est dirigée suivant les directions principales de σ, ensuite les valeurs propres de [σ] sont : σ 1 = σ zz + σ xx + (σ zz σ xx ) + 4σxz, σ = σ zz + σ xx (σ zz σ xx ) + 4σxz Il est clair que : σ 1 > σ 9

13 On remplace [σ], n et m par ces valeurs on trouve : (1.4) σ nn = σ 1 sin θ + σ cos θ σ mm = σ 1 cos θ + σ sin θ σ nm = σ 1 cos θ sin θ + σ cos θ sin θ Les formules trigonométriques nous permettent d écrire : (1.5) σ nm = σ nn = (σ 1 + σ ) σ mm = (σ 1 + σ ) ( σ 1 + σ ) sin θ + (σ σ 1 ) (σ σ 1 ) cos θ cos θ Les deux premières équations de (1.5) montrent que l extrémité du vecteur contrainte décrit le cercle de diamètre σ 1 σ et de rayon R = (σ 1 σ ) (cercle de Mohr) et de plus le rayon de ce cercle fait un angle égal à θ avec l axe oσ On pose : P = (σ 1 + σ ) On peut remarquer que ( π φ) = θ. Si τ la force de friction et σ la force normale au plan considéré la suit la loi de Coulomb pour un milieu granulaire sec et non coésif, loi qui est donné par : τ σ tan φ Alors (1.5) donne : donc : R(cos φ + sin φ) P sin φ R P sin φ. On remplace P, R, σ 1 et σ par ces valeurs et on obtient le critère de Mohr-Coulomb qui s écrit : (σ xx σ zz ) + 4σ xz sin φ(σ xx + σ zz ) Toutes solutions qui décrivent l état d équilibre d un milieu granulaire doit verifier cette inégalité en tout point pour qu il y ait pas de zone instable. Le critère de Mohr-Coulomb est un critère de stabilité. 10

14 . Modèle OSL.1. Description du modèle Les équations établies en (1.) sont très générales. Pour tenir compte de la nature granulaire du milieu, on propose dans cette partie un modèle des interactions entre les grains qui permet, par passage à la limite continue, d obtenir une équation supplémentaire spécifique. On modélise le matériau granulaire par un empilement régulier de grains sphériques identiques parfaitement rigides, espacés de z selon Oz et de x = tan(β) z selon l axe Ox (Figure 5). Chaque grain est repéré par les deux indices entiers q et r tels que les coordonnées de son centre sont z = q z et x = r x. On note p 0 le poids d un grain. On admet enfin pour les grains les lois Figure 5: schématisation du modèle OSL suivantes d interaction : La force exercée par un grain sur un autre est dirigée selon la ligne qui relie leur centres. Le grain (q, r) interagit avec ses trois voisins du niveau supérieur q 1 et ses trois voisins du nivau inférieur q + 1, mais non avec ses voisins latéraux du niveau q,on note F (q, r) la résultante des forces qui s exerce(q, r) sur le niveau inférieur. Le grain (q, r) exerce sur le grain (q + 1, r) situé sous lui une fraction ω de la composante verticale F z de la force F (q, r). On note : f : la force qu exerce le grain (q, r) sur le grain (q + 1, r 1) g : la force qu exerce le grain (q, r) sur le grain (q + 1, r) h : la force qu exerce le grain (q, r) sur le grain (q + 1, r + 1) On doit calculer en fonction de F z (q, r), F x (q, r), ω et β les composantes des forces exercées par le grain (q, r) sur chacun de ses trois voisins du niveau (q + 1) et ensuite du niveau (q 1). 11

15 .. Identification des forces de l étage (q + 1) à la force F (q, r) A partir de l équilibre de forces on calcule les composantes des forces exercées par le grain (q, r) sur l étage de niveau (q 1) en fonction de la composante de force F (q, r) et on projette sur (Oz, Ox) on trouve : f + g + h = F (q, r) λ(cos β z sin β x) + γ(cos β z + sin β x) + ωf z z = F z z + F x x tel que les composantes de f, g et h successivement sont f z = λ cos β f x = λ sin β g (.6) z = ωf z g x = 0 h z = γ cos β h x = γ sin β et λ, γ sont inconnus. On en déduit avec D apres cette relation on trouve : (.7) F z = ωf z + (λ + γ) cos β F x = (γ λ) sin β F z = F (q, r) z F x = F (q, r) x γ= 1 ω) [(1 cos β F z + 1 sinβ F x] λ= 1 ω) [(1 cos β F z 1 sinβ F x] On remplace γ, λ par ces valeurs dans (.4) pour trouver facilement les composantes de f, g, h en fonction de F z (q, r), F x (q, r), ω et β (.8) f z = 1 [(1 ω)f z 1 tan β F x] f x = 1 [(ω 1) tan βf z + F x ] g z = ωf z g x = 0 h z = 1 [(1 ω)f z + 1 tan β F x] h x = 1 [(1 ω)tan βf z + F x ] 1

16 ce qui permet d exprimer les composantes de la force F (q, r) en fonction des forces voisines de l étage supérieur et de ω, p 0 et β : Soit F (q 1, r), F (q 1, r 1) et F (q 1, r +1) successivement les forces qu exercent les grains (q 1, r),(q 1, r 1) et (q 1, r + 1) sur le grain (q, r)..3. Identification de forces F (q, r) aux forces de l étage (q 1) F (q, r) = F (q 1, r) + F (q 1, r 1) + F (q 1, r + 1) + p 0 z A partir de cette identification on écrit les composantes de la force F (q, r) en fonction des forces des voisins de l étage supérieur et de ω, p 0 et β : Par projection sur les axes Oz et Ox on a : F z z + F x x = ωf z (q 1, r) z + λ (cos β z sin β x) + γ (cos β z + sin β x) + p 0 z F z z + F x x = ωf z (q 1, r) + p 0 + (γ + λ ) cos β z + (γ λ ) sin β x ce qui donne : (.9) avec : (.10) { Fz =ωf z (q 1, r) + (λ + γ ) cos β + p 0 F x = (γ λ ) sin β γ = 1 [1 ω cos β F z(q 1, r 1) + 1 sinβ F x(q 1, r 1)] λ = 1 [1 ω cos β F z(q 1, r + 1) 1 sinβ F x(q 1, r + 1)].4. Relation entre les contraintes Lorsqu on fait tendre z vers zéro, on retrouve d une part l équation d équilibre (1) et si l on identifie F z à σ zz x et F x à σ xz x, et d autre part l équation d équilibre () à condition d avoir : σ xx = ησ zz En effet on remplace λ, γ par ces valeurs dans l équation (.9) et on trouve : F z = ωf z (q 1, r)+ 1 ω [F z (q 1, r+1)+f z (q 1, r 1)]+ 1 tan β [F x(q 1, r 1) F x (q 1, r+1)]+p 0 F x = (1 ω) tan β [F z (q 1, r 1) F z (q 1, r + 1)] + 1 [F x(q 1, r 1) + F x (q 1, r + 1)] Comme : F z = σ zz x, F x = σ xz x, et tanβ = x / z On aboutit au résultat suivant à partir de la formule de F z : 13

17 σ zz (z, x) = ω σ zz (z z, x) + 1 ω [σ zz (z z, x x ) + σ zz (z z, x + x )]+ z x [σ xz (z z, x x ) σ xz (z z, x)] + p 0 donc : x σ xz (z, x) 1 x [σ xz (z z, x x ) σ xz (z z, x + x )] σ zz (z z, x) 1 x [σ zz (z z, x x ) + σ zz (z z, x + x )] On fait ensuite tendre z vers zéro on trouve que D où la première équation : z σ zz (z, x) x σ xz (z, x) = p 0 z σ zz + x σ zx = ρg Et de même on trouve : σ xz (z, x) (1 ω) x [ σzz (z z, x x ) σ zz (z z, x + x ) z ] + σ xz (z z, x) donc: σ xz (z, x) σ xz (z z, x) z (1 ω) x z [ ] (σzz (z z, x x ) σ zz (z z, x + x ) x On passe à la limite on trouve : σ xz (z, x) = 1 (1 ω)(tan β) x σ zz (z, x) il est clair qu on peut trouver l équation d équilibre() si : On pose : σ xx (z, x) = 1 (1 ω)(tan β) σ zz (z, x). η = 1 (1 ω)(tan β) ce qui nous donne une relation entre les contraintes cette relation est la suivante σ xx (z, x) = ησ zz (z, x) 14

18 cette relation de proportionalité entre pression horizontale et pression verticale constitue l équation supplémentaire qui permet de compléter le système des équations d équilibre. Si l on avait introduit dans le modèle une asymétrie entre la pression de droite et la pression de gauche dans la loi de transmission de la force, on aurait obtenu de façon analogue σ xx = ησ zz + µσ xz (4) La relation (4), plus générale, sera admise pour la suite. Les paramètres η et λ traduisent de manière effective la texture ou la structure du matériau granulaire considéré. 15

19 3. Méthode des caractéristiques 3.1. Description de la méthode On se restreint pour commencer au cas symétrique µ = 0 et on pose c 0 = η. Lorsqu on associe la relation (4) aux équations d équilibre (1),() et (3) on trouve que chaque composante de σ ij satisfait l équation d onde dite de d Alembert où l axe x joue le rôle du temps. et pour µ 0 on a : z σ ij c 0 x σ ij = 0 ( z c + x )( z c x )σ ij = 0 avec c ± = 1 (µ ± µ + 4η. Cette équation d onde est de type hyperbolique. En chaque point il existe deux directions que l on appelle direction caractéristique le long desquelles les équations prennent une forme propagative particulièrement simple. Les caractéristiques donnent alors les directions de propagation des contraintes. Pour résoudre le système d équations dans le cas où µ 0, on fait le changement de variables défini par : { u=x c+ z (3.11) avec c v=x c z ± = 1 (µ ± µ + 4η ce qui nous donne : µ = c + + c et η = - c c +, on note que c + est positif, alors que c est négatif. A partir des équations (1), () et (4) on peut trouver le système suivant : (3.1) En effet on a d une part que : c + u (σ xz c + σ zz )= ρg c + c v (σ xz c σ zz )= c ρg c + c z σ zz = u σ zz z u + z v v σ zz ce qui donne Et de même on trouve que : (3.13) z σ zz = c + u σ zz c v σ zz. z σ zz = c + u σ zz c v σ zz z σ zx = c + u σ zx c v σ zx x σ xz = u σ xz + v σ xz x σ xx = u σ xx + v σ xx 16

20 On rapporte l equation (4) dans l équation () ce qui donne : (3.14) { z σ zz + x σ xz = ρg (1) z σ zx c c + x σ zz + (c + + c ) x σ zx = 0 () On rapporte les équations du système (3.13) dans le systéme (3.14) et on multiplie l équation (1) du sysème (3.14) par c + et ensuite ouˆ c ce qui donne le système (3.1). On introduit les quantités : T + = σ xz c + σ zz et T = σ xz c σ zz On cherche maintenant les directions de propagation de quantités : Notons que T + + c + ρgz et T + c ρgz car ce qui donne Donc : (3.15) u (ρc + gz) = c + ρg c + c c u (ρc gz) = ρg c + c z = u = (c c + )z + v 1 (c + c ) u + 1 (c + c ) v { u (T + + ρgzc + )=0 v (T + ρgzc )=0 Ce qui signifie que la quantité T + + ρgzc + se propage selon la direction u et T + ρgzc se propage selon v. 17

21 On note M 0 (respectivement M 0) le point de côté z 0 (respectivement z 0), en amont du point M(z,x) sur la caractéristique (+) (respectivement (-) )(figure (6)) Figure 6: caractéristiques (+) (à gauche) et caractéristiques (-) (droite) qui aboutissent au point avec c + = tan(α + ) et c = tan(α ) On explicite maintenant les coefficients σ xx, σ zz et σ xz en fonction des T ± (M) et des c ±. Comme : T + = σ xz c + σ zz T = σ xz c σ zz Ce qui donne les tenseurs des contraintes en fonction de T +,T : σ zz = T + T c c + (3.16) σ xz = c T + c + T c c+ σ xx = c T + c +T c c + On intègre (3.13) alors la relation suivante : Comme cts est une constante alors : T + (M) + ρgzc + = cts T (M) + ρgzc = cts T + (M) + ρgzc + = T + (M 0) + ρgz 0c + T (M) + ρgzc = T (M 0) + ρgz 0c Ce qui donne finalement une relation entre les caractéristiques de tout les point du tas : { T+ (M)=T (3.17) + (M 0) + ρgc + (z 0 z) T (M)=T (M 0 ) + ρgc (z 0 z) 18

22 3.. Application On applique, pour commencer, la méthode au cas simple d une couche de granulaire de densité ρ uniformme qui occupe tout le demi-espace > 0. La ligne z = 0 définit la surface de cette couche sur laquelle les contraintes sont nulles (voir Figure 7) En utilisant les caractéristiques, M M0 X C+ M C Z Figure 7: Caractéristique de M qui est équivalant de la figure(5) on calcule σ zz, σ xz et σ xx en fonction de la variable z et des paramètres ρg et η On choisit M 0 et M 0 sur la surface du tas donc z 0 = z 0 = 0, d après cette derniere condition et la condition (3.17) on a : T + (M) = T + (M 0) +ρgc + z T (M) = T (M 0 ) + ρgc z Comme T + (M 0 ) = 0 et T (M 0) = 0 car les contraintes nulles en M 0 et M 0 donc : T + (M) = ρgc + z T (M) = ρgc z Puis on remplace T + (M) et T (M) par ces valeurs on trouve : σ zz = ρgz, σ xz = 0 et σ xx = ηρgz C est-à-dire que le tas n est soumis qu à son propre poids. 19

23 3.3. Analyse de la symétrie Comme le tas est de la forme suivante la symetrie nous permettrons d étudier seulement la partie où z > 0. Figure 8: Tas bidimensionnel, de hauteur h, de rayon R et d angle de talus φ En effet: σ zz (M) = T +(M) T (M) c c + et d après (3.17) on a : Pour on a : ce qui donne : σ zz (M) = σ zz (M 0) + ρg(z z 0) z = z 0 σ zz (M) = σ zz (M 0) D après l équation d equilibre (1) on a : σ zz (z, x) = σ zz (z, x) (3.18) donc : z σ zz (z, x) + x σ zx (z, x) = ρg z σ zz (z, x) x σ zx (z, x) = ρg x σ zx (z, x) = x σ zx (z, x). 0

24 L intégration de cette relation donne : σ zx (z, x) = σ zx (z, x) + A pour on a : x = cz σ zx (z, x) = 0 et σ zx (z, x) = 0 d où σ zx (z, x) = σ zx (z, x) et de même l équation d équilibre () donne : σ xx (z, x) = σ xx (z, x). Comme σ xz (z, x) ne dépend que de x alors : σ xz (z, 0) = 0. De plus l équation (4) dans la zone x < 0 est de la forme : σ xx (z, x) = η σ zz + signe(x) µ σ xz (z, x). 1

25 4. Test de validité du modèle On va définir deux zones l une externe où les caractéristiques de M rencontrent directement la surface du tas, et l autre interne où l une des caractéristiques touche l axe central du tas en un point appelé M s (z s, 0) (Figure 9). X C+ Ms C C+ O Z S Zone interne I Zone externe B Figure 9: Zone interne et externe du tas Comme c + z = c + z s + x alors : car M et M s sont sur la droite d équation : z s = z x c + x = c + (z z s ) Pour l existence de la zone externe, il s agit de la relation suivante : tan( π φ) > c +. On admet maintenant que les contraintes s annulent toutes à la surface du tas et soit M (z, x ), M 0 (z, x) l intersection de deux caractéristiques avec la surface du tas et on doit calculer les valeurs de T +, T et σ ij dans la zone externe du tas : T + (M) = ρgc + c c (x cz) T (M) = ρgc c c + (x cz) on remplace T + (M), T (M) par ces valeurs dans (3.16) on trouve :

26 σ zz = [ ] ρg (cz x) (cz x) c + c (c + c ) c c c c + (4.19) On déduit que : σ xz = c +c ρg (x cz) (c c + )(c c ) σ xx = c +c cρg (x cz) (c c + )(c c ) (4.0) σ xx = c σ xz En x = 0 on a σ xz = 0 on peut calculer les caractéristiques de M S ce qui donne : T (M s ) = c c + T + (M s ). D après (3.17) on a : T (M s ) = cc ρgz s. c c Alors que la figure(10) correspond à ce calcul : O X M Ms Z C+ C M C O Figure 10: les caractéristiques de M S (4.1) Alors que les valeurs de T + (M), T (M) dans la zone interne (solide) sont : T + (M) = ρg c +(x cz) c c T (M) = ρg c c(c + z x) ρg c x c + (c c ) c + 3

27 [ ] (c σ zz = ρg + (x cz) c + c (c + z x) c x + ρg c + (c c (c c + ) c + (c c + ) (4.) σ xz = ρg c (c + c + 1) (c c )(c c + ) x c + c [ σ xx = ρg c(c (c c + )(c c ) + c )z + (1 + c cc + )x ] On considère le repère (Om, On) obtenu à partir de (Oz, Ox) par une rotation de π φ. L axe Om est ainsi confondu avec la surface du tas (figure 11). Figure 11: Repère (Om, On). L axe Om est confondu avec la surface du tas. La surface du tas est une surface d avalanche, ce qui signifie que le matériau granulaire, de coefficient de frottement f y est à la limite de rupture et comme le tas ne soumis qu à son propre poids donc : σ nm lim = f n 0 σ nn D après (4.0) le rapport σ xz /σ xx dans la zone externe du tas vaut : σ xz σ xx = tan φ 4

28 Comme : (4.3) σ nn = sin φ σ xx + cos φ sin φ cos φσ xz σ nm = sin φ cos φ(σ zz σ xx ) + (sin φ cos φ)σ xz On applique la condition (4.0) et en passant à la limite ce qui donne : σ nm lim n σ nn Comme le loi de Mohr-Coulomb est donnée par : = tan φ (σ xx σ zz ) + 4σ xz sin φ(σ xx + σ zz ) On applique la condition (3.0) plus la condition de Mohr-Coulomb et en passant à la limite on trouve la condition supplémentaire, qui est : La relation (4) donne : σ zz lim = 1 + tan φ = 1/η 0 (cz x) 0 σ xx η σ zz σ xx + µ σ xz σ xx = 1 En passant à la limte on obtient une relation entre les paramètres η et µ : avec : η = η 0 [1 µ tan φ] η 0 = tan φ. D après ce qui précède on déduit que la pression à la base du tas z = h est donnée par : Z + + c Z σ zz = ρg c c, c + où Z + (respectivement Z ) est la hauteur parcourue depuis la surface libre du tas par la caractéristique arrivant en bas du tas selon la direction + (respectivement -). Z + = cz x c c Z = cz x c c + Cas µ > 0 : on peut observer qui n y a pas de trou de pression au centre du tas. Cette courbe est similaire au profil de pression d un tas réel ayant la forme d un prisme triangulaire et construit par couches horizontales (figure 14). 5

29 0.7 η=0.54, µ=0.000, h=7.000, φ= Pression normalisee : P/ρ g h Distance au centre normalisee : x/r Figure 1: Profil de pression pour µ = η=0.610, µ= 0.19, h=7.000, φ=0.576 η=0.550, µ= 0.01, h=7.000, φ= Pression normalisee : P/ρ g h Distance au centre normalisee : x/r Figure 13: Profil de pression pour µ négatif 6

30 0.8 η=0.380, µ=0.461, h=8.300, φ=0.576 η=0.430, µ=0.319, h=8.300, φ= Pression normalisee : P/ρ g h Distance au centre normalisee : x/r Figure 14: Profil de pression pour µ positif Cas µ < 0 : dans ce cas, il y a un trou de pression au centre du tas. Cette courbe est comparable au profil de pression d un tas réel ayant la forme d un prisme triangulaire et construit par une source ponctuelle (figure 13). Cas µ = 0 : c est un cas intermédiaire où la pression est constante sur toute la zone interne du tas (figure 1). Ces exemples sont tirées de la thèse : Loic Vanel, Etude expérimentale de l équilibre mécanique d un milieu granulaire : exemples du silo et du tas de sable, Université de Paris 6,

31 5. Direction de recherche L objectif ici étant de développer une approche micro-macro, on se propose ici de vérifier dans un premier temps si un code par Eléments Discrets de type Dynamique des Contacts est capable de reproduire des expériences de laboratoire effectuées sur des matériaux modèles. Le file conducteur de ce travail étant le tas de sable, on a constaté dans la partie précédente que l approche OSL permet de rendre compte du comportement particulier des tas de sable, à savoir la formation d un trou de pression lorsque les grains sont générés à partir d un point source. Il serait intéressant dans une première étape de caler un protocole pour les simulations. Dans un premier temps, il nous faut être capable de mesurer la pression du tas. Pour ce faire, les expérimentateurs utilisent des capteurs de jauges. Pour essayer de faire à l identique, nous avons découpé la paroi du fond (sur laquelle repose le tas) en pleins de petites parois. L idée est alors d utiliser les parois comme des jauges. Dans un second temps, il nous faut générer les particules de différentes façons. Numériquement, on peut proposer 3 façons : génération par point source, par sédimentation et par saupoudrage. L idée est alors d essayé de retrouver l évolution de la pression pour chacune des générations. Le code de calcul utilise des paramètres physiques comme le frottement et des paramètres numériques comme les coefficients de restitution. Afin de comprendre le rôle de chacun de ces paramètres, il est important de lancer une série de calcul pour chacune des générations en faisant varier ces paramètres. Actuellement le calage n est pas effectué et les résultats pour la pression ne permettent pas de valider l approche par Eléments Discrets. 8

32 Figure 15: Formation du tas utilisant la sédimentation Figure 16: Formation du tas utilisant le saupoudrage 9

33 Figure 17: Formation du tas utilisant un point source 30

34 References [1] Duran J., Sables, poudres et grains. Introduction à la physique des milieux granulaires, Eyrolles sciences, [] Postiau T., Génération et Parallélisation des équations du Mouvement de Systèmes Multicorps par l Approche Symbolique, thèse de l Université Catholique de Louvain Faculté des Sciences Appliquées, septembre 004. [3] Coulomb C., Essai sur une application des règles de maximis et minimis à quelques problèmes de statique relatifs à l architecture, Mem. Acad. Royale des Sciences, vol. 973, pp , [4] Hild P., Sakki N., On solution multiplicity in friction problems with normal compliance, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 97 (004) pp [5] Halphen B. et Nguyen Q.-S., Sur les matériaux standards généralisés, Journal de Mécanique, vol. 14, n o 1, [6] Cundall P.A. et Strack O.D.L., A discrete numerical model for granular assemblies, Géotechnique, vol. 9, pp , [7] Walton O. R., Numerical simulation of inelastic, frictional particle-particle interactions. Particulate two-phase flow, Butterworth-Heinemann, 199. [8] Itasca 1995 PFCD, Version 1.1, User Manual, ITASCA Consulting Group, Minneapolis, Minnesota, USA. [9] Villard P., Le Hello B., Développement d un module spécifique géosynthétique dans le logiciel éléments discrets SDEC, Laboratoire Interdisciplinaire de Recherches Impliquant la Géologie et la Mécanique, [10] Moreau J.-J., Sur les lois de frottement, de plasticité et de viscosité, C. R. Acad. Sc. Paris, t. 71, Série A, pp , [11] Fortin M. et Glowinski R., Méthodes de Lagrangien augmenté, Dunod, 198. [1] Alart P. et Curnier A., A mixed formulation for frictional contact problems prone to Newton like solution methods, Computer methods in applied mechanics and engineering, vol. 9, n o, november [13] De Saxce G., Une généralisation de l inégalité de Fenchel et ses applications aux lois constitutives, C. R. Acad. Sc. Paris, t. 314, série II, pp , 199. [14] De Saxce G. et Feng Z.-Q., The bipotentiel method: a constructive approach to design the complete contact law with friction and improved numerical algorithms, Mathl. Comput. Modelling, vol. 8, n o 4-8, pp. 5-45, [15] Jean M., Frictional contact in collections of rigid or deformable bodies : numerical simulation of geomaterial motions, Mechanics of Geomaterial Interfaces, Elsevier Sciences Publishers B.V. ed A.P.S.. Selvadurai, M.J. Boulon, pp ,

35 [16] Moreau J.-J., Evolution en présence de liaisons unilatérales : notions de base, 4 ieme Colloque National en Calcul des structures, Giens, pp. 5-40, 18-1 mai [17] P. Joly, Z.-Q. Feng, N. Talbi, solution of contact problems with friction : pseudo-potentiel or bi-potentiel? Usawa or Newton, Actes du 8 éme Colloque en Calcul des Structures, Giens, 1-5 mai 007, France. [18] Renouf M., Optimisation numérique et calcul parallèle pour l étude des milieux divisés bi et tridimensionnels, thèse de doctorat, Université des Sciences et Techniques du Languedoc, 14 Septembre