Calcul de déterminants

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1 Calcul de déterminants Paris Descartes Mathématiques et calcul Calcul de déterminants 1/20 1 Déterminants Propriétés des déterminants Déterminant d une matrice carrée Calcul des déterminants Paris Descartes Mathématiques et calcul Calcul de déterminants 2/20

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3 Déterminants Soit : E espace vectoriel de dimension 2 et B = ( e 1, e 2 ) une base de E. u = x 1 e 1 + y 1 e 2 et v = x 2 e 1 + y 2 e 2 deux vecteurs de E. On appelle déterminant de ( u, v) dans la base B le nombre réel : Det B ( u, v) = 1 2 y 1 y 2 = x 1y 2 y 1 x 2 Paris Descartes Mathématiques et calcul Calcul de déterminants 3/20 Déterminants Proposition : Le déterminant vérifie les assertions suivantes : 1. Pour tout vecteur u = x 1 e 1 + y 1 e 2 de E, Det B ( u, u) = 0 x 1 x 1 y 1 y 1 = x 1y 1 y 1 x 1 = 0 Paris Descartes Mathématiques et calcul Calcul de déterminants 4/20

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5 Déterminants 2. Pour tous vecteurs u = x 1 e 1 + y 1 e 2, v = x 2 e 1 + y 2 e 2 de E, Det B ( u, v) = Det B ( v, u) x x 2 1 y 2 y 1 = x 2y 1 y 2 x 1 = x 1 x 2 y 1 y 2 Paris Descartes Mathématiques et calcul Calcul de déterminants 5/20 Déterminants 3. Soient : u = x 1 e 1 + y 1 e 2, v = x 2 e 1 + y 2 e 2 et w = x 3 e 1 + y 3 e 2 E, α et β R : Det B ( u, α v + β w) = α Det B ( u, v) + β Det B ( u, w), Det B (α u + β v, w) = α Det B ( u, w) + β Det B ( v, w); x αx + βx y 1 αy 2 + βy 3 = x 1 (αy 2 + βy 3 ) y 1 (αx 2 + βx 3 ) = α(x 1 y 2 y 1 x 2 ) + β(x 1 y 3 y 1 x 3 ) = α x 1 x 2 y 1 y 2 + β x 1 x 3 y 1 y 3 Paris Descartes Mathématiques et calcul Calcul de déterminants 6/20

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7 Déterminants 4. Si B = ( e 1, e 2) est une autre base de E, alors : Det B ( u, v) = Det B ( u, v) Det B ( e 1, e 2 ) u = x 1 e 1 + y 1 e 2 et v = x 2 e 1 + y 2 e 2 Det B ( u, v) = Det B (x 1 e 1 + y 1 e 2, x 2 e 1 + y 2 e 2) = x 1Det B ( e 1, x 2 e 1 + y 2 e 2) + y 1Det B ( e 2, x 2 e 1 + y 2 e 2) = x 1y 2Det B ( e 1, e 2) + y 1x 2Det B ( e 2, e 1) = Det B ( u, v) Det B ( e 1, e 2) Paris Descartes Mathématiques et calcul Calcul de déterminants 7/20 Déterminants Corollaire : Si B = { e 1, e 2 } est une base de E : deux vecteurs, u et v sont colinéaires si, et seulement si : Det B ( u, v) = 0 Paris Descartes Mathématiques et calcul Calcul de déterminants 8/20

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9 Déterminants Soit B = { e 1, e 2, e 3 } une base de l espace vectoriel E. Soient u 1, u 2 et u 3 des vecteurs de E. Pour i {1, 2, 3}, on note (x i, y i, z i ) des coordonnées de u i dans la base B. On appelle déterminant de ( u 1, u 2, u 3 ) dans la base B le nombre réel : Det B ( u 1, u 2, u 3 ) = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 = x 1 y 2 z 3 + x 2 y 3 z 1 + x 3 y 1 z 2 z 1 y 2 x 3 z 2 y 3 x 1 z 3 y 1 x 2 y = x 2 y 3 1 z 2 z 3 y x 2 x 3 1 z 2 z 3 + z x 2 x 3 1 y 2 y 3 Paris Descartes Mathématiques et calcul Calcul de déterminants 9/20 Déterminants Proposition : Une base étant choisie dans E, de dimension 3, le déterminant de trois vecteurs de E vérifie : 1. Soient u et v des vecteurs de E. Det B ( u, u, v) = Det B ( u, v, u) = Det B ( u, v, v) = 0 2. Soient u, v et w des vecteurs de E. Det B ( u, v, w) = Det B ( v, u, w) = Det B ( v, w, u) 3. Soient u, v, w et x des vecteurs de E, α et β des nombres réels : Det B (α u + β v, w, x) = α Det B ( u, w, x) + β Det B ( v, w, x) Det B ( u, α v + β w, x) = α Det B ( u, v, x) + β Det B ( u, w, x) Det B ( u, v, α w + β x) = α Det B ( u, v, w) + β Det B ( u, v, x). 4. Si B = ( e 1, e 2, e 3) est une autre base de E, pour tout ( u, v, w) de vecteurs de E, Det B ( u, v, w) = Det B ( u, v, w) Det B ( e 1, e 2, e 3 ) Paris Descartes Mathématiques et calcul Calcul de déterminants 10/20

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11 Déterminants Corollaire : Soit B = ( e 1, e 2, e 3 ) une base de E : trois vecteurs u, v, w, sont coplanaires si, et seulement si : Det B ( u, v, w) = 0 Paris Descartes Mathématiques et calcul Calcul de déterminants 11/20 Déterminants Soit B = { e 1, e 2, e 3 } une base de l espace vectoriel E. Soient u 1, u 2 et u 3 des vecteurs de E. Pour i {1, 2, 3}, on note (x i, y i, z i ) des coordonnées de u i dans la base B. On appelle déterminant de ( u 1, u 2, u 3 ) dans la base B le nombre réel : Det B ( u 1, u 2, u 3 ) = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 = x 1 y 2 z 3 + x 2 y 3 z 1 + x 3 y 1 z 2 z 1 y 2 x 3 z 2 y 3 x 1 z 3 y 1 x 2 y = x 2 y 3 1 z 2 z 3 y x 2 x 3 1 z 2 z 3 + z x 2 x 3 1 y 2 y 3 Paris Descartes Mathématiques et calcul Calcul de déterminants 12/20

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13 Déterminants z 1 y 2 x 3 x x x x 1 z 2 y 3 y y y y 1 x 2 z 3 z z z x x x y y y x 1 y 2 z 3 y 1 z 2 x 3 z 1 x 2 y 3 Paris Descartes Mathématiques et calcul Calcul de déterminants 13/20 Déterminants Soit E un espace vectoriel de dimension n, muni d une base B = { e 1, e 2,..., e n }. Soit une famille de n vecteurs de E : F = { u 1, u 2,, u n }, On admet : Théorème : Il existe une application φ E R qui vérifie : 1. i (1 i n), v E, α R : φ( u 1, u 2,, α. u i + v,, u n ) = αφ( u 1, u 2,, u i,,, u n ) + φ( u 1, u 2,, v,, u n ) 2. Si pour i = j, u i = u j, φ( u 1,, u i,, u j,, u n ) = 0 3. φ( e 1, e 2,..., e n ) = 1 Le nombre φ( u 1, u 2,, u n ) s appelle le déterminant de la famille F dans la base B. Noté : det B F. Paris Descartes Mathématiques et calcul Calcul de déterminants 14/20

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15 Déterminants Propriétés des déterminants Déterminants et opérations élémentaires Soit E un espace vectoriel de dimension n, muni d une base B = { e 1, e 2,..., e n }. Soit une famille de n vecteurs de E : F = { u 1, u 2,, u n }, 1. Si on permute 2 vecteurs de la famille, le déterminant est multiplié par Si on multiplie un vecteur par α, le déterminant est multiplié par α. 3. Si la famille F est liée, det B F = 0 Si on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres, le déterminant est inchangé. Paris Descartes Mathématiques et calcul Calcul de déterminants 15/20 Déterminants Déterminant d une matrice carrée Soit M M n (R). On appelle déterminant de la matrice M, le déterminant des vecteurs colonnes de la matrice M, dans la base canonique de R n. Notation : det(m) Si M = a ij 1 i n : 1 j n det(m) = a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n a i1 a i2 a ij a in a n1 a n2 a nj a nn Paris Descartes Mathématiques et calcul Calcul de déterminants 16/20

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17 Déterminants Déterminant d une matrice carrée Soit M et M deux matrices de M n et I n la matrice identité. det(i n ) = 1 M est inversible si et seulement si det(m) = 0 det(mm ) = det(m) det(m ) Si M est inversible : det(m 1 1 ) = det(m) Paris Descartes Mathématiques et calcul Calcul de déterminants 17/20 Déterminants Calcul des déterminants Pour une matrice M M n où n > 2 on a le théorème suivant : Théorème : Pour tout déterminant D = a 1 i n ij, on a : 1 j n j, (1 j n), D = n ( 1) i+j a ij ij i=1 Où ij est le déterminant obtenu en supprimant de D la i-ième ligne et la j-ième colonne. Paris Descartes Mathématiques et calcul Calcul de déterminants 18/20

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19 Déterminants Calcul d un déterminant 4 4 Calcul des déterminants C 2 C 2 2C 1 C 3 C 3 C 1 C 4 C 4 3C Paris Descartes Mathématiques et calcul Calcul de déterminants 19/20 Déterminants Calcul des déterminants ( 1) 1+2 ( 2) = 4 Paris Descartes Mathématiques et calcul Calcul de déterminants 20/20

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