Chapitre 3: Configurations planes. Repérage du plan

Transcription

1 I) Configurations planes Cf Math'X p4-45 Chapitre 3: Configurations planes. Repérage du plan Eercices p 53 : Utilisation de la trigonométrie de collège. Eercice 3 p 54: Théorème de Pthagore et réciproque: intégré au DM des vacances. Eercice 34 p 55 : Propriété parallélogramme + rectangle, smétrie centrale. Eercice 35 p 55 : Modification d'un algorithme. II) Repérage du plan 1) Repères a) Définitions et illustrations. Définition 1 : On appelle repère du plan un triplet (O,I,J) de trois points distincts non alignés. Définition : Soit (O,I,J) un repère du plan. O est appelé origine du repère. Définition 3 : Soit (O,I,J) un repère du plan.si les aes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, on dit que le repère (O,I,J) est orthogonal. Illustration : Repère orthogonal : OIJ est un triangle rectangle en O. Définition 4 : Soit (O,I,J) un repère du plan. Si les aes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires et si de plus OI=OJ, on dit que le repère est orthonormé. Illustration : Repère orthonormé : OIJ est un triangle rectangle isocèle en O.

2 Définition 5 : Soit (O,I,J) un repère du plan. Un repère est dit quelconque s'il ne vérifie aucune des propriétés des définitions et 3. Illustration : Repère quelconque : OIJ est un triangle quelconque. c) Propriété, définitions Propriété1 ( admise) : Soit (O,I,J) un repère du plan. Dans ce repère, tout point du plan est caractérisé par un unique couple ( ; ) de nombres réels. Définition 6 : On appelle coordonnées du point cet unique couple ( ; ). On appelle alors abscisse du point le nombre réel et ordonnée du point le nombre réel. d) Eemple Eemple 1 : Dans le repère (O,I,J), on a: O (0; 0); I (1; 0); J (0; 1); ( ; ). E 37 p 56 : Lecture de coordonnées dans un repère orthonormé. E 13p65 : Lecture de coordonnées dans un repère oblique. ) Distance entre deu points dans un repère orthonormé. a) Théorème Théorème1 ( admis ) : Soit (O,I,J) un repère orthonormé du plan, ( ; ) et B( B ; B ) deu points du plan. lors la distance B est donnée par: B = ( B )²+ ( B )²

3 Démonstration ( non faîtes ) : Soit ( ; ) et B(; B ) deu points du plan dans un repère orthonormé (O,I,J). Si = B, la distance B vaut B = B. Si = B, la distance B vaut B = B. Sinon, considérons le point K ( B ; ). Le triangle KB est alors rectangle en. On a K = B, et donc K² = ( B )². De même on trouve BK² = ( B )². Par le théorème de Pthagore dans le triangle KB, on obtient: K² + BK² = B². insi B² = ( B )² + ( B )² et finalement: B = ( B )²+( B ) ². b) Eemple Eemple : Soient deu points (3;-1) et B (1;4) dans un repère orthonormé (O,I,J) d'unité 1cm. Rédaction : Le repère (O,I,J) est orthonormée donc on a On a B= (1 3)²+( 4 ( 1))², d'où B= ( ) ²+(5)² = ( ) ²+5². insi B= 9. En conclusion, la distance B vaut 9 cm. c) pplications - Nature d'un triangle Eercice : Soit (-;-1), B(1;3) et C(-3;6) dans un repère orthonormé (O,I,J). Quelle est la nature du triangle BC? On commence par faire une figure :

4 BC semble être un triangle rectangle isocèle en B. Démontrons le. Le repère (O,I,J) étant orthonormé, d'après le théorème 1 du cours, on montre que: B=5cm BC=5cm Le plus grand côté est C et C²=50. On a alors C²=B²+BC²; insi par la réciproque du théorème de Pthagore, le triangle BC est rectangle en B. Qui plus est, B=BC, donc le triangle BC est isocèle en B. Conclusion: BC est un triangle rectangle isocèle en B. Eercice 58 p 57 : Nature d'un triangle. Eercice 6 p 57 : Trigonométrie, points alignés, nature de triangles. Eercice 64 p 58 : Distance et cercle. 3) Coordonnées du milieu d'un segment a) Propriété Propriété 1 ( admise ) : Soit (O,I,J) un repère du plan quelconque, ( ; ) et B( B ; B ) deu points du plan. Notons I( I ; I ) le milieu du segment [B]. On a : I = + B et I = Démonstration ( non faîtes ): 1 er cas: = B ou = B. + B. Supposons = B ( l'autre cas se traitant de la même manière) et que < B I est le milieu de [B] si et seulement si I [ B] et I=IB, c'est à dire I = = B et I - = B - I, ce qui donne I = + B et I = + B. e cas: B et B On note C le point tel que C = B et = C. Le triangle BC est rectangle C. On note K le milieu de [C] ; d après le théorème des milieu, la droite (IK) est parallèle à (BC), donc I = K = + C (cf 1 er cas),soit I = + C On procéderait de même avec le milieu L de [BC] pour établir que I = + C

5 b) Eemple Eemple 3 : Soient deu points (3;-1) et B (1;4) dans un repère orthonormé (O,I,J) d'unité 1cm. Notons I le milieu du segment B. lors I( ; 3 ) E 45 p 56 : Coordonnées du milieu d'un segment + théorème des milieu). c) pplications - Nature d'un quadrilatère Eercice : Dans le plan muni d'un repère (O,I,J) orthonormé, on considère les points (-1;-), B(3;-3), C(5;0), D(1;1). Quelle est la nature du quadrilatère BCD? Méthode : On commence par placer les points! On conjecture que BCD est un parallèlogramme. Démontrons le. Rédaction : Calculons les coordonnées des milieu K de [C] et L de [BD]. On a K = + C = et K = + C =-1 On a de plus L = B + D = et L = B + D =-1 insi, les points K et L ont les mêmes coordonnées donc ils sont confondus. insi, le quadrilatère BCD a ses diagonales [C] et [BD] qui ont le même milieu. On en déduit que le quadrilatère BCD est un parallélogramme. E74 p 58 : Nature d'un quadrilatère qui se révèle être un rectangle.

6 - Coordonnées du smétrique d'un point Eercice : Soit (O,I,J) un repère du plan orthonormé, (-5;), D(-3;4). Calculer les coordonnées du smétrique E de D par rapport à. Faire un schéma! Rédaction : Soit ( E; E) les coordonnées du point E. Par définition du smétrique, est le milieu du segment [DE]. insi, on a = E + D et = E + D, c'est à dire -5 = On en déduit donc que E =-7 et E =0. E 3 et = E +4 On contrôle ensuite sur la figure et on conclut. Eercice 49 p 57 : Coordonnées du smétrique d'un point et nature d'un quadrilatère qui se révèle être un parallélogramme. Eercice 75 p 58 : Coordonnées du milieu d'un segment, coordonnées du smétrique d'un point par rapport à un autre point, nature d'un triangle qui se révèle être un triangle isocèle et d'un quadrilatère qui se révèle être un losange ) Eercice 10 et 130 plus compliqués faits en P avec les '' bons élèves ''