Produit scalaire. Chapitre Définition et expressions du produit scalaire Définition

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1 Chapitre 10 Produit scalaire 10.1 Définition et expressions du produit scalaire Définition Définition 18. u et v sont deux vecteurs du plan. Le produit scalaire de u par v, noté u. v est défini par : u. v = 1 Ä u + v u v ä Remarque 1. Le produit scalaire de u par v est égal au produit scalaire de v par u. Remarque. Si l un des deux vecteurs est nul, le produit scalaire u. v = 0. Remarque 3. u. u est noté u : c est le carré scalaire de u. u = u Exemple : dans un carré direct ABCD de côté, D C AB. AC = = AB. AD = A B = BA. AC = = Expression dans un repère orthonormal du plan Théorème. Dans un repère orthonormal du plan, si u u. v = xx + yy x et v y x y, on a : Démonstration. Dans un tel repère (et seulement là) : u = x + y, v = x + y et u + v = (x + x ) + (y + y ). 11

2 CHAPITRE 10. PRODUIT SCALAIRE 113 Ainsi u. v = 1 Ä u + v u v ä = 1 Ä x + x + xx + y + y + yy x x y + y ä = xx + yy Exemple 1. Exemple. Dans un repère orthonormé du plan (O; i, j), on donne u et v 3 4. Alors : u. v = = 3 et i. j = Dans le carré ABCD ci-dessus, on se place dans le repère orthonormé (A; i, j), où i = 1 AB et j = 1 AB AD. On a AB, AC et : AB. AC = AD Expression en fonction de (~u,~v) Théorème 3. Dans le plan orienté, si u et v sont deux vecteurs non nuls : u. v = u v cos( u, v) Démonstration. Ç Danså le repère Ç orthonormé å direct (O; i, j), où i est colinéaire à u et de même sens : u u, v cos( u, v) v ). Donc 0 v sin( u, v u. v = v cos( u, v) u + v sin( u, v) 0 = u v cos( u, v) Remarque 1. Comme cos( u, v) = cos( v, u), peu importe l orientation de ( u, v) : u. v = u v cos θ, où θ est une mesure de l angle géométrique des deux vecteurs. Remarque. Si u et v sont colinéaires et de même sens, alors u. v = u v. Remarque 3. Si u et v sont colinéaires et de sens contraires, alors u. v = u v. Exemple : dans le carré ABCD, AB. AC = Expression à l aide des projections orthogonales Théorème 4. A étant un point quelconque du plan, B tel que AB = u, C tel que AC = v et H le projeté orthogonal de C sur (AB) (figure 10.1) :. Exemple 1. Exemple. u. v = AB. AC = AB. AH Dans le carré ABCD, AB. AC = Dans un triangle équilatéral direct MNP,de coté a, de centre de gravité G MN. MP = a MP. MG = a Remarque : en fait, chacun des trois théorèmes pourrait être pris comme définition du produit scalaire. On retiendra qu il existe quatre expressions du produit scalaire.

3 CHAPITRE 10. PRODUIT SCALAIRE 114 Figure 10.1 Définition du produit scalaire dans le plan 10. Règles de calcul Propriété 1. Pour tous les vecteurs u, v, w et pour tout réel a : u = u (a u). v = u.(a v) = a( u. v) u. v = v. u u.( v + w) = u. v + u. w Démonstration. immédiat avec les coordonnées des vecteurs dans un repère orthonormé. Conséquences a) ( u). v = ( u. v) ou encore AB. CD = ( BA. CD) = BA. DC b) ( u + v).( w + t) = u. w + u. t + v. w + v. t c) ( u + v) = u + v + u. v 10.3 Produit scalaire et orthogonalité Définition 19. Deux vecteurs non nuls AB et CD sont dits orthogonaux lorsque les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires On conviendra que le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. Proposition 1. Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u. v = 0. Démonstration. Si l un des deux est nul, c est immédiat. Si les deux sont non nuls, on utilise la définition angulaire : u. v = 0 équivaut à cos( u, v) = 0, et à ( u, v) = π +kπ, k Z, c est-à-dire à u et v orthogonaux.

4 CHAPITRE 10. PRODUIT SCALAIRE 11 Conséquence 1. Dans un repère orthonormal, u(x; y) et v(x ; y ) sont orthogonaux si et seulement si : xx + yy = 0. Conséquence. Si, dans un repère orthonormal, u(x; y), alors : Preuve. x = u. i et y = u. j 10.4 Applications du produit scalaire Applications du produit scalaire aux triangles Théorème de la médiane Théorème. A et B sont deux points du plan (figure 10.), I est le milieu de [AB]. Pour tout point M du plan, on a MA + MB = MI + AB Figure 10. Théorème de la médiane Démonstration. MA + MB = MA + MB = ( MI + IA) + ( MI + IB) Formules d Al Kashi Figure a = b + c bc cos A Démonstration. a = BC = ( AC AB) Figure 10.3 Remarque 1. On a aussi les deux autres relations... Remarque. Si A = π, on retrouve le théorème de Pythagore. Intérêt : si on connaît un angle et deux côtés dans un triangle, ou trois côtés, on peut tout calculer.

5 CHAPITRE 10. PRODUIT SCALAIRE 116 Formule des sinus Figure a sin A = b sin B = c sin C = abc aire(abc) Démonstration. On calcule l aire de trois façons, à l aide des trois hauteurs, en faisant intervenir les sinus des angles. Intérêt : si on connaît deux angles et un côté dans un triangle, on peut tout calculer. Exercice Prouver que dans un triangle ABC de côtés a = BC, b = AC, c = AB : Géométrie cartésienne (b + c a ) sin A cos A = (a + c b ) sin B cos B Définition 0 (Vecteur normal à une droite). Un vecteur n est normal à une droite d lorsque sa direction est orthogonale à celle de d et s il est non nul. Conséquence : si A est un point de d, d est l ensemble des points M du plan tels que AM. n = 0. Proposition 13 (Vecteur normal à une droite). Le plan est muni d un repère orthonormé. Si une droite d a pour équation ax + by + c = 0, avec a et b non nuls, alors n(a; b) est un vecteur normal à d. Réciproquement, si n(a; b) non nul est normal à une droite d, alors d a une équation de la forme ax + by + c = 0, Démonstration. Le vecteur t( b; a) dirige d. Comme t. n = b a + a b = 0 t et n sont orthogonaux, donc n est normal à d. Réciproque. d est l ensemble des points M(x; y) tels que AM. n = 0, où A(x A ; y A ) est un point de d. L égalité s écrit : (x x A )a + (y y A )b = 0 ce qui est bien de la forme ax + by + c = 0 ~n(a; b) d : ax + by + c = 0

6 CHAPITRE 10. PRODUIT SCALAIRE 117 Equation de cercle Proposition 14. Dans un repère orthonormé, le cercle de centre Ω(a; b) et de rayon R est l ensemble des points M(x; y) tels que (x a) + (y b) = R Démonstration.... M(x; y) R Ω(a; b) Exemple : x + x + y + x 1 = 0 Exercice 10.. Distance d un point à une droite La distance du point A(x A ; y A ) (figure 10.4) à la droite d équation ax + by + c = 0 est AM. n = ax A + by A + c n a + b Figure 10.4 Distance d un point à une droite

7 CHAPITRE 10. PRODUIT SCALAIRE Formules de trigonométrie Formules d addition cos(a b) = cos a cos b + sin a sin b (10.1) cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b (10.) sin(a b) = sin a cos b sin b cos a (10.3) sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a (10.4) Démonstration. La formule (10.1) sera prouvée en classe, à l aide du produit scalaire. (10.) s en déduit en écrivant a + b = a ( b). (10.3) se déduit de la (10.) en écrivant Å ã π sin(a b) = cos (a b) = cos Å( π ã a) + b) Et pour la troisième : a + b = a ( b). Exercice Démontrer que (quand les dénominateurs sont non nuls et que les tangentes sont calculables ) : tan(a + b) = tan a + tan b 1 tan a tan b 10.. Formules de duplication ; tan(a b) = tan a tan b 1 + tan a tan b (10.) cos x = cos x sin x (10.6) cos x = cos x 1 (10.7) cos x = 1 sin x (10.8) cos 1 + cos x x = (10.9) sin 1 cos x x = (10.10) sin x = sin x cos x (10.11) tan x = tan x 1 tan x (10.1) Démonstration. On remplace a et b par x dans cos(a + b) et sin(a + b) pour (10.6) et (10.11). Les autres sont immédiates avec cos x + sin x = 1 Exercice Le 1 fort de Café a la forme d un heptagone régulier, mais on y a trouvé des vestiges d un fort plus ancien de forme carrée, inscrit dans le même cercle que l heptagone et possédant un même sommet B. 1. Source : La recherche juin 007,page 8

8 CHAPITRE 10. PRODUIT SCALAIRE 119 Le général fait effectuer des mesures dans le fort et il se pose des questions. Ainsi, en mesurant la distance de l infirmerie I (dont il sortait), située au milieu du côté [AB] de l heptagone, au Café K, donnant son nom au fort, milieu du rayon perpendiculaire au côté BC, le soldat Core, le plus matheux de la compagnie, lui indique qu il a l intuition que la longueur du segment [IK] est égale à la moitié d un côté du carré. Le général, pas d accord, fait le pari du contraire. La distance IK est-elle égale, plus petite ou plus grande que la moitié d un côté du carré? I B A C K O