PROCESSUS STOCHASTIQUES : Processus stationnaires au sens large. Lionel BANEGE. banege@recherche.enac.fr

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1 POCESSUS STOCHASTIQUES : Processus stationnaires au sens large Lionel BANEGE banege@recherche.enac.fr Octobre 2004

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3 Table des Matières Chapitre 1. Processus stationnaires au second ordre 1 1. Définitions et propriétés élémentaires 1 2. Théorème de Bochner-Khinchine 3 3. Propriétés du spectre de puissance 5 4. Décomposition de K X (τ) et S X (ω) 5 5. Espace de Hilbert des variables aléatoires 7 6. L isométrie fondamentale I Z 9 Chapitre 2. Mesures Stochastiques et Applications Mesures stochastiques Isométrie fondamentale 15 Appendix A. Théorème de Bochner 17 3

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5 CHAPITE 1 Processus stationnaires au second ordre 1. Définitions et propriétés élémentaires Nous allons maintenant nous intéresser aux processus stationnaires du second ordre. En traitement du signal, on est souvent amené à étudier un couple de processus réels (X t, Y t ), et il est plus simple de considérer un processus à valeurs complexes, Z t = X t + iy t, où i 2 = 1. Pour un tel processus, on a alors, si Z t désigne le conjugué de Z t E[Z t ] = E[X t ] + i E[Y t ] E[Z t1 Z t2 ] = E[ (Xt1 + iy t1 )( Xt2 iy t2 ) ]. Définition 1.1. Un processus stochastique (Ω, A, P, (Z t ) t I ) à valeurs dans (C, B(C)) est stationnaire au second ordre ou stationnaire au sens large (SSL) si E [ Z t ] < + et i) E[Z t ] = m x = constante, pour tout t I; ii) E[Z t Z t τ ] = k Z (τ), pour tout t I. La fonction K Z (τ) s appelle la fonction d autocorrélation du processus {Z t, t I}. On peut à juste titre s interroger sur l existence de la moyenne et de la fonction d autocorrélation pour un processus tel que E [ Z t ] < +. Cette existence est acquise via le résultat suivant plus général sur les moments d indice J. Définition 1.2. Soit un processus (Ω, A, P, (X t ) t I ) à valeurs dans (E, F), et soit J = (i 1,..., i n ) un ensemble fini d entiers. On appelle moment d indices J l application M : I n E définie par : M J (t 1,..., t n ) = E[X i 1 t 1 X i 2 t 2... X in t n ]. La quantité q = i 1 + i i n est appelée ordre de l application moment. appelons qu une application f est de classe L q si f q est intégrable; cette définition se généralise à un processus. Définition 1.3. On dira d un processus (Ω, A, P, (X t ) t I ) est de classe L q si pour tout t I on a E[ X t q ] < +. emarquons qu une variable aléatoire de classe L q est nécessairement de classe L p avec p < q. En effet, soit X L q (Ω, A, P ). Pour p < q entier, soit X(ω) 1 et alors X(ω) p 1, soit X(ω) > 1 et dans ce cas X(ω) p X(ω) q. On a donc toujours X p 1+ X q, de telle sorte que X est de classe L p (Ω, A, P ). En fait, on a le résultat suivant : 1

6 2 1. POCESSUS STATIONNAIES AU SECOND ODE Proposition 1.4. Pour un processus de classe L q, toutes les applications moment d ordre inférieur ou égal à q existent. Preuve. Soit un ensemble fini d entiers J = (i 1,..., i n ) tel que i 1 +i 2 + +i n q. La concavité de l application logarithme permet d écrire pour deux suites de réels positifs (x i ) i 1...n et (p i ) i 1...n avec n i=1 p i = 1 : ( ) log x i p i p i log(x i ) = log ( n x p ) i i, soit encore : i=1 i=1 x i p i i=1 n i=1 x p i i. On en déduit alors avec p j = i j /h et h = i 1 + i i n, 1/h n X tj i j i j h X t j, t 1,..., t n I. j=1 L inégalité de Holder permet par ailleurs d écrire : i j ( ) 1/k k h X t j ij X tj h h j=1 j=1 j=1 j=1 avec 1/k + 1/h = 1. On en déduit n X tj i j n h 1 X tj h, d où la proposition. j=1 j=1 i=1 1/h En particulier, la moyenne et la fonction d autocorrélation d un processus tel que E[ X t 2 ] < existent bien, ce qui justifie la définition d un processus stationnaire au sens large. Propriétés élémentaires de la fonction d autocorrélation. Proposition 1.5. Soit ( Ω, A, P (X t, t ) ) un processus stationnaire au sens large de fonction d autocorrélation Alors, K X (τ) = E[X t X t τ ], τ. 1. K X (τ) possède la symmétrie hermitienne : K X (τ) = K X ( τ), τ ; 2. K X (τ) atteint son maximum à l origine : K X (τ) K X (0); 3. K X (τ) est définie positive : a j a k K X (t j t k ) 0, a 1,..., a n C, t 1,..., t n, n N. j,k=1

7 2. THÉOÈME DE BOCHNE-KHINCHINE 3 4. Changement d échelle : Soit le processus stochastique U = {U t, t } défini par U t = X at+b. Alors U est stationnaire au second ordre avec E[U t ] = E[X t ] et K U (τ) = K X (aτ). Preuve. Pour une variable aléatoire complexe Z, on a E[A] = E[Z], d où la première propriété : K X (τ) = E[X t X t τ ] = E[X t X t τ ] = K X ( τ). emarquons que si X t est réel, alors K X est réelle et paire. Pour la seconde propriété, l inégalité de Cauchy-Schwartz donne, en remarquant que K X (0) = E[ X t 2 ] est toujours réelle positive, K X (τ) = E[Xt X t τ ] ( E [ X t 2]) 1 ( 2 E [ X t τ 2]) 1 2 = K X (0) K X (0) = K X (0). La positivité de K X (τ) se démontre par linéarité de l espérance : [ ] a j a k K X (t j t k ) = a j a k E[X tj X tk ] = E a j a k X tj X tk j,k=1 j,k=1 [ ] = E a j X tj 2 0. j=1 j,k=1 Enfin la propriété de changement d échelle est immédiate : la moyenne de X t est par hypothèse indépendante du temps, et K U (τ) = E[U t U t τ ] = E[X at+b X a(t τ)+b ] = K X (aτ). Pour conclure sur ces propriétés, l exemple suivant montre que la stationnarité n est en général pas conservée pour un changement d échelle non linéaire. Pour U t = X t 2, on obtient en effet E[U t U t τ ] = E[X t 2X (t τ) 2] = K X ( τ(τ 2t) ). 2. Théorème de Bochner-Khinchine L importance de la fonction d auto-corrélation provient du fait qu elle s exprime, à une constante près, comme une fonction caractéristique. Cette représentation permettra ensuite de donner une forme intégrale simple au processus stationnaire du second ordre qui sera extrêmement utile pour introduire la notion de filtre linéaire de réponse fréquentielle donnée. Théorème 2.1 (Théorème de Bochner Khinchine). Soit K X (τ) une fonction d autocorrélation d un processus stationnaire au sens large. Si K X (τ) est continue, alors elle s écrit de manière unique sous la forme K X (τ) = e iωτ S X (dw), τ, (2.1)

8 4 1. POCESSUS STATIONNAIES AU SECOND ODE où S X (ω) est continue à droite, croissante avec lim S X(ω) = 0 et lim S X(ω) = K X (0). ω ω + Lorsque ce théorème s applique, la fonction S X(ω) K X (0) est donc une fonction de répartition, et K X (τ) s exprime donc comme une fonction caractéristique à la constante (réelle positive) K X (0) près. Définition 2.2. Soit K X (τ) une fonction d autocorrélation continue s écrivant sous la forme (2.1). La fonction S X (ω) s appelle le spectre de puissance du processus {X t, t }. La dérivée de adon-nikodyn s X (ω) = ds X dλ (ω) de la mesure S X par rapport à la mesure de Lebesgue, si elle existe, s appelle la densité spectrale de puissance ou densité spectrale. La démonstration du théorème de Bochner-Khinchine est basée sur le théorème de Bochner ci-dessous dont la démonstration est donnée en Annexe A. Théorème 2.3 (Bochner). Toute fonction de type positif est une fonction caractéristique à une constante multiplicative près. Preuve du Théorème de Bochner Khinchine. On considère les trois classes de fonctions suivantes : C 1 : Classe des fonctions à variable réelle continues et définies positives; C 2 : Classe des fonctions d autocorrélation continues; C 3 : Classe des fonctions caractéristiques multipliées par une constante strictement positive. Nous avons déjà montré (Proposition 1.5) que C 2 C 1. L inclusion C 1 C 3 est une conséquente du théorème de Bochner (Théorème 2.3) qui assure que toute fonction continue définie positive s écrit, à une constants positive près, comme une fonction caractéristique. Il ne reste donc plus qu à montrer que C 3 C 1, c est-à-dire que toute fonction caractéristique est la fonction d autocorrélation d un processus SSL. Soit donc f(t) dans C 3. Alors f(t) = k E[e itx ], avec X une variable aléatoire. Soit U = {U t, t } le processus défini par U t = ke itx. Alors, K U (τ) = E[U t U t τ ] = k E[e itx e i(t τ)x ] = f(τ), mais E[U t ] = k E[e itx ] = f(t)/ k dépend de t, et le processus U n est donc pas SSL. Nous allons le transformer pour le rendre stationnaire. Soit Φ une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 2π] et indépendante de X, et soit maintenant V = {V t, t } le processus défini par V (t) = ke itx+φ. Alors, par indépendance de X et de Φ, E[V t ] = k E[e itx e itφ ] = k E[e itx ] E[e itφ ] avec E[e itφ ] = soit E[V t ] = 0. Enfin, 2π 0 e iu 1 du = 0, 2π K V (τ) = E[V t V t τ ] = k E[e itx+φ e i(t τ)x iφ ] = k E[e itx ] = f(τ), et le processus V est donc SSL de fonction d autocorrélation f.

9 4. DÉCOMPOSITION DE K X(τ) ET S X (ω) 5 Enfin, la formule (2.1) présente K X comme une transformée de Fourrier d une mesure (positive) bornée (S X ). À ce titre, la représentation (2.1) est unique. Dans le language habituel des physiciens, w est la pulsation ou fréquence angulaire. En traitement de signal, on travaille plutôt en fréquence, avec f = ω/2π, et les formules deviennent K X = e i2πfτ S X (df) et K X (τ) = e i2πfτ s X (f)df, lorsque la densité spectrale s X (f) existe. 3. Propriétés du spectre de puissance Il existe des liens forts entre les propriétés d intégration de la fonction d autocorrélation et les propriétés de différentiation du spectre de puissance. En voici un aperçu. Soit {X t, t } un processus SSL de fonction d autocorrélation continue K X (τ) et de spectre de puissance S X (ω) : K X (τ) = e iωτ S X (dω), τ. Proposition 3.1 (Formule de Levy). Pour tous points de continuité a, b de S X (ω), on a 1 e iτa e iτb S X (b) S X (a) = lim K X (τ)dτ. T 2π [ T,T ] iτ Proposition 3.2. Si K X(τ) τ est intégrable sur \[ ε, ε] pour tout ε > 0, alors S X (ω) est partout continue. Proposition 3.3. Si τ k K X (τ) est intégrable sur, S X (ω) admet une dérivée d ordre k + 1 continue sur. En particulier, si K X (τ) L 1 (autrement dit si K X (τ) est absolûment intégrable), alors S X (ω) admet une dérivée s X (ω) = ds X dλ (ω) et le couple (K X, s X ) obéit aux formules classiques de la transformation de Fourrier : K X (τ) = e iωτ s X (ω)dω s X (ω) = 1 e iwτ K X (τ)dτ. 2π 4. Décomposition de K X (τ) et S X (ω) appel : décomposition de Lebesgue Soient ν et µ deux mesures définies sur un même espace mesurable (Ω, A). La mesure ν est dite absolûment continue par rapport à une mesure µ, noté ν << µ si pour tout A dans A, µ(a) = 0 ν(a) = 0. Les deux mesures µ et ν sont dites singulières, noté µ ν si il existe un ensemble A dans A tel que µ(a) = ν(a c ) = 0.

10 6 1. POCESSUS STATIONNAIES AU SECOND ODE La décomposition de Lebesgue s énonce comme suit : Pour toute mesure µ σ-finie et positive, il existe une mesure µ ac absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue et une mesure singulière µ s telle que µ = µ ac + µ s. La mesure µ ac étant absolûment continue par rapport à la mesure de Lebesgue, d après le théorème de adon-nikodym, il existe une densité f = dµac dλ, et µ ac (A) = f(x)λ(dx), A B(). A Le spectre de puissance S X étant une mesure positive bornée sur (, B()), on peut lui appliquer la décomposition de Lebesgue, ce qui permet d écrire S X = S ac + S s, avec S ac << λ, et S s λ. La mesure singulière S s comprend en particulier les atomes correspondants aux points isolés (de mesure de Lebesgue nulle), et peut donc s écrire S s (ω) = k J a k 1 + (ω ω k ) + S 3 (ω), où S 3 est une mesure singulière comprenant la partie singulière de S X autre que les atomes correspondants aux points isolés. Dans la plupart des applications pratiques en traitement du signal, cette dernière contribution singulière S 3 n apparaît pas. Finalement, le spectre de puissance, quand il existe, s écrit comme S X (ω) = S ac (ω) + S 2 (ω) + S 3 (ω), avec S ac (ω) = ],ω] s 1 (u)du, où s 1 = ds ac dλ et S 2 (ω) = k J a k 1 + (ω ω k ). La mesure S 2 est dérivable au sens des distributions, de dérivée des fonctions de Dirac, s 2 (ω) = ds 2 dλ = k J a k δ(ω ω k ). La composante S 1 donne le spectre de bandes, la composant S 2 le spectre de raies. Cette décomposition du spectre de puissance correspond à une décomposition de la fonction d autocorrélation, avec, K X (τ) = K 1 (τ) + K 2 (τ) + K 3 (τ), K i (τ) = e iωτ S i (dω), i = 1, 2, 3, ou encore, puisque S 1 admet une densité spectrale s 1 et d après la forme de S 2, K 1 (τ) = e iωτ s 1 (ω)dω, K 2 (τ) = a k e iω kτ et K 3 (τ) = e iωτ S 3 (dω), k J puisque e iωτ d 1 + (ω α) = e iωα.

11 5. ESPACE DE HILBET DES VAIABLES ALÉATOIES 7 La composante K 3 ne joue en général aucun rôle dans les exemples pratiques (elle n existe pas). Détermination pratique des composantes du spectre : Les composantes S 1, S 2 et S 3 du spectre de puissance se déterminent dans la pratique à partir des composantes K 1, K 2 et K 3 de la fonction d autocorrélation. En effet, la composante K 1 donne lieu à la densité spectrale s 1 et doit donc être intégrable. Par le Lemme de iemann-lebesgue, elle doit donc vérifier lim K 1(τ) = τ 0. La composante K 2 correspond elle aux composantes périodiques ou somme de fonctions périodiques de la fonction d autocorrélation K(τ). Enfin la composante K 3 n intervient en général pas car elle est nulle. La détermination s effectue donc en recherchant la composante de K(τ) intégrable sur avec lim = 0, qui donne lieu à K 1(τ), puis en identifiant les composantes τ périodiques de K(τ) qui donnent alors K 2 (τ). La composante spectrale S 1 est alors déterminée par sa densité spectrale s 1 obtenue par tansformée de Fourrier de K 1 (τ). La composante S 2 est elle obtenue par la formule S 2 (ω) = k J a k 1 + (ω ω k ), si K 2 (τ) = k J a k δ(ω ω k ). 5. Espace de Hilbert des variables aléatoires Comme nous le verrons plus tard, un processus stochastique stationnaire au sens large admet une représentation sous forme intégrale, qui sera par la suite très utile dans les problèmes de filtrage. Pour arriver à cette représentation, il est nécessaire d introduire le formalisme des espaces de Hilbert appliqué à l espace des variables aléatoires. Cela porte ainsi à trois le nombre de formalismes mathématiques utilisés pour le traitement des processus stochastiques SSL : Probabiliste: calcul des espérances (moyenne, fonction d auto-corrélation); Transformée de Fourier: calcul des densités spectrales; Espace de Hilbert: définition de l isométrie fondamentale et de la représentation intégrale des processus SSL. Soit (Ω, A, P) un espace de probabilité et ( Ω, A, P, (X t ), t I ) un processus stochastique à valeurs dans C. Alors pour tout t, X t est une fonction mesurable : (Ω, A) (C, B(C)). Or E[ X t 2 ] = Ω X(t) 2 dp, donc si E[ X t 2 ] <, X(t) appartient à l ensemble L 2 (Ω, A, P) des fonctions mesurables sur (Ω, A, P) de carré intégrable. Muni du produit scalaire f, g = fḡ dp, f, g L 2 (Ω, A, P), Ω cet ensemble est un espace de Hilbert, c est-à-dire un espace de Banach (espace vectoriel normé) complet, muni d un produit scalaire, (forme bilinéaire symétrique, soit αf + βg, h = α f, h + β g, h et f, g = g, f telle que f, f = f 2 ). L ensemble des v.a. définis sur (Ω, A, P) et de moment du second ordre fini est donc un espace de Hilbert, l espace L 2 = L 2 (Ω, A, P).

12 8 1. POCESSUS STATIONNAIES AU SECOND ODE Dans cet espace, l inégalité de Cauchy-Schwartz s écrit E[XY ] ( E[ X 2 ] ) 1 2 ( E[ Y 2 ] ) 1 2, la distance est définie par d(x, Y ) = ( X Y, X Y ) 1 2 = ( E [ X Y 2]) 1 2, et la convergence est donc la convergence en moyenne quadratique des v.a. : une suite (X n ), n = 1, 2,... de v.a. de L 2 converge (en moyenne quadratique) vers la v.a. X de L 2 si lim n E [ X n X 2] = 0. appelons que les espaces L p, p = 1, 2,... sont complets, c est-à-dire que tout suite de Cauchy de ces espaces converge : {X n, n = 1, 2,... } converge dans L p lim n,m E [ X n X m 2] = 0. Cette propriété est à l origine d un critère simple de convergence connu sous le nom de Lemme de Loeve. Proposition 5.1 (Lemme de Loeve). (i) Une suite de v.a. {X n, n = 1, 2,... } converge en moyenne quadratique si et seulement si il existe un réel c 0 tel que : lim n,m E[X nx m ] = c. (ii) Si les suites de v.a. {X n, n = 1, 2,... } et {Y n, n = 1, 2,... } convergent en moyenne quadratique respectivement vers X et Y, alors lim E[X ny m ] = E[XY ]. n,m (iii) Si la suite de v.a. {X n, n = 1, 2,... } converge en moyenne quadratique vers X, alors lim n E[X n] = E[X]. Preuve. Commençons par démontrer (ii). Soit {U n, n = 1, 2,... } et {V n, n = 1, 2,... } deux suites de v.a. convergeant en moyenne quadratique respectivement vers U et V. L inégalité de Cauchy-Schwartz permet d écrire E [ (U n U)(V m V ) ] E [ U n U 2] 1 2 E [ V m V 2] 1 2, E [ (U n U)V ] E [ U n U 2] 1 2 E [ V 2] 1 2, et E [ U(V m V ) ] E [ U 2] 1 2 E [ V m V 2] 1 2, et la convergence de U n et V m entrainent alors (les moments d ordre 2 sont finis) Or la linéarité de l espérance donne lim E [ (U n U)(V m V ) ] = 0, n,m lim E [ (U n U)V ] = 0, et (5.1) n lim E [ U(V m V ) ] = 0. m E [ (U n U)(V m V ) ] = E[U n V m ] E [ (U n U)V ] E [ U(V m V ) ] E[UV ],

13 6. L ISOMÉTIE FONDAMENTALE I Z 9 et en faisant tendre n et m vers l infini ci-dessus, les limites (5.1) permettent finalement d obtenir lim n,m E [ U n V m ] = E[UV ]. (5.2) La condition nécessaire de (i) se démontre en prenant U n = X n et V m = X m dans (5.2), et on obtient E[UV ] = E[ X 2 ] 0. Pour montrer la condition suffisante de (i), soit c 0 tel que lim E[X ny m ] = c. n,m Montrons que la suite {X n } est de Cauchy dans L 2. Pour n, m = 1, 2,..., il vient E [ (X n X m )(X n X m ) ] = E[X n X n ] + E[X m X m ] E[X n X m + X m X n ] et en faisant tendre n, m vers l infini, on obtient = E[ X n 2 ] + E[ X m 2 ] 2 e(e[x n X m + X m X n ]), lim E [ (X n X m )(X n X m ) ] = c + c 2c = 0. n,m La suite est bien de Cauchy dans l espace complet L 2, donc convergente en moyenne quadratique. Enfin (iii) est un cas particulier de (ii) avec Y n = 1, n = 1, 2,.... Le résultat très important du Lemme de Loeve est la propriété (iii) qui assure que la limite de l espérance est l espérance de la limite en moyenne quadratique. 6. L isométrie fondamentale I Z Une isométrie est une bijection conservant les distances. En conséquence, une isométrie et sa réciproque sont continues. L isométrie fondamentale étudiée dans ce paragraphe permet de passer de l espace de Hilbert H(Z) des variables aléatoires construites par combinaison linéaire des échantillons Z(t k ) d un processus stochastique donné Z = {Z(t), t I} à un espace de Hilbert engendré par le spectre de puissance S Z du processus Z. Définition 6.1 (Espace de Hilbert H(Z)). Soit Z = ( Ω, A, P, {Z(t), t I} ) un processus stochastique de L 2 (Ω, A, P). L espace H(Z) est l espace de Hilbert des variables aléatoires de la forme X = a k Z(t k ), où a k C, t k, k = 1,..., n, n = 1, 2,..., k=1 complété par les limites (en moyenne quadratique) des suites de variables aléatoires de cette forme. Il est immédiat que H(Z) est un sous-espace vectoriel de l espace de Hilbert des variables aléatoires L 2 (Ω, A, P), et il est fermé par construction. C est donc un espace de Hilbert. Soit maintenant Z = ( Ω, A, P, {Z(t), t I} ) un processus stochastique de L 2 (Ω, A, P) stationnaire au sens large et de fonction d auto-corrélation continue. Alors le spectre

14 10 1. POCESSUS STATIONNAIES AU SECOND ODE de puissance S Z de ce processus existe et est défini par K Z (τ) = E [ Z(t)Z(t τ) ] = e iωτ ds Z (ω), où S Z est une mesure positive bornée. On désigne par L 2 S Z l ensemble des fonctions f à valeur dans C telles que f(ω) 2 ds Z (ω) <. Cet ensemble est un espace de Hilbert lorsqu il est muni du produit scalaire f, g = f(ω)g(ω) ds Z (ω), f, g L 2 S Z, qui induit la norme f g = f(ω) g(ω) 2 ds Z (ω). emarquons que la fonction w e iωt appartient à l espace de Hilbert L 2 S Z, et construisons le sous-espace H (S Z ) engendré par l ensemble des exponentielles complexes, c est-à-dire l ensemble des combinaisons linéaires finies d exponentielles complexes et des limites dans L 2 S Z des suites de fonctions de ce type, soit H (S Z ) = { f L 2 S Z : f(ω) = lim n k= n a kn e iω t kn, akn C, t kn }. Ce sous-espace est par construction un espace de Hilbert, qui est, par unicité de la transformation de Fourier (S Z bornée), confondu avec L 2 S Z. Il existe une isométrie entre les espaces de Hilbert H(Z) et H (S Z ), c est à dire une bijection laissant la distance (norme) invariante. Ainsi, toute problème de distance dans H(Z) (donc rapporté au processus Z) pourra se transposer en un problème de distance dans H (S Z ) (donc sur des exponentielles complexes). Cette isométrie va nous permettre de travailler avec l analyse de Fourier dans le domaine fréquentiel plutôt que sur des processus stochastiques dans le domaine temporel. Théorème 6.2. Soit Z = {Z(t), t } un processus stochastique stationnaire au sens large, de fonction d auto-corrélation continue K Z (τ), et de spectre de puissance S Z défini par K Z (τ) = E [ Z(t)Z(t τ) ] = e iωτ ds Z (ω). Soit l application linéaire I Z : H(Z) H (S Z ) définie par I Z (A) = f A, avec f A (ω) = lim n k=1 a kn e iω t kn, ω pour A = lim Alors I Z est une isométrie de H(Z) dans H (S Z ). n k=1 a kn Z(t kn ) H(Z).

15 6. L ISOMÉTIE FONDAMENTALE I Z 11 Preuve. Intéressons nous d abord à la restriction de I Z aux combinaisons linéaires m finies. Les images par I Z de A n = a kn Z(t kn ) et B m = b km Z(t km ) dans H(Z) sont définies par I Z (A n )(ω) = k=1 a kn e iω t kn et I Z (B m )(ω) = k=1 k=1 m b km e iω t km, ω. Dans H(Z), le produit scalaire de A n et B m vaut A n, B m = E [ ] m A n B m = a jn b km E [ Z(t jn )Z(t km ) ] = j=1 k=1 j=1 k=1 m a jn b km K Z (t jn t km ), et celui de leur image vaut dans H (S Z ) I Z (A n ), I Z (B m ) = I Z (A n )(ω)i Z (B m )(ω) ds Z (ω) = = j=1 k=1 j=1 k=1 m a jn b km k=1 e iω(t jn t km ) ds Z (ω) m a jn b km K Z (t jn t km ) = A n, B m, par définition de la fonction d auto-corrélation K Z (τ). On en déduit donc que la restriction de I Z aux combinaisons linéaires finies conserve bien les distances associées aux produits scalaires dans H(Z) et H (S Z ). emarquons que la restriction de I Z aux combinaisons linéaires finies est par définition surjective. Elle est également injective : I Z (A n ) = I Z (B m ) implique I Z (A n ) I Z (B m ) = 0, soit puisque les distances sont conservées, E [ A n B m 2] = 0, et on en déduit que A n = B m dans H(Z). C est donc une isométrie. Considérons maintenant le prolongement de cette restriction à tout l ensemble H(Z). Soit A = lim n A n une suite convergente dans l espace de Hilbert H(Z). Elle est donc de Cauchy, et on en déduit, d après ce qui précède, lim I Z(A n ) I Z (A m ) = n,m lim A n A m = 0. n,m La suite I Z (A n ) est donc de Cauchy dans l espace de Hilbert H (S Z ) qui est fermé par construction, ce qui assure sa convergence dans cette espace. On pose alors I Z (A) = lim I Z(A n ). n Par construction, le prolongement de I Z est surjectif. Pour vérifier qu il est également injectif, prenons une suite B m convergent vers B dans H(Z) d image I Z (B) (construite comme indiqué ci-dessus) telle que I Z (B) = I Z (A). Alors A n B n = I Z (A n ) I Z (B n ) I Z (A n ) I Z (A) + I Z (B n ) I Z (A) = I Z (A n ) I Z (A) + I Z (B n ) I Z (B),

16 12 1. POCESSUS STATIONNAIES AU SECOND ODE et en faisant tendre n vers l infini, on obtient lim n B n = 0, n soit lim n n = lim n, n d où B = A, et I Z est bien injective. Par construction, il est immédiat que le prolongement de I Z vérifie I Z (A) = A, et on en déduit donc que c est une isométrie.

17 CHAPITE 2 Mesures Stochastiques et Applications Note : Ce chapître est extrait d un ancien support de cours. Il ne correspond donc peut-être pas tout à fait à ce qui a été vu en cours cette année. 1. Mesures stochastiques 1.1. Définition. Soit (Ω, T, p) un triplet de probabilité. Soit un ensemble E et un semi-anneau (pour les opérations d intersection et d union) de parties de E. Définition 1.1. Mesure stochastique orthogonale Une mesure stochastique orthogonale est la donné pour tout A d une variable aléatoire Z(A) L 2 (Ω, T, p) vérifiant : Z( ) = 0 A 1, A 2 A 1 A 2 =, Z(A 1 A 2 ) = Z(A 1 ) + Z(A 2 ) p.s. A 1, A 2 A 1 A 2 =, E[Z(A 1 )Z(A 2 )] = 0 (Z désigne le complexe conjugué de Z). On pose µ(a 1 A 2 ) = E[Z(A 1 )Z(A 2 )] fonction structurelle de Z. Proposition 1.2. La fonction µ vérifie : Preuve. On a par définition : µ(a 1 A 2 ) = µ(a 1 ) + µ(a 2 ) si A 1 A 2 = µ(a 2 A 2 ) = E[ Z(A 1 A 2 ) 2 ] Or, Z(A 1 A 2 ) = Z(A 1 ) + Z(A 2 ) sous l hypothèse A 1 A 2 =. D o u : d où la proposition. E[ Z(A 1 A 2 ) 2 ] = E[ Z(A 1 ) 2 ] + E[ Z(A 2 ) 2 ] + 2E[Z(A 1 )Z(A 2 )] = E[ Z(A 1 ) 2 ] + E[ Z(A 2 ) 2 ] 1.2. Intégrale stochastique. Définition 1.3. L intégrale stochastique d une fonction étagée f(x) = k a k1 Ak est la variable aléatoire k a kz(a k ). L intégrale stochastique d une fonction quelconque est la limite des intégrales d une suite croissante de fonctions étagées tendant vers celle-ci. 13

18 14 2. MESUES STOCHASTIQUES ET APPLICATIONS Proposition 1.4. Si la fonction de structure µ vérifie i µ(a i) µ(a) pour A i A i, alors il existe une unique mesure, encore notée µ et prolongeant la fonction précédente. Pour f, g L 2 (E, B, µ), on a : [ ] E fdz gdz = fgdµ Preuve. Il suffit de le vérifier pour les fonctions étagées. Soient f = k a k1 Ak et g = k b k1 Bk. On a : E [ fdz gdz ] [ ] = E k,j a kb j Z(A k )Z(B k ) d où la proposition par prolongement à L 2. = k,j a kb j µ(a k B j ) On supposera maintenant que la fonction de structure µ est semi-additive. Soit U T une sous-tribu de T telle que µ(a U) < +. Soit Z (A) = A dz. On a : Z ( i A i ) = [ i Z ] (A i ) pour (A i ) famille disjointe. E Z (A 1 )Z (A 2 ) = µ(a 1 A 2 ) Z (A) = Z(A), A U Soit (Z, T ) une mesure stochastique orthogonale, µ sa mesure de structure et g L 2. Soit : λ(a) = gdz On a : E [λ(a 1 )λ(a 2 )] = g 2 dµ A 1 A 2 d où λ est une mesure stochastique de mesure de structure : ν(a) = g 2 dµ Proposition 1.5. Soit f L 2 (ν). Avec les notations précédentes, fg L 2 (µ) et : fdλ = fgdz Preuve. Cette relation est vraie pour les fonctions étagées. Soit f k une suite de fonctions étagées convergeant au sens L 2 (ν) vers f. f k dλ f l dλ 2 = f k dλ 2 + f l dλ 2 2 f k dλ f l dλ = f k f k dλdλ + f l f l dλdλ 2 f k f l dλdλ = f k 2 dν + f l 2 dν 2 f k f l dν = f k f l 2 dν = f k f l 2 gdµ La suite f k est de Cauchy dans L 2 (ν) complet, donc converge. A A

19 2. ISOMÉTIE FONDAMENTALE 15 Proposition 1.6. Pour A vérifiant µ(a) < + : 1 Z(A) = g dλ Preuve. et donc 1 g L2 (ν). On a alors : A dν g 2 = g 2 dµ = µ(a) < + A g 2 A 1 g dλ = A A 1 gdz = Z(A) g 2. Isométrie fondamentale Proposition 2.1. Soit ξ(t) = g(t, x)dz avec g(t, x) mesurable sur B() T et de carré intégrable. Il existe alors un processus mesurable ξ 1 (t) tel que E[ ξ(t) ξ 1 (t) 2 ] = 0. Preuve. Soit g(t, x) = k,l c kl1 Ak 1 Bl. ξ(t) = k,j c kl 1 Ak Z(B l ) est mesurable. Soit g n (t, x) une suite croissante de fonctions étagées en t et x telle que g(t, x) gn (t, x) 2 dµdt 0, n +. Soit ξ n (t) le processus mesurable associé aux g n. Il existe un processus ξ (t) mesurable et tel que : E [ ξ (t) ξ n (t) 2] dt 0, n + Comme par ailleurs E[ ξ(t) ξ n (t) 2 ] 0, il vient E[ ξ(t) ξ (t) 2 ] = 0, d où la proposition. Théorème 2.2. Isométrie fondamentale Soit un processus stationnaire au sens large ξ(t) tel que, pour tout couple (t 1, t 2 ) : E[ξ(t 1 )ξ(t 2 )] = g(t 1, x)g(t 2, x)dµ avec g t (x) = g(t, x) famille complète dans L 2 (µ). Il existe une mesure stochastique orthogonale Z telle que : ξ(t) = g(t, x)dz Preuve. Soit : on lui associe : f(x) = c k g(t k, x) k=1 η = c k ξ(t k ) k=1

20 16 2. MESUES STOCHASTIQUES ET APPLICATIONS Comme : f 1, f 2 = f 1 f 2 dµ l application f η se prolonge en une isométrie. Soit maintenant, pour toute partie A mesurable Z(A) = η(1 A ) (cette quantité est bien définie en raison de la complètude de la famille g(t, x)). On a : E[Z(A 1 )Z(A 2 )] = 1 A1 1 A2 dµ = µ(a 1 A 2 ) d où Z(A) est une mesure stochastique. L application de la proposition précédente à ξ(t) = g(t, x)dz termine la démonstration. Ce théorème est capital pour l étude des processus stochastiques staionnaires au second ordre. On l utilise généralement en prenant pour g(t, x) = e itx, choix justifié par l application du théorème de Bochner sur la fonction d autocoréllation (t 1, t 2 ) du processus : (t 1, t 2 ) = e iu(t 1 t 2 ) F (du) L isométrie fondamentale fait alors correspondre e itx à ξ(t).

21 APPENDIX A Théorème de Bochner Avant d énoncer et de démontrer le théorème de Bochner, nous avons besoin d un certain nombre de lemmes préparatoires. Proposition 0.3. Soit une application F : non décroissante et bornée. L ensemble des points de discontinuité de F est de cardinal dénombrable. Preuve. En tout point x, la limite : F (x + ) = lim F (x + t) t 0,t>0 (resp. F (x ) = lim t 0,t>0 F (x t)) existe par hypothèse (F est non décroissante et bornée). On en déduit qu en tout point de discontinuuité x de F, l intervalle [F (x + ), F (X )] est non vide. On peut donc choisir un rationnel q(x) dans cet intervalle. On en déduit donc l existence d une injection de l ensemble des points de discontinuité de F dans Q puisque pour deux points de discontinuité x 1, x 2 de F, on a par construction q(x 1 ) q(x 2 ). Proposition 0.4. (Lemme de Helly) Soit une suite de fonctions de répartition (F n ) n N. On peut extraire de cette suite une sous-suite convergeant presque partout vers une fonction F, non décroissante, bornée et continue à droite, la convergence ayant lieu en tout point de continuité de F. Preuve. On se donne une suite (q i ) i N réalisant une énumération des rationnels (Q est dénombrable : une telle suite existe). Soit maintenant la suite (F n (q 1 )) n N. Comme elle est à valeurs dans [0, 1] compact, on peut en extraire une sous-suite Fn(x) 1 convergeant pour x = q 1. De même, on pourra extraire Fn 2(x) convergeant en q 1et q 2. Par récurrence immédiate, on remarque que la suite H n (x) = Fn n (x) converge pour tous les rationnels. On pose H(q i ) la limite de cette suite en q i. On peut prolonger H à en définissant : H(x) = inf H(q i ) x<q i H est alors non décroissante, bornée et continue à droite de façon évidente. Soit maintenant x un point de continuité de H(x). Pour tout ɛ > 0, il existe η tel que H(x + η) H(x η) < ɛ/2. Pour tout couple de rationnels (q i, q j ) avec q i [x η, x[ et q j ]x, x + η], on a : H(x η) H(q i ) H(x) H(q j ) H(x + η) Mais par ailleurs, puisque la suite H n converge pour tous les rationnels, il existe un entier m 0 tel que m > m 0, H(q j ) H m (q j ) < ɛ/2 et H(q i ) H m (q i ) < ɛ/2 17

22 18 A. THÉOÈME DE BOCHNE Comme d autre part H(q i ) H(x) H(q j ), on en déduit finalement que m > m 0, H(x) H m (x) ɛ. L ensemble des points de discontinuité de H étant dénombrable, on a bien la convergence presque partout. Proposition 0.5. (Lemme de levy) Soit φ n une suite de fonctions caractéristiques convergeant simplement vers une application φ dont la partie réelle est continue à l origine. Alors φ est une fonction caract éristique. Preuve. Soit F n la fonction de répartition associée à φ n. Le lemme de Helly permet d extraire de la suite F n une sous-suite H n convergeant presque partout vers une application H non décroissante et bornée. Si l on note ψ n la fonction caractéristique associée à H n, on a de façon évidente : lim n + ψ n = φ au sens de la convergence simple. Soit maintenant un réel λ > 0. On peut écrire : 1 λ λ 0 (1 ψ n (t))dt = 1 λ λ soit encore, en utilisant le théorème de Fubini : ( 1 sin(λx) ) dh n (x) λx On obtient alors la minoration : 1 λ (1 ψ n (t))dt λ 0 λx 1 0 (1 cos(tx))dh n (x) ( 1 sin(λx) ) dh n (x) K dh n (x) λx λx 1 avec K réel positif. Par hypothèse, (φ) est continue en 0; on peut donc, pour tout ɛ > 0, trouver un λ tel que : t [0, λ], (1 φ(t)) < ɛk soit : 1 λ (1 φ(t))dt < ɛk λ 0 et finalement, pour n assez grand : 1 λ λ 0 (1 ψ n (t))dt < ɛk On en déduit alors, que pour n suffisamment grand, on a : dh n (x) < ɛ qui s écrit encore : λx 1 H n (1/λ) H n ( 1/λ) > 1 ɛ Si maintenant 1/λ et 1/λ sont des points de continuité de H (il est toujours possible de choisir λ pour que cela soit vrai), on a également : H(1/λ) H( 1/λ) > 1 2ɛ ce qui prouve que H est une fonction de répartition. Montrons maintenant que φ est la transformée de Fourier-Stieljes de H. Soit ɛ > 0. Comme les applications H n et H

23 A. THÉOÈME DE BOCHNE 19 sont des fonctions de répartitions, on peut limiter, à ɛ près, toutes les intégrations à des compacts. On va donc chercher à montrer que la quantité : b a e itx d(h n H)(x) est majorée par un terme en ɛ pour n assez grand et pour tout t réel. L application e itx étant continue, on peut choisir une partition : a = x 0 < x 1 < < x N = b de l intervalle [a, b] de telle sorte que pour tout x [x j, x j+1 [, on ait e itx e itx j < ɛ. On supposera (ce qui est toujours possible) que les point x j, j = 0... N sont des points de continuité de H. On a alors, pour n suffisamment grand : Soit l application en escalier e ɛ telle que :. On a : b a j = 0... N, H n (x j ) H(x j ) < ɛ/n x [x j, x j+1 [, e ɛ (x) = e itx j e itx b d(h n H)(x) (e itx e ɛ (x))dh n (x) (a) a b + e ɛ (x)d(h n H)(x) (b) a b + (e ɛ (x) e itx )dh(x) (c) Les termes (a) et (c) sont majorés par ɛ par construction de e ɛ, alors que l on a : N 1 (b) = e itx j ((H n H)(x j+1 ) (H n H)(x j )) 2Nɛ/N = 2ɛ j=0 En regroupant les résultats, on en déduit donc que pour tout réel t : e itx dh n (x) = e itx dh(x) = φ(t) lim n a Proposition 0.6. (Second lemme de Loeve) Soit une application f : C absolument intégrable et continue en 0. Si sa transformée de Fourier f est non négative, alors f est également absolument intégrable sur. Preuve. Puisque f est absoument intégrable : t, e itx f(x)dx = f(t) Soit maintenant l application absolument intégrable : g(x) = 2 πx 2 sin2 x 2

24 20 A. THÉOÈME DE BOCHNE de transformée de Fourier : ĝ(t) = 1 t t [ 1, +1] 0 t / [ 1, +1] on a, par application du théorème de convolution et pour tout λ > 0 : λ f(u)g(λ(x u))du = 1 λ ( 1 t ) f(t)e itx dt 2π λ En faisant x = 0 et en passant à la limite pour λ +, on remarque que le produit de convolution tend vers la limite finie f(0) et donc implique l intégrabilité de l application non négative f. λ Définition 0.7. Une application f : C est dite de type positif si pour tout ensemble c i, i = 1... N de complexes et tout ensemble de réels t i, i = 1... N, on a : N c i c j f(t j t i ) est un réel positif i,j=1 On remarque que toute fonction d autocorrélation est de type positif en développant l expression : N E[ c i X ti 2 ] qui est un réel positif. On peut maintenant passer à l énonciation du théorème de Bochner. i=1 Théorème 0.8 (Bochner). Toute fonction de type positif est une fonction caractéristique à une constante multiplicative près. Preuve. Soit φ une application de type positif et soit pour tout réel λ > 0 : f λ (t) = 1 φ(u v)e i(v u)t dudv λ [0,λ] 2 En approchant cette intégrale par des sommes de iemman et en remarquant que par hypothèse φ est de type positif, on en déduit que cette application est réelle, non négative. Par changement de variable on obtient : f λ (t) = λ λ ( 1 u λ ) φ(u)e iut du En posant : ( ) 1 t φ λ (t) = λ t [ λ, λ] 0 t / [ λ, λ] on remarque que φ λ est absolument intégrable, continue à l origine. Comme par ailleurs f λ 0, on peut écrire : φ λ (u) = 1 f λ (t)e iut dt 2π En faisant tendre λ vers l infini et par application du lemme de Levy, on en déduit que φ, limite simple de φ λ est une fonction caractéristique (à une constante multiplicative

25 près). A. THÉOÈME DE BOCHNE 21

26 22 A. THÉOÈME DE BOCHNE

27 Bibliographie 23