Produit scalaire dans l'espace

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1 Chapitre 11 terminale S Produit scalaire dans l'espace Sommaire I Produit scalaire dans l'espace II Vecteur normal à un plan 6 III Équation cartésienne d'un plan 9 1

2 I Produit scalaire dans l'espace Remarque préliminaire Deux vecteurs u et v sont nécessairement coplanaires : s'ils sont colinéaires, alors il existe une innité de plans contenant u et v, s'ils ne sont pas colinéaires, ramenons-les à une même origine A et considérons le plan engendré par A, u et v, plan qui contient donc, par construction, les vecteurs u et v. Dénition 1 La produit scalaire de deux vecteurs u et v dans l'espace est leur produit scalaire dans un plan les contenant. Remarques La dénition donnée et les propriétés établies en classe de première S dans le plan sont donc aussi valables dans l'espace à savoir : u v = u v cos u, v) lorsque u 0 et v 0. u v = 0 u = 0 ou v = 0 ou u, v) = π + kπ, k Z Dans ce cas on dit que les vecteurs sont orthogonaux le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur). u v = u v 1 où v 1 est le projeté orthogonal de v sur une droite droite dirigée par u. u v = 1 ) u + v u v et u v = 1 ) u + v u v. AB AC = AB AC cos BAC) où A, B et C sont trois points distincts du plan. Propriété 1 orthogonalité Deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs respectifs sont orthogonaux. Démonstration. Étant donné la colinéarité de tous les vecteurs directeurs d'une droite, il sut de montrer la propriété en choisissant un vecteur directeur par droite. Soient d 1 et d deux droites, dirigées respectivement par u 1 et u. Considérons 1 et, les parallèles respectives de d 1 et d passant par un même point, elles sont aussi dirigées par u 1 et u. d 1 est orthogonale à d si, par dénition, 1 et sont perpendiculaires, c'est à dire si u 1 et u sont orthogonaux. Dénition Un repère O, i, j, ) k de l'espace est dit orthonormé si les vecteurs i, j et k sont orthogonaux deux à deux et si i = j = k = 1.

3 Propriété Expression analytique du produit scalaire x x Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les vecteurs u y et v y. z z Alors u = x + y + z et u v = xx + yy + zz Démonstration. On pourra admettre ce résultat. Première démonstration mais elle repose sur la propriété u v + w) = u v + u w qu'il faut admettre! On a u = x i + y j + z k et v = x i + y j + z k. On développe l'expression u v et on obtient : u v = xx i i+yy j j+zz k k+xy +x y) i j+xz +x z) i k+yz +y z) j k = xx +yy +zz Pour la norme on utilise le fait que u = u u et le résultat précédent. Deuxième démonstration On commence par montrer que u = x + y + z, puis en utilisant l'une des expressions du produit scalaire avec la norme on montrera que u v = xx + yy + zz. 1. Soit M le point de l'espace tel que OM = u et m le projeté orthogonal de M sur le plan P engendré par le point O et les vecteurs u et v. Dans le plan P, le point m a pour coordonnées x; y) et donc Om = x + y. Par ailleurs, les points O, M, m forment un triangle rectangle en m et comme mm = z, on a donc : u = OM = Om + mm = x + y ) + z = x + y + z. On calcule maintenant ce produit scalaire à l'aide de la norme. 3

4 u v = 1 ) u + v u v = 1 ) x + x ) + y + y ) + z + z ) x + y + z ) x + y + z ) = 1 ) xx + yy + zz = xx + yy + zz Exemple Dans un repère orthonormé, soient d 1 et d deux droites de représentations paramétriques x = 1 + t x = 5 t y = + t t R et y = 1 + 4t t R y = 5 7t z = t Les vecteurs 1 u 1 et 1 u 4 qui dirigent respectivement d 1 et d sont orthogonaux puisque 7 1 u1 u = = 0. Ainsi d 1 et d sont orthogonales. Elles ne sont pas perpendiculaires car non-sécantes.) Propriété 3 Propriétés algébriques Soient u, v et w trois vecteurs et λ un réel. Alors : u v + w) = u v + u w u λ v) = λ u v) u + v) = u + u v + v et u v) = u u v + v u + v) u v) = u v Démonstration. Seul le premier point demande à être prouvé. En eet, ce produit scalaire faisant intervenir trois vecteurs, ils ne peuvent être considérés comme appartenant au même plan. Pour les trois points suivants, deux vecteurs étant toujours coplanaires, ces résultats ont été vus en première. Pour le premier point, on exprime analytiquement le membre de gauche et celui de droite, puis on compare les expressions obtenues. Ainsi on a, en notant u x; y; z ) v x ; y ; z ) et w x ; y ; z ) : u v + w) = xx + x ) + yy + y ) + zz + z ) = xx + xx + yy + yy + zz + zz ) ) et u v + u w = xx + yy + zz + xx + yy + zz = xx + xx + yy + yy + zz + zz. On retrouve les mêmes expressions, d'où le résultat. 4

5 Exemple Soit ABCDEF GH un cube de côté 1 et I le centre de la face EF GH. On se place dans le repère A, AB, AD; AE) Déterminez, au degré près, les mesures des angles α = ÎBF et β = BID La méthode consiste à exprimer le produit scalaire de deux façons diérentes, l'une faisant intervenir l'angle, l'autre permettant d'obtenir la valeur de ce produit scalaire. 1. Calcul de α BF BI = BF BF car BF est le projeté orthogonal de BI sur BF ). Ainsi BF BI = 1. D'autre part, BF BI = BF BI cos α = BI cos α. car BF = 1) 1 On calcule BI en s'aidant des coordonnées. B1; 0; 0) et I ; 1 ) ; 1 donc BI Finalement BI = On a donc 1 =. Calcul de β 1 ) + 3 cos α d'où cos α = ) =. 3 et donc α ; 1 ; 1 ). On peut comme précédemment calculer IB ID à l'aide des coordonnées, on trouve IB ID = 1. On peut aussi calculer ce produit scalaire en utilisant les propriétés algébriques. IB 1 ID = HF + ) 1 F B F H + ) ) ) 1 1 HD = F B + HF F B HF = F B 1 HF. 4 Comme F B = 1 et HF =, on en déduit que IB ID = = 1. D'autre part, on a IB 3 3 ID = IB ID cos β = cos β = 3 cos β. Par conséquent 1 = 3 cos β et donc cos β = 1 3 et donc β 71. 5

6 II Vecteur normal à un plan Dénition 3 Un vecteur est dit normal à un plan P s'il est non nul et orthogonal à tous les vecteurs de ce plan. Propriété 4 Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si un de ses vecteurs directeurs est un vecteur normal de ce plan. Démonstration. Elle ne présente pas beaucoup d'intérêt. Soient d une droite de vecteur directeur u et P un plan. Par dénition, d est orthogonal à P si et seulement si d est orthogonale à toute droite de ce plan. Cela signie que u est orthogonal à tout vecteur de P, autrement dit que u est un vecteur normal de P. Théorème 1 Une droite d est orthogonale à toute droite d'un plan P si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes, d 1 et d, de ce plan. Démonstration. Au programme et exigible. Soient d 1 et d deux droites sécantes du plan P. Si d est orthogonale à toute droite du plan P, alors elle est orthogonale aux droites d 1 et d de P. Réciproquement, montrons que si d est orthogonale à deux droites sécantes d 1 et d de P, alors elle est orthogonale à toute droite de P. Soient u, v 1 et v des vecteurs directeurs, respectivement, de d, d 1 et d. Alors u v 1 = 0 et u v = 0 car d est orthogonale à d 1 et d d'après notre hypothèse. Soit une droite de P et w un vecteur directeur de. Les droites d 1 et d étant sécantes, les vecteurs v 1 et v ne sont pas colinéaires, ils constituent donc une base du plan P, c'est à dire qu'il existe α et β des réels tels que w = α v 1 + β v. On a alors u w = u α v 1 + β v ) = u α v 1 ) + u β v ) = α u v 1 + β u v = 0, ce qui prouve que u et w sont orthogonaux, donc que d et sont orthogonales. 6

7 Propriété 5 Corollaire du théorème précédent Si un vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires d'un plan, alors c'est un vecteur normal à ce plan. Exemple Soit ABCDEF GH un cube d'arête 1. Démontrons que la droite F D) est orthogonale au plan ACH). Pour montrer qu'une droite est orthogonale à un plan, la méthode consiste à montrer qu'un vecteur directeur de la droite est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan. On commence par trouver deux vecteurs non-colinéaires du plan ACH) par exemple AC et HC. F D AC = F B + BD) AC = F B AC + BD AC = = 0 En se plaçant dans le plan A, AB, AD, AE) on a C1; 1; 0), D0; 1; 0), F 1; 0; 1) et H0; 1; 1) et donc F D 1; 1; 1) et HC1; 0; 1). Par conséquent, F D HC = = 0. Propriété 6 Soit n un vecteur normal à un plan, alors tout vecteur non nul colinéaire à n est normal à ce plan. Démonstration. Soit m un vecteur non nul colinéaire à n, c'est à dire que m = k n k R. Soit w un vecteur du plan P, alors m w = k n) w = k n w) = k 0 = 0 7

8 Exemple En prenant la conguration de l'exemple précédent, considérons I le centre de gravité du triangle ACH. Montrons que F I est normal au plan ACH) en montrant que F I et F D sont colinéaires. Si M est le milieu de [AC], HI = HM donc HI = ) 1 HD + DB = HD + 1 DB = HD BD = HD 1 F H car BD = F H Ainsi F I = F H + HI = F H + HD 1 F H = ) F H + HD = F D F I et F D étant colinéaires, F I est aussi un vecteur normal au plan ACH), donc I est le projeté orthogonal de F et de D) sur ACH). Propriété 7 Parallélisme et perpendicularité de plans Deux plans sont parallèles si et seulement si tout vecteur normal de l'un est un vecteur normal de l'autre. c'est à dire si les deux vecteurs normaux sont colinéaires) Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l'un est orthogonal à un vecteur normal de l'autre. Exemples On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé. 1. Soient P 1 et P deux plans de vecteurs normaux respectifs 6 n 1 4 et 3 n. 1 8

9 n1 et n sont colinéaires, les plans P 1 et P sont parallèles.. Soient P 1 et P deux plans de vecteurs normaux respectifs 1 n 1 1 et 3 n 1. 1 n1 et n ne sont pas colinéaires, les plans P 1 et P sont sécants, mais n 1 n = 0, donc les plans P 1 et P ne sont pas perpendiculaires. Propriété 8 Soient n un vecteur non nul, A un point et P le plan passant par A et de vecteur normal n. Alors un point M appartient à P si et seulement si n AM = 0. Démonstration. Si M appartient à P alors AM est un vecteur de P et est donc orthogonal à n. Réciproquement, soit M un point de l'espace tel que n AM = 0. Considérons H le projeté orthogonal de M sur le plan P. Alors n AM = n AH + HM) = n AH + n HM = 0. D'une part n AH = 0 car H P, donc n HM = 0. Et d'autre part n et HM sont colinéaires et donc n HM = n HM ou n HM = n HM. Mais comme n 0, HM = 0 et donc M et H sont confondus, c'est à dire que le point M appartient au plan P. III Équation cartésienne d'un plan Propriété 9 Dans un repère orthonormé O, i, j, ) k, un plan P de vecteur normal na; b; c; ) a une équation de la forme : ax + by + cz + d = 0. Réciproquement, si a; b et c ne sont pas tous nuls, l'ensemble E) des points Mx; y; z) tels que ax + by + cz + d = 0 est un plan de vecteur normal na; b; c; ) Démonstration. Elle est au programme et exigible. Soit Ax 0 ; y 0 ; z 0 ) un point du plan P et Mx; y; z) un point de l'espace. On a AMx x 0 ; y y 0 ; z z 0 ) et donc AM n = ax x 0 ) + by y 0 ) + cz z 0 ). M appartient à P équivaut à AM n = 0 ax x 0 ) + by y 0 ) + cz z 0 ) = 0 ax + by + cz ax 0 + by 0 + cz 0 ) = 0 soit en posant d = ax 0 + by 0 + cz 0 ) à ax + by + cz + d = 0. 9

10 Réciproquement, puisque a, b et c ne sont pas tous nuls, on peut supposer que a 0. Le point A da ) ; 0; 0 appartient à l'ensemble E) car a d ) + b 0 + c 0 + d = 0 et a l'équation ax + by + cz + d = 0 équivaut à : a x + d ) + by + cz = 0 c'est à dire à AM n = 0 avec na; b; c). a L'ensemble E) est donc le plan passant par A et de vecteur normal na; b; c). Exemple 3 : déterminer une équation cartésienne d'un plan 1) Dans le cas où le plan P est déni par un point A et un vecteur normal na; b; c) : 1. écrire l'équation de P sous la forme ax + by + cz + d = 0 où le réel d reste à déterminer,. déterminer d en utilisant les coordonnées du point A. Dans l'espace muni d'un repère par A1; ; 3) et de vecteur normal n4; ; 1). Solution : O, i, j, ) k déterminer une équation cartésienne du plan P passant Le plan admet pour équation 4x y + z + d = 0 et comme la point A1; ; 3) appartient à P on a 4 1 ) d = 0 et donc d = 11. Ainsi, une équation cartésienne de P est 4x y + z + 11 = 0 Exemple 4 : déterminer une équation cartésienne d'un plan ) Dans le cas où l'on donne trois points A, B et C pour dénir un plan P : 1. s'assurer que le plan P est bien déni en montrant que A, B et C ne sont pas alignés,. déterminer les coordonnées d'un vecteur normal à P, 3. en déduire une équation cartésienne en se référant à la méthode précédente. Dans l'espace, muni d'un repère orthonormé et C4; 1; 1). O, i, j, ) k, on considère les points A0; 1; 1), B 4; ; 3) Déterminer, s'il existe, une équation cartésienne du plan P déni par ces trois points. Solution : 1. On commence par calculer les coordonnées de AB et AC, AB 4; 1; ) et AC4; ; 0) Ces vecteurs ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles, donc les points A, B et C, ne sont pas alignés, ils dénissent donc un plan.. On note na; b; c) un vecteur normal à P. Alors n AB = 0 et n AC = 0 ce qui nous donne les équations : 4a + b + c = 0 et 4a b = 0 d'où le système : 4a + b + c = 0 4a b = 0 b + c = 0 4a = b b = c a = c 10

11 Les coordonnées de n sont donc de la forme a; a; a) avec a R. Avec a = 1 on obtient n1; ; 1). 3. Ainsi, x + y + z + d = 0 est une équation cartésienne de P, il reste à déterminer d en utilisant le fait que A P et on trouve d = 3. Finalement, x + y + z 3 = 0 est une équation de P. Exemple 5 : Déterminer, si elle existe, l'intersection d'une droite et d'un plan Soient d une droite dirigée par u et P un plan de vecteur normal n. 1. Tester le parallélisme de d et P en calculant u n : a) si u n = 0 alors d est parallèle, strictement ou non, au plan P, b) si u n 0 alors d et P se coupent en un point M.. Si l'intersection existe, résoudre le système composé des équations décrivant d et P an de calculer les coordonnées de M. Dans l'espace muni d'un repère orthonormé O, i, j, ) k, on considère la droite d de représentation x = 1 t paramétrique y = t t R et le plan P d'équation cartésienne 3x + z + 7 = 0. z = 5 Déterminer, s'il existe, les coordonnées du point d'intersection de d et P. Solution : Un vecteur directeur de d et un vecteur normal de P sont respectivement u 1; ; 0) et n3; 0; 1). Ainsi u n = = 3, donc d et P se coupent en un point M dont les coordonnées satisfont le système : x = 1 t x = 1 t t = 5 y = t y = t x = 4 z = 5 z = 5 y = 10 3x + z + 7 = 0 31 t) = 0 z = 5 Ainsi M 4; 10; 5). Même consigne avec la droite d de représentation paramétrique : et le plan P : 6x y z + 1 = 0. x = 1 t y = t z = 3 + 5t t R Solution : Avec les mêmes notations que ci-dessus, u 1; ; 5) et n 6; ; ). u n = 0 donc d et P sont parallèles. 11

12 De plus, le point A1; ; 3) par lequel passe la droite d n'appartient pas à P, donc d et P sont strictement parallèles. Exemple 6 : Déterminer, si elle existe, l'intersection de deux plans Soient P 1 et P deux plans de vecteurs normaux respectifs n 1 et n. 1. Tester le parallélisme de P 1 et P en testant la colinéarité de n 1 et n.. Si les plans ne sont pas parallèles : a) écrire le système composé des équations décrivant P 1 et P, b) choisir une des coordonnées comme paramètre, c) en déduire une représentation paramétrique de la droite d'intersection. Dans l'espace muni d'un repère orthonormé O, i, j, ) k, on considère les plans P 1 et P d'équations respectives x + y + z 1 = 0 et x 3y z + = 0. Déterminer, si elle existe, une représentation paramétrique de la droite d'intersection entre P 1 et P. Solution : P 1 et P ont pour vecteurs normaux respectifs n 1 1; ; 1) et n ; 3; 1). Ils ne sont pas colinéaires, donc P 1 et P se coupent selon une droite d. Un point M appartient à d si et seulement si ses coordonnées vérient le système : x + y + z 1 = 0 x + y + z 1 = 0 x 3y z + = 0 z = x y + 1 y = 3x + 1 3x y + 1 = 0 L1 + L) z = x 6x + 1 = 7x 1 y = 3x + 1 Ainsi, les coordonnées de M sont de la forme x; 3x + 1; 7x 1) et donc, en choisissant x comme paramètre, on obtient une représentation paramétrique de d : x = t y = 1 + 3t z = 1 7t t R d est la droite passant par 0; 1; 1) et de vecteur directeur u1; 3; 7). Même consigne avec P 1 et P d'équations respectives x 4y +3z 5 = 0 et 4x+8y 6z +10 = 0. Solution : En reprenant les mêmes notations, n 1 ; 4; 3) et n 4; 8; 6) sont colinéaires, donc les plans sont parallèles. Comme les deux équation sont équivalentes, on en déduit que P 1 = P. 1