Matrices et applications linéaires

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1 Chapitre 26 Matrices et applications linéaires Sommaire 26.1 Représentation matricielle Matrice colonne des composantes d'un vecteur Matrice d'une famille de vecteurs Matrice représentative d'une application linéaire dans des bases Applications du calcul matriciel aux applications linéaires Image d'un vecteur Composition Rang et inversibilité Rang d'une matrice Matrices carrées et inversibilité Dans ce chapitre, nous allons faire le lien entre les matrices et les applications linéaires. Nous verrons comment représenter une application linéaire par une matrice, comment en déduire son rang et comment savoir si elle est bijective. Notation 26.1 Dans tout ce chapitre, K désigne le corps R ou C Représentation matricielle Voyons comment représenter un vecteur, une famille de vecteurs et une application linéaire par une matrice Matrice colonne des composantes d'un vecteur Remarque 26.1 (Rappel) Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et B = (e 1,..., e n ) une base de E. Pour tout x E, il existe un unique n-uplet (α 1,..., α n ) K n tel que x = n α i e i. k=1 On appelle ce n-uplet, les composantes de x dans la base B. 259

2 CHAPITRE 26. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES Dénition 26.1 (Matrice d'un vecteur dans une base) On appelle colonne des composantes dans B du vecteur x, la matrice colonne dont les coecients sont (α 1,..., α n ), les composantes de x dans la base B. On note alors, α 1 α 2 Mat B (x) =. α i M n,1 (K).. α n Remarque 26.2 Comme les composantes de x dépendent de la base choisie, il est nécessaire de préciser la base dans laquelle on travaille. Exercice Donner la matrice de e 1 dans la base canonique (e 1,..., e n ) de R n Matrice d'une famille de vecteurs Dénition 26.2 (Matrice d'une famille de vecteurs dans une base) Soient E un K-espace vectoriel de dimension n et B une base de E. Soit (x 1,..., x p ) une famille de vecteurs de E. On appelle matrice de la famille de vecteurs (x 1,..., x p ) dans B, et on note Mat B (x 1,..., x p ) la matrice de M n,p (K) dont la j-ème colonne est la colonne des composantes de x j dans B (pour tout 1 j p). Exercice Dans R n, quelle est la matrice de (e 1,..., e n ) dans la base canonique B = (e 1,..., e n )? Exercice Soit E = K 2 [X] muni de sa base canonique notée B. On pose P = X 2 +3X +4. Calculer Mat B (P, P, P ). Exercice Soit E = K 3 muni de sa base canonique B = (e 1, e 2, e 3 ). On considère les vecteurs x 1 = (1, 2, 3), x 2 = (2, 0, 1), x 3 = (1, 0, 1) et x 4 = ( 1, 1, 1). Calculer Mat B (x 1, x 2, x 3, x 4 ). Exercice On considère E = R 3 [X] muni de sa base canonique notée B et la famille (P k ) 0 k 3 avec P k = (X + 1) k. Calculer Mat B (P 0, P 1, P 2, P 3 ) Matrice représentative d'une application linéaire dans des bases Dénition 26.3 (Matrice représentative d'une application linéaire dans des bases) Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension nie avec dim(e) = p et dim(f ) = n. Soient B E = (e 1,..., e p ) et B F des bases de E et F. Soit f L(E, F ). On appelle matrice représentative de f dans les base B E et B F, et on note Mat BF,B E (f), la matrice de M n,p (K) dont la j-ième colonne est la colonne des composantes de f(e j ) dans la base B F (pour 1 j p). 260 Cours ECS1

3 26.1. REPRÉSENTATION MATRICIELLE Remarque 26.3 En fait, Mat BF,B E (f) = Mat BF (f(e 1 ),..., f(e n )). Lorsque E = F et B E = B F = B, on note simplement Mat B (f). La matrice d'une forme linéaire est donc une matrice ligne. Exemple Si E est de dimension n, alors Mat B (id E ) =. 2. La matrice de l'application nulle est, quelque soient les bases choisies. 3. On considère E = K n [X] muni de sa base canonique B, et l'endomorphisme de E dénit par u(p ) = P. Alors, Mat B (u) = Exercice Soit u : K 3 K 2 l'application linéaire dénie par u(x, y, z) = (x + 2y z, x y). On considère B = (e 1, e 2, e 3 ) la base canonique de K 3 et C = (f 1, f 2 ) la base canonique de K 2. Calculer Mat C,B (u). Exercice Soient a, b et c trois réels xés. On considère u L(K 3 [X], K 3 ) dénie par u(p ) = (P (a), P (b), P (c)). Soit B la base canonique de K 3 [X] et C la base canonique de K 3. Calculer Mat C,B (u). Exercice Soit E = R 3. On considère f l'endomorphisme de E déni par f(x, y, z) = (3x z, x + 2y + z, x + 3y 4z). Soit B la base canonique de R 3. On note C la famille des vecteurs g 1 = (1, 2, 1), g 2 = (0, 1, 2) et g 3 = (1, 3, 0). 1. Déterminer Mat B (f). 2. Montrer que C est une base de R Déterminer Mat B,C (f) et Mat C,B (f) Remarque 26.4 Comme une application linéaire est entièrement dénie par l'image d'une base, une application linéaire est entièrement déterminée par sa matrice dans deux bases données. Cependant, les matrices associées à une application linéaire sont diérentes si on ne considère pas les mêmes bases. Formalisons cette remarque. Théorème 26.1 (L'isomorphisme de représentation matricielle) Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension nie avec dim(e) = p et dim(f ) = n. On note B E et B F des bases de E et F. L'application { L(E, F ) M n,p (K) Φ: u Mat BF,B E (u) est un isomorphisme

4 CHAPITRE 26. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES Remarque 26.5 Ce théorème est d'une importance considérable. En eet, il assure que lorsqu'on considère une matrice quelconque A de M n,p (K), il existe toujours une unique application linéaire u L(E, F ) dont la représentation matricielle dans les bases canoniques de E et de F est A (on appelle cet endomorphisme l'endomorphisme canoniquement associé)! On peut donc désormais traduire nos propriétés valables sur les applications linéaires en propriétés sur les matrices! Corollaire 1 (Dimension de L(E, F )) Lorsque E et F sont de dimension nie, L(E, F ) est également de dimension nie et dim(l(e, F )) = dim(e) dim(f ). Corollaire 2 (Cas particulier) 1. dim(l(e)) = dim(e) dim(l(e, R) = dim(e) Applications du calcul matriciel aux applications linéaires Image d'un vecteur Exercice On pose M = et on note f l'application linéaire de K3 dans K 4 telle que M = Mat C,B (f) où B désigne la base canonique de K 3 et C celle de R Que valent f(1, 0, 0), f(0, 1, 0) et f(0, 0, 1)? 2. En déduire l'expression de f(x, y, z) pour (x, y, z) K 3. x 3. Calculer M y z. 4. Que remarque-t-on? Cette constatation est générale. On peut la formaliser de la manière suivante. Propriété 26.1 (Image d'un vecteur) Soit E un K-espace vectoriel de dimension p et de base B. Soit F un K-espace vectoriel de dimension n et de base C. Si f L(E, F ) et A = Mat C,B (f), x E et X = Mat B (x) et y F et Y = Mat C (y), alors, y = f(x) Y = AX. 262 Cours ECS1

5 26.2. APPLICATIONS DU CALCUL MATRICIEL AUX APPLICATIONS LINÉAIRES Remarque 26.6 (Importante) La matrice de f dans les bases B et C est l'unique matrice qui vérie l'équivalence précédente. Pourquoi? Exercice Soit u L(R 2 [X], R 4 ) dont la matrice dans les bases canoniques (1, X, X 2 ) et (e 1, e 2, e 3, e 4 ) est Soit P = 1 + 2X 3X 2. Calculer f(p ) A = Exercice Soit E un R-espace vectoriel muni de la base B = (e 1, e 2, e 3 ). Soit u un endomorphisme de E dont la matrice dans B est 1. Calculer u(x, y, z) pour tout (x, y, z) R Déterminer le noyau de u. 3. Déterminer l'image de u Composition A = La composition d'applications linéaires se traduit par le produit des matrices associées, comme on peut le voir sur la propriété suivante. Propriété 26.2 (Composition) Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels de dimensions respectives q, p et n, munis respectivement des bases B, C et D. Soient u L(E, F ) et v L(F, G). On a Mat D,B (v u) = Mat D,C (v) Mat C,B (u). Remarque 26.7 On reconnait de nouveau la relation de Chasles! Corollaire 3 (Composées successives) Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie muni d'une base B. Soit f L(E) et A = Mat B (f). On a alors, pour tout k N, A k = Mat B (f k ). Exemple Si u L(E) et A = Mat B (u), alors : u est nilpotent d'indice p A est nilpotente d'indice p. u est un projecteur A 2 = A

6 CHAPITRE 26. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 26.3 Rang et inversibilité Dans cette partie, nous allons étudier le lien entre le rang et l'inversibilité d'une application linéaire et de sa matrice associée dans une base Rang d'une matrice Commençons par dénir le rang d'une matrice quelconque. Dénition 26.4 (Rang d'une matrice) Soit A M n,p (K). On appelle rang de la matrice A, le rang de ses vecteurs colonnes dans M n,1 (K). Exercice Calculer le rang de ( ) Propriété 26.3 (Propriétés du rang d'une matrice) 1. Si A M n,p (K), alors rg(a) min(n, p). 2. Si A M n (K), alors rg(a) = rg( t A). Le résultat le plus important de cette partie est le suivant, qui fait le lien entre le rang d'une matrice et celui d'une application linéaire. Théorème 26.2 (Rang matrice et application linéaire) Soient E un K-espace vectoriel de dimension p muni d'une base B et F un K-espace vectoriel de dimension n muni d'une base C. 1. Si (x 1,..., x p ) est une famille de vecteurs de F et si A = Mat C (x 1,..., x p ), alors rg(x 1,..., x p ) = rg(a). 2. Si f L(E, F ) et A = Mat C,B (f) alors rg(f) = rg(a). Ce théorème permet également d'étendre les résultats que nous connaissions sur le rang d'une famille de vecteurs au rang d'une matrice. Propriété 26.4 Le rang d'une matrice A est inchangé lorsque : 1. On change l'ordre des colonnes de A. 2. On multiplie une des colonnes par un scalaire non nul. 3. On ajoute à une colonne une combinaison linéaire des autres. 4. On supprime une colonne nulle ou une colonne qui est combinaison linéaire des autres. 264 Cours ECS1

7 26.3. RANG ET INVERSIBILITÉ Méthode 26.2 (Calcul d'une rang d'une matrice) Pour calculer le rang d'une matrice, on peut appliquer le pivot de Gauss sur les colonnes de la matrices jusqu'à obtenir une matrices triangulaire. Si cela est plus simple, on peut décider d'appliquer le pivot de Gauss sur les lignes, puisque le rang d'une matrice et le même que celui de sa transposée. Exercice Dans chaque cas, on considère l'endomorphisme f de R 3 ayant A pour matrice dans la base canonique. Déterminer le rang de f en faisant le moins de calculs possibles A = A = Matrices carrées et inversibilité Dans le cas où la dimension de E est la même que celle de F, on peut tester la bijectivité d'une application linéaire directement sur la matrice associée dans des bases xées. Faisons alors le point sur toutes les méthodes que nous pouvons utiliser. Théorème 26.3 (Inversibilité) Soient E et F deux K-espaces vectoriels de même dimension n munis respectivement des bases B E et B F. Soient f L(E, F ) et A = Mat BF,B E (f). On a alors équivalence entre : i) f est bijective. ii) A est inversible. Le cas échéant, on a de plus A 1 = Mat BE,B F (f 1 ). Propriété 26.5 (Rang et inversibilité) Si A M n (K), alors on a équivalence entre : 1. rg(a) = n 2. A est inversible. Théorème 26.4 Soient (x 1,..., x n ) une famille de vecteurs de E et A = Mat B (x 1,..., x n ). On a alors équivalence entre : i) La famille (x 1,..., x n ) est une base de E. ii) A est inversible

8 CHAPITRE 26. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES Corollaire 4 Soient A et B deux matrices de M n (K) telles que AB = I n. On a alors A et B inversibles et inverses l'une de l'autre. Corollaire 5 Une matrice triangulaire supérieure (ou inférieure) est inversible si et seulement si tous ses coecients diagonaux sont non nuls. Enn, cette dénition est souvent très utile en pratique, lorsqu'on la mèle avec les résultats précédents, pour déterminer l'inverse d'une matrice. Dénition 26.5 (Polynôme annulateur) Soit A M n (K). Soient des scalaires λ 0,..., λ p tels que Le polynôme P = λ 0 I n + λ 1 A + + λ p A p = p λ k A k = 0 Mn(K). k=0 p λ k X k est alors appelé polynôme annulateur de A. k=0 Cette dénition se généralise au cas des endomorphismes. Exercice On considère la matrice A = Calculer A 3 + 3A En déduire un polynôme annulateur de A. 3. Montrer que A est inversible et calculer son inverse. 4. On note f l'endomorphisme de R 3 canoniquement associé à A. Montrer que f est inversible et déterminer f 1 (x, y, z) pour tout (x, y, z) R Cours ECS1