T ES DEVOIR N 1 10 OCTOBRE 2014

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1 T ES DEVOIR N 1 1 OCTOBRE 1 Durée : 3 h NOM : Prénom : Calculatrice autorisée «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies.» Aucun prêt n est autorisé entre les élèves. Exercice 1-5 points - Une entreprise décide de verser à ses ingénieurs une prime annuelle de 5 Euros. Pour ne pas se dévaluer, il est prévu que chaque année la prime augmente de % par rapport à l'année précédente. On définit la suite (u n ) tel que u n corresponde à la prime annuel donnée la n ième année. 1) Calculer la prime versée par l'entreprise la ème année et la 3ème année ) Exprimer u n+1 en fonction de u n. En déduire la nature de la suite (u n ). Un ingénieur compte rester ans dans cette entreprise à partir du moment où est versée la prime. 3) Calculer la prime qu'il touchera la ème année. ) Calculer la somme totale S des primes touchées sur les années 5) On veut construire un algorithme permettant de savoir au bout de combien d années la prime dépassera 1. Compléter l algorithme en annexe pour qu il affiche ce résultat et répondre à la question. Exercice - 6,5 points - On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x x 1, on note C f sa représentation graphique. On considère également la fonction g définie sur R par g(x) = 3 x, on note D sa représentation graphique. 1) Calculer la dérivée f def. ) Etudier les variations de la fonction f. 3) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point d'abscisse x =. ) Résoudre, par calcul, l'équation f(x) = g(x). 5) Préciser les coordonnées des points d'intersections de C f et D.

2 Exercice 3 - points - Pour chacune des questions, une seule réponse parmi les trois est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante puis justifier cette réponse. Chaque réponse exacte et justifiée rapportera 1 point. Une réponse fausse non justifiée enlève,5 point. On donne le tableau de variation d une fonction f définie et dérivable sur [ 3; 5] x f(x) 9 1) L équation f(x) = admet : a) une solution b) deux solutions c) trois solutions ) On note f la dérivée de la fonction f. On peut affirmer que : a) f () f (1) b) f () f (5) c) f () f (5) 3) On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f. Les droites T et T sont tangentes à la courbe aux points d abscisses respectives 1 et T T' a) f (1) = b) f ( 1) = f (1) c) f (1) = f ( 1) ) Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f. Déterminer laquelle. a) courbe C1 b) courbe C c) courbe C

3 Exercice - 7 points - On considère la fonction polynomiale f définie par f(x) = 3x x 3 6x + 1x 5 sur [ ; ]. 1) Calculer l expression dérivée f (x). ) Vérifier que f (x) = 1 (x 1) (x + 1). 3) Déterminer les variations de f. Construire le tableau de variation de f. ) En déduire le nombre de solutions de l équation f(x) =. 5) À l aide de la calculatrice, donner la valeur exacte ou une valeur approchée de chacune d elles à 1 - près. Exercice 5-7,5 points - Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. Sa capacité de production mensuelle est inférieure à 15 articles. Soit x le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque mois ; le coût de production exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction C définie pour tout x élément de l'intervalle [; 15] par : C(x) = 16x + 11x + 6 x + 1 La courbe représentative de la fonction C, notée C T, est donnée en annexe ci-dessous. 1) Chaque article est vendu 8, la recette mensuelle exprimée en milliers d'euros est donnée par R(x) = 8x a) Tracer sur le graphique en annexe, la courbe D représentative de la fonction R. b) Par lecture graphique, déterminer : - les valeurs approximatives des bornes de l'intervalle dans lequel doit se situer la production x pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif. - la production x pour laquelle le bénéfice est maximal. ) Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle [; 15] par B(x) = R(x) C(x). a) Calculer le montant en euros, du bénéfice si l'entreprise fabrique et vend 6 articles un mois donné. b) Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle [; 15] on a : c) Étudier les variations de la fonction B. B (x) = 8x x + 17 (x + 1) d) En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal? 3) Le coût marginal de fabrication pour une production de x milliers d'articles est donné par C (x) où C est la dérivée de la fonction C. Vérifier que si le bénéfice est maximal alors le coût marginal est égal au prix de vente d'un article.

4 T ES ANNEXE : DS 1 1 OCTOBRE 1 NOM : Prénom : Exercice 1 INITIALISATION n PREND LA VALEUR 1 u PREND LA VALEUR 5 Exercice 5 TRAITEMENT TANT QUE u< FAIRE u PREND LA VALEUR n PREND LA VALEUR n+1 FIN TANT QUE SORTIES AFFICHER "La prime dépassera les 1 euro au bout de " AFFICHER AFFICHER "années" On peut donc répondre à la question : La prime dépassera les 1 euro au bout de années.

5 T ES DEVOIR N 1 1 OCTOBRE 1 Durée : 3 h Exercice 1-5 points - Calculatrice autorisée Une entreprise décide de verser à ses ingénieurs une prime annuelle de 5 Euros. Pour ne pas se dévaluer, il est prévu que chaque année la prime augmente de % par rapport à l'année précédente. On définit la suite (u n ) tel que u n corresponde à la prime annuel donnée la n ième année. 1) Calculer la prime versée par l'entreprise la ème année et la 3ème année Rappelons qu'une augmentation de t% se traduit par une multiplication par 1 + En particulier, le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de % est 1,. On a u = u u 1 = (1 + 1 ) u 1 = 1, u 1 = 1, 5 = 51 u 3 = 1, u = 1, 51 = 5, Donc La deuxième année, l'ingénieur touche une prime de 51 euros et la troisième une prime de 5, euros. t 1. ) Exprimer u n+1 en fonction de u n. En déduire la nature de la suite (u n ). La prime u n+1 s'obtient de la prime un par augmentation de % donc : u n+1 = 1, u n pour tout entier n 1 On en déduit, par définition, que la suite (u n ) est géométrique de raison q = 1, et de premier terme u 1 = 5. Un ingénieur compte rester ans dans cette entreprise à partir du moment où est versée la prime. 3) Calculer la prime qu'il touchera la ème année. On doit calculer de u Comme (u n ) est géométrique de raison q = 1, et de premier terme u 1 = 5. Donc u n = u 1 q n 1 = 5 1, n 1 Alors u = 5 1, 19 78,1 à 1 près La vingtième année, l'ingénieur touchera une prime 78,1 euros (au centime près). ) Calculer la somme totale S des primes touchées sur les années On doit calculer les primes touchées sur les années Donc S = u 1 + u + u u est une somme de N = termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q = 1, et de premier terme u 1 = 5. Donc S = u 1 1 qn 1 q = 5 1 1, 1 1, 1 18,69 La somme totale des primes touchées par l'ingénieur sur les années est d environ 1 19 euros (à un euro près)

6 5) On veut construire un algorithme permettant de savoir au bout de combien d années la prime dépassera 1. Compléter l algorithme ci-dessous pour qu il affiche ce résultat et répondre à la question. INITIALISATION n PREND LA VALEUR 1 u PREND LA VALEUR 5 TRAITEMENT TANT QUE u<1 FAIRE u PREND LA VALEUR u*1. n PREND LA VALEUR n+1 FIN TANT QUE SORTIES AFFICHER "La prime dépassera les 1 euro au bout de " AFFICHER n AFFICHER "années" La prime dépassera les 1 euro au bout de 37 années. Exercice - 6,5 points - On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x x 1, on note C f sa représentation graphique. On considère également la fonction g définie sur R par g(x) = 3 x, on note D sa représentation graphique. 1) Calculer la dérivée f def. On a f(x) = x x 1 Alors la fonction f est dérivable sur R comme fonction polynomiale D où f (x) = x 1 ) Etudier les variations de la fonction. Pour étudier les variations de la fonction f, il faut étudier le signe de la dérivée f On a f (x) = x 1 x 1 + Signe de f (x) + Variation de f 5 Et f ( 1 ) = (1 ) 1 1 = = 1 = 5 3) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point d'abscisse x =. Équation de la tangente au point d abscisse : T y = f ( ) (x ( )) + f( ) Fonction dérivée : f (x) = x 1 d où le nombre dérivé pour l abscisse est 5 car f ( ) = ( ) 1 = 1 = 5 Ordonnée du point de tangence A d abscisse : f ( ) = ( ) ( ) 1 = + 1 = 5 d où f( ) = 5 Alors T y = 5 (x + ) + 5 D où T y = 5x Donc T y = 5x 5

7 ) Résoudre, par calcul, l'équation f(x) = g(x). On a f(x) = x x 1 et g(x) = 3 x Alors x x 1 = 3 x x x x = x = (x )(x + ) = soit x = soit x = Donc S = { ; } 5) Préciser les coordonnées des points d'intersections de C f et D. On cherche les coordonnées des points d intersection de C f et de D Donc on cherche les abscisses des points vérifiant f(x) = g(x) D après la question, on obtient soit x = soit x = Alors si x = g() = 3 ( ) = 5 si x = g() = 3 = 1 Donc les points d intersection de C f et de D sont ( ; 5) et (; 1) Exercice 3 - points - Pour chacune des questions, une seule réponse parmi les trois est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante puis justifier cette réponse. Chaque réponse exacte et justifiée rapportera 1 point. Une réponse fausse non justifiée enlève,5 point. On donne le tableau de variation d une fonction f définie et dérivable sur [ 3; 5] x f(x) 9 1) L équation f(x) = admet : a) une solution b) deux solutions c) trois solutions f est dérivable sur [ 3; 5] donc f est continue sur cet intervalle. Sur l'intervalle [ 3; 3], la fonction f est continue, strictement croissante à valeur dans [ 9; ] Sur l'intervalle [3; 5], la fonction f est continue, strictement décroissante à valeurs dans [ 6; ] On peut alors appliquer deux fois le théorème de la valeur intermédiaire Donc l'équation f(x) = admet deux solutions. Donc réponse b deux solutions ) On note f la dérivée de la fonction f. On peut affirmer que : a) f () f (1) b) f () f (5) c) f () f (5) D'après les variations de la fonction f, nous pouvons déduire le signe de sa dérivée f' x Signe de f (x) + Il s'ensuit que : f ( ) et f (1) d'où f ( ) f (1) f () et f (5) d'où f () f (5) f () et f (5) d'où f () f (5) Donc réponse c f () f (5) 6

8 3) On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f. Les droites T et T sont tangentes à la courbe aux points d abscisses respectives 1 et 1 1 T T' a) f (1) = b) f ( 1) = f (1) c) f (1) = f ( 1) Le nombre dérivé f (a) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse a. Par lecture graphique, nous avons : f( 1) = 1 = 1 et f(1) = 1 1 Donc réponse b f ( 1) = f (1) ) Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f. Déterminer laquelle. a) courbe C1 b) courbe C c) courbe C D'après le tableau du signe de la dérivée f, seules les courbes C1 et C3 peuvent convenir. Or f( 1) = 1 Donc réponse c C3 est la seule des trois courbes susceptible de représenter la dérivée f. Exercice - 7 points - On considère la fonction polynomiale f définie par f(x) = 3x x 3 6x + 1x 5 sur [ ; ]. 1) Calculer l expression dérivée f (x). On a la fonction f est définie sur [ ; ] par f(x) = 3x x 3 6x + 1x 5 D où f est dérivable sur [ ; ] comme fonction polynôme Pour tout réel x, f (x) = 3 x 3 3x 6 x f (x) = 1x 3 1x 1x + 1 Donc f (x) = 1x 3 1x 1x + 1

9 ) Vérifier que f (x) = 1 (x 1) (x + 1). Pour tout x, 1(x 1) (x + 1) = 1 (x x + 1)(x + 1) = 1 (x 3 x + x + x x + 1) = 1 (x 3 x x + 1) = 1x 3 1x 1x + 1 = f (x) Donc pour tout réel x, f (x) = 1 (x 1) (x + 1) 3) Déterminer les variations de f. Construire le tableau de variation de f. On a f (x) = 1 (x 1) (x + 1) x (x 1)² x f (x) + + Donc x 1 1 Signe de f (x) Variation de f 16 ) En déduire le nombre de solutions de l équation f(x) =. f est définie, continue et strictement décroissante sur [ ; 1] à valeurs dans [ 16; 7] d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation f(x) = admet une unique solution, notée, dans [ ; 1] f est définie, continue et strictement croissante sur [ 1; ] à valeurs dans [ 16; 11] d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation f(x) = admet une unique solution, notée, dans [ 1; ] Donc l équation f(x) = admet deux solutions dans [ ; ] 5) À l aide de la calculatrice, donner la valeur exacte ou une valeur approchée de chacune d elles à 1 - près. À l aide de la calculatrice, On tabule avec un pas de 1 on a f( ) = 7 et f( 1) = 16 donc < α < 1 On tabule avec un pas de,1 on a f( 1,7) 1,96 et f( 1,6) 3,51 donc 1,7 < α < 1,6 On tabule avec un pas de,1 on a f( 1,67),193 et f( 1,66),376 donc 1,67 < α < 1,66 On tabule avec un pas de,1 on a f( 1,667),19 et f( 1,666),379 donc 1,667 < α < 1,666 Donc une valeur approchée à 1 près de est 1,67. et d après le tableau de variation de la fonction f, on a f(1) = donc = 1. Donc l équation f(x) = admet deux solutions 1,67 à 1 - près et 1.

10 Exercice 5-7,5 points - Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. Sa capacité de production mensuelle est inférieure à 15 articles. Soit x le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque mois ; le coût de production exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction C définie pour tout x élément de l'intervalle [; 15] par : C(x) = 16x + 11x + 6 x + 1 La courbe représentative de la fonction C, notée C T, est donnée en annexe ci-dessous. 1) Chaque article est vendu 8, la recette mensuelle exprimée en milliers d'euros est donnée par R(x) = 8x a) Tracer sur le graphique joint en annexe, la courbe D représentative de la fonction R. La courbe représentative de la fonction R est la droite D d'équation y = 8x passant par l'origine du repère les point de coordonnées (15;1) b) Par lecture graphique, déterminer : - les valeurs approximatives des bornes de l'intervalle dans lequel doit se situer la production x pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif. - la production x pour laquelle le bénéfice est maximal. - L'entreprise réalise un bénéfice quand la recette est supérieure aux coûts. Graphiquement, il s'agit de déterminer l'intervalle sur lequel la droite D est située au dessus de la courbe C T. Avec la précision permise par le dessin, l'entreprise réalise un bénéfice positif pour une production comprise entre 6 et 1 articles. - Le bénéfice maximum est obtenu pour une production x de l'intervalle [6; 1] telle que la distance entre la droite D et la courbe C T soit la plus grande possible. Le bénéfice maximal semble être obtenu pour une production de 55 articles. ) Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle [; 15] par B(x) = R(x) C(x). a) Calculer le montant en euros, du bénéfice si l'entreprise fabrique et vend 6 articles un mois donné. B(6) = = 1,9 6+1 Si l'entreprise fabrique et vend 6 articles le bénéfice sera de 19. b) Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle [; 15] on a : B (x) = 8x x + 17 (x + 1) Pour tout réel x de l'intervalle [; 15], B(x) = 8x 16x +11x+6 x+1 = 8x(x+1) (16x +11x+6) x+1 = 8x +11x 16x 11x 6 x+1 = 8x +11x 6 x+1 La fonction B est dérivable sur [; 15] comme quotient de deux fonctions dérivables sur [; 15].

11 On a B = u v d'où B = u v uv v avec u(x) = 8x + 11x 6 u (x) = 16x + 11 v(x) = x + 1 v (x) = 1 Soit pour tout réel x appartenant à l'intervalle [; 15], B ( 16x + 11) (x + 1) ( 8x + 11x 6) (x) = (x + 1) B (x) = 16x x + 11x x 11x + 6 (x + 1) B 8x² x + 17 (x) = (x + 1) Ainsi, B est la fonction définie sur l'intervalle [; 15] par : B (x) = 8x x+17 (x+1) c) Étudier les variations de la fonction B. Pour tout réel x, (x + 1)² > par conséquent, B (x) est du même signe que le polynôme du second degré 8x x + 17 sur l'intervalle [; 15]. Le discriminant du trinôme est : Δ = ( )² ( 8) 17 = 973 = 31 Le trinôme admet deux racines distinctes : x 1 = 31 = 11 = 5,5 et x 16 = +31 = 67 = 33,5 16 Les variations de la fonction B se déduisent du signe de sa dérivée x 5,5 15 B (x) + B(x) d) En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal? D'après le tableau des variations, la fonction B admet un maximum atteint pour x = 5,5 et ce maximum vaut 13 car B(5,5) = 8 5,5² ,5 619,5 = 13 Le bénéfice maximal est de 13 pour la production et la vente de 55 unités. 3) Le coût marginal de fabrication pour une production de x milliers d'articles est donné par C (x) où C est la dérivée de la fonction C. Vérifier que si le bénéfice est maximal alors le coût marginal est égal au prix de vente d'un article. On a B(x) = R(x) C(x) d'où B (x) = R (x) C (x) B (x) = 8 C (x) Or le bénéfice maximal est obtenu pour x solution de l'équation B (x) = B (x) = 8 C (x) = C (x) = 8 Ainsi, quand le bénéfice est maximal, le coût marginal est égal au prix de vente d'un article. REMARQUE : Pour maximiser son profit, l'entreprise compare le prix de vente au coût marginal. Sur la «plage de rentabilité», tant que le prix de vente est supérieur au coût marginal, l'entreprise augmentera son profit en produisant davantage. Si, au contraire, le coût marginal est supérieur au prix de vente, la production d'une unité supplémentaire diminuera le bénéfice. Le niveau de production qui maximise le bénéfice est celui pour lequel le coût marginal est égal au prix de vente.