Le transformateur. I. Principe du transformateur

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1 Le transformateur L'une des grandes applications des matériaux ferromagnétiques est le transformateur Cet appareil, simple dans son principe, permet de multiplier par une constante une tension, ou un courant Par exemple, pour transporter dans des lignes électriques de la puissance sur de longues distances, il faut réduire autant que possible les pertes par effet Joule dans la ligne Pour cela on peut soit augmenter la section des fils, ce qui les rend lourds, ou diminuer l'intensité qui passe dedans, à puissance électrique transportée donnée C'est le rôle du transformateur, qui va permettre d'augmenter la tension et de diminuer simultanément le courant, à puissance constante I Principe du transformateur 1 Réalisation Un transformateur est un dispositif réalisant un couplage par induction entre deux bobines Lorsqu'un courant variable dans le temps passe dans la première bobine, elle génère un champ magnétique variable qui entraîne l'apparition d'une force électromotrice induite dans la seconde Un transformateur permet donc un transfert de puissance électrique d'un circuit à un autre sans déplacement d'aucune pièce mécanique On parle de conversion électromagnétique statique Notons qu'elle ne peut avoir lieu qu'en régime fonction du temps, puisqu'elle s'appuie sur une fem d'induction nécessitant une variation de flux dans le temps Plusieurs géométries simples peuvent être envisagées : par exemple deux bobines l'une dans l'autre, ou deux bobinages autour d'un même tore Nous allons considérer cette seconde géométrie, sous les mêmes hypothèses que lors de l'étude du ferromagnétisme : * le premier bobinage comporte N 1 spires, le second N 2, et chacun est régulièrement réparti sur l'ensemble du tore ; * le diamètre des spires est petit devant celui du tore, et toutes les spires ont même section On peut alors considérer que les lignes de champ magnétique, ou d'excitation magnétique, sont des cercles, et que le module de ces champs est uniforme dans le volume du tore, et nul à son extérieur

2 2 Choix de conventions d'orientation i 1 i 2 v v 1 2 On oriente le premier bobinage dans un sens arbitraire Ceci définit alors un sens pour les vecteurs d S de chaque spire de ce bobinage On en déduit ensuite l'orientation du second bobinage de façon à ce que ses d S soient confondus avec ceux du premier Les bornes d'entrée des bobinages suivant cette orientation sont marquées d'un point et dites bornes homologues Des courants positifs entrant par ces bornes créent des champs magnétiques de même sens, et de flux positifs à travers les bobines Notons que toutes les relations en courants ou en tensions sont liées, pour leurs signes, au choix de ces orientations, qui peuvent être choisies différemment Il faut donc être vigilant aux choix d'orientations dans les problèmes où l'énoncé les imposent Dans la convention choisie, B étant partout colinéaire aux d S de chaque spire, et le module de B étant uniforme, le flux Φ du champ magnétique à travers une spire est indépendant de la position de cette spire, et du fait qu'elle appartienne au premier ou au second bobinage Ce flux est appelé flux magnétique commun 3 Equations électriques Chaque bobinage a une résistance r i La variation du flux dans chaque spire génère pour chacun des circuits une force électromotrice Le schéma équivalent du transformateur est alors : i 1 i2 v 1 e 1 et e 2 v 2 r 1 r 2 Les équations électriques sont donc : d v 1 = r 1 i 1 e 1 avec e 1 = N 1 d t d v 2 = r 2 i 2 e 2 avec e 2 = N 2 d t On voit donc que donc que les grandeurs d entrée et de sortie, par exemple les tensions v 1 et v 2, seront liées entre elles par l intermédiaire du caractère commun des fem e 1 et e 2

3 4 Introduction d'un matériau ferromagnétique a) Avantage Les expressions précédentes, en particulier le lien simple entre e 1 et e 2 qui résulte du flux commun, ne sont valables que si toute ligne de champ traversant une spire du premier bobinage traverse aussi toute autre spire du second bobinage Pour s'en assurer, on utilise pour le tore un matériau ferromagnétique, de forte perméabilité µ r En effet, les matériaux ferromagnétiques ont la propriété de " canaliser " les lignes de champ, qui suivent la forme de la matière, restant piégées à l'intérieur Cette propriété permet de réaliser des transformateurs avec des géométries plus commodes que le tore, et avec des enroulements séparés, tout en conservant la propriété de flux commun b) Inconvénients * le poids ; * les pertes énergétiques : Ce sont les "pertes dans le fer" Pour les limiter, on utilise un matériau ferromagnétique doux, à faible surface de cycle, afin de réduire les pertes par hystérésis, et le matériau est feuilleté pour réduire les pertes par courant de Foucault A ces pertes liées à la présence du matériau ferromagnétique s ajoutent les pertes dans le cuivre provenant de l effet Joule dans les fils résistifs des bobinages * la non linéarité : La présence de ce matériau implique une relation non linéaire entre B et H ; Or dans les relations v 1 = r 1 i 1 e 1 et v 2 = r 2 i 2 e 2, les courants i 1 et i 2 sont liés à H par le théorème d Ampère, alors que e 1 et e 2 sont liés à B par son flux Ces équations ne sont donc pas linéaires Les 4 grandeurs précédentes ne peuvent donc pas être proportionnelles entre elles ; par exemple elles ne peuvent pas être toutes simultanément sinusoïdales On peut donc s attendre à observer des déformations des signaux électriques, dès lors que l on utilise le passage par H et B entre l entrée et la sortie De plus, l hystérésis présente un phénomène de saturation, dans lequel B donc son flux ne varie plus au cours du temps (ou sans lien avec les conditions d alimentation) Pour conserver une réponse en sortie dépendant du signal d entrée, il faudra se limiter à des points de fonctionnement pour lesquels la saturation n est pas atteinte

4 La modélisation du transformateur devient alors compliquée ; la présence de phénomènes non linéaires entraîne l impossibilité de le modéliser en n utilisant que des dipôles linéaires (R, L) Ceci conduit à effectuer des approximations pour permettre une mise en équation simplifiée, mais approchée C est le modèle du transformateur parfait II Le transformateur parfait 1 Hypothèses Nous considérons un transformateur à carcasse ferromagnétique, satisfaisant la condition de flux commun On souhaite que ce transformateur soit parfait donc : qu il ne présente aucune perte énergétique : Ceci entraîne que les résistances des bobinages sont supposées nulles ; Et qu il est constitué d'un matériau ferromagnétique sans perte donc de cycle infiniment fin (matériau idéalement doux), et isolant ou feuilleté ; qu il n introduise pas de distorsion du signal (hypothèse de linéarité) : Ceci impose que la relation entre B et H soit linéaire, donc que l'on peut assimiler son cycle d'hystérésis à un segment de droite (de pente µ o µ r ) Le matériau doit donc être doux utilisé loin de sa saturation la perméabilité µ r du matériau de la carcasse est très élevée, à l'idéal, infinie On verra par la suite l utilité de cette dernière hypothèse 2 Champs dans la matière a) Champ magnétique La résistance du bobinage primaire étant nulle, le champ magnétique présent dans le matériau est fonction de la tension d'alimentation v 1 (t) imposée par l'alimentation du primaire Il vérifie la relation v 1 = e 1 = N 1 S d B d t Lorsque la tension v 1 est imposée par un générateur extérieur de tension, on constate alors que le champ B dans le matériau (dans les hypothèses du transformateur parfait, avec un champ uniforme résultant d'une invariance du dispositif par rotation sur le tour du tore) est le même que celui que l'on aurait en l'absence du matériau ferromagnétique b) Excitation magnétique Nous avons vu que le champ doit être limité pour ne pas atteindre la saturation du matériau ; B Typiquement, le champ magnétique à saturation d'un matériau doux est de 1 T ; pour un fonctionnement correct du transformateur, on devra se limiter à 0,5 T

5 Dans l'hypothèse du transformateur parfait, H = B o r = 0, car µ r est infini, et B limité 3 Relation entre les tensions L hypothèse de résistances de bobinages négligeables font que les équations électriques deviennent : v 1 = N 1 d d t d et v 2 = N 2 d t Soit m = N 2 N 1 Des équations électriques on déduit immédiatement v 2 = N 2 N 1 v 1 = m v 1 Notons que cette relation ne nécessite que l hypothèse des résistances négligeables ; elle reste valable si les autres hypothèses du transformateur parfait ne sont pas satisfaites 4 Relation entre les courants Le théorème d'ampère donne tour du tore H * dl = N 1 i 1 + N 2 i 2 (dans l ARQS) Or H = 0 ; donc N 1 i 1 + N 2 i 2 = 0 soit i 2 = N 1 N 2 i 1 = 1 m i 1 C est pour obtenir cette relation simple que l on fait l hypothèse d un µ r infini Rmq : La relation entre les tensions est valable en présence et en absence du matériau ferromagnétique (sous réserve de résistances de bobinages négligeables) ; La relation entre les courants n est valable QUE en présence du matériau ferromagnétique (sous réserve qu il soit de forte perméabilité) 5 Transfert de puissance La puissance totale reçue par le transformateur est p = v 1 i 1 + v 2 i 2 A partir des relations entre les tensions et les courants, on obtient immédiatement : p = 0 Ceci signifie qu'il n'y a aucune puissance consommée ou stockée dans un transformateur parfait ; Un transformateur parfait transfert intégralement en sortie la puissance qu'il reçoit en entrée Ceci est bien sûr en accord avec l hypothèse initiale D absence de pertes, cuivre ou fer!

6 Les transformateurs réels n'ont pas un rapport de puissances de 1, en raison des pertes par effet Joule dans les résistances des enroulements (dites pertes dans le cuivre) et des pertes dans la matière ferromagnétique (pertes dans le fer) Dans le cadre du modèle du transformateur parfait, les résistances sont nulles et l'aire du cycle d'hystérésis est nulle puisque H l'est III Applications du transformateur Nous supposerons que les transformateurs utilisés sont parfaits 1 Transformateur d isolement Prenons l exemple d un dipôle D dont on souhaite relever la caractéristique I = f(v) On va donc mesurer I et V, et utiliser un oscilloscope en mode XY pour l affichage de la courbe ; on fait varier I et V en alimentant le dipôle par un générateur sinusoïdal Le schéma de principe du montage est donc : I voie x E(p) Vy Vx D voie y R On mesure bien V en voie X, et la voie Y donne Vy = - R I proportionnelle à I Mais le générateur est branché sur le secteur et est donc relié à la masse ; le montage est en fait : I voie x E(p) Vy Vx D voie y R Et l on voit que la résistance R a ses deux bornes à la masse, donc Vy = 0 tout le temps! On a placé deux points de masse distincts dans le même circuit, ce qui court circuite les éléments placés entre On va utiliser un transformateur pour isoler le générateur des éléments de mesure :

7 I voie x E(p) Vy Vx D voie y R Le transformateur a permis de séparer en DEUX circuits le montage initial, et donc de pouvoir imposer 2 points de masse distincts, un par circuit Ce transformateur peut avoir un rapport m = 1 2 Transfert d impédance Plaçons le transformateur parfait entre une source réelle sinusoïdale caractérisée par sa tension E(p) et son impédance Z g (p), et une charge représentée par une impédance Z c (p) i 1 i 2 E(p) u 1 u 2 a) Equivalence en entrée Vu de la source, l'ensemble transformateur plus charge est équivalent à une impédance unique Z' c (p) telle que u 1 = Z' c (p) i 1 Or côté sortie, on a u 2 = - Z c (p) i 2 En faisant le rapport des deux équations et en utilisant les relations entre tensions et entre courants dans le transformateur parfait, il vient : Z C ( p ) = Z c ( p ) m 2 On en déduit le schéma équivalent du transformateur et de sa charge, vu coté primaire : E(p) u 1 i 1 m 2

8 En l absence de transformateur, la source verrait la charge Z c (p) ; En présence du transformateur, elle voit la charge ( p ) = Z c ( p ) La charge qui lui est donc connectée étant modifiée, elle ne fournira pas le même courant donc pas la même puissance Z C m 2 b) Equivalence en sortie Vu du second côté, on a u 2 = m u 1 = m ( E(p) - Z g (p) i 1 ) = m ( E(p) + Z g (p) m i 2 ) Donc u 2 = m E ( p ) + m 2 Z g ( p ) i 2 Ce qui se traduit par le schéma équivalent : 2 m Z g(p) i 2 m E(p) u 2 La charge Z c (p) ne voit donc pas le même générateur en présence ou en l absence de transformateur ; elle ne recervra donc pas le même courant donc pas la même puissance c) Transfert de puissance Le montage complet est donc équivalent à : E(p) u 1 i 1 m 2 2 m Z (p) g m E(p) u 2 i 2 La charge Z c (p) n est alors plus alimentée par le générateur ( E(p), Z g (p) ) comme elle le serait sans transformateur intercalé, mais par un générateur équivalent à l ensemble source et transformateur ( me(p), m 2 Zg(p) ) Ceci peut permettre un meilleur transfert de puissance entre la source réelle et la charge : Calculons en effet cette puissance dans un cas simple, où l'impédance du générateur est une simple résistance R g, et la charge une résistance R c

9 A partir du schéma équivalent du secondaire, on calcule l'intensité i 2 : i 2 = m E o e j t m 2 R g + R C = I 2 o e j t Or la puissance moyenne dissipée dans la charge est P = 1 2 R 2 C I 2 o soit P = 1 R C m 2 2 E o 2 ( m 2 R g + R C ) 2 Cherchons la valeur de m conduisant à une valeur de P maximale ; elle vérifie d P ; d ( m 2 = 0 ) le calcul conduit à m = R c R g Tous les éléments étant imposés (source et charge), on aura m! 1 ce qui signifie que l'on recevra plus de puissance dans la charge en interposant un transformateur bien choisi, que sans ce transformateur Rmq 1 : Bien que le transformateur idéal ne consomme pas de puissance, il modifie les conditions de fonctionnement des autres éléments du circuit ; son introduction permet d obtenir plus de puissance délivrée par la source, et donc plus de puissance utile pour la charge Rmq 2 : C'est ce transfert d'impédance entrée sortie qui permet de maintenir le rapport entre les courants en entrée et en sortie constant, ainsi que le rapport entre les tensions en entrée et en sortie constant, quelque soit la valeur de l'impédance de charge Lorsque l'on change cette impédance, chacune de ces valeurs est modifiée, les rapports étant maintenus