Correction de SOS MATH 1 ère S PRODUIT SCALAIRE - Fiche 1
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- Quentin Beaupré
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1 Correction de SOS MATH 1 ère S PRODUIT SCALAIRE - Fiche 1 1. a) On a les normes l angle des vecteurs, on utilise la méthode 3 sa formule «cosinus».. = cos (, ) Qu'on peut écrire cos B. = 5,5 cos 5 =,5 Utiliser la valeur exacte de cos 5. = 5 La présence d'un angle droit fait penser à la méthode sa formule «projé».. =. AD car D projé orthogonal de C sur () = AD car AD colinéaires de même sens On peut écrire AD. = ( ) 16 = c) Nous sommes dans un repère orthonormé, on pense à la méthode 5 sa formule «coordonnées». 1 3 donc. = (1) + 3 = + 1 = 1 d). = cos (, ) = 8 1 cos 135 = 8 ( ) = e) C'est un des trois cas de base de la méthode 1.. = car = ( + ) = 7 colinéaires de même sens f). = AM. car M projé orthogonal de B sur () = AM car = 3 6 = 18 AM colinéaires de sens contraires On peut écrire AM.. a) CD 5 1 donc. CD = 5 + (1) = 1 = 8. CD est positif donc (, CD ) est aigu. AD 6 CB 1 3 donc AD. CB = 6 (1) + () (3) = = AD. CB = donc AD CB sont orthogonaux donc (AD) (CB) sont perpendiculaires.
2 3. a) RS. RT = RS RT cos ( RS, RT ) = 6 6 cos 3 3 = 36 = 18 3 RT. = RT cos ( RT, ) = 6 6 cos 5 = 36 = 18 RS. = RS cos ( RS, ) = 6 6 cos 75 = 36, ,3 arrondi au centième c) RS. TR = RS. RT L'inversion des ltres T R fait penser à la première propriété algébrique de la méthode 6. = 18 3 RS. TU = RS.( TR + ) Je pense à la troisième propriété algébrique de la méthode 6. = RS. TR + RS. Je développe j'obtiens deux produits scalaires que je connais. = cos 75 Il est dangereux d'ajouter des arrondis : il vaut mieux écrire la somme des valeurs exactes, puis arrondir. 1,86 arrondi au centième ST. = ( SR + RT ). = SR. + RT. = RS = 36 cos ,1 arrondi au centième. a). =. car B projé orthogonal de C sur () = ² = ² = a ² u. v = ( + 3 ).( 3 ) = ( ).( 3 ) ( ). + ( 3 ).( 3 ) ( 3 ). = 3 (. ) (. ) (. ) 3 (. ) = 6a ² a ² + 9a ² 3 ² = 13a ² 3 ² = 13a ² 3 ( a ) ² = 13a ² 6a ² = 7a ² Multiplication entre nombres Produit entre vecteurs On reconnait le carré scalaire. Produit entre nombre vecteur 5. EF. EG = FE. EG = 1 ( FE + EG ² FE ² EG ² ) = 1 ( FG ² FE ² EG ² ) = 1 ( 6 ² 3 ² 5 ² ) = 1 On doit reconnaître la situation classique du triangle quelconque dont on connaît les trois côtés. La méthode sa formule «norme» s'impose mais avec une astuce à renir : on inverse un vecteur pour pouvoir appliquer la relation de Chasles dans la somme. Mais il ne faut pas oublier le signe!
3 FE. FG = EF. FG = 1 ( EF + FG ² EF ² FG ² ) = 1 ( EG ² EF ² FG ² ) = 1 ( 5 ² 3 ² 6 ² ) = 1 GF. GE = FG. GE = 1 ( FG + GE ² FG ² GE ² ) = 1 ( FE ² FG ² GE ² ) = 1 ( 3 ² 6 ² 5 ² ) = 6 6. Partie A a). =. car B projé orthogonal de C sur () = ² = ² = ² = 1 6. AD = AD. AD car D projé orthogonal de C sur (AD) = AD ² = AD ² = 3 ² = 9 DO. OB = DO OB car DO OB colinéaires de même sens = 1 DB 1 DB car O milieu de [DB] = 1 DB ² = 1 ( ² + AD ² ) d'après le théorème de Pythagore dans le triangle ADB rectangle en A = 1 ( ) = 65 AO. CA = AO CA car AO = 1 car O milieu de [] CA colinéaires de sens contraires = 1 DB ² car les diagonales [] [DB] du rectangle CD sont isométriques = 1 ( ) = 1 5 AF. BE = AF BE car AF BE colinéaires de sens contraires = 1 1 car E milieu de [] F milieu de [AE] = 1 8 ² = c) E milieu de [] O milieu de [] donc, d'après le théorème de la droite des milieux, (OE) (BC) parallèles. (OE) // (BC) (OE) () () (BC) Comme E (), on en déduit que E projé orthogonal de O sur ().
4 d) AO. = AE. car E projé orthogonal de O sur () = AE car = = 8 AE colinéaires de même sens e) OC. AF = AO. AF car O milieu de [] OC = AO = AE. AF car E projé orthogonal de O sur (AF) = AE AF car = 1 = OC. OB = AO. OB car AE OC = AO = 1 ( AO + OB ² AO ² OB ² ) = 1 ( ² AO ² OB ² ) AF colinéaires de même sens Il nous manque l'angle pour appliquer la formule «cosinus». Mais une jolie astuce consiste à remplacer un vecteur par un autre pour avoir des vecteurs consécutifs pouvoir appliquer la relation de Chasles dans la formule «norme». = 1 ( ² ( = 175 ) ² ( ) ² ) Partie B a) On pose le repère orthonormé ( A ; i ; j ) avec i = 1 j = 1 AD. 3 On a alors : A ( ; ). = i + j B ( ; ). AD = i + 3 j D ( ; 3 ). = + AD car CD rectangle = i + 3 j C ( ; 3 ). O milieu de [] O ( + E milieu de [] E ( + F milieu de [AE] F ( + On en déduit : DO AO AF AO OC OC 3 1 AD 3 3 OB CA BE AF OB 3 1 ; + 3 ) O ( ; ). ; + ) E ( ; ). ; + ) F ( 1 ; ).. = + 3 = 1 6 AD. AD = = 9 DO. OB = + () () = 65 AO. CA = () + (3) = 1 5 AF. BE = 1 () + = AO. = + = 8 OC. AF = 1 + = OC. OB = + () = a) ( u ).( u + 3 v ) = ( u ). u + ( u ).( 3 v ) = ( u ² ) + 3 ( u. v ) = u ² + 6 ( u. v ) = 5 ² + 6 () = 38
5 ( 3 u + v ).( 3 u v ) = ( 3 u ) ² v ² = 9 ( u ² ) v ² = 9 u ² v = 9 5 ² 1 ² = 8. a) AI. AJ = ( + BI ).( AD + DJ ) =. AD +. DJ + BI. AD + BI. DJ. AD = car () (AD) Méthode de décomposition très classique en présence d'angles droits... On se rrouve avec quatre produits scalaires, mais qui sont tous dans les positions de base (vecteurs orthogonaux ou colinéaires).. DJ = DJ car = x x car J milieu de [CD] = x ² BI. AD = BI AD car BI = x x car I milieu de [BC] = x ² BI. DJ = car (BI) (DJ). On en déduit : AI. AJ = x ² + x ² = x ² DJ colinéaires de même sens AD colinéaires de même sens DI. AJ = ( DC + CI ).( AD + DJ ) = DC. AD + DC. DJ + CI. AD + CI. DJ DC. AD = car (DC) (AD) Donc : DC. DJ = DC DJ car DC = x x car J milieu de [CD] = x ² CI. AD = CI AD car CI = x x car I milieu de [BC] = x ² CI. DJ = car (CI) (DJ). DI. AJ = x ² x ² = Et on en déduit que DI DJ colinéaires de même sens AD colinéaires de sens contraires AJ sont orthogonaux, donc (DI) (AJ) sont perpendiculaires. 9. a) MT. SU = ( MS + ST ). SU = MS. SU + ST. SU MS. SU = MS. SR car R projé orthogonal de U sur (RS) = MS SR car = ( 13 x ) 13 = ( 13 x ) 13 MS SR colinéaires de sens contraires
6 ST. SU = ST. ST car T projé orthogonal de U sur (ST) On en déduit : Alors : = ST ² = 6 ² = 36 MT. SU = ( 13 x ) (MT) (SU) = x + 36 = 13x 133 MT MT. SU = 13x 133 = x = SU orthogonaux Les droites (MT) (SU) sont perpendiculaires si seulement si x vaut MT. MU = ( MS + ST ).( MR + ) = MS. MR + MS. + ST. MR + ST. MS. MR = MS MR car = ( 13 x ) x MS MR colinéaires de sens contraires MS. = car (MS) () ST. MR = car (ST) (MR) ST. = ST car On en déduit : Alors : = 6 6 = 36 MT. MU = ( 13 x ) x + 36 (MT) (MU) = x ² 13x + 36 MT MT. MU = x ² 13x + 36 = = (13)² 1 36 = 5 > donc il y a deux solutions qui sont ST MU orthogonaux (13) colinéaires de même sens = 9 (13) 5 1 =. Les droites (MT) (MU) sont perpendiculaires si seulement si x vaut 9 ou.
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