Mathématiques Seconde septembre Mathématiques. Table Des Matières

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1 Mathématiques Table Des Matières Expressions algébriques...1 Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Nombres et calculs...4 Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Équations, inéquations, problèmes...6 Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Table des matières

2 Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Fonctions, étude de fonctions...12 Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Fonctions de référence...17 Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Statistiques...27 Exercice Exercice Exercice Exercice Probabilités...30 Exercice Exercice Exercice Table des matières

3 Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Configuration du plan...34 Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Géométrie dans l'espace...36 Exercice Exercice Exercice Vecteurs...38 Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Trigonométrie...42 Exercice Grandeurs et mesure...43 Exercice Table des matières

4 Exercice 1 Expressions Algébriques On donne le programme de calcul suivant : (1) Choisir un nombre (2) Lui ajouter 1 (3) Calculer le carré de cette somme (4) Enlever 16 au résultat obtenu 1) Première partie : a) Vérifier que, lorsque le nombre de départ est 4, on obtient comme résultat 9. b) Lorsque le nombre de départ est -1, quel résultat obtient-t-on? c) Le nombre de départ étant x, exprimer le résultat final en fonction de x. On appelle P cette expression. d) Vérifier que P=x 2 + 2x 15 2) Deuxième partie : Exercice 2 a) Vérifier que (x 3)(x+ 5)= P b) Quels nombres peut-on choisir au départ pour que le résultat final soit 0? Justifier votre réponse. 1) Développer les expressions suivantes : A= x(x+5)+8(3+2 x) B= x 2(x 5) 8(3 2x) C=(2x 4)(5 4x) x(2x 5) D= ( 2x+ 3)(2x 6)+ 5x (2x+ 3)(4 2x) 2) Factoriser les expressions suivantes : exemple : E=(2x 3)(x+ 6)+ ( x + 6)(5 x) F =(4x 9)(2 5x) (3x+ 8)(2 5x) G=( 4 2x)(2x+ 7) 5(x+ 8)(4x 8) H =(x+ 1)² (x + 1)(5 x) I =(4x+ 7)(1 5x)+ (8x+ 14)(2x+ 3) J =(5x+ 2)² 5( x+ 7)(5x+ 2) Exercice 3 1) Développer les expressions suivantes : A=(5x+ 3 2 )² B=(2x 5 ) ² C=(2x 4)(2x+ 4) D=( 2x+ 3)² 3 2) Factoriser les expressions suivantes : E= x² 2x+ 1 F =25x²+ 20x+ 4 G=25x² 9 H =(2x+ 3)² 9 I =( x+ 1) ² 5 J =4x²+ 16 1

5 Exercice 4 Développer et réduire chacune des expressions algébriques suivantes. A= x 2 x x B=x 2 x x C= x x x D=a 2 a a E=(5 2x)(x 4) F =( x 4)²+ (3x+ 1)² G= x² (3x+ 1)² H =x( x+ 1)( x 3) Exercice 5 Factoriser chacune des expressions suivantes. A= x x 1 2x x 3 B= x 1 ² 4 x 1 x 5 C= x² 25 D=x x x E=4x² 20x 25 F =x² 3x 1 ² Exercice 6 Factoriser chacune des expressions suivantes. A= x² 4 x 2 2x 1 B= x 5 ² 2x 7 ² C= x 1 ² 2 x² 1 D=9x² 6x 1 E=4x² 20x 25 F =x² 2x 3 ² Exercice 7 On donne : D= 2x 3 5 x 2x 3 2 1) Développer et réduire D; 2) Factoriser D. 3) Résoudre l'équation : 2x 3 x 2 =0 Exercice 8 1) Soit : E=4x² 8x 5. Calculer E pour x= ) Soit F = 2x 2 ² 9. 3) Développer et réduire F. 4) Factoriser F. 5) a) Résoudre l'équation 2x 1 2x 5 =0. b) Quelles sont les valeurs de x qui annulent E? 2

6 Exercice 9 1) Écrire sous la forme d'un quotient les expressions suivantes : A=3 1 2x+ 7 B= 1 x + 2 x+ 3 C=2x 3+ 6 x D= 2x 6 x Exercice 10 Écrire sous la forme d'un quotient les expressions suivantes : 1) 1) A= x 1 x 4) D=2x x x 1 2) B=1 2 x 3 5) E= x 2 x 3 x 1 3) C= x 2 1 x 6) F =x 4 5 x 2 Exercice 11 Écrire sous la forme d'un quotient les expressions suivantes : 1) A= 1 x 1 x 5 4) D= 3 x x 1 x 1 2) B= 2 x 1 1 x 1 5) E= x 3 x 1 2 x 2x 4 3) C= 5 x 4 1 x 3 6) F = 5 2x x 2 2 x x 4 Exercice 12 Soit l'expression, algébrique : A= 2x 1 x 3 Montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme : 2 5 x 3 3

7 Exercice 13 Nombres Et Calculs Calculer et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible : 1) A= ) 3) C=( ) 5 2 4) Exercice 14 On considère les deux expressions suivantes : A= et B=( 3 2)( ) 1) Mettre A sous la forme a 6 avec a entier relatif. 2) Développer et réduire B Exercice 15 Écrire le nombre C ci-dessous sous la forme a b possible : C= , où a et b sont des nombres entiers, b étant le plus petit Exercice 16 Vérifier que D est un nombre entier : D= (10 3 ) Exercice 17 En précisant les différentes étapes de calcul : ) Écrire le nombre A ci-dessous sous forme d'une fraction irréductible : A= ) Écrire le nombre B ci-dessous sous la forme a b, où a et b sont des nombres entiers, b étant le plus petit possible : B= ) Donner l'écriture scientifique de C : C=

8 Exercice 18 1) On considère les deux expressions: A= B= et ) Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. 3) Vérifier que B est un nombre entier. Écrire les étapes du calcul. 4) Brice affirme que «A est l'opposé de B». Est-ce vrai? Justifier. 5) On considère les deux expressions : C= et D= ) Mettre C sous la forme a 6 avec a entier relatif. 7) Développer et réduire D. 5

9 Équations, Inéquations, Problèmes Exercice 19 Résoudre les équations suivantes : 1) x+ 3=0 2) 2 x+ 5=3 3) 4 6 x=7 4) 8 x 5= 3 5) x+ 5=9 6) 3 6 x= 8 Exercice 20 Résoudre les équations suivantes : 1) 2 3 x+ 5=4 2) 5 2 x+ 5 3 =4 3) x=5 2 x 7 3 4) x=4 5 x ) x 6 x 3 =5 3 6) 4 3 x 5 4 =x 1 12 Exercice 21 Résoudre les équations suivantes : 1) x (4x+ 1)=0 2) (2x+ 1)( x+ 3)=( x+ 3)(x 5) 3) (2x 3)² 25=0 4) (2x+ 3)² (5x 1)²=0 5) x² + 12=0 6) (3x+ 2)(x 5) (x+ 5)(x 5)=0 Exercice 22 Résoudre les équations suivantes : 1) (2x+ 3)² (5x 1)²=0 2) x² + 4x+ 4=( x+ 2)( x 1) 3) 5x+ 4=5( x+ 1) 3 4) (3x 5)( x+ 9)=0 5) x² + 10x+ 25=0 6

10 Exercice 23 Résoudre les équations suivantes : 1) 6x x =0 2) 2x+ 5 2x =8+ x x 3) x² x 4) 144 x² 5) (5x+ 7)(2x+ 1)=( x+ 3)(5x+ 7) Exercice 24 Résoudre les équations suivantes : 1) 4x 3 ²= 9 2x ² 2) 81 x² 3) 6x 1 ²= 6x 1 x 3 4) 25x² 20x 4=0 5) x² 3x 4 ²= x² 8x 4 ² Exercice 25 La puissance électrique P reçue par un conducteur ohmique de résistance R parcourue par un courant d'intensité I est égale à P = RI². La tension U est donnée par la formule : U=RI. Exprimer I et U en fonction de R et P. Exercice 26 Le volume V d'une pyramide dont l'aire de la base est B et la hauteur h est donnée par la formule : V = 1 3 Bh. 1) Exprimer B en fonction de V et de h. 2) Exprimer h en fonction d V et de B. Exercice 27 En physique, si deux résistances R 1 et R 2 sont montées en parallèle, alors la résistance équivalente R (celle qui 1 remplace les deux autres) est telle que : R = 1 1 R 1 R. 2 Exprimer R en fonction de R 1 et de R 2. 7

11 Exercice 28 ABCD est un trapèze rectangle tel que AD = 2, BC = 6, AB =12. C M est un point du segment [AB]. On note x la distance AM. 1) Exprimer les aires des triangles MAD et MBC en fonction de x. 2) Pour quelle valeur de x ces deux triangles ont-il la même aire? D A M B 3) Existe-t-il une valeur de x pour laquelle les trois triangles MAD, MBC et CMD ont la même aire? Exercice 29 La somme de trois entiers consécutifs est égale à 45. Quels sont ces entiers? Exercice 30 Sur la figure suivante, on a : (AB) et (CD) parallèles 15 A C x OA = 15 cm BD = 9,6 cm O x B 9,6 D OB = AC = x Calculer x Exercice 31 Un jardin rectangulaire dont la longueur est le double de la largeur a une aire de 162 m². Trouver ses dimensions. Exercice 32 Calculer x pour que l'aire du trapèze soit égale à celle du carré. 8 2x-9 Données : A trapèze = Exercice 33 (b+ B)h 2 Un terrain initialement carré a vu l'une de ses dimensions augmenter de 4 m et l'autre diminuer de 2 m. Résultat : son aire a augmenté de 78 m². Quel était le côté de ce carré? Exercice 34 Yves retranche 6 à son âge et double le nombre obtenu. Il obtient le même résultat s'il ajoute 25 à son âge. Quel âge a-t-il? Exercice 35 La longueur d'un rectangle est le double de sa largeur. Son aire est 450 m². Trouver les dimensions de ce rectangle. x 2 8

12 Exercice 36 Quand papa est né, grand-père avait l'âge de maman aujourd'hui. Si vous enlevez du carré de l'âge de mon grandpère, la somme des carrés des âges de mes parents, vous obtenez Quel est l'âge de mon cher grand-père? Exercice 37 Bart et Lisa marchent à 5 km.h -1 en ligne droite, à la rencontre l'un de l'autre. Au départ, 1 km les sépare. Bart libère Petit Papa Noël, son jeune chien, qui court vers Lisa à 15 km.h -1, puis, sans reprendre son souffle, revient vers Bart à 10 km.h -1, et ainsi de suite jusqu'à la rencontre. Quelle est la distance totale parcourue par le chien? Exercice 38 Homer a donné 230 à Bart pour s'acheter des jeux vidéos. Les jeux d'occasion coûtent 25 et les jeux neuf coûtent 55. Combien peut-il acheter de jeux? Exercice 39 Compléter le tableau suivant : 5< x 8 x є [-6 ; 9[ 11< x 2 9 x є ]3 ; + [ ]- ; 7[ x< 0 ]- ; 10] 9

13 Exercice 40 Résoudre les inéquations suivantes : Exercice 41 1) x+ 3< 0 2) 2 x ) 4 6 x> 7 4) 8 x 5 3 5) x+ 5< 9 6) 3 6 x> 8 Résoudre les inéquations suivantes : Exercice 42 1) 2 x 6<0 2) 2 x +5>3 3) 3 4 x> 9 4) 7 x 2< 6 5) x 7 9 6) 1 5 x 2 Dresser le tableau de signes des fonctions suivantes : Exercice 43 1) f ( x)=x 7 2) g ( x)=2 x+5 3) h( x)= 2 x+4 4) i( x)= 7 x 2 5) j( x)= 2 3 x 7 2 Résoudre les inéquations suivantes : 6) k (x)=1 5 x 1) (2x 6)(x+ 5)< 0 2) (x+ 5)(4x 9)> 0 3) (3 4 x)( x+ 3)> 0 4) (7 x 2)(4 5x) (x+ 5)(4 5x)< 0 5) ( x 7)² 25 0 Exercice 44 Résoudre les inéquations suivantes : 1) Exercice 45 x 5 x+ 4 < 0 2) 2x 5 x 3 > 0 3) 5 4 x x+ 4 < 0 4) 5 3 x 2x Résoudre les inéquations suivantes : 1) (2x 4)(3x 5) 0 2) (3x+ 7)(2x 5) 0 3) (8 4 x)(5x 3)< 0 4) (x 8)² (5x+ 5)(x 8)> 0 Exercice 46 Résoudre les inéquations suivantes : 1) 2x 5 4 3x 0 2) x 3 2x ) 4x+ 6 x ) (5 3 x)(3 2x) 0 2x+ 7 10

14 Exercice 47 1) 60 est-il solution de l'inéquation 2,5 x 75 76? 2) Résoudre l'inéquation et représenter les solutions sur un axe. Hachurer la partie de l'axe qui ne correspond pas aux solutions. 3) Pendant la période estivale, un marchand de glaces a remarqué qu'il dépensait 75 par semaine pour faire, en moyenne, 150 glaces. Sachant qu'une glace est vendue 2,50, combien doit-il vendre de glaces, au minimum, dans la semaine pour avoir un bénéfice supérieur à 76? On expliquera la démarche. 11

15 Fonctions, Étude De Fonctions Exercice 48 Soit la fonction f associée au réel x : f x = x 4 ² 3 1) Calculer f 0, f 4, f 3, f 2 3, f 2 2) Quelle est l'image de 2? de 4 5? de 1 2 3) Trouver le ou les antécédent(s) de 3. Exercice 49 Soit f la fonction définie sur R par : f x = x 1 ² 4. 1) Calculer les images de 2 5 ; 1 4 2) Justifier que 2 est un antécédent de -3 par f. 3) Déterminer les antécédents de 0 par la fonction f.? ; 2 et 3 1 par la fonction f. 12

16 Exercice 50 La courbe ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f. y f(x)=x^3-x-3 1 x ) Préciser les antécédents par f des réels suivants : -2, -3, 0 Exercice 51 La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f associée au réel x : f x = x 2 ² 1. 4 y f(x)=(x-2 )^ x ) Trouver graphiquement le(s) antécédent(s) de 0, vérifier par le calcul. 13

17 Exercice 52 y f(x)=0.5x^3-x^ x ) Quel est l'ensemble de définition de f? 2) Quelle est l'image de 2? 3) Quels sont les antécédents de 1? 4) Préciser le maximum pour f. 5) Pour quelles valeurs de x est-il atteint? 6) Préciser le minimum pour f. 7) Pour quelles valeurs de x est-il atteint? 8) Dresser le tableau de variation de f. Exercice 53 On donne le tableau de variation d'une fonction f. x f(x)

18 1) Quel est l'ensemble de définition de f? 2) Résoudre l'inéquation f x 1 3) Résoudre f x =4 4) Ce tableau permet-il de connaître f(0)? 5) Comparer f(2) et f(0). 6) Comparer f(-1) et f(1). 7) Peut-on comparer f(-2) et f(2)? 8) Préciser le minimum et le maximum pour f. En quel(s) point(s) est-il atteint? 9) Essayer de tracer une courbe pouvant correspondre à ce tableau. Exercice 54 La courbe ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f. y f(x )=x ^3-3 x x ) Quelle est l'image de -2? 3) Donner le ou les antécédent(s) de 3. 4) Résoudre graphiquement les équations suivantes : f x =1 f x =4 f x =0 5) Résoudre graphiquement les inéquations suivantes : f x 1 f x 4 f x 0 6) Indiquer le minimum et le maximum de f. Précisez en quels points ils sont atteints. 7) Dresser le tableau de variations de f. 15

19 Exercice y C D x ) Déterminer les images par f de -2; 2; 11. 2) Déterminer les antécédents par f de 3 et de -2. 3) Résoudre graphiquement f x =0 et f x =6. 4) Résoudre graphiquement l'inéquation f x 3 5) Résoudre graphiquement : f x =g x et f x g x Exercice 56 Donner le domaine de définition des fonctions suivantes : 1) f x =x² 3x 1 2) 5x x 1 ² 3) f x = 1 x 5) f x = 2 x 3 4) x 6) 2x 3 16

20 Exercice 57 Soit f un fonction vérifiant : f est définie sur [-10;10] ; f est croissante sur [-2;1] et sur [5;10], décroissante sur [-10 ;-2] et sur [1;5] ; 1 a pour image 4 ; les antécédents par f de 0 sont -2,2 et 10 ; le minimum de f est -2 et son maximum 5 ; f(0) = 2 Construire une courbe représentative possible de f. Exercice 58 Soit f un fonction vérifiant : f est définie sur [-12;8] ; f est décroissante sur [-12;-10] et sur [-5;0] et sur [5,8], croissante sur [-10 ;-5] et sur [0;5] ; 8 a pour image -2 ; les antécédents par f de 2 sont -10 et 5 ; le minimum de f est -4 et son maximum 6 ; f(-12) = 4 Construire une courbe représentative possible de f. 17

21 Fonctions De Référence Exercice 59 La station de ski Blanche neige propose les tarifs suivants pour la saison : Tarif A : Chaque journée de ski coûte 20 euros. Tarif B : En adhérant au club des sports dont la cotisation annuelle s'élève à 60 euros, on bénéficie d'une réduction de 30% sur le prix de chaque journée à 20 euros. 1) Yann est adhérant au club des sports de la station. Sachant qu'il a déjà payé sa cotisation annuelle, expliquez pourquoi il devra payer 14 euros par journée de ski. 2) Reproduire et compléter la tableau suivant : Nombre de jours de ski pour la saison Coût en euros avec le tarif A Coût en euros avec le tarif B 130 3) On appelle x le nombre de journée de ski durant la saison Exprimer en fonction de x: a) Le coût annuel C A en euros pour un utilisateur ayant choisi le tarif A. b) Le coût annuel C B en euros pour un utilisateur ayant choisi le tarif B. 4) Sachant que Yann adhérent au club a dépensé au total 242, combien de jours a-t-il skié? 5) Dans un repère orthogonal, prendre : en abscisses : 1 cm pour 1 jours de ski. en ordonnées : 1 cm pour 10 euros. On placera l'origine du repère en bas à gauche de la feuille, l'axe des abscisses étant tracé sur le petit côté de la feuille. Tracer dans ce repère les représentations graphiques des fonctions affines f et g définies par : f (x)=20x ; g x =14x 60 6) Dans cette partie, on répondra aux différentes questions en utilisant le graphique (faire apparaître sur le graphique les traits nécessaires). a) Léa doit venir skier douze journées pendant la saison Quel est pour elle le tarif le plus intéressant? Quel est le prix correspondant? 18

22 b) En étudiant les tarifs de la saison, Chloé constate que, pour son séjour, les tarifs A et B sont égaux. Combien de journées de ski prévoit-elle de faire? Quel est le prix correspondant? Vérifier par le calcul. Exercice 60 Déterminer une équation de la droite (AB) dans chacun des cas suivants : 1) A(1 ;-2) et B(-1;3) 2) A(2 ;-1) et B(2;3) 3) A(1;4) et B(-3;4) Exercice 61 Donner une équation de la droite D' passant par A et parallèle à D. 1) (D) : y=5x+2 et A(-1 ; 5) ; 2) (D) : 4x-3y+6=0 et A Exercice 62 Donner une équation de la droite parallèle à (AB) passant par C où A(3;0), B(6;3) et C(1;2). Exercice 63 On considère les droites D 1 et D 2 d'équations D 1 :3x-2y=4 et D 2 : y= 1 2 x+1 1) Prouver que les droites D 1 et D 2 ne sont pas parallèles ; 2) Calculer alors les coordonnées de leur point d'intersection. 19

23 Exercice 64 Rappel :Une fonction affine est définie sur R par f (x)=m x+ p, m et p étant deux réels. m est le coefficient directeur de la fonction et p est son ordonnée à la l'origine. La courbe ci-dessous est la représentation graphique C 1 d'une fonction f. y C x ) Représenter dans le même repère la représentation graphique C 2 de la fonction g(x) = -2x+4. 3) A est le point de coordonnées (2,0). Appartient-t-il à la courbe C 2? 4) Représenter dans le même repère la représentation graphique C 3 de la fonction h(x)= 2 x 2. Que remarquez-vous? 5) Par lecture graphique, déterminer les coordonnées du point d'intersection des courbes C 1 et C 3. 6) Vérifier votre résultat par le calcul. 20

24 Exercice 65 La courbe ci-dessous est la représentation graphique C 1 d'une fonction f définie par f (x)= 3 2 x+1 10 y j -2-1 O i x ) Donner l'équation de f. 2) Représenter dans le même repère la représentation graphique C 2 de la fonction g(x)= 1 2 x 3. 3) A est le point de coordonnées (2,-3). Appartient-t-il à la courbe C 2? 4) Représenter dans le même repère la représentation graphique C 3 de la fonction h(x)= 2 x+4. Que 3 remarquez-vous? 5) Par lecture graphique, déterminer les coordonnées du point d'intersection des courbes C 1 et C 3. 6) Vérifier votre résultat par le calcul. 21

25 Exercice 66 La courbe ci-dessous est la représentation graphique C 1 et C 2 d'une fonction f et d'une fonction g. 1) Donner l'équation de f et de g. 2) A est le point de coordonnées (2,2). Appartient-t-il à la courbe C 1? A la courbe C 2? C 2 y 3) B est le point de coordonnées (-1, 7 ). Appartient-t-il à la courbe 2 C 1? A la courbe C 2? 4) Calculer les coordonnées du milieu M de [AB]. 5) Représenter dans le même repère la représentation graphique C 3 de la fonction h( x)= 1 2 x +2. C 1 x 6) Par lecture graphique, déterminer les coordonnées du point d'intersection des courbes C 1 et C 3. Vérifier par le calcul. 7) Dresser le tableau de variations de la fonction f. 8) Dresser le tableau de signes de la fonction f. 9) Dresser le tableau de signes de la fonction g. 10) Dresser le tableau de signes de la fonction h. 22

26 Exercice 67 La courbe ci-dessous est la représentation graphique C 1 et C 2 d'une fonction f et d'une fonction g. 1) Donner l'équation de f et de g. y 2) A est le point de coordonnées (2,2). Appartient-t-il à la courbe C 1? A la courbe C 2? 3) B est le point de coordonnées (-1, 7 2 ). Appartient-til à la courbe C 1? A la courbe C 2? B 2 3,5 A 4) Calculer les coordonnées du milieu M de [AB]. 5) Représenter dans le même repère la représentation graphique C 3 de la fonction h( x)= 4 5 x x 6) Par lecture graphique, déterminer les coordonnées du point d'intersection des courbes C 1 et C 3. Vérifier par le calcul. 7) Dresser le tableau de variations de la fonction f. 8) Dresser le tableau de signes de la fonction f. 9) Dresser le tableau de signes de la fonction g. 10) Dresser le tableau de signes de la fonction h. Exercice 68 Soit f la fonction définie sur R par : f x = x 4 ² 1. 1) Factoriser f(x), puis développer et réduire f(x). 2) En utilisant la forme la plus adaptée, calculer f 5, f 2 et f 0, puis résoudre l'équation f x =0. Exercice 69 Soit f la fonction définie sur R par : f x = 3x 1 ² 49. 1) Développer et réduire f(x). 2) Factoriser f(x). 3) En choisissant la formule la plus adaptée : a) Calculer f 0, f 1 3 et f 2. b) Résoudre l'équation f x =0 c) Résoudre l'équation f x = 48 23

27 Exercice 70 Soit f la fonction définie sur R par : f x =x² 8x 15 1) Montrer que : f x = x 4 ² 1. 2) En déduire une forme factorisée de f(x). 3) Utiliser la forme la plus adaptée de f(x) pour répondre aux questions suivantes. Exercice 71 a) Calculer f 3. b) Résoudre l'équation f x =0. c) Calculer f 4 et montrer que, pour tout réel x : f x 1. En déduire que f admet un minimum sur R. Soit f la fonction définie sur ]1;+ [ par : f x =2 1 x 1. 1) Montrer que f(x) peut aussi s'écrire : 2) f x = 2x 3 x 1 ou f x =x 3 x² x 1 3) Représenter graphiquement f sur votre calculatrice. 4) En utilisant la forme la plus adaptée : a) Résoudre l'équation f x =0. b) Montrer que f x 2 pour tout réel x de ]1;+ [; c) Montrer que f x x 3 pour tout réel x de ]1;+ [; 24

28 Exercice 72 Soit f la fonction définie sur R par : f x =9 x 2 ². On note C sa représentation graphique dans le plan. 1) Développer et réduire f(x), puis factoriser f(x). 2) Représenter graphiquement f sur votre calculatrice. 3) Déterminer les coordonnées du point d'intersection de C avec l'axe des abscisses. 4) Déterminer les coordonnées du point d'intersection de C avec l'axe des ordonnées. 5) Montrer que tous les points de C d'abscisse supérieure à 1 sont situés au-dessous de l'axe des abscisses. 6) Montrer que tous les points de la courbe C ont une ordonnée inférieure ou égale à 9. Exercice 73 On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = (x-1)² +4 1) Étudier les variations de la fonction f sur R 2) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur R 3) Montrer que la fonction f admet un extremum (on précisera sa valeur et en quel point il est atteint) 4) Représenter la fonction f sur [-5;7] (vous choisirez une unité adaptée) 5) La courbe de f possède-t-elle un axe ou un centre de symétrie? Précisez. Exercice 74 On considère la fonction g définie sur R par : g x = 4 x 3 1 1) Donner l'ensemble de définition de g 2) Étudier les variations de la fonction g sur son ensemble de définition 3) Dresser le tableau de variations de la fonction g 4) Représenter la fonction g sur [-11;7] 5) La courbe de g possède-t-elle un axe ou un centre de symétrie? Précisez. Exercice 75 Donner l'allure des courbes représentatives des fonctions ci-dessous (vous justifierez brièvement comment vous les obtenez à partir des courbes représentatives des fonctions carrées et de la inverses). F x = x 4 ² 2 ; G x = 2 x 1 ² 3 2 ; H x = 1 2x 3 1 ; I x = 3 x 1 5 Exercice 76 On considère les fonctions : f x = x 1 x 2 et g x =5 2x 3 4x 7 ; écrire f et g sous la forme : a b x c 25

29 Exercice 77 Dans une région, lorsqu'il y a une multitude de lièvres, les renards sont bien nourris et leur population augmente. Lorsque les renards sont devenus nombreux, ils mangent trop de lièvres et la population de lièvre est rapidement décimée... On a établi que, sur une période allant de t=0 à t=18 ans, la population de lièvres est donnée par f (x)= 5,5 t ²+ 88t ) A l'aide de la calculatrice, trouver à quel moment m cette fonction atteint un maximum. 2) Exprimer f(t) f(m) en fonction de t et démontrer la conjecture faite. 3) Déterminer à quel moment la population de lièvres est de nouveau égale à celle observée en t = 0. 4) On admet que f change de variations en m; dresser son tableau de variations. 5) Dans un repère orthogonal bien choisi, représenter cette fonction f. Exercice 78 On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = -2(x+3)² +5 1) Étudier les variations de la fonction f 2) Dresser le tableau de variations de la fonction f 3) Tracer la courbe représentative de la fonction f sur [-6;0] dans un repère orthonormé 4) Montrer que la fonction f admet un extremum (on précisera sa valeur et en quel point il est atteint) 5) Déterminer le(s) antécédent(s) éventuels de -6 par f 6) Résoudre f(x)>-4 7) On considère les points A (2;1) et B (0;-21). déterminer l'expression de la fonction affine g dont la représentation graphique passe par A et B; puis la représenter sur la graphique. 8) Déterminer l'équation de la médiatrice de [AB] Exercice 79 a) Développer : (x-1)(2x+3) b) Résoudre g x f x 1) Soit l'expression A= 3x 2 ² 16 a) Développer A b) Factoriser A 2) f est la fonction définie sur R par f x = 3x 2 ² 16 a) Calculer les images de 0; -1 et 3 b) Déterminer par le calcul, s'ils existent, les antécédents de 0; -16 et -25 c) Pour quelles valeurs de x cette fonction est-elle positive? 3) Comment peut vérifier ces calculs avec la calculatrice 26

30 Exercice 80 Démontrer que la fonction f (x)= 5 x est décroissante sur [-3;0[ et décroissante sur ]0;5] Exercice 81 Démontrer que la fonction g( x)= 5(x+ 3) ² est croissante sur [-5;-3[ et décroissante sur ]-3;5] 27

31 Statistiques Exercice 82 Voici les notes de mathématiques d'une classe de seconde : ) Rassembler ces données par notes croissantes en indiquant l'effectif de chaque note. Calculer les effectifs cumulés croissants. Calculer la fréquence chaque note. Notes Effectifs Effectifs cumulés croissants Fréquences 2) Quel est l'effectif total de ce groupe? 3) Déterminer la note médiane. 4) Déterminer la valeur du premier quartile et du troisième quartile de cette série. 5) Déterminer son étendue et son mode. 6) Calculer la moyenne en maths de cette classe. Arrondir le résultat à 0,1 près. 7) Vérifier vos réponses à l'aide de la calculatrice. 8) On choisit au hasard une copie. Quelle est la probabilité que la note de cette copie soit supérieure ou égale à 10? 9) Représenter cette série statistique à l'aide d'un diagramme en bâtons. 28

32 Exercice 83 Les durées (en seconde) des communications d'un standard téléphonique sont regroupées en classes de même amplitude. On a représenté (ci-contre) le polygone des effectifs cumulés croissants de cette série. 1) Faire apparaître, dans un tableau, les classes, les effectifs et les fréquences de cette série. 2) Préciser la classe modale de la série et son étendue; déterminer Exercice 84 graphiquement sa médiane et calculer sa moyenne. Donner une interprétation de ces paramètres. La distribution des salaires d'une entreprise a été rassemblée dans le tableau suivant : Tranches de salaires [800;1100[ [1100;1500[ [1500;2000[ [1800;2500[ [2500;3500[ [3500;6000[ effectif ) Quel est l'effectif total de ce groupe? 2) Déterminer la tranche de salaire médiane. 3) Déterminer la valeur du premier quartile et du troisième quartile de cette série. 4) Déterminer son étendue et son mode. 5) Calculer la moyenne des salaires. Arrondir le résultat à 0,1 près. 6) Vérifier vos réponses à l'aide de la calculatrice. 29

33 Exercice 85 Un laboratoire de physique nucléaire a réalisé 20 mesures de la masse d'un électron au repos (en kg) : masse 9, , , , , , ,10962 effectif Effectifs cumulés croissants fréquences 1) Remplir le tableau ci-contre 2) Quel est l'effectif total de ce groupe? 3) Déterminer la masse médiane. 4) Déterminer la valeur du premier quartile et du troisième quartile de cette série. 5) Déterminer son étendue et son mode. 6) Calculer la moyenne des masses. Arrondir le résultat à 10-6 près. 7) Vérifier vos réponses à l'aide de la calculatrice. 30

34 Probabilités Exercice 86 Au stand d'une fête foraine, un jeu consiste à tirer au hasard un billet de loterie dans un sac contenant exactement 180 billets. 4 de ces billets permettent de gagner un lecteur MP3. 12 permettent de gagner une grosse peluche. 36 permettent de gagner une petite peluche 68 permettent de gagner un porte-clés. Les autres billets sont perdants. Quelle est la probabilité pour un participant : 1) de gagner un lecteur MP3? 2) De gagner une peluche (grande ou petite)? 3) De ne rien gagner? Exercice 87 Un jeu est organisé. On dispose de deux sacs : le sac A contient 3 boules rouges et 2 boules blanches. Le sac B contient 4 boules rouges et 1 boules blanches. Le joueur lance une pièce de monnaie bien équilibrée. S'il obtient un PILE, il tire dans le sac A et s'il obtient FACE, dans le sac B. Il gagne s'il obtient une boule blanche. On cherche à connaître la probabilité pour que le joueur gagne. 1) Construire un arbre pondéré traduisant la situation. 2) Calculer la probabilité que le joueur gagne. 31

35 Exercice 88 Un portefeuille contient 3 billets de 10, 2 billets de 20 et un billet de 50. On choisit successivement, au hasard et sans remise 2 billets dans le portefeuille. 1) Modéliser la situation par un arbre pondéré. 2) Quelle est la probabilité d'obtenir d'abord un billet de 10 et ensuite un billet de 20? 3) Quelle est la probabilité que les billets choisis aient une valeur total de 30? 4) Quelle est la probabilité que l'un des billets obtenu soit celui de 50? 5) La somme des valeurs des billets choisis peut prendre 5 valeurs différentes. Lesquelles? Quelle est la probabilité d'obtenir chacune de ces valeurs? 6) En moyenne, quelle est la somme obtenue en choisissant deux billets? Exercice 89 Une usine fabrique des lecteurs MP3. A l'issue de la chaîne de montage, les lecteurs sont testés (mais le test n'est pas infaillible). On sait que : 5% des lecteurs sont défectueux. 7% des lecteurs sont rejetés lors du test. 90% des lecteurs ne sont ni défectueux, ni rejetés lors du test. On choisit au hasard un lecteur construit par l'usine. On note R l événement «le lecteur est rejeté lors du test», R son contraire. On note D l événement «le lecteur est défectueux» (et D son contraire). 1) Modéliser la situation à l'aide d'un tableau à double entrée. 2) Décrire en français puis donner la probabilité des événements suivants : D, R D, D R. 3) Exprimer mathématiquement puis calculer la probabilité des événements suivants : a) «le lecteur n'est pas rejeté» b) «le lecteur n'est pas défectueux et il est rejeté par le test» 4) Le test est erroné (événement E) s'il rejette un lecteur non défectueux ou s'il ne rejette pas un lecteur défectueux. Calculer P(E). 5) On choisit au hasard 3 lecteurs. Le nombre de lecteurs est assez grand pour que l'on assimile ce choix à un tirage avec remise. Quelle est la probabilité qu'aucun ne soit défectueux? Quelle est la probabilité qu'au moins un le soit? 6) On achète un lecteur (pas rejeté par le test). Quelle est la probabilité qu'il soit défectueux? 32

36 Exercice 90 Un lycée compte 240 élèves en Seconde, parmi lesquels 130 sont demi-pensionnaires. Ces élèves étudient chacun une langue. 66 élèves étudient l'anglais, 30 % des élèves l'allemand, dont 40 demi-pensionnaires. 25 % des élèves sont des demi-pensionnaires qui étudient l'espagnol. 1) Reproduire et compléter le tableau suivant : Anglais Allemand Espagnol Total Demipensionnaires 130 Externes Total ) Un élève est choisi au hasard parmi les 240 élèves de Seconde. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : A : «l'élève étudie l'anglais» ; B : «l'élève est externe» ; C : «l'élève est externe et étudie l'anglais» ; D : «l'élève n'étudie pas l'espagnol» ; E : «l'élève est demi-pensionnaire et n'étudie pas l'espagnol». Exercice 91 D'un jeu de 32 cartes, on tire une carte au hasard. Quelle est la probabilité de chacun des événements suivants : A : «la carte est un cœur» ; B : «la carte est une carte rouge» ; C : «la carte est un roi» ; D : «la carte est un roi noir» ; E : «la carte est un valet rouge». F : «la carte n'est ni un as, ni un roi, ni une dame». 33

37 Exercice 92 Une urne contient 3 boules bleues, 5 boules rouges et 2 boules vertes. On tire une boule au hasard dans cette urne et on suppose que toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées. On considère les événements suivants : B : «la boule tirée est bleue» ; R : «la boule tirée est rouge» ; V : «la boule tirée est verte» ; 1) Quelle est la probabilité de chacun de ces événements? 2) Quelle est la probabilité de chacun de leurs événements contraires? 3) Comparer les probabilités des événements B R et V Exercice 93 Dans un lycée, il y a 120 élèves en Seconde, à qui l'on propose deux options sportives : basket et natation, toutes deux facultatives. 60 élèves choisissent une seule option. On sait que 30 élèves sont inscrits en basket et 40 en natation. On choisit au hasard un élève de Seconde. 1) Quelle est la probabilité de chacun des événements suivants : N : «il pratique la natation» B : «il pratique le basket» N B puis N B? 2) Quelles sont les probabilités de chacun de leurs événements contraires? Comparer p( N B) et p( N B) 34

38 Configuration Du Plan Exercice 94 Sur la figure ci-contre, ABC est un triangle équilatéral A le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC le point D est le point diamétralement opposé au point B sur ce cercle 1) Quelle est la nature du triangle ABD? Justifier. B O C D 2) Quelle est la mesure de l'angle ÂDB? Justifier. Exercice 95 L'unité de longueur est le centimètre. ABC est un triangle tel que AB=9; AC=15; BC=12. 1) a) Démontrer que ABC est rectangle en B. b) Tracer en vraie grandeur le triangle ABC sur la copie. 2) E est le point du segment [AB] tel que AE=3. 3) F est le point du segment [AC] tel que AF=5. a) Placer les points E et F sur la figure. b) Démontrer que la droite (EF) est parallèle à la droite (BC). 4) Calculer l'aire du triangle AEF. Exercice 96 Soit ABCD un parallélogramme. Les bissectrices des angles DAB et ÂBC se coupent en O. 1) Démontrer que le triangle AOB est rectangle. 2) E est le point d intersection de (BO) et (AD). Démontrer que AE = AB. 3) Quelle condition sur le quadrilatère ABCD doit on ajouter pour que OA = OB? Exercice 97 Soit ABC un triangle, I et J les milieux respectifs de [AB] et [AC] et H le pied de la hauteur issue de A. 1) Démontrer que (IJ) est la médiatrice de [AH]. 2) En déduire que l orthocentre d un triangle est le centre du cercle circonscrit au triangle formé par les milieux de ses côtés. 35

39 Exercice 98 Soit O, I et J trois points deux à deux distincts, et K le point d intersection de la parallèle à (OI) passant par J avec la parallèle à (OJ) passant par I. Montrer que le repère (O ; i, j) est orthonormé si et seulement si OIKJ est un carré. Exercice 99 On sait que : EO=5 cm, OC=3 cm et OA=6 cm. Les points E, O et C sont alignés. Les triangles ENO et OCA sont respectivement rectangles en E et en C. La droite (AO) coupe la droite (NE) en S. 1) Montrer que, en cm la mesure de [AC] est 3 3. a) Montrer que les droites (NS) et (AC) sont parallèles. b) Calculer les valeurs exactes de OS et de ES. 2) Calculer ON sachant que NOE =30. 3) Arrondir au mm. a) Calculer l'angle COA. b) Démontrer que le triangle SON est rectangle. 36

40 Géométrie Dans L'espace Exercice 100 Pour la pyramide SABCD ci-dessous : La base est le rectangle ABCD de centre O. AB=3 cm et BD=5 cm. La hauteur [SO] mesure 6 cm. 1) Montrer que AD=4 cm. 2) Calculer le volume de la pyramide SABCD en cm 3. 3) Soit O' le milieu de [SO]. On coupe la pyramide par un plan passant 4) par O' et parallèle à sa base. Exercice 101 a) Quelle est la nature de la section A'B'C'D' obtenue? b) La pyramide SA'B'C'D' est une réduction de la pyramide SABCD. Donner le rapport de cette réduction. c) Calculer le volume de la pyramide SA'B'C'D'. a) Les droites (AS) et (CS) sont-elles coplanaires? b) Les droites (AB) et (A'B') sont-elles coplanaires? c) Les droites (BD) et (B'D') sont-elles coplanaires? d) Les droites (AB) et (B'D') sont-elles coplanaires? On a représenté la modélisation d'un sablier ci-dessous, composé de deux cônes identiques. On sait que h = OO' = 10 cm et que SA = 6,04 cm. On note r = OA. Calculer le volume total du sablier. On donnera une valeur approchée a 10-2 près. 37

41 Exercice 102 ABCDA'B'C'D' est un cube de côté a. Choisissons le repère orthogonal (D ' ; i, j, k) tel que : D ' D=a i, D ' C '=a j et D' A'=a k 1) Quelles sont, dans ce repère, les coordonnées des sommets du cube? 2) Calculer les coordonnées de F milieu de [AB] 3) Calculer les coordonnées de G centre du cube 38

42 Vecteurs Exercice 103 On considère M tel que : 2 MA MB=3 AC 3 AB Exprimer Exercice 104 AM en fonction de AB et AC. On considère M tel que : 2 MA MB=3 AC 3 AB Exprimer AM en fonction de AB et AC. Exercice 105 Soit ABC un triangle et les points N et P vérifiant : 1) Placer les points N et P. AN = 3 AB 4 BC et AP= 1 AB 2 2 AC 2) Exprimer AN en fonction de 3) Déterminer k tel que AN =k AP AB et AC 4) Qu'en déduisez-vous pour les points A, P, et N? Exercice 106 Soit ABC un triangle et les points N et P vérifiant : 1) Placer les points N et P. AN = 3 AB 4 BC et AP= 1 AB 2 2 AC 2) Exprimer AN en fonction de 3) Déterminer k tel que AN =k AP AB et AC 4) Qu'en déduisez-vous pour les points A, P, et N? Exercice 107 Dans un repère orthonormal, on considère les points A(2;1); B(-1;3); C(5;-4) 1) Calculer AC 2) Calculer les coordonnes de I milieu de [BC] 3) Calculer les coordonnées de M vérifiant AM = 1 AC 2 4) Déterminer les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme. 39

43 Exercice 108 Soit les vecteurs IJ 7 ; 3 et MN 4 ;a Déterminer a pour que (IJ) et (MN) soient parallèles. Exercice 109 Dans le plan muni d un repère orthonormé d unité 1 cm, on considère les points A(3; 2), B( 2; 1) et C( 1; 5). 1) Faire une figure que l on complétera au fur et `à mesure. 2) Placer le point M défini par AM =2 AB AC. Calculer les coordonnées de M. 3) Placer le point N tel que BN = CA. Calculer les coordonnées de N. Quelle est la nature de BNAC? 4) Soit I le milieu de [CN]. Démontrer que les droites (AI) et (MN) sont parallèles. Exercice 110 Dans un repère orthonormé (O ; i, j), on a A(3;1) ; B(3;4) ; J(0,1) et K(0,4). 1) Calculer les coordonnées des milieux de [BJ] et [AK], interpréter. 2) Calculer les distances BK et AJ et interpréter. 3) Calculer la distance AB et en déduire que ABKJ est un carré. Exercice 111 Dans un repère orthonormé (O ; i, j), on a A(4;3), B(2;1), C(2 ;5) et D(0;3). 1) Calculer les coordonnées des milieux de [BC] et [AD], interpréter. 2) Calculer les distances BC et AD et interpréter. 3) Calculer les distances AC et AB et en déduire que ABDC est un carré. 40

44 Exercice 112 Dans le plan muni d un repère orthonormé (O ; i, j), on considère les points A(2; 5), B( 4; 1), C( 5; 6) et I( 1; 2). 1) Représenter au verso les points A,B,C, I, le segment [AB] et la droite (CI). 2) Démontrer que les droites (AB) et (CI) ne sont pas parallèles. Que peut-on en déduire? 3) Calculer les coordonnées des vecteurs AI et IB. 4) En déduire que la droite (CI) coupe [AB] en son milieu. 5) Calculer les normes des vecteurs CA et CB. 6) En déduire que la droite (CI) coupe le segment [AB] perpendiculairement. 7) Que peut-on déduire des questions 4 et 6? 8) Soit M(x; y) où x et y sont des nombres réels. Exprimer les coordonnées du vecteur IM en fonction de I. Calculer les coordonnées de CI. 9) Donner une égalité qui traduise la colinéarité des vecteurs CI. En déduire une condition nécessaire et suffisante sur x et y pour que I, M et C soient alignés. Exercice 113 Soit ABCD un parallélogramme. Soit I le milieu de [DC]. Soit les points M et N. tels que AN =3 AD. AM = 3 2 AB et 1) Faire une figure complète et soignée. 2) a) Écrire deux égalités de vecteurs équivalentes à «ABCD parallélogramme». b) Écrire deux égalités de vecteurs équivalentes à «I milieu de [DC]». 3) Démontrer : MN = 3 2 AB+3 AD. 4) a) Montrer que BI = 1 2 DC+3 AD. En déduire une expression de BI en fonction de AB et AD. b) Démontrer que les droites (MN) et (BI) sont parallèles. 5) a) Montrer que CN = AB+2 AD b) En utilisant aussi la question 3 en déduire que M, N et C sont alignés. 41

45 Exercice 114 1) Placer l'image D du point B par la translation qui transforme A en C. 2) En laissant les traits de construction, construire le point R image de M par la translation de vecteur PN M P 3) Les quadrilatères et sont par construction des Exercice ) Construire un parallélogramme EFGH qui ne soit ni rectangle, ni un losange. 2) Recopier et compléter EF+ FG = E... puis EF+ EH = E... 3) Construire le point M tel que EM+ EF= EG 4) Quelle est l'image du point G par la translation de vecteur EF? Justifier la réponse. N 42

46 Trigonométrie Exercice 116 L'unité est le radian. Soit le cercle trigonométrique et le repère Placer les points extrémités des arcs 2 Π 3 ; Π 3 ; Π 4 ; Π 3 ; AM de mesures : 2 Π 3 ; 7 Π 4 O ; OA, OB. Compléter le tableau : x 2Π 3 Π 3 Π 4 0 Π 4 Π 3 2 Π 3 7 Π 4 7 Π 3 8 Π 3 cos x sin x 43

47 Grandeurs Et Mesure Exercice 117 1) Un TGV parcourt le trajet Paris - Lyon, qui représente une distance de 430 Km, en 2 heures. Calcule la vitesse moyenne du TGV en Km/h, puis en m/s. 2) Un cycliste roule à une vitesse moyenne de 20 Km/h. Combien de temps met-il pour parcourir les 30 Km qui séparent Cannes de Nice. 3) Évalue la distance d un orage a) Calcule la durée qui sépare les manifestations de l éclair et du tonnerre pour une personne située à 3.4 Km d un orage. b) Déduis-en une méthode pour évaluer facilement la distance d un orage. Données : vitesse moyenne du son dans l air : 340 m/s vitesse moyenne de la lumière dans l air : m/s 44