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1 Corrigé Devoir Libre n 6 (Pr Mmouni) Inégrion MP- Blgue du jour Un élève jee un vion en ppier qui ombe coé du prof Celui-ci le rmsse e se reourne Tu es nul en mhs e u ne sis même ps fire un vion en ppier! Donne-moi une feuille, je vis pprendre u moins une chose dns l nnée Gsprd Monge (746-88) Mhémicien frnçis don l œuvre considérble mêle géomérie descripive, nlyse infiniésimle e géomérie nlyique Il joue un grnd rôle dns l Révoluion frnçise, n du poin de vue poliique que du poin de vue de l insurion d un nouveu sysème éducif : il pricipe à l créion de l École normle, de l École polyechnique de l École d rs e méiers Mhémicien du jour Première prie Au voisinge de : On si que e ++o(), donc e e b b +o() b inégrble u voisinge de ( Au voisinge de : On si que e o ), donc e e b ( ) o 2 inégrble u voisinge de b I(,b) I(b,), rés éviden Posons : u, donc : e e b e u e b u ( I(,b) d du I, b ) u c i L pplicion : f : (,) e e es coninue sur [,[ R en n que somme, rppor de foncions coninue, qui ne s nnule ps En (,) on : f(,) coninue, donc f es coninue sur [, [ R D ure pr : pour [,b] [,[ on : e e e e e e b qui es coninue, inégrble sur ], [, donc ϕ es coninue sur [,[ ii Pour [,b] [,[ on : f e e coninue, inégrble sur [,[ Donc ϕ es de clsse C sur [,[, vec ϕ () e d iii D és le risonnemen fi dns l quesion précédene, on : ϕ (), donc ϕ() ln+k, or ϕ(), d où K e donc ϕ() ln 69

2 d Si b, lors b, donc I(,b) I(, b ( ) b ) ϕ ln Si b, lors, donc : b I(,b) I(b,) I(, ( b ) ϕ ( ) b b Conclusion : I(,b) ln ) ( ( ) b ln ln b) 2 Au voisinge de : on si que ln(+) +o(), d où ln(+), donc ln(+) ( ) b mmounimyismil@gmilcom inégrble u voisinge de es inégrble sur ], ] b Posons n ( )n, on lim n+ n+ n n, donc le ryon de convergence de l série ( ) n n+ n n es égl à, don l somme es ln(+), puisqu il s gi de son développemen en série enière c Pour [,] fié, on vérifie fcilemen que l série ( ) n n+ n es une série lernée, donc n vérifie le crière spécil, en priculier l mjorion du rese pr son ér erme, donc ( ) k k+ k k n ( ) n n+ n, donc le rese converge uniformémen vers, e pr suie l convergence de l série n+ sur [,] es uniforme d ln(+) d n n ( ) n n+ n d D prés 22 ( ) n n+ n d Cr l convergence es uniforme sur [,] ( ) n (n+) 2 n p n (2p+) 2 p (2p+2) 2 On divise l somme en deu n 2p,n 2p+ n 2 (2p) 2 (2p+2) 2 n Cr n 2 p n 2 2 p n 2 2 n 2 n Cr π2 2 n p (2p) 2 p (2p) 2 (2p+2) 2 p p 2 n 2 p p p 2 Deuième prie 7

3 g es de clsse C, en n que primiive de f qui es coninue On ψ(f)() g() pour >, donc ψ es coninue sur R+ mmounimyismil@gmilcom Pour, le héorème des ccroissemen finie, donc g() g() g (c) vec c compris enre e, d où ψ(f)() f(c) f() ψ(f)() cr g() e g f coninue, donc ψ(f) es coninue sur R +, uremen di ψ(f) E b lim f() λ ε >, A > el que f() λ ε 2 ϕ() λ f()d λ f()d λd (f() λ)d A f() λ d f() λ d+ A K + f() λ d K + A ε 2 d K + A ε 2 A f() λ d A, donc pour A on : K + ε A cr 2 K ε cr lim L réciproque es fusse, prenons pour conre-eemple l foncion f() cos, on : ψ(f)() sin qund, lors que lim cos n eise ps c lim f() B >, A > el que f() B ) 2 ϕ(f)() Donc lim d ( A f()d + f()d A (K+ B2 ) ( A) K + A B 2 K B cr lim + A ψ(f)() B 2 B 2 A, donc i Dns ψ(h) on v uiliser une inégrion pr prie, en posn u,v f, donc u,v g, d où : ψ(h)() f()d ( ) [g()] g()d g() g()d g() ψ(g)() ii f es inégrble sur [,[, donc g() f()d dme une limie finie en, d prés l quesion 2) ψ(h) dme ussi l même limie en, or ψ(h) g ψ(g), donc lim ψ(h)() L réciproque n es ps oujours vrie, prenons pour conre-eemple f() e, non inégrble u voisinge de, cr e, lors que ψ(h)() e d ( e ), qund 7

4 e f e, donc ψ( f)() f()d D ure pr : en uilisn l inéglié de Cuchy-schwrz pour e f, on ur : f()d d f()d f()d ψ(f) On ur églié, s il y églié dns l inéglié de Cuchy-schwrz pour e f, donc s ils son proporionnels, c es à dire f es consne 2 Il es clir que ψ(f+λg) ψ(f)+λψ(g), n oubliez ps de le menionner pour, donc ψ es linéire D ure pr d prés ) ψ(f) E, f E, donc ψ es un endomorphisme de E b f Ker (ψ) ψ(f)(), > g() f()d, > g () f(), Donc ψ es injecive c D prés ) on peu ffirmer que ψ(f) es de clsse C sur R+, donc oue foncion de E qui ne l es ps ne peu ps êre de l forme ψ(f), c es à dire n dme ps d nécédn, donc ψ n es ps surjecive F() es un eemple de foncion de E qui n es ps de clsse C sur R+, cr non dérivble en 3 Il s gi d une équion différenielle linéire du ér ordre à coéfficiens non consn, don l soluion es : λ f() Ke λ d Ke λ λ ln K λ λ b fesprolongebleen + si e seulemen si limf()esfiniesi e seulemen si λ si e seulemen si λ λ 4 ne peu ps êre une vleur propre de ψ cr elle es injecive b Soi f E non nulle elle que ψ(f) µf, donc f ψ(f) cr µ d prés 4) De plus d prés µ ) on peu ffirmer que ψ(f) es de clsse C sur R+, donc f ussi c Soi λ vleur propre de ψ e f veceur propr ssocié, donc ψ(f)() λf(), d où en dérivn cee églié on obien : λf ()+(λ )f(), don les soluions son : f() K λ λ, dérivbles sur ],[ pour ou λ ],] Troisième prie Pour ou segmen [,b] R +, on d prés l inéglié de Cuchy-Schwrz : Donc fg es inégrble sur R + f()g()d b M f 2 ()d b f 2 ()d g 2 ()d g 2 ()d f()d λf(), b Il es clir que l pplicion nulle es de crré inégrble, donc pprien à E 2, d ure pr, soi (f,g) E 2,λ R, lors : 72

5 (f+λg) 2 f 2 +2λfg+g 2 cr f 2,fg,g 2 son oues inégrbles, donc f+λg E 2 e pr suie E 2 es un sous-espce vecoriel de E c Symérie : (f,g) f()g()d g()f()d (g, f) Bilinérié : (f+λg,h) (f,h)+λ(g,h), cr l inégrle es linéire, d où l linérié à guche, à l ide de l symérie on conclu l bilinérié Posiive : (f,f) Définie : (f,f) f 2 ()d f 2 ()d f 2, cr f 2 coninue posiive, donc f g 2 2 () g()ψ(f)() g()ψ(f)(), qund +, cr g e ψ(f) son coninues sur R + e g() g 2 () b 2 (ψ(f)()) 2 (ψ(f)()) 2, qund +, cr ψ(f) es coninue sur R +, donc g2 () 2 es inégrble sur ],b] cr prolongeble pr coninuié en + D ure pr : ψ(f) 2 g 2 () ()d 2 d, pr définiion de ψ(f), pour l ure églié on v uiliser une g 2 () 2 d inégrion pr pries, vec u g 2 (),v 2, donc u 2g ()g() e v, d où : [ ] b g2 () b g ()g() +2 d c Si g2 (b) b +2 g 2 () cr : lim + g2 (b) b b +2 g ()g() d f()ψ(f)()d cr : g () f(), g() ψ(f)() ψ(f) 2 ()d 2 2 b f()ψ(f)()d D prés () f 2 ()d b ψ(f) 2 ()d D prés l inéglié de Cuchy-Shwrz ψ(f) 2 ()d, c es erminé, sinon on peu simplifier vec e on obien encore le résul demndé d Découle immédiemen de 2-4) en fisn endre b vers e D prés 2-5) on peu conclure que ψ 2 es 2-lipschizienne, donc coninue, 3 b Fire endre b vers dns (), en uilisn 3-) 4 ψ(f) 2f 2 (ψ(f) 2f,ψ(f) 2f) (ψ(f),ψ(f)) 4(ψ(f),f)+4(f,f) ψ(f) 2 4(ψ(f),f)+4 2 4(ψ(f),f)+8 2 Cr : ψ(f) 2 4(ψ(f),f)+2 ψ(f) 2 Cr : ψ(f) 2 D prés 3-2) Donc ψ(f) 2f, insi si f, on uri 2 es une vleur propre de ψ, impossible puisque les vleurs propres de ψ son les λ ],] 73

6 Qurième prie f 2 () e 2 es évidemen inégrble sur R +, vec : f 2 e 2 d 2 b Pour, on : ψ(f )() Pour, on : ψ(f )() f () (f,ψ(f )) f ()ψ(f )()d e e 2 d I(,2) ln D prés -4 de l ère prie ( ) ψ(f ) 2 2(ψ(f ),ψ(f ) D prés - e d e f D où : ψ(f ) f 4(f,ψ(f )) D prés 3-2, 3ème prie 4ln 2 ln 2 Pour, on : ψ(f)() Pour, on : ψ(f)() f() b Au voisinge de : f 2 () ln(+) d + Au voisinge de : f 2 () 2, donc f2 es inégrble sur R +, or f coninue, donc f E 2 (f ψ(f)) f()ψ(f)()d ln(+) (+) d ln(+) (+) d+ ln(+) (+) ) d ln( +u u ln(+) (+) d+ +u du Avec : u ( ) ln(+) ln + (+) + d On remplce u pr + (+)ln(+) ln d ( (+) ln(+) ln ) d + 74

7 3 + ln + c (lnln(+)) ln(+) + ln ln(+), donc lnln(+) es une primiive de + ln(+) ln Clculons d bord : d e d, en effe : + ln(+) d [lnln(+)] ln + d Inégrion pr pries vec : u ln(+) v u v ln + ln + d Cr u voisinge de + : lnln(+) ln 4 les pplicion f e f ψ(f) son coninue, or f, donc l pplicion f ψ(f) es coninue { en n que composée e rppor } d pplicions coninues ψ(f) b el que f E 2 es un connee dns R en n qu imge d un connee pr une pplicion coninue, d ure pr : < ψ(f) < 2, puisque ψ(f) es injecive e d prés l quesion 2-4) 3ème prie, donc c es un inervlle conenu dns ], 2[ 5 i L pplicion f es définie insi : f() s si : s ( ) si : + si : + f 2 es inégrble cr son inégrle sur R + es égle à celui sur [,+], vec : 2 ii D bord pour, on : ψ(f)() f()d 2s+ > s > 2 D ure pr : ψ(f) 2 + 2s d 2s ( ) 2 d 2s+ 2s+ 2s 3 2s+ 2s+ s d s s+, cr : s+ > lim +s+ ψ(f) 2 ()d ψ(f) 2 2s ()d (s+) 2d 2s+ (s+) 2 (2s+) 2 2s+ (s+)(2s+) 2(s+) 2 2s+ (s+)(2s+) cr 2(s+) 2s+2 > ( ψ(f) 2) iii D présles deu quesions précèdenes,en fisnendre vers, on ur : sup 2 2 s+ s R el que 2s + >, donc pour s 2, en fisn endre s vers, on obien : ( 2 ψ(f) 2) ( ) ( ) ψ(f) ψ(f) sup 2 4, d où : sup 2, or d prés l quesion 42) on : sup 2, d où l églié 75

8 6 Au voisinge de on : f 2 () es bien inégrble cr 2α+2 >, vec : 2α+2 2 f 2 ()d 2α d+ 2α+2d 2α+ + 2α+ 2 2α+ b Déerminons d bord ψ(f)() pour ér cs :, lors : ψ(f)() f()d α d α α+ 2ème cs :, lors : ψ(f)() ψ(f) 2 ( f()d ( α d+ ( α+ α 2α+ α(α+) ψ(f) 2 ()d f()d + ) α+d ( α α α+ )) f()d 2α ( 2α+ (α+) 2d+ α(α+) ) 2 α α+ d (2α+)(α+) 2 + (2α+)2 α 2 (α+) 2 2(2α+) α 2 (α+) 2 + α 2 (2α+) (2α+)(α+) 2 + 4α2 α 2 (α+) 2 + α 2 (2α+) 4 α 2 ) mmounimyismil@gmilcom ( ) ψ(f) 2 c D prés les deu quesions précèdenes, on ur : inf 2 2(2α+) α 2 pour α > ssez ( ψ(f) 2) ( ) ψ(f) grnd,qundα,onobieninf 2,ord préslquesion42)on :inf, d où l églié F F n i i n À l prochine 76