Calcul de primitives et d'intégrales : f C(R +, R) f F(R +, R) f T(R +, R) f S(R +, R) f M n (C)

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1 Clcul de primiives e d'inégrles : f CR, R f FR, R f TR, R f SR, R f M n C

2 Clcul de primiives e d'inégrles Primiives de frcions rionnelles : On clculer une primiive d'une frcion rionnelle simples sur R. R, RX CX en l décomposn en élémens. Elémens simples de première espèce : Pour lesélémens simples de première espèce, on inégrer comme sui : b ln b, e b nombres réels. b b e plus générlemen b k k b k k ATTENTION, ne ps uiliser l formule b ln b vec des nombres comples, ne ps écrire de logrihmes de nombres complees! Pr eemple les égliés j [ln j] ln j ln j [ ] [ ou j [ln j ] ln j j ln ] ln son enièremen fusses! Commen lors clculer j? Pr conre l formule b k k b k es correce même si e b son complees à condiion que k.. Elémens simples de deuième espèce : Ce son les primiives de l forme b c < On écri ce polynôme sous forme cnonique : b c b c [ b b b c [ [ ] b b m p b c k où le polynôme b c n' ps de rcines réelle ] c [ ] b ] b c Le chngemen de vrible ne b u rmène lors l'inégrle à clculer à: m u p u k On sépre en deu inégrles e l première prie s'inègre comme sui : u u k k u k Lorsque k, l seconde prie s'inègre immédiemen : Lorsque k, l seconde prie s'inègre pr récurrence : u u u u Arcnu u u u Arcnu u Arcn u u Eemple : Clculer u Arcnu u u u Arcn u u 5

3 6 5 Pr le chngemen de vrible u, 6 5 u u 8 u u u u u u u u u u Arcn u u u u u Arcn u u u u u u u Arcn u Revenons à l vrible pr le chngemen inverse : u : Arcn Arcn Primiives se rmenn à des frcions rionnelles : Règle générle : Puisque l'on si inégrer oues les frcions rionnelles, pour clculer une primiive donnée, on chercher pr inégrion pr pries ou pr chngemen de vrible, à se rmener à l primiive d'une frcion rionnelle.. Frcion rionnelle en eponenielle : Pour clculer Re où RX RX, le chngemen de vrible u e perme de se rmener à une primiive de frcion rionnelle : e Re Re Re u e e u e e Eemple : Clculer e On eecue le chngemen de vrible u e, e : e e e e e e lnu Arcn u e e u u e lne Arcn e Eemple : Convergence e clcul de L foncion f : e e De plus f e e e es coninue sur [, [, f es donc inégrble sur [, [ On eecue le chngemen de vrible u e, e : e e u e e 5 u u u [ u ] 5. Frcion rionnelle en sinus-cosinus : Soi à clculer Rsin, cos où RX, Y RX, Y. u - Le chngemen de vrible n perme dns ous les cs de se rmener à une frcion rionnelle en : cos sin Arcn donc Rsin, cos R,

4 On es bien rmené u clcul d'une primiive de l foncion rionnelle S R, - Règles de Bioche : Cependn, dns cerins cs, on peu uiliser un chngemen de vrible qui donne des clculs moins compliqués epressions de degrés moins élevés Pour cel, des ess connus sous le nome de "règles de Bioche" permeen de rouver le bon chngemen de vrible : si l'epression f es inchngée pr le chngemen de en, on esssie le chngemen de vrible u cos si l'epression f es inchngée pr le chngemen de en π, on esssie le chngemen de vrible u sin si l'epression f es inchngée pr le chngemen de en π, on esssie le chngemen de vrible u n dns les cs désespérés mis qui son ussi les plus beu où ucun des rois chngemens précédens ne s'pplique, on revien à l première méhode pr le chngemen de vrible n. ATTENTION, dns ous les cs on veiller bien à préciser le domine de déniion de l primiive recherchée e à préciser le domine d'pprennce des nouvelles vribles. Eemple : Clculer une primiive de l foncion sin L foncion sin es coninue sur R, mis s'nnule u poins de l forme kπ, k Z. Ses primiives son donc dénies sur ou inervlle de l forme ]kπ, k π[ où l foncion sin es coninue. L'essi des règles de Bioche sur l'élémen diéreniel sin nous monre qu'il es invrin pr le chngemen de en e lui seul. On essier donc le chngemen de vrible u cos, sin Lorsque décri l'inervlle ]kπ, k π[, u cos décri l'inervlle ], [. sin sin sin u u u u u u u sin u u ln u u cos ln sin cos ln cos sin ln n Eemple : Clculer une primiive de l foncion n sin Soi f l foncion n sin sin sin π [π] π 6 [ π ] k Z, π 6 kπ k π 6 l foncion f es donc dénie e coninue sur les inervlles de l forme J k ] k π seron dénies sur les inervlles J k. n Le chngemen de en π lisse l'élémen diéreniel sin inchngé. On essier le chngemen de vrible u sin, cos 6, kπ 6 [. Ses primiives R, cos i sin cos i sin cos i cos sin cos sin i sin donc sin cos sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin n sin n sin sin sin sin sin cos sin cos sin sin cos sin u sin sin sin cos u u u u u u u u u u n sin u u u u 8 n sin 6 8 u n sin 8 6 u 5 u 7 u 8 5 ln u 7 ln u ln u u u 6 u 6 sin 5 ln sin 7 ln sin ln sin sin. Inégrles béliennes de première espèce : b Soi à clculer R, n où RX, Y RX, Y. c d

5 - Le chngemen de vrible n b cd : b En ee, c d n perme dns ous les cs de se rmener à une frcion rionnelle en c d n b c n b n n b nn c n c n n bnc n c n nd bcn n c b n b nd bc n donc R, n R c d c n, n c on es bien rmené u clcul de primiive d'une foncion rionnelle de l vrible. Eemple : Eisence e clcul de [ ] dns l dernière inégrle on procède u chngemen de vrible π π π π π π sin u sin u sin u sin u cos u π. Inégrles béliennes de seconde espèce : Soi à clculer R, b c où RX, Y RX, Y. π π sin u cos u sin u sin u [u cos u] π π On cherche le ou les inervlles de R sur lequel le polynôme sous b c es posiif ou nul. On écri ce polynôme sous forme cnonique : ] [ ] b c b c [ b b c b b c Suivn le signe de b c e de, près voir sori suivn le cs ou rdicl, le chngemen de vrible ne y b nous rmène lors un clcul de l'un des rois ypes suivns: R y, y A dy R y, y A dy b c R y, A y dy An de fire disprire le rdicl, on fer un chngemen de vrible uilisn les relions : sh ch u, n u cos u, ch u sh u cos u n u, sin u cos u. dns le cs on fer le chngemen de vrible y A shu ou y A n u dns le cs b on fer le chngemen de vrible y A chu ou y A cos u dns le cs c on fer le chngemen de vrible y A sin u dns les rois cs, on es rmené à une frcion rionnelle en sinus-cosinus, ou en ch-sh, c'es à dire en eponenielle. Eemple : Eisence e clcul de [, ] L foncion es donc dénie e coninue sur le segmen [, ] e l'inégrle es bien dénie. Le chngemen de vrible sin donne : π π π sin u cos u cos cos u u π π π π 5

6 π Eemple : Eisence e clcul de 6 L foncion es dénie e coninue sur ], [ ], [ 6 En, 6 donc l'inégrle 5 / es convergene 6. En, donc l'inégrle 6 / es convergene. 6 Pr ddiivié, l'inégrle ],[ es bien dénie Le chngemen de vrible 5 chu donne : 6 5 shu 5 5chu ch u 5 chu 5e u e u 5 e u 5 e u 5 eu 5 eu [ ] 5 5 e u [ 5 5e u ] Arcn 6 Arcn 5 5 π 6 Arcn Arcn 6 Arcn Aure clcul possible : le chngemen de vrible 5 π 6 π sin u cos u 5 π cos u 5 sin u cos u 5 cos u, 5 sin u 5e u 5e u e u cos u donne : 5 cos u cos u n u 5 cos u Nous sommes en présence d'une foncion rionnelle en sinus-cosinus, pour lquelle ucune des règles de Bioche ne s'pplique. On fer lors le chngemen de vrible : v n u u Arcnv, dv v 6 dv 5 v v dv v v dv v [Arcn v 6 Arcn Eemple : Eisence e clcul de L foncion g : De plus / es coninue sur l'inervlle ], ] donc l'inervlle f es convergene. L foncion f es une foncion rionnelle en 6 : 6 6 C'es donc une inégrle Abelienne premier ype. On procéder u chngemen de vrible u 6. Alors u 6 e 6u 5 6u 5 u u 6u u L division de X pr X donne : X X X X 6 u u u 6 u u u u [ ] u 6 u u lnu 6 ln 5 6 ln ],] ] 6

7 Remrque : On peu ussi fire le chngemen de vrible v u dns l'inégrle 6 6 u u 6 v dv 6 v v v dv 5 6 ln v 5 6 ln v v v dv v u u : Eercices : E. : eisence e clcul de E. : L foncion es coninue sur [, [. De plus donc l'inégrle es convergene. L décomposiion de l frcion rionnelle en élemens simples es de l forme : b En muliplin pr on obien En muliplin pr on obien insi, Aure clcul possible : b e en prenn, on obien b e en prenn, on obien b Une erreur à évier seri de décomposer en deu inégrles divergenes :!!!! Inégrons enre les bornes e puis pssons à l limie qund [ln ln ] [ ln ln ] E. : Eisence e clcul de E. : L foncion De plus ln donc l'inégrle es coninue sur [, [. [ ] Arcn E. : Convergence e clcul de E. : L foncion π π π es coninue sur [, [. es convergene. [ Arcn π π ] De plus donc l'inégrle es convergene. L décomposiion de l frcion rionnelle à inégrer en élemens simples es de l forme : b c 7

8 En muliplin pr e en prenn, on obien 5 En prenn, on obien : c donc c 5 En muliplin pr e en pssn à l limie qund, on obien b donc b [ ln 5 ln Arcn [ ln 5 ] Arcn 5 ln π E. : Eisence e clcul de E. : L foncion 5 ln π es coninue sur le segmen [, ], donc inégrble. j L foncion à inégrer es à vleurs complees. On v l séprer en prie réelle e prie imginire: j j i j j j On peu minenn séprer l'inégrle en prie réelle e prie imginire : j j j j i [ ln ] i j [ ln i ] Arcn π ln i π 6 ln iπ 6 E. 5 : Eisence e clcul de j ln iπ 6 5 E. 5 : L décomposiion en élémens simples de l frcion b es de l forme 5 c d 5 Nous procéderons pr récion u même dénomineur : 5 b c d 5 b 5 c d 5 c b d b 5 c 5b d 5 Idenions les coeciens des polynômes u dénomineur : c b d 5 b c 5b d c d 5b b 5b 5 b c d 5b b b b c d [ ln ln 5 ] 5 [ ] ln [Arcn ] 5 5 ln 5 π Arcn E. 6 : Clculer une primiive de l foncion f : Arcsin ] 5 E. 6 : L foncion Arcsin es dénie e coninue sur [, ]. L foncion es coninue sur I [, [ e le plus grnd inervlle de I don l'imge es incluse dns [, ] es J [, ]. L foncion f es donc dénie e coninue sur J [, ]. Une primiive de f es l foncion F : Arcsin où ], [ 8

9 Pour ou ], [ on peu fire le chngemen de vrible u, u F Arcsin u Arcsinu, u Les foncions u Arcsinu e u u én de clsse C sur [, ], on peu inégrer pr pries comme sui : u Arcsinu [ u Arcsinu ] u u L dernière inégrle es une inégrle bélienne second ordre. Le polynôme u es déj écri sous forme cnonique. Un fi le chngemen de vrible u sinv, cos v dv de fçon à fire disprire l rcine crrée : F Arcsin Arcsin sin v cos v Arcsin sin v dv Arcsin ce Arcsin Arcsin Arcsin Arcsin sin vdv cos v Arcsin ce dv Arcsin Arcsin Arcsin sinarcsin ce Arcsin sinarcsin cosarcsin ce Arcsin Arcsin une primiive de l foncion f : Arcsin es l foncion F : Arcsin Cee foncion es coninue en ou poin de [, ] e es nulle en ; c'es l primiive de l foncion f qui s'nnule en : [, ], Arcsin Arcsin 8 E. 6 : Clculer une primiive de l foncion f : 5 E. 6 : L foncion f ] es dénie e coninue sur l'inervlle, [ 5. Ses primiives son dénies sur ce inervlle : Fisons le chngemen de vrible sin u, u décrivn ] π, π [ qund ] décri, [ sin u 5 cos u sin u Puisque u ] π, π [, cos u e sin u cos u cos u 8 5 sin u cos u u Revenons à l vrible : cos u sin u 5 e u Arcsin ], [ 5, E. 7 : Convergence e clcul de E. 7 : L foncion Qund >, f f : Arcsin b b < b b es dénie e coninue sur l'ouver ], b[ b / donc f es inégrble sur l'inervlle ], b Eude nlogue pour monrer l'inégrbilié sur l'inervlle [ b b b b b b b b b b b b b b ], b[. Pr ddiivié, f es inégrble sur ], b[

10 b b b b b Qund décri [, b], [ b b décri, ] b de mnière bijecive. Fisons le chngemen de vrible : b b sin u de sore que, qund décri [, b], u décri [ π, π ] b cos u b π b π cos u b b π b π E. 8 : Convergence e clcul de b b sin u π b b π cos u sin u E. 8 : b c d c d b c b Idenions les coeciens des polynômes u dénomineur : b b c c d b c d 8 8 ln ln ln ln E. : Clculer une primiive de l foncion f : π π [ ] ln E. : L foncion f es dénie e coninue sur R. Une primiive de f es l foncion F : En uilisn l foncion uiliire g, F F dg [ Argsh 6 6 g F ln R, ] g Argsh ln ln ln E. : Convergence e clcul de 6 E. : 6 Fisons le chngemen de vrible shu chu 6 chu Argsh shu sh u 6 e u Argsh e u 6e u ln 7 Fisons le chngemen de vrible e u e u g g dg g Argsh shu Argsh e u e u 6 e u e u 6e u 7 [ ln ] 7

11 6 ln 7 7 E. : Clculer une primiive de l foncion f : E. : L foncion f es dénie e coninue sur [, [. Une primiive de f es l foncion F : C'es une inégrle bélienne premier ype. Fisons le chngemen de vrible u, u, u, F u u u u u ] F [ ln u u ] [Arcn u F ln [ u ] Arcn F ln Arcn π 6, ln Arcn π E. : Clculer une primiive de l foncion f : en précisn son domine de déniion. Convergence e clcul de E. : L foncion f es dénie e coninue sur ], [. Une primiive de f es l foncion F : où ], [. C'es une inégrle bélienne premier ype. Fisons le chngemen de vrible u, u, u ], [, F u uu Arcn Arcn. ], [, E. : Clculer Arcn Arcn π E. : L foncion es dénie en coninue sur R {, } e en priculier sur [, [ ], ] Qund, f / donc f es inégrble sur l'inervlle [, [ e sur ], ]. Pr ddiivié, f es inégrble sur [, [ ], ] e : Fisons le chngemen de vrible sin u, cos u π π 6 cos u sin u π π 6 π Fisons le chngemen de vrible chu, shu Finlemen, Argch Argch ln chu sh u Argch ln 5 ln π ln 5 ln Argch

12 E. : Eisence e clcul de E. : L foncion f : es dénie e coninue sur l segmen [, ]. Elle y es donc inégrble. En muliplin pr l qunié conjuguée dénomineur, on obien : On ne peu ps séprer en deu inégrles cr e son des inégrles divergenes ± On v éudier l'inégrle sur un inervlle ype [, ] puis psser à l limie qund > : Nous vons deu inégrles béleinne de seconde espèce. Pour fire disprire les rdicu e se rmener à des foncions rionnelles, on fi les chngemens de vribles respecifs : sh e sin u Argsh Argsh ch Argsh sh Argsh Argsh sh sh ch Rppelons que sh Argsh Arcsin Arcsin Arcsin sh Arcsin sin u sh ch Arcsin sin cos u u cos sin u Argsh ch Arcsin Argsh sh Arcsin Arcsin sin u sin e que cos sin cos sin u Argsh Argsh Arcsin Arcsin cohargsh cohargsh conarcsin conarcsin Remrquons que : Arcsin π e Argsh ln cohargsh chargsh shargsh e que conarcsin cosarcsin sinarcsin ln Argsh π Arcsin En pssn à l limie qund, le seul erme qui pose problème es forme indéerminée : o o o lim ln π ln π qui présene l o

13 Prie II λ Specf SpecF, E F λ LE, Ef λ