Chapitre I. Description des milieux continus

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1 Chapite I Desciption des milieu continus OBJET Ce chapite est consacé à la desciption des milieu continus. On intoduia les notions fondamentales de desciption du mouvement au sens de Lagange et d Eule, de tajectoies et de lignes de couant ainsi que de déivée paticulaie.

2 SOMMIRE 1. Péambule Définitions et gandeus caactéistiques d un milieu continu Définition d un milieu matéiel continu Gandeus phsiques de la desciption macoscopique Définition de la masse volumique Desciptions du mouvement d un milieu continu Eemple Desciption de Lagange Desciption d Eule Compaaison des deu desciptions Lignes de couant Tajectoies Compaaison des lignes de couant et des tajectoies Mouvement stationnaie Déivée paticulaie Définition Déivée paticulaie d une fonction scalaie Déivée paticulaie d une fonction vectoielle Déivée paticulaie d une intégale définie pa une densité volumique Déivée paticulaie d une intégale définie pa une densité massique... 19

3 1. Péambule La mécanique des milieu continus est l étude du compotement des milieu défomables, i.e. solides ou fluides (liquides ou ga) soumis à des sollicitations etéieues. À tite d eemple, on peut voi su la figue ciapès que l étude des défomations que subit un véhicule (solide défomable) soumis à des sollicitations intenses (chocs) est pimodiale pou la sécuité des passages et conducteu!! (a) (b) Fig. 1 Cash test d une voitue (a :choc fontal ; b :choc latéal) ( 1

4 2. Définitions et gandeus caactéistiques d un milieu continu 2.1 Définition d un milieu matéiel continu On suppose que l espace phsique dans lequel nous vivons est mathématiquement epésentable pa l espace Euclidien Ε. Soit Ω un domaine volumique appatenant à Ε et contenant un milieu matéiel. Ce milieu est supposé continu si le nombe de paticules qui constituent un volume élémentaie dv est suffisamment gand à l échelle macoscopique. Pou simplifie, schématisons le milieu matéiel pa une pastèque, les paticules pa les pépins de la pastèque et un volume élémentaie pa une tanche de la pastèque (fig.2). Nous nous placeons donc à une échelle (macoscopique) telle que la tanche contienne un nombe statistiquement significatif de pépins. Milieu matéiel (Ω) Élement de volume (dv) Fig. 2 Schématisation du milieu continu 2

5 Concètement, un «point» pou l obsevateu macoscopique est en fait un volume élémentaie de l ode du diième de millimète cube, qui contient un gand nombe de molécules (1). À cette échelle, on poua suppose la matièe continue et les gandeus phsiques intoduites seont continûment difféentiables (continues et à déivées continues). 2.2 Gandeus phsiques de la desciption macoscopique Les pincipales vaiables phsiques intevenant pou décie un milieu continu sont : La masse volumique ρ, Le vecteu vitesse v, La pession p, La tempéatue T, La concentation C, 2.3 Définition de la masse volumique Soit dm la masse de matièe contenue dans l élément de volume dv qui entoue le point M, on définit alos la masse volumique ρ comme le appot : ρ= dm dv (1) La masse totale m du milieu occupant un domaine Ω a donc pou epession : m = ρdv Ω (2) (1) On appelle qu une mole d ai (22,4 lites) contient molécules 3

6 3. Desciptions du mouvement d un milieu continu 3.1 Eemple de emplissage On s intéesse à l écoulement bidimensionnel d un fluide visqueu (pa eemple une huile) dans un coude. On peut calcule à l aide d un logiciel de simulation numéique la position des difféents fonts de matièe (fig. 3). 5 4 t=20 s (mm) 3 P5 2 Sonde t=5 s 1 P4 P3 0 P1 t=0 s P2 t=1 s t=3 s (mm) Fig. 3 Remplissage d un coude pa une fluide visqueu Position des difféents fonts de matièe Si on suit le mouvement d une même paticule P, on constate qu elle pend les positions : P 1, P 2, P 3, P 4, P 5 au temps : t = 0 s, t = 1 s, t = 3 s, t = 5 s, t = 20 s espectivement. Epéimentalement, on injecte un maqueu (pa eemple de la fluoesceine) et on suit le déplacement de ce maqueu au cous du temps. Cette manièe de décie le mouvement est dite Lagangienne. La valeu d une fonction définie en vaiables de Lagange est donc toujous elative à une même paticule. 4

7 3.2 Desciption de Lagange On epèe un point M (,, ) à l instant couant t pa appot à sa position dans une configuation de éféence Ω o à t = t o, soit Mo( o, o, o). C estàdie que l on donne la fonction vectoielle : OM OM OMo, t (3) = ( ) La configuation de éféence (choisie abitaiement) poua ête pa eemple la configuation initiale à t = Desciption d Eule Si maintenant on place une sonde dans l écoulement (fig.3), on va eleve le mouvement de difféentes paticules se touvant en un même point à des instants difféents. Dans la desciption d Eule du mouvement, on epèe le point M,, appot à sa position dans la configuation couante Ω t à t, soit: ( ) à l instant couant t pa OM = OM(,,, t) (4) 3.4 Compaaison des deu desciptions L idée diectice de la desciption euléienne est donc celle de l obsevation, en un point quelconque fie du champ de l écoulement, des popiétés de toute paticule qui passe en ce point. La desciption lagangienne s attache à suive le déplacement d une même paticule au cous du temps. Les deu desciptions pésentent chacune leu utilité suivant les tpes de milieu continus qu on étudie. 5

8 Pou les solides défomables (un baeau en acie pa eemple), on péfèe la desciption de Lagange, ca la configuation de éféence est phsiquement identifiable (on choisit pa eemple la position du baeau quand il n est soumis à aucun effot). Pou les fluides (liquides ou ga), on péfèe la desciption d Eule. En effet, il est souvent délicat de défini une position de éféence pou un fluide. Pa eemple, un liquide posé su un plan et soumis à aucun effot aute que les foces de volume (pesanteu, ), continue à s écoule. 3.5 Lignes de couant Soit un instant t fié (pa eemple : t = t 1 ). On appelle lignes de couant à l instant t les lignes qui ont en chacun de leus points une tangente colinéaie au vecteu vitesse (cf. fig. 4). vmt (, 2 ) Ligne de couant à l instant t = t 1 M dm vmt (, 1 ) Ligne de couant à l instant t = t 2 Fig. 4 Lignes de couant En vaiables d Eule : Il découle de la définition pécédente que l on cheche les coubes de point couant M tel que dm est paallèle à v à un instant donné t catésiennes : 6 = t * pa eemple. Posons, en coodonnées

9 ( ) et dm d d d vmt, * ut,,, *, vt,,, *, wt,,, * ( )= ( ) ( ) ( ) = (,, ) los, le poduit vectoiel de v et dm doit ête nul, soit : v d d d dm= 0 ut (,,, *) = vt (,,, *) = wt (,,, *) (5) En vaiables de Lagange : On calcule les vitesses en vaiables d Eule (vitesse à l instant t* en fonction des positions à l instant t) et on est amené au poblème pécédent. 3.6 Tajectoies On appelle tajectoie de la paticule P, l ensemble des positions occupées pa la paticule P au cous du temps. En vaiables de Lagange : La desciption de Lagange donne diectement la tajectoie, la elation (3) est l équation paamétée pa le temps t de la paticule identifié pa M o. En vaiables d Eule : La tajectoie de la paticule qui se touve en M o au temps t o est la coube solution du sstème difféentiel : 7

10 dm d d d = vmt (, ) ut (,,, ) = vt (,,, ) = wt (,,, ) = (6) vec les conditions initiales M = M o pou t = t o. 3.7 Compaaison des lignes de couant et des tajectoies La figue 5 illuste les difféences ente les lignes de couant et les tajectoies. Il appaaît que la ligne de couant est elative à un même instant mais egoupe des paticules difféentes alos que la tajectoie, qui éfèe à une même paticule, est une coube paamétée en temps. vm ( 1, t) Même instant M 1 vm ( 2, t) M 2 Paticules difféentes Même paticule M 1 vm ( 1, t1) M 2 Instants difféents vm ( 2, t2) (a) (b) Fig. 5 Compaaison des lignes de couant (a) et des tajectoies (b) 3.8 Mouvement stationnaie On appelle mouvement stationnaie ou encoe mouvement pemanent, un mouvement de milieu continu tel que les vitesses (ainsi que toutes les autes gandeus phsiques du mouvement) en un point d obsevation M fié sont indépendantes du temps. 8

11 ( ) = 0 vaiables d Eule (7) Mt, t On notea qu en égime pemanent, lignes de couant et tajectoies sont confondues. Su la figue 6, un eemple d'écoulement supesonique de l ai autou du lanceu iane 5 (issu d une simulation numéique) est monté. Les lignes de couant sont epésentées en bleu. Fig. 6 Écoulement supesonique autou du lanceu iane 5 ( 9

12 4. Déivée paticulaie 4.1 Définition Les vaiables d Eule n étant pas liées à une même paticule au cous du temps, le poblème se pose de savoi epime des vaiations pises en suivant le mouvement d une seule et même paticule. Pa définition, de telles vaiations seont dites paticulaies et l on palea de déivée paticulaie (1). 4.2 Déivée paticulaie d une fonction scalaie Soit fmt (, ) une gandeu phsique scalaie epésentée en desciption d Eule. M est un point fie d obsevation de coodonnées : df : = (,, ). Epimons la déivée totale eacte df = f t + f d + f d + f d Qui s écit encoe : df = f f t + dm (8) vec : = f f f f,, (2) et dm = ( d, d, d) (1) On palea aussi pafois de déivation matéielle ou déivée totale (2) cf. nnee 10

13 Si le vecteu d accoissement spatial dm est confondu avec celui des positions pises successivement pa la paticule au instants t et t+ (fig.7), on doit avoi : dm = MM = v ( )= ( ) désigne le vecteu vitesse de la paticule au point M à l instant t. Où vmt, uvw,, vmt, ( ) M v M, t + v M, t + ( ) ( ) M (t) (t+) Tajectoie Fig. 7 Schéma de la déivée paticulaie los la déivée paticulaie de la fonction scalaie f, notée df, s epime d apès (8) : df f = + v f t (9) Ou sous fome indicielle : df f = + v t j f j (1) f f f f f = + v + v + v = + u f + v f + w f (10) t t (1) On utilise la convention de sommation d Einstein : tout indice figuant deu fois dans tout goupe multiplicatif implique sommation su cet indice. 11

14 Le teme f t epésente la vaiation tempoelle de la fonction scalaie et taduit le caactèe instationnaie du mouvement. Le teme v f epésente la vaiation convective ou advective qui ésultent du déplacement du milieu (vitesse v) et de l inhomogénéité spatiale de la fonction ( f). Si la vaiable scalaie f est epésentée en vaiables de Lagange, soit fm ( o, t), alos la déivée paticulaie se éduit à : df = f( o, t) v +. f( o, t) t = 0 (11) 4.3 Déivée paticulaie d une fonction vectoielle Soit t, ( ) une fonction vectoielle quelconque des vaiables d Eule, de composantes, t, i,, i ( ) = En appliquant la elation (10) à chaque composante, on obtient en notation indicielle : d i = i i v j avec i t + = 123,, (12) j Soit encoe en écitue vectoielle : d = + v t (13) 12

15 13 vec (1) tenseu du second ode gadient du vecteu dont les composantes i j (i :indice de la ligne ; j :indice de la colonne) s epiment maticiellement : = (14) Epession de l accéléation : En paticulie, en penant v =, on obtient l epession de l'accéléation γ en vaiables Eule : γ = = + dv v t v v (15) 4.4 Déivée paticulaie d une intégale définie pa une densité volumique a) Volume En adoptant un point de vue Lagangien, considéons à l instant couant t un volume matéiel V(t) occupant le domaine Ω t. En epimant l élément de volume en vaiables d Eule, nous pouvons écie : (1) cf. nnee

16 V()= t ddd Ωt (1) (16) Le poblème consiste à epime la vaiation au cous du temps de la valeu de ce volume en suivant le mouvement du domaine matéiel Ω t. Soit : dv() t d = ddd Ω t D apès la figue 8, le domaine Ω t occupait à l instant du maquage t une position Ω t pou laquelle le volume valait : V( t ) = d d d Ωt Ω t Ω t Ω t n Σ t Ω t ( ) Mt Mt () v 0 Fig. 8 Volume matéiel ente les instants t et t Point de vue Lagangien (1) Pou ne pas aloudi la notation, nous noteons les intégales multiples comme une intégale simple 14

17 Si dans la elation (16), on effectue le changement de vaiables (,, ) (,, ), on obtient : Vt ()= Jddd Ωt avec J déteminant du Jacobien de la tansfomation défini pa : J = Le domaine Ω t étant indépendant du temps couant t, la déivée paticulaie de l intégale s obtient donc aisément : dv() t d dj = Jddd d d d = Ω Ω t t On applique maintenant à la denièe intégale la tansfomation invese (,, ) (,, ), dont le Jacobien est J 1. On obtient : dv() t dj = 1 J ddd Ωt 15

18 16 Pou calcule dj on applique la ègle de déivation d un déteminant (1), soit : dj d d d d d d = + + d d d D apès la définition de la vitesse (section 4.2), on a : v u d v d w d = = = =,, Soit : dj u u u v v v = + + w w w On monte alos que : 1 J dj u v w v = + + = (2) (17) (1) La déivée d un déteminant est la somme des déteminants obtenus en déivant successivement chaque ligne (ou colonne) sans change les autes lignes. (2) cf nnee

19 En emplaçant dans la denièe epession de la déivée paticulaie du volume V(t), on obtient : dv() t = ( vdv ) Ωt (18) Soit en appliquant le théoème de la divegence (encoe appelé théoème de Geen Ostogadski) : dv() t = v n ds Σt (19) vec Σ t suface limitant le domaine Ω t, n nomale à la suface Σ t oientée ves l etéieu. Cette elation, fondamentale, monte que la vaiation au cous du temps de la valeu du volume d un domaine Ω t pis au sens d Eule (encoe appelé volume de contôle) est égale au flu volumique de matièe tavesant la suface du volume de contôle (fig. 9). utement dit, le volume de contôle est peméable. n v 0 Fig. 9 Volume de contôle Point de vue Euléien 17

20 b) Intégale de volume Soit un domaine fini Ω t enfemant à l instant t la valeu F(t) d une fonction scalaie f(, t) (densité volumique) epimée en vaiables d Eule : Ft () ftdv, = ( ) Ωt (20) En pocédant d une manièe analogue au a), on monte que la vaiation paticulaie de F(t) s epime : df() t 1 d J f t J dv df 1dJ, = + f dv J Ω = ( ) Ωt ( ) t Soit en utilisant (17) : d df f(, t) dv f v dv = + Ω Ωt t (21) On peut epime cette elation sous une aute fome en eplicitant la déivée paticulaie df, soit : d f f f t dv v f f (, ) = + + v dv= + ( f v) dv t t Ωt Ωt Ωt (22) Le second teme peut ête tansfomé à l aide du théoème de GeenOstogadski : 18

21 d f f t dv t dv f v n (, ) = + ( ) ds Ωt Ωt Σt (23) Le teme Le teme f t dv coespond à une vaiation tempoelle à volume fié ; Ω t f v n ds coespond à une vaiation spatiale à t fié Σt ( ) 4.5 Déivée paticulaie d une intégale définie pa une densité massique a) Consevation de la masse D apès la définition (2), la masse m(t) d un milieu continu à l instant t s epime : mt ρ t, dv ()= ( ) Ωt La consevation de la masse implique : dm() t = 0 Soit encoe d apès les elations (21) et (22) : ρ dρ + ( ρv) dv ρ v dv t = + = 0 Ω Ωt t D apès la définition d un milieu continu (section 1), la fonction intégée est continue alos : 19

22 ρ dρ + ( ρv)= + ρ v = 0 (24) t Cette elation, connue sous le nom d équation de continuité, taduit la consevation de la masse à un niveau local dans le milieu continu. Si de plus, la masse volumique est constante, i.e. ρ=cte, la elation (24) se simplifie et taduit la condition d incompessibilité : v = 0 (25) b) Théoème de Renolds On cheche maintenant à epime l epession de la déivée paticulaie d une intégale de volume d un bilan massique (t), définie comme suit : t () ftdm, ft, ρdv = ( ) = ( ) Ωt Ωt los d apès (21), il vient : d() t d f df f v dv dv f d = ( ρ ) + ρ ρ = ρ + + ρ v dv Ωt Ωt Ωt La denièe intégale est identiquement nulle d apès l équation de continuité (24). On obtient : d df f t dm dv df (, ) = ρ = dm (26) Ωt Ωt Ωt 20

23 NNEXE : Rappels su les pincipau opéateus Soit une fonction scalaie f(, t), T T T (,, ) et T = T T T T T T t, ( ) une fonction vectoielle de composantes tenseu d ode 2. Gadient d un scalaie Cette opéateu tansfome une fonction scalaie en fonction vectoielle. L opéateu gadient sea péféentiellement noté en utilisant le smbole Nabla, plutôt que gad (epession moins compacte). Il a pou epession en coodonnées catésiennes : = f f f f,, Gadient d un vecteu Cette opéateu tansfome une fonction vectoielle en tenseu d ode 2. L opéateu gadient d un vecteu sea noté plutôt que gad. Il a pou epession en coodonnées catésiennes : = Divegence d un vecteu

24 Cette opéateu tansfome une fonction vectoielle en fonction scalaie. L opéateu sea noté en utilisant le smbole Nabla suivi d un point figuant le poduit scalaie, plutôt que div. Il a pou epession en coodonnées catésiennes : = + + Divegence d un tenseu d ode 2 Cette opéateu tansfome un tenseu d ode 2 en fonction vectoielle. L opéateu sea noté en utilisant le smbole Nabla suivi d un point figuant le poduit scalaie, plutôt que div. Il a pou epession en coodonnées catésiennes : T = T T T T T + + T T + + T T + + Laplacien d un scalaie/vecteu Cette opéateu tansfome une fonction scalaie en fonction scalaie ou encoe une fonction vectoielle en fonction vectoielle. L opéateu sea noté en utilisant la lette gecque delta majuscule,. On touve aussi 2 ou ca le Laplacien est simplement la divegence du gadient. Son epession en coodonnées catésiennes pou un scalaie est : 1

25 2 2 2 f f f f = ( f 2 )= f = Pou une fonction vectoielle, il suffit d applique l opéateu à chacune des composantes, soit :,, = ( ) Rotationnel d un vecteu Cette opéateu tansfome une fonction vectoielle en fonction vectoielle. L opéateu sea noté en utilisant le smbole Nabla suivi du poduit vectoiel, plutôt que Rot. Il a pou epession en coodonnées catésiennes : =,, 2