Analyse vectorielle systèmes de coordonnées

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1 Analse vectoielle sstèmes de coodonnées 1 Sstèmes de coodonnées : epésentation du point Les coodonnées catésiennes emploées habituellement pou epésente un point dans l'espace à tois dimensions ne sont pas toujous les plus appopiées. On etienda deu autes tpes de coodonnées pou décie un point ou une champ scalaie : les coodonnées clindiques et les coodonnées sphéiques. 1.1 Coodonnées catésiennes du point L'espace est défini classiquement dans un sstème de coodonnées catésien fie défini pa un epèe othonomé fie O,u,u,u). Dans un tel sstème, un point M est défini pa ses coodonnées M,, ). 1. Coodonnées clindiques du point Note : les coodonnées clindiques sont gosso modo une etension à tois dimensions des coodonnées polaies. La Figue 1 illuste la situation d'un point M dans l'espace. Pou un epèe d'oigine O déteminé, ce point M sea défini pa,, ) dans le sstème de coodonnées catésiennes et,, ) dans le sstème de coodonnées clindiques. O M Figue 1 1

2 Analse vectoielle sstèmes de coodonnées Les tansitions dans l'un et l'aute des sstèmes est le suivant : cood. catésiennes cood. clindiques cood. clindiques cood. catésiennes + actg cos ) sin ) 1..1 Eemple Touve, en coodonnées clindiques, l'équation de la de aon a définie dans en coodonnées catésiennes pa : + + a 1) En emplaçant, et pa leus coodonnées sphéiques, on touve : En simplifiant encoe : 1.. Eemple cos ) + sin ) + a ) + a ) Touve, en coodonnées clindiques, l'équation du plan défini dans en coodonnées catésiennes pa : + 4) En emplaçant, et pa leus coodonnées sphéiques, on touve : En simplifiant encoe : 1.. Eemple cos ) + sin ) 5) cos 6) 4 Touve, en coodonnées catésiennes, l'équation de la suface définie dans en coodonnées clindiques pa : + 7) En emplaçant et pa leus coodonnées catésiennes espectives, on touve : + actg 8)

3 Analse vectoielle sstèmes de coodonnées 1. Coodonnées sphéiques du point La Figue illuste la situation d'un point M dans l'espace. Pou un epèe d'oigine O déteminé, ce point M sea défini pa,, ) dans le sstème de coodonnées catésiennes et,, ) dans le sstème de coodonnées sphéiques. Il est tès impotant de note que la coodonnée est ici tès difféente de la coodonnée des coodonnées clindiques!. cos) O M. sin ) Figue Les tansitions dans l'un et l'aute des sstèmes est le suivant : cood. catésiennes cood. sphéiques cood. sphéiques cood. catésiennes + + accos + + actg sin ) cos ) sin ) sin ) cos ) 1..1 Eemple Touve, en coodonnées sphéiques, l'équation de la de aon a définie dans en coodonnées catésiennes pa : + + a 9) En emplaçant, et pa leus coodonnées sphéiques, on touve : En simplifiant encoe : sin ) cos ) + sin ) sin ) + cos ) a 1) a 11)

4 Analse vectoielle sstèmes de coodonnées Sstèmes de coodonnées: epésentation du vecteu. Les sstèmes de coodonnées catésiens emploés habituellement pou epésente un vecteu dans l'espace à tois dimensions ne sont pas toujous les plus appopiées. On etienda deu autes sstèmes de coodonnées pou décie un vecteu ou un champ vectoiel : le sstème de coodonnées clindiques et le sstème de coodonnées sphéique..1 Sstème de coodonnées catésien L'espace est défini classiquement dans un sstème de coodonnées catésien fie défini pa un epèe othonomé O,u,u,u). Dans un tel sstème, un vecteu v est défini pa ses coodonnées a, a et a, sachant que : a a a a u + a u + a u. Sstème de coodonnées clindiques Le sstème de coodonnées clindiques est défini pa le epèe mobile M,u,u,u ) illusté pa la Figue. Soit M' la pojection de M su le plan O; les vecteus u epotés en pointillé su M' pou eplique leu constuction.,u et u 1) ont été u u u O u u M u u u M' Figue 4

5 Analse vectoielle sstèmes de coodonnées On emaque : u est paallèle au segment OM'. u est pependiculaie à u dans le plan O et son sens est celui de. u ne change pas pa appot au coodonnées catésiennes. Le epèe mobile est othonomé : les tois vecteus pependiculaies l'un à l'aute et de module 1. u,u et u sont..1 Tansfomations de bases Un vecteu v epimé pa a, a, a ) T dans le epèe fie O,u,u,u ) est tansfomé dans les coodonnées a, a, a ) T du epèe mobile M,u,u,u ) au moen de la matice suivante : a a a cos ) sin ) sin ) cos ) a a 1 a 1) Invesement, un vecteu v epimé pa a, a, a ) T dans le epèe mobile M,u,u,u ) tansfomé dans les coodonnées a, a, a ) T du epèe fie O,u,u,u) au moen de la matice suivante : a a a cos ) sin ) sin ) cos ) a a 1 a On constate pou la matice de tansfomation T que T T T -1, ce qui est nomal dans une tansfomation de bases othonomées... Eemple Soit v le vecteu défini ainsi dans le epèe fie O,u,u,u ) : 1 v < u,u, u > Soit encoe le point M1, 1, 1). Cheche les coodonnées du vecteu v dans le epèe mobile M,u,u,u ). 14) est 5

6 Analse vectoielle sstèmes de coodonnées On cheche tout d'abod les valeus, et de ce point en coodonnées clindiques. On touve : On touve enfin : 45deg 1 1/ 1/ 1.11 v < u > 1/ 1/.77,u,u 15) 1 < > u,u, u. Sstème de coodonnées sphéiques Le sstème de coodonnées sphéiques est défini pa le epèe mobile M,u,u,u ) illusté pa la Figue 4. Soit M' la pojection de M su le plan O; le vecteu u a été epoté en pointillé su M' pou eplique sa constuction. u O u M u u u u u M' Figue 4 On emaque : u est paallèle au segment OM. u est pependiculaie à u dans le plan MO et son sens est celui de. u est pependiculaie à u dans le plan O et son sens est celui de. Le epèe mobile est othonomé : les tois vecteus pependiculaies l'un à l'aute et de module 1. u,u et u sont 6

7 Analse vectoielle sstèmes de coodonnées..1 Tansfomations de bases Un vecteu v epimé pa a, a, a ) T dans le epèe fie O,u,u,u ) est tansfomé dans les coodonnées a, a, a ) T du epèe mobile M,u,u,u ) au moen de la matice suivante : a a a sin ) cos ) cos ) cos ) sin ) sin ) sin ) cos ) sin ) cos ) cos ) a sin ) a a 16) Invesement, un vecteu v epimé pa a, a, a ) T dans le epèe mobile M,u,u,u ) est tansfomé dans les coodonnées a, a, a ) T du epèe fie O,u,u,u) au moen de la matice suivante : a a a sin ) cos ) sin ) sin ) cos ) cos ) cos ) cos ) sin ) sin ) sin ) a cos ) a a A nouveau on constate pou la matice de tansfomation T que T T T -1, ce qui est nomal dans une tansfomation de bases othonomées... Eemple Soit v le vecteu défini ainsi dans epèe fie O,u,u,u ) : 1 v < u,u, u > Soit encoe le point M1, 1, 1). Cheche les coodonnées du vecteu v dans le epèe mobile M,u,u,u ). On cheche tout d'abod les valeus, et du point M en coodonnées clindiques. On touve : 45 deg deg 17) 7

8 Analse vectoielle sstèmes de coodonnées On touve enfin : v< u > , u,u 18) < u,u,u > Intégales tiples Les intégales su un volume ne se ésolvent évidemment pas de la même manièe suivant le tpe de coodonnées choisi. En paticulie, l'élément infinitésimal d est difféent. Suivant le changement de vaiable equis, on touve d en calculant le jacobien du changement de vaiable effectué. Nous n'allons pas ente dans les détails de l'analse de ce jacobien, et nous allons donne diectement d pou les tois sstèmes de coodonnées catésien, clindique et sphéique. Pou illuste note popos, le volume d'une sea à chaque fois calculé. On monte facilement : 1 d 19).1 Coodonnées catésiennes L'élément d est ici le plus simple possible : d d d d ) Eemple : calcul du volume d'une de aon. Les bods de note volume d'intégation sont définis pa la suface de la : On calcule donc le volume : + + 1) 1 d d d d d d d d [ ] d + [ ] acsin d 8

9 Analse vectoielle sstèmes de coodonnées 4 Comme c'est compliqué! On est pati poutant d'un cas simple. Ceci illuste que losque on intège dans un volume sphéique esp. clindique), les coodonnées catésiennes ne sont pas bien adaptées. On vea qu'un changement dans les coodonnées sphéiques esp. clindiques) va considéablement simplifie note poblème.. Coodonnées clindiques L'élément d est le suivant : d d d d ) Eemple : calcul du volume d'une de aon. Les bods de note volume d'intégation sont définis pa la suface de la : On calcule donc le volume : + ) d d d d d d 1 ) d d ) d 4 On voit ici quelque chose d'intéessant : comme l'équation de la ) est indépendante de, on peut simplement 'soti'? d de l'intégale tiple. On auait pu simplifie dès le dépat : d d d d d d d d 4) Ce phénomène de simplification est encoe plus maqué en coodonnées sphéiques. 9

10 . Coodonnées sphéiques Analse vectoielle sstèmes de coodonnées L'élément d est le suivant : d sin ) d d d 5) Eemple : calcul du volume d'une de aon. Les bods de note volume d'intégation sont définis pa la suface de la : On calcule donc le volume : 6) sin ) d d d sin ) d d d sin ) d d sin ) d cos ) 4 Ici également, on peut simplifie. Comme l'équation de la 6) est indépendante de et, on peut simplement 'soti'? d et? d de l'intégale tiple. On auait pu écie dès le dépat : sin ) d d d sin ) d d d 7) 1