N o -00-XIF au catalogue Tecnques 'enquête Décembe 005
Comment obten autes eegnements Toute emane e eegnements au suj u pésent pout ou au suj e statstques ou e sevces connees ot ête aessée à : Dvson es métoes enquêtes aupès es entepses, Statstque Canaa, Ottawa, Ontao, KA 0T6 (télépone : 800 63-36). Pou obten es eegnements su l eemble es onnées e Statstque Canaa qu sont sponbles, veullez compose l un es numéos sa fas suvants. Vous pouvez également communque avec nous pa couel ou vste note ste Web. Sevce natonal e eegnements 800 63-36 Sevce natonal appaels e télécommuncato pou les malentenants 800 363-769 Reegnements concenant le Pogamme es sevces e épôt 800 700-033 Télécopeu pou le Pogamme es sevces e épôt 800 889-9734 Reegnements pa couel nfostats@statcan.ca Ste Web www.statcan.ca Reegnements pou accée au pout Le pout n o -00-XIF au catalogue est sponble gatutement. Pou obten un eemplae, l sufft e vste note ste Web à www.statcan.ca e cos la ubque Nos pouts sevces. Nomes e sevce à la clentèle Statstque Canaa s engage à foun à ses clents es sevces apes, fables coutos, ce, a la langue offcelle e leu co. À c éga, note ogame s est oté e nomes e sevce à la clentèle qu ovent ête obsevées pa les emploés losqu ls offent es sevces à la clentèle. Pou obten une cope e ces nomes e sevce, veullez communque avec Statstque Canaa au numéo sa fas 800 63-36. Les nomes e sevce sont auss publées a le ste www.statcan.ca sous À popos e Statstque Canaa > Off es sevces au Canae.
Statstque Canaa Dvson es métoes enquêtes aupès es entepses Tecnques 'enquête Décembe 005 Publcaton autosée pa le mte espoable e Statstque Canaa Mte e l Inuste, 006 Tous ots ésevés. Le contenu e la pésente publcaton électonque peut ête epout en tout ou en pate, pa quelque moen que ce sot, sa aute pemsson e Statstque Canaa, sous éseve que la epoucton sot effectuée unquement à es f étue pvée, e ecece, e ctque, e compte enu ou en vue en pépae un ésumé estné au jounau /ou à es f non commecales. Statstque Canaa ot ête cté comme sut : Souce (ou «Aapté e», s l a leu) : Statstque Canaa, année e publcaton, nom u pout, numéo au catalogue, volume numéo, péoe e éféence page(s). Autement, l est nt e epoue le contenu e la pésente publcaton, ou e l emmagasne a un sstème acton, ou e le tamte sous quelque fome ou pa quelque moen que ce sot, epoucton électonque, mécanque, potogapque, pou quelque fn que ce sot, sa l autosaton écte péalable es Sevces octo e lcences, Dvson es sevces à la clentèle, Statstque Canaa, Ottawa, Ontao, Canaa KA 0T6. Ma 006 N o -00-XIF au catalogue ISSN 7-5685 Péocté : semestel Ottawa Ts publcaton s avalable n Engls upon equest (catalogue no. -00-XIE) Note e econnassance Le succès u sstème statstque u Canaa epose su un patenaat ben établ ente Statstque Canaa la populaton, les entepses, les amtato canaennes les autes ogames. Sa cte collaboaton cte bonne volonté, l seat mpossble e poue es statstques pécses actuelles.
4 Wu : Algotmes coes R pou la métoe e la pseuo-vasemblance empque a les sonages Vol. 3, N o, pp. 6-66 Statstque Canaa, N o -00 au catalogue Algotmes coes R pou la métoe e la pseuo-vasemblance empque a les sonages Cangbao Wu Résumé Nous pésento es algotmes nfomatques pou la métoe e la pseuo-vasemblance empque poposée écemment pou l analse es onnées enquête complees. Pluseus algotmes essentels pou le calcul es estmateus u mamum e pseuo-vasemblance empque la cotucton es ntevalles e confance es appots e pseuo-vasemblance empque sont mplantés au moen es logcels statstques R S-PLUS usage tès épanu. Les coes pncpau sont écts sous la fome e foncto R/S-PLUS peuvent onc ête utlsés ectement a les applcato enquête (ou) les étues en smulaton. Mots clés : Intevalle e confance; algotme e bsecton; vasemblance empque; pocéue e Newton- Rapson; écantllonnage statfé; écantllonnage avec pobabltés négales.. Intoucton L un es gans éfs que pose l applcaton e métoes statstques avancées souvent complees à es sonages éels est l mplantaton nfomatque e la métoe. Souvent, es coéato patques oblgent à eje es métoes téoquement vales séusantes, mas nécesstant une quantté ncoable e calculs. La métoe e la vasemblance empque, poposée pou la pemèe fos pa Owen (988), est l un es pncpau pogès éalsés en statstque au cous es 5 enèes années. Oute le fat qu elle sot aée su les onnées qu elle especte les gammes e valeus a l estmaton les tests, sa natue non paamétque scète est patculèement ntéessante pou la ésoluton e poblèmes en populaton fne. En eff, l une e ses pemèes veso, appelée métoe es estmateus «scale-loa», a été utlsée en sonage pa atle Rao en 968. L étue plus écente e cte métoe a le conte es sonages a onné leu à la publcaton une sée e ocuments e ecece suscté cez les statstce enquête un vf ntéêt qu les a poussés à l eploe plus en étal. Wu Rao (004) ésument bèvement les fats écents concenant la métoe e la pseuo-vasemblance empque (PEL pou Pseuo Empcal Leloo). Des pogès ont également été éalsés en ce qu concene l élaboaton algotmes. Cen, Stte Wu (00) ont poposé une pocéue e Newton-Rapson mofée pou calcule les estmateus u mamum e pseuo-vasemblance empque sous écantllonnage non statfé. Wu (004a) a pousuv la mofcaton e la pocéue afn e pemte le tatement es pla e sonage statfés. Da le pésent atcle, nous pésento es algotmes nfomatques pemtant e calcule les estmateus u mamum e pseuo-vasemblance empque e cotue les ntevalles e confance es appots e pseuovasemblance empque connees pou es pla e sonage complees sous un cae unfé, en mtant sutout l accent su l mplantaton e ces algotmes au moen es logcels R S-PLUS. Le pogcel R, un envonnement e pogammaton convval compatble avec le logcel statstque commecal S-PLUS tès épanu, ntéesse e plus en plus les statstce. L un es avantages e l utlsaton u pogcel R est qu l est off gatutement pou la ecece qu l peut ête télécagé faclement à pat Inten. Nous espéo que le pésent atcle comblea le fossé qu este à l eue actuelle ente les éveloppements téoques les applcato patques e la métoe e la pseuovasemblance empque qu l susctea autes tavau e ecece a ce omane en vue e ene l utlsaton e cte métoe entèement patque. L algotme e calcul e l estmateu u mamum e pseuo-vasemblance empque sous écantllonnage non statfé canes emaques su son mplantaton a R/S-PLUS sont pésentés à la secton. L algotme e Wu (004a) pou l écantllonnage statfé est scuté à la secton 3. La cotucton e l ntevalle e confance u appot e pseuo-vasemblance empque, qu compen l établssement u pofl e cte statstque, est écte en étal à la secton 4. Tous les eemples e coe ou e foncton R fguent à l annee. Ils peuvent ête télécagés à pat e la page accuel pesonnelle e l auteu à ttp://www.stats.uwateloo.ca/ ~ cbwu/pape.tml. Ces coes foncto ont été testés los e l étue en smulaton. Cangbao Wu, Depatment of Statstcs an Actuaal Scence, Unvest of Wateloo, Wateloo (Ontao), NL 3G, Canaa. Couel : cbwu@uwateloo.ca.
Tecnques enquête, écembe 005 5 écte a Wu Rao (004) ont onné e tès bo ésultats.. Écantllonnage non statfé Coéo une populaton fne cottuée e N untés entfables. Assocées à la e unté sont es valeus e la vaable étuée,, un vecteu e vaables aulaes,. Le vecteu e moennes e populaton X N N est connu. Sot {(, ), s les onnées écantllon, où s est l eemble untés sélectonnées selon un plan e sonage complee. Sot π P ( s) les pobabltés e sélecton / π les pos e sonage. L estmateu u mamum e pseuo-vasemblance empque e la moenne e populaton Y N N est calculé comme étant Y ˆ PEL s pˆ, où les pos pˆ sont obtenus en mamsant la foncton e pseuo logvasemblance empque l ( p ) n log( p ) (.) s sous les contantes 0 p <, p p X. (.) < s s La foncton e pseuo-vasemblance empque ognale poposée pa Cen Stte (999) est l ( p) s log ( p ). La foncton e pseuo-vasemblance empque l ( p) onnée pa (.) a été utlsée pa Wu Rao (004), où les / s sont les pos e sonage nomalsés n est la talle effectve écantllon. L estmateu ponctuel YˆPEL s pˆ este le même pou l une l aute veson e la foncton e vasemblance. Le éécelonnement utlsé a l ( p) faclte la cotucton es ntevalles e confance es appots e pseuo-vasemblance empque. En utlsant comme agument un multplcateu e Lagange stana, nous pouvo monte que pˆ pou s, (.3) + λ ( X ) où le multplcateu e la Lagange évalué vectoellement, λ, est la soluton e ( ) ( ) X g λ 0. + λ ( X ) s Ic, la pncpale tâce e calcul coste à touve la soluton e g ( λ ) 0, ce qu peut se fae en utlsant la pocéue e Newton-Rapson mofée poposée pa Cen coll. (00). La mofcaton compen la véfcaton, à caque étape e mse à jou, que la contante + λ ( X ) > 0 (.e., p > 0) est encoe satsfate. Sa pe e généalté, nous supposo que X 0 (snon l faut emplace patout pa X ). La pocéue mofée est la suvante. Étape 0 : Sot λ 0 0. Fe 0, γ 0 ε 0 8. Étape : Calcule Δ ( λ ) Δ ( λ ), où Δ ( λ) s + λ Δ ( λ) Δ( λ). ( + λ ) s S Δ ( λ ) < ε, aête l algotme onne la valeu e λ a le appot; autement, passe à l étape. Étape : Calcule δ γ Δ ( λ ). S + ( λ ) δ 0 pou tout, pose que γ γ / épéte l étape. Étape 3 : Pose que λ + λ δ, + γ + ( + ) /. Passe à l étape. Da l algotme ognal pésenté pa Cen coll. (00), l étape coste auss à véfe une foncton objectve uale connee. Ben qu elle sot nécessae pou la peuve téoque e la convegence e l algotme, cte véfcaton n est pas vament equse pou les applcato patques. La foncton R Lag(u,s,mu) peut ête utlsée pou touve la soluton e g ( λ ) 0 quan le vecteu e vaables aulaes est e meon m que m. Quan est unvaé, une métoe e bsecton êmement smple stable qu sea écte bentôt evat ête utlsée. Sot n la talle écantllon. Les tos aguments equs sont la matce e onnées u e meo n m, le vecteu e pos e sonage s e meon n le vecteu e moennes e populaton mu e meon m. La sote e la foncton Lag(u,s,mu) onne la valeu e λ qu est la soluton e g ( λ ) 0. La foncton Lag(u,s,mu) ne founa pas e soluton s ) le vecteu moen X n est pas un pont ntéeu e l enveloppe convee fomée pa {, s, ou que ) la matce s n est pas e plen ang. Da le cas (), l estmateu u mamum e pseuo-vasemblance empque n este pas. Cec se pout avec une pobablté s appocant e zéo à mesue que la talle écantllon n ten ves l nfn; a le cas (), on peut envsage e suppme canes composantes es vaables e l eemble e contantes (.) pou élmne le poblème e colnéaté. S la vaable est unvaée, l en est e même u multplcateu e Lagange λ concené. Da ces conto, nous evo ésoue g ( λ) s /(+ λ) 0 pou un scalae λ, en supposant que X 0. Il este Statstque Canaa, N o -00 au catalogue
6 Wu : Algotmes coes R pou la métoe e la pseuo-vasemblance empque a les sonages une soluton unque s, unquement s, mn{, s < 0 < ma{, s. La soluton, s elle este, est compse ente L / ma{, s U / mn{, s. En notant que g ( λ) est une foncton monotone écossante pou λ ( L, U ), l algotme le plus effcace fable pou ésoue g ( λ ) 0 est la métoe e bsecton. La foncton Lag(u,s,mu) fat pécsément cela, où les aguments equs sont u (,..., n ), s (,..., n ) mu X. La sote onne la soluton e g (λ) 0. La foncton Lag(u,s,mu) peut ête utlsée conjuguée à l appoce e la pseuo-vasemblance empque étalonnée au moen un moèle (PVEEM) e Wu Stte (00) pou tate les cas où la vaable compen un nombe élevé e meo. L appoce PVEEM ne compote qu une seule vaable e pécton e meon tée un moèle e égesson lnéae multple le poblème connee u multplcateu e Lagange est toujous unmeonnel. 3. Écantllonnage statfé Sot {(, ), s,,..., les onnées écantllon povenant un plan e sonage statfé. Sot / s les pos e sonage nomalsés pou la state,,...,. La foncton e pseuovasemblance empque sous écantllonnage statfé éfne pa Wu Rao (004) est onnée pa l st W s ( p,..., p ) n log( p ), (3.) où les W N / N sont les pos e state n est la talle totale effectve écantllon telle que éfne a Wu Rao (004). La valeu e n n est pas nécessae pou l estmaton ponctuelle, mas cte cotante e mse à l écelle est equse pou la cotucton es ntevalles e confance. Sot X le vecteu connu es moennes e populaton pou les vaables aulaes. L estmateu u mamum e pseuo-vasemblance empque e la moenne e populaton Y W Y est éfn comme étant Y ˆ PEL W s pˆ, où les pˆ mamsent l st ( p,..., p ) sous l eemble e contantes p > 0, p,,..., s W s p X. (3.) Sous écantllonnage statfé, la pncpale ffculté e calcul est ue au fat que la sous-nomalsaton es pos (c est-à-e s p ) a leu au nveau e la state, alos que les contantes étalonnage (c est-à-e W p s X ) la mamsaton contante e la foncton e pseuo-vasemblance empque se font au nveau e la populaton. L algotme poposé pa Wu (004a) pou calcule les pˆ se éoule comme sut : sot l augmentaton e afn nclue les pemèes vaables ncatces e state l augmentaton e X afn nclue ( W,..., W ) en tant que ses pemèes composantes. Da le cas où l n este aucune contante étalonnage, la vaable augmentée coespon au vaables ncatces e state unquement X ( W,..., W ). Il s eut que l eemble e contantes (3.) est équvalent à p > 0, W p W s s p X, (3.3) où la vaable est mantenant augmentée. Sot u X. Il est facle, en utlsant comme agument un multplcateu e Lagange stana, e monte que pˆ, + λ u où λ évalué vectoellement est la soluton e u g 3 ( λ ) W 0. + λ u s La pocéue e Newton-Rapson mofée e la secton pou la ésoluton e g ( λ ) 0 peut ête utlsée pou ésoue g 3 ( λ ) 0. L étape clé u calcul sous écantllonnage statfé coste à onne au fce e onnées un fomat appopé pou pouvo appele ectement la foncton R Lag(u,s,mu) utlsée pou l écantllonnage non statfé. Des eemples e coes R pou le fae fguent en annee. 4. Cotucton es ntevalles e confance es appots e pseuo-vasemblance empque Ben que les algotmes nfomatques pou l estmateu u mamum e vasemblance pseuo empque sous pla e sonage statfé non statfé ffèent quelque peu, la ecece es bones nféeue supéeue e l ntevalle e confance u appot e pseuovasemblance empque pou Y compote le même tpe analse e pofl. Sous un plan e sonage non statfé, l ntevalle e confance e nveau ( α) u appot e pseuo-vasemblance empque e Y est cotut e façon telle que { θ ( θ) < χ ( α), (4.) Statstque Canaa, N o -00 au catalogue
Tecnques enquête, écembe 005 7 où χ ( α) est le quantle α une lo χ à un egé e lbé. Le appot es log pseuo-vasemblances empques (θ) est onné pa ( ~ ( θ ) { l p) l ( pˆ), où les pˆ mamsent l ( p) sous l eemble e «contantes stana» telles que (.) les ~ p mamsent l ( p) sous les «contantes stana» une contante supplémentae nute pa le paamète ntéêt, Y, c est-à-e p θ. (4.) s Pou calcule ~ p, l faut tate (4.) comme une composante supplémentae e l eemble e «contantes stana» pou caque valeu fée e θ, e sote que le pocessus e mamsaton sot essentellement le même qu aupaavant. Sot ( L ˆ, Uˆ ) l ntevalle onné pa (4.). La métoe e bsecton que nous avo poposée pou touve Lˆ Uˆ est fonée su les obsevato suvantes : ) La valeu mnmale e (θ) est attente à θ ˆ ˆ s p YPEL. Da ce cas, ~ p pˆ (θ) 0. ) L ntevalle ( L ˆ, Uˆ ) est boné pa ( ( ), ( n ) ), où ( ) mn{, s ( n ) ma{, s. ) Le appot e pseuo-vasemblance empque (θ) est une foncton monotone écossante pou θ (, ˆ ( ) YPEL ) monotone cossante pou θ Yˆ, ). ( PEL ( n ) Nous pouvo ave à la concluson ) en notant que l ( pˆ ) ne fat pas nteven θ que l ~ ( p ) n s log( ~ p ) est tpquement une foncton concave e θ. Il est également possble e monte cela en véfant ectement ( θ) / θ. Pa eemple, a le cas où n ntevent aucune nfomaton aulae, les «contantes stana» sont p > 0 s p. Les pˆ sont onnés pa Y ˆ s PEL. Les p~ sont calculés sous la fome ~ p, (4.3) + λ ( où λ est la soluton e ( 0. (4.4) + λ ( s En patant e (4.3) (4.4), en notant que s / ( + λ ( ), l est facle e monte que {( λ / θ) ( λ ( θ) n n λ. θ + λ( s ( + λ( λ( En éécvant sous la fome ( [{ ] apès ca egoupements a (4.4), nous obteno λ s + λ( ( s θ. Il s eut que ( θ) / θ n λ < 0 s θ < s Y ˆ 0 PEL ( θ)/ θ > autement. Les eemples e coes pou touve ( L ˆ, Uˆ ) quan aucune vaable aulae n est utlsée fguent à l annee. Da ces conto, p ˆ Yˆ s Yˆ PEL est l estmateu e aje e Y. Le pocessus établssement u pofl coste à touve λ pou caque valeu cose e θ à évalue le appot e pseuovasemblance empque (θ) en foncton e la valeu seul e la lo χ sous le nveau e confance α souaté. S l on utlse es onnées aulaes, l faut mofe le calcul e (θ) pou caque valeu fée e θ. L algotme e bsecton pou touve Lˆ Uˆ emeue le même. La talle effectve écantllon n ot ête connue pou calcule le appot e pseuo-vasemblance empque (θ). Da le cas es pla e sonage non statfés, on la calcule selon n Sˆ / Vˆ ( ), où S ( j ) ˆ N ( N ), s j > π j π π j π j e e j V ˆ ( ), N s j > π j π π j ˆ où e Yˆ T Y T N s. Coulte Wu Rao (004) pou plus e pécso. Le calcul e n compen les pobabltés e sélecton e euème oe π j qu peuvent pose un va éf s l on utlse un plan e sonage PPT. Da leu étue en smulaton, Wu Rao (004) ont utlsé la métoe écantllonnage PPT e Rao-Sampfo. Les foncto R pou sélectonne un écantllon PPT selon cte métoe, a que pou calcule les pobabltés e sélecton e euème oe connees peuvent ête coultées a Wu (004b). Des foncto R smlaes sont également sponbles a un pogcel R complémentae appelé «pps» [pou pobablt popotonal to sze], égé pa J. Gambno (003), qu peut ête télécagé à la page accuel R à ttp://can.- poject.og/ en clquant su l opton pacages. Remecements Cte étue a été fnancée pa une bouse u Coel e ececes en scences natuelles en géne u Canaa. L auteu emece un éacteu assocé e ses commentaes cotuctfs qu lu ont pems améloe l atcle. Statstque Canaa, N o -00 au catalogue
8 Wu : Algotmes coes R pou la métoe e la pseuo-vasemblance empque a les sonages Annee : Coes R/S-PLUS A. Foncton R pou ésoue g ( λ ) 0. Sot m le nombe e vaables aulaes concenées m. Tos aguments sont equs a la foncton Lag(u,s,mu) : () u : la matce e onnées e meo n m avec e en tant que lgne,..., n ; () s : le vecteu e pos e sonage e meon n cottué e,..., n ; (3) mu : le vecteu e moennes e populaton e meon m X. La sote e la foncton est la soluton e g ( λ ) 0. Lag<-functon(u,s,mu) { n<-lengt(s) u<-u-ep(,n)%%t(mu) M<-0mu f<- tol<-e-08 wle(f>tol){ D<-0mu DD<-D%%t(D) fo( n :n){ aa<-as.numec(+t(m)%%u[,]) D<-D+s[]u[,]/aa DD<-DD-s[](u[,]%%t(u[,]))/aa^ D<-solve(DD,D,tole-) f<-ma(abs(d)) ule<- wle(ule>0){ ule<-0 f(mn(+t(m-d)%%t(u))<0) ule<-ule+ f(ule>0) D<-D/ M<-M-D un(m) A. Foncton R pou la ésoluton e g (λ) 0. Losque la vaable est unvaée, la soluton e g (λ) 0 peut ête obtenue au moen une métoe e bsecton smple fable. Les tos aguments equs pou la foncton Lag(u,s,mu) sont u (,..., n ), s (,..., n ) mu X. La sote est la soluton e g (λ) 0. Lag<-functon(u,s,mu) { L<--/ma(u-mu) R<--/mn(u-mu) f<- tol<-e-08 wle(f>tol){ M<-(L+R)/ glam<-sum((s(u-mu))/(+m(u-mu))) f(glam>0) L<-M f(glam<0) R<-M f<-abs(glam) un(m) A3. Eemple e coe pou l écantllonnage statfé. Nous evo appele la foncton Lag(u,s,mu) à pat e l écantllonnage non statfé. L étape essentelle est la pépaaton u fce e onnées afn e lu onne le fomat appopé. Sot () n ( n,..., n ) le vecteu e talle écantllon e state; () la matce e onnées avec comme vecteus e lgne,,..., n,,..., ; (3) s (,..., n,...,,..., ), n où les sont les pos e sonage ntau nomalsés pou la state ; (4) X le vecteu e moennes e populaton connues; (5) W ( W,..., W ) le vecteu e pos e state (c est-à-e W N N ). / Les eemples e coes qu suvent montent comment est touvée la soluton e g 3 ( λ ) 0 (M e l avant-enèe lgne u coe qu sut) comment sont calculés les pˆ (p e la enèe lgne). t<-sum(n) <-lengt(n)- ntot<-ep(0,) ntot[]<-n[] fo(j n :) ntot[j]<-ntot[j-]+n[j] st<-mat(0,t,) st[:n[],]<- fo(j n :) st[(ntot[j-]+):ntot[j],j]<- u<-cbn(st,) mu<-c(w[:],x) w<-ep(w[],n[]) fo(j n :(+)) w<-c(w,ep(w[j],n[j])) <-ws M<-Lag(u,,mu) p<-as.vecto(s/(+(u-ep(,t)%%t(mu))%%m)) A4. Eemple e coe pou touve l ntevalle e confance u appot e pseuo-vasemblance empque. La ecece e la bone nféeue (LB) e la boe supéeue (UB) e l ntevalle e confance u appot e vasemblance empque ot se fae sépaément. Les coes qu suvent montent comment se fat cte ecece a le cas où l on n utlse aucune nfomaton aulae. S l on utlse ce gene nfomaton, l faut mofe le calcul es appots e pseuo-vasemblance empque concenés (elato) en coéquence. Sot () a α le nveau e confance e l ntevalle souaté; () s (,..., n ) les onnées écantllon; (3) s (,..., n ) les pos e sonage nomalsés; (4) YEL s pˆ (c p ˆ ) ; (5) s la talle écantllon effectve estmée n. Statstque Canaa, N o -00 au catalogue
Tecnques enquête, écembe 005 9 tol<-e-08 cut<-qcsq(a,) t<-yel t<-ma(s) f<-t-t wle(f>tol){ tau<-(t+t)/ M<-Lag(s,s,tau) elato<-ssum(slog(+m(s-tau))) f(elato>cut) t<-tau f(elato<cut) t<-tau f<-t-t UB<-(t+t)/ t<-yel t<-mn(s) f<-t-t wle(f>tol){ tau<-(t+t)/ M<-Lag(s,s,tau) elato<-ssum(slog(+m(s-tau))) f(elato>cut) t<-tau f(elato<cut) t<-tau f<-t-t LB<-(t+t)/ Bblogape Cen, J., Stte, R.R. Wu, C. (00). Usng empcal leloo mos to obtan ange estcte wegts n egesson estmatos fo suves. Boma, 89, 30-37. atle,.o., Rao, J.N.K. (968). A new estmaton teo fo sample suves. Boma, 55, 547-557. Owen, A.B. (988). Empcal leloo ato confence ntevals fo a sngle functonal. Boma, 75, 37-49. Wu, C. (004a). Some algotmc aspects of te empcal leloo mo n suve samplng. Statstca Snca, 4, 057-067. Wu, C. (004b). R/S-PLUS Implementaton of pseuo empcal leloo mos une unequal pobablt samplng. Document e taval 004-07, Depatment of Statstcs an Actuaal Scence, Unvest of Wateloo. Wu, C., Stte, R.R. (00). A moel-calbaton appoac to usng comple aula nfomaton fom suve ata. Jounal of te Amecal Statstcal Assocaton, 96, 85-93. Wu, C., Rao, J.N.K. (004). Pseuo empcal leloo ato confence ntevals fo comple suves. Document e taval 004-06, Depatment of Statstcs an Actuaal Scence, Unvest of Wateloo. Statstque Canaa, N o -00 au catalogue