PSI Bizeux Ch. DF5 : Exemples de bilans en dynamique des fluides 54 CHAPITRE DF5 D EXEMPLES DE BILANS EN DYNAMIQUE DES FLUIDES. INTRODUCTION Jusqu à pésent, nous n avons étudié que de la dynamique locale des fluides : les équations utilisées (consevation de la masse, équation d Eule, évolution themodynamique) sont, en effet, définies en tout point de l écoulement et à tout instant. La elation de Benoulli constitue déjà une pemièe appoche de bilan puisqu elle intège l équation d Eule su une ligne de couant, pou obteni la consevation d une cetaine gandeu le long de cette ligne. Toutefois, pou détemine la foce execée pa un fluide su un obstacle pa exemple, ou établi l équation du mouvement d un système contenant un fluide en mouvement, nous allons devoi considée des volumes et des masses de fluide et effectue des bilans su des gandeus associées. Ainsi, à un instant t, nous pouvons délimite une masse donnée m de fluide occupant à cet instant le volume τ. A cette masse et à ce volume sont associées des gandeus calculables pa une intégale : quantité de mouvement, moment cinétique, énegie intene, énegie cinétique pa exemple... Deux démaches sont alos possibles ejoignant les appoches euléienne et lagangienne : - Considéant le volume τ comme fixe, nous pouvons, dans ce même volume, calcule les mêmes gandeus à l instant t + dt. Cette appoche est évidemment euléienne. Nous disons alos aisonne en système ouvet, le volume τ étant appelé volume de contôle. En effet, au cous du temps, du fluide tavese les paois du volume τ. Dans ce volume, les vaiations de toute gandeu sont puement locales (c est à die associées à l opéateu " "t ). Nous avons d ailleus déjà effectué ce type de aisonnement pou établi l équation de consevation de la masse, à pati d un bilan de masse d un volume de contôle.! masse m de fluide pésente dans! à t! masse m' pésente dans le même! à t + "t (système ouvet )
PSI Bizeux Ch. DF5 : Exemples de bilans en dynamique des fluides 55 - Nous pouvons au contaie adopte une appoche lagangienne en nous déplaçant au cous du temps avec la masse m de fluide considéée à l instant t. cette même masse occupe alos, à l instant t + dt, un volume τ, pésentant en généal des défomations pa appot au volume τ, et de volume total difféent de τ si le fluide est compessible. Les vaiations des gandeus associées à la masse m doivent alos ête calculées en tenant compte du déplacement du fluide. P P v "t!!' masse m identique pésente dans!' à t + "t (système femé ) masse m de fluide pésente dans! à t Les bilans effectués dans ce chapite pivilégieont cette denièe appoche : ces bilans sont associés à des systèmes femés de masse constante.... FUSEE La fusée epésente un système solide, mais qui contient un fluide qui est éjecté de la fusée duant sa phase populsive. Pou établi l équation de mouvement de la fusée, qui doit teni compte de ce mouvement de fluide, nous devons utilise un bilan d un système femé tel que nous venons de le décie. Plus concètement nous considéons une fusée de masse initiale m 0, qui éjecte des gaz ves l aièe, à une vitesse u pa appot à la fusée, avec un débit massique D m.. Nous allons ici aisonne su un bilan de quantité de mouvement : Considéons le système fomé à l instant t pa la fusée, de masse m(t) : il est caactéisé à cet instant pa la quantité de mouvement m(t) v (t), v (t) epésentant la vitesse de la fusée pa appot au éféentiel d étude. A l instant t + dt, la fusée a pedu la masse δm = D m dt pa éjection de gaz ves l aièe, et sa vitesse est devenue v (t + dt) : la quantité de mouvement associée est donc m(t + dt ) v (t + dt). La vaiation de masse de la fusée notée dm (donc négative) s identifie à la masse pedue - δm. Il ne faut pas oublie d ajoute la quantité de mouvement δm ( v + u ) de la masse δm éjectée. Au total, la vaiation de quantité de mouvement du système ente les deux instants est : Dp = m(t + dt ) v (t + dt) + δm ( v + u ) - m(t) v (t) = d(m v ) + δm ( v + u )= md v +D m dt u
PSI Bizeux Ch. DF5 : Exemples de bilans en dynamique des fluides 56 soit Dp Dt = m d v dt + D m u L équation de mouvement de la fusée, de masse vaiable m(t) est donnée pa la RFD : m d v dt = Σ F - D m u Il appaaît alos qu aux foces «classiques» telles que la foce de gavitation ou des foces de fottements s ajoute une foce due au débit de quantité de mouvement du fluide éjecté pa la fusée. Comme la vitesse d éjection est évidemment de sens opposé au mouvement de la fusée c est cette foce qui assue la populsion de la fusée : elle est appelée foce de poussée. Si nous pouvons néglige les autes foces devant la foce de poussée, l équation pécédente en pojection su un axe ascendant z s écit : m(t) dv dt = D m u avec m(t) = m 0 - D m t pendant la phase populsive soit dv = D m u m 0 " D m t dt => v(t) = u Ln m 0 m 0 " D m t 3. TOURNIQUET HYDRAULIQUE Le poblème du touniquet s appaente à celui de la fusée à ceci pès qu il y a la fois aivée et dépat de fluide. Un touniquet hydaulique est un système mobile, sans fottements, autou d'un axe vetical pa appot auquel son moment d'inetie vaut J (losqu'il est empli d'eau). Il est alimenté pa sa base avec un débit massique D d eau constant et compote n banches identiques de longueu a, à l'extémité desquelles l'eau est éjectée tangentiellement avec la vitesse u constante ( pa appot au touniquet ). Nous nous poposons d étudie le mouvement du touniquet, immobile à l'instant t = 0, gâce à un bilan de moment cinétique. D
PSI Bizeux Ch. DF5 : Exemples de bilans en dynamique des fluides 57 A cet effet, considéons le système femé fomé, à l instant t, pa le touniquet et la masse m de fluide constituée pa la masse m 0 contenue à l instant t dans le touniquet et de la masse dm = D dt qui sotia pa les embouts pendant le temps dt. A cet instant, évaluons le moment cinétique σ de ce système en pojection su l axe de otation : - l ensemble touniquet + la masse m 0 possède le moment cinétique Jω(t) - la masse dm aivant pa l axe du touniquet a un moment cinétique nul. A l instant t + dt, la même masse m est fomée d une masse m 0 identique dans le touniquet (fluide incompessible) et de la masse dm qui a été éjectée pa les embouts des banches du touniquet. Le même système possède, à l instant t + dt, un moment cinétique pojeté : - Jω( t + dt ) pou l ensemble touniquet + m 0 - dm a (aω - u) pou la masse éjectée (ce ésultat est indépendant du nombe de banches...) La vaiation totale de moment cinétique est donc : Dσ = Jω( t + dt ) + dm a (aω - u) - Jω(t) = [ J d" dt + Da (aω - u) ]dt D où D" Dt = J d" dt + Da (aω - u) O, ce système n est soumis à aucune foce extéieue qui ait un moment non nul pa appot à l axe de otation (en excluant tout fottement), ce qui implique D" = 0. L équation de mouvement du touniquet Dt est donc : J d" + Da ω = Dau dt Il appaaît alos que le «débit de moment cinétique» associé à l éjection de l eau agit comme un couple su le touniquet... Compte tenu des conditions initiales, la vitesse du touniquet évolue suivant la loi : ω(t) = u a ( - e- t/τ ) avec τ = J Da 4. TUYERE Nous considéons à pésent la détente d un gaz dans une tuyèe modélisée pa une conduite de évolution autou d un axe x. Les hypothèses d étude sont les suivantes :
PSI Bizeux Ch. DF5 : Exemples de bilans en dynamique des fluides 58 - Le égime est stationnaie. - Le poblème est supposé unidimensionnel, toutes les gandeus attachées au fluide ne dépendent que de la vaiable x. - Les foces de pesanteu sont négligées. - On note espectivement u 0, ρ 0, v 0, P 0, T 0, l énegie intene massique, la masse volumique, la vitesse, la pession et la tempéatue à l entée x = 0 de la tuyèe. - On note u(x), ρ (x), v(x), P(x), T(x) les mêmes gandeus à l abscisse x. - On suppose enfin que l unité de masse de fluide a eçu une chaleu q(x) ente son entée dans la tuyèe et son passage à l abscisse x. Il s agit d établi une elation de consevation ente ces difféentes gandeus. Nous aisonneons ici su un bilan d énegie. Nous considéons le système femé fomé à l instant t pa le gaz pésent dans la tuyèe ente 0 et x et la masse δm de gaz qui va pénéte dans la tuyèe pendant le temps dt : v 0 dt v(x) dt 0 x A l instant t + dt le système s est déplacé : la masse δm a pénété à gauche dans la tuyèe et la même masse ( égime stationnaie ) a fanchi l abscisse x, déplaçant la paoi (fictive) du système de v(x) dt. Le égime étant stationnaie, le gaz contenu ente les abscisses 0 et x a même énegie aux instants t et t + dt. En evanche, le système femé considéé a «pedu» l énegie associée à la tanche de gaz de masse δm qui a pénété à l abscisse 0, et «gagné» l énegie associée à une masse identique à l abscisse x. Cette énegie compend : - l énegie intene uδm - l énegie cinétique v δm D où une vaiation totale d énegie DE = [u(x) - u 0 ] δm +[ v(x) - v 0 ] δm Appliquons alos le pemie pincipe de la themodynamique au système considéé de gaz : DE = δw + δq où δq = δm q(x) et δw epésente le tavail des foces de pession associé à l évolution de gaz dans la tuyèe.
PSI Bizeux Ch. DF5 : Exemples de bilans en dynamique des fluides 59 Ce tavail peut lui-même ête décomposé en δw = - P 0 ( 0 - "m # 0 ) et δw = - P(x) ( "m #(x) - 0) Nous obtenons finalement : [u(x) - u 0 ] δm +[ v(x) - v 0 ] δm = δm q(x) + P "m 0 - P(x) "m # 0 #(x) Apès simplification pa δm et en emaquant que u + P " = h epésente l enthalpie massique du gaz : [ h(x) + v(x) ] - [ h 0 + v 0 ] = q(x) Nous etouvons en fait une fome paticulièe à la tuyèe du pemie pincipe des systèmes en écoulement vu en themodynamique et d ailleus abodé de façon identique. Notons enfin qu on suppose souvent l évolution du gaz dans la tuyèe adiabatique de sote qu on y a consevation de la quantité u+ v + P : là encoe nous etouvons un ésultat donné pa l équation de " Benoulli associée aux fluides compessibles. 5. CONDUITE COUDEE Nous considéons ici l'écoulement d'un fluide dans une conduite pésentant un coude. Nous pessentons intuitivement l existence d une foce execée pa le fluide en écoulement su la conduite au niveau du coude. Nous nous poposons de calcule cette foce pa un bilan de quantité de mouvement. S P V e! S P V! # e x #' " "' Les hypothèses d étude seont les suivantes :
PSI Bizeux Ch. DF5 : Exemples de bilans en dynamique des fluides 60 - l écoulement est supposé incompessible stationnaie unidimensionnel - les foces de pesanteu sont négligées - le coude est caactéisé pa l angle α - en amont du coude, on note espectivement S, V, P, les valeus de la section de la conduite, de la vitesse du fluide, de la pession. - les mêmes gandeus ont les valeus S, V, P en aval du coude. Nous pouvons, sans faie appel à une masse donnée de fluide établi des elations pemettant de connaîte les gandeus «aval» en fonction des gandeus «amont» : - l incompessibilité de l écoulement entaîne la consevation du débit volumique : S V = S V - Les hypothèses pemettent d utilise la elation de Benoulli sous la fome : V + P " = V + P " Considéons alos la masse m de fluide pésente à l instant t ente des sections S A et S B de fluide suffisamment éloignées du coude où la section vaie. A l instant t + dt, la même masse s est déplacée : - la paoi ( fictive ) amont a avancé de V dt, en S A - la paoi ( fictive ) aval a avancé de V dt, en S B Quelle est la vaiation de quantité de mouvement coespondante? Le fluide compis ente les sections S A et S B gade la même quantité de mouvement ( égime stationnaie ). La masse m de fluide a donc «pedu» en amont la quantité de mouvement δm V = ρs V dt V et «gagné» en aval la quantité de mouvement δm V = ρs V dt V ( appelons que S V = S V ). La vaiation de quantité de mouvement de la masse m de fluide suivie dans son déplacement est : Dp = ρs V ( V - V ) dt => D p Dt = ρs V ( V - V ) = D m ( V - V ) Nous pouvons alos écie la elation fondamentale de la dynamique à la masse m de fluide sous la fome : Dp Dt = Σ F = F P + F P - F f "c * F P epésente la foce de pession execée pa le fluide en amont de la section S A : F P = + P S e x * F P epésente la foce de pession execée pa le fluide en aval de la section S B = F P = - P S e x * F f "c epésente la foce execée pa le fluide su le coude (selon le théoème des actions écipoques la foce execée pa le coude su le fluide est F f "c ). La foce F f "c echechée est donc donnée pa : F f "c = P S e x - P S e x - D m ( V - V ) Remaquons enfin que la foce effective subie pa le coude doit ajoute (algébiquement, donc en fait etanche) la foce de pession execée pa l extéieu (pession unifome P 0 ), su la suface
PSI Bizeux Ch. DF5 : Exemples de bilans en dynamique des fluides 6 latéale Σ. Cette foce extéieue peut elle-même ête calculée en utilisant la suface femée Σ + S A + S B. En effet, nous savons que la ésultante de foces de pession unifome su une suface femée est nulle, d où : F Pext + P 0 S e x - P 0 S e x = 0 F effective = F f "c + F Pext = (P - P 0 )S e x - (P - P 0 ) S e x - D m ( V - V ) 6. PLAQUE MOBILE Une plaque ciculaie plane, de suface Σ, est en tanslation de vitesse unifome u e x. Elle est fappée pa un jet d eau homocinétique d axe x, de section S, de vitesse v e x (v > u). Les foces de pesanteu sont encoe négligées. Nous poposons de détemine la foce effective subie pa la plaque et la puissance qu elle eçoit. La difficulté de cet exemple, pa appot au pécédent, est que le égime ne peut ête considéé comme stationnaie dans le éféentiel du jet. Il le devient en evanche dans le éféentiel R lié à la plaque. Nous aisonneons donc dans ce éféentiel, où la vitesse du jet est v = v - u. Dans ce éféentiel nous pouvons calcule la vitesse v ' = v e adiale d éjection de l eau pa la plaque (elle est bien unifome si les foces de pesanteu sont négligeables). Dans R : v' e B v e x A ue x v' e Il suffit d applique la elation de Benoulli (l écoulement est incompessible et stationnaie dans R ) su la ligne de couant en suface du jet, ente les points A et B. La pession y a la même valeu P 0, la vitesse est donc aussi la même : v = v - u = v La consevation du débit volumique entaîne alos celle de la suface du jet déflêchi pa la plaque.
PSI Bizeux Ch. DF5 : Exemples de bilans en dynamique des fluides 6 La détemination de la foce subie découle d un aisonnement analogue à celui de l exemple pécédent : nous considéons la masse m d eau située à l instant t ente les sections associées aux points A et B. Elle s est déplacée, à t + dt, en A et B. La quantité de mouvement «pedue» ente A et A est ρs (v - u) dt (v - u) e x. La symétie de évolution autou de l axe x monte que les quantités de mouvement «gagnées» de B à B s annulent. Il este donc : D p = - ρs (v - u) dt (v - u) e x En emaquant enfin que les foces de pession ( coespondant à une pession unifome P 0 ) su les sections S A, S B et la suface latéale sont exactement compensées pa la foce de pession ( de pession unifome P 0 ) su l aute côté de la plaque, il este : - ρs (v - u) e x = - F effective = ρs (v - u) e x F effective La puissance demandée ( évidemment calculée dans R 0 où la plaque se déplace ) s intepète immédiatement comme étant : P = F effective. u e x = ρs u(v - u) Comment touve diectement cette puissance pa un bilan énegétique, sans passe pa la foce subie? Il nous faut alos aisonne dans le éféentiel R 0 du jet où la plaque est mobile. Considéons à nouveau la masse de fluide contenue à t ente A et B. A t + dt, l ensemble du système s est déplacé : A de V dt et en B de udt. L énegie cinétique «pedue» dans R 0 est ρs (v - u) dt v. En effet si la paoi gauche de la masse de fluide considéée s est déplacée de V dt, la paoi doite s est aussi déplacée de udt, d où une pete de masse de dm = ρs (v - u) dt seulement. C est d ailleus aussi la masse éjectée pa la plaque puisque nous aisonnons en système femé. Dans R 0 : B B' A A' v dt L énegie cinétique «gagnée» dans R 0 est elle égale à : ρs (v - u) dt [(v - u ) + u ]. N oublions pas en effet que dans R 0, v = (v - u) e x + u e x. udt
PSI Bizeux Ch. DF5 : Exemples de bilans en dynamique des fluides 63 D où DE C = ρs (v - u) dt [(v - u ) + u ] - ρs (v - u) dt v = ρs (v - u) dt u(u - v ) Soit P = DE c Dt = - ρs u(v - u) Cette pete de puissance de l eau coespond bien à la puissance eçue pa la plaque... 7. HELICE Dans un fluide pafait incompessible est immegée une hélice qui pa sa otation met le fluide en mouvement. Nous supposeons le poblème de évolution autou d un axe noté x, le poblème devenant ainsi unidimensionnel; Le égime est enfin supposé stationnaie. - en amont de l hélice, l écoulement est unifome de vitesse v, et la section de l écoulement S. - en aval de l hélice, l écoulement est unifome de vitesse v, et la section de l écoulement S - la pession loin de l hélice est unifome et égale à P 0 - les foces de pesanteu sont négligées Les lignes de couant du fluide qui «s appuient» su l hélice ont l allue suivante : S P 0 S P 0 v P 0 S A A' A B B v B' P 0 P 0 P 0 Il s agit de détemine les caactéistiques de l écoulement au voisinage de l hélice, la foce qu elle exece su le fluide et la puissance eçue pa ce denie. Le poblème vient ici du fait que la zone de fluide au voisinage poche de l hélice est en écoulement petubé, le fluide ne pouvant plus en paticulie ête considéé comme pafait : il y a notamment discontinuité de la pession de pat et d aute de l hélice. Il est impossible pa exemple d applique la elation de Benoulli su une ligne de couant qui taveseait l hélice. En evanche, il est tout à fait possible d applique cette elation : - ente un point A «loin» en amont de l hélice et un point A en amont «poche» de l hélice : v + P 0 " = v A + P A "
PSI Bizeux Ch. DF5 : Exemples de bilans en dynamique des fluides 64 - ente un point B «loin» en aval de l hélice et un point B en aval «poche» de l hélice : v + P 0 " = v B + P B " Le fluide étant incompessible, la consevation du débit exige : S v = S A v A = S B v B = S v Les points A et B étant poches de l hélice, et la section du tube de couant continue, S A S B = S, d où : v A v B = v La compaaison des expessions écites plus haut implique alos : P B - P A = ρ v " v Pou détemine la foce subie pa le fluide de la pat de l hélice, il suffit d établi un bilan de quantité de mouvement su une masse m poche de l hélice et la tavesant : Puisqu il y continuité de la vitesse en A et B, la vaiation de quantité de mouvement est nulle et on peut écie : 0 = P A S e x - P B S e x + F La foce execée pa l hélice su le fluide est donc : F = ρs v " v Cette foce est positive, ce qui implique que v > v et donc S > S, ce qui justifie l allue des lignes de couant tacées... Il est possible d établi une aute expession de F en utilisant un bilan de quantité de mouvement su une masse m de fluide tavesant l hélice et située ente des «paois» éloignées : e x - à t le système est délimité pa les «paois» A et B - à t + dt pa les «paois» A et B la vaiation de quantité de mouvement associée est : D p = ρsvdt (v - v ) e x La pession estant unifome su les paois latéales de cette masse de fluide, leu ésultante est nulle. Il ne este que la foce execée de la pat de l hélice elle-même : D où F = ρsv (v - v ) e x = D m (v - v ) e x La compaaison des deux expessions conduit à : v + v = v Nous pouvons enfin diectement expime la puissance P eçue pa le fluide selon :
PSI Bizeux Ch. DF5 : Exemples de bilans en dynamique des fluides 65 P = Fv = ρsv v " v = D v " v m Ici encoe un bilan diect d énegie auait pu nous donne cette puissance : emaquons en effet que l expession de la puissance appaaît comme étant égale à la vaiation d énegie cinétique ( pa unité de temps ) de la masse m de fluide considéée... Dans le cas d une hélice associée à un navie en tanslation de vitesse -u e x, la foce - F subie pa l hélice de la pat du fluide fait avance le navie. La puissance utile coespondante est Fu. En oute, dans un éféentiel «teeste», le fluide est au epos en avant du bateau, et à la vitesse w e x assez loin en aièe du navie. Dans le éféentiel lié au navie, les vitesses v et v sont alos espectivement égales à u e x et (w + u) e x.. D où F = D m (w + u - u) e x = D m w e x. La puissance utile, dans le éféentiel teeste, est : P u = D m w u La puissance motice nécessaie au fonctionnement de l hélice, tansmise pa le moteu embaqué, et donc déteminée dans le éféentiel du navie, epésente aussi la puissance communiquée au fluide, soit : P m = D m (w + u) " u = D m w w + u D où un endement de populsion η = P u P m = u w + u Notons enfin que le même système peut décie une éolienne, l hélice ecueillant alos de la puissance de la pat d un fluide en mouvement...