DESTINATION UNE iens avec les pogammes scolaies Poposition d execices pou les élèves et coection Pofesseu(e) de lycée Dépatement éducation fomation Cité des sciences et de l industie 0 avenue Coentin-Caiou 75019 Pais www.cite-sciences.f 015 Destination une iens avec les pogammes scolaies et execices Pofesseu(e) de lycée 1
Sommaie I iens avec les pogammes scolaies II Poposition d'execices pou les élèves II.1 Calcul de la péiode synodique à pati de la péiode sidéale 5 II. Calcul de la distance Tee une 7 II. Effets de maée et dislocation de la une 9 II.4 Détemination de la stuctue intene de la une 11 III Coection III.1 Calcul de la péiode synodique à pati de la péiode sidéale 1 III. Calcul de la distance Tee une 15 III. Effets de maée et dislocation de la une 18 III.4 Détemination de la stuctue intene de la une 0 Destination une iens avec les pogammes scolaies et execices Pofesseu(e) de lycée
I iens avec les pogammes scolaies Classe de de SVT a Tee est une planète du système solaie. e Soleil est une étoile autou de laquelle tounent difféents objets (planètes, astéoïdes, comètes). Ils sont de tailles, compositions chimiques et activités intenes vaiées. énegie solaie eçue pa les planètes vaie en fonction de la distance au Soleil. Compaaison des planètes. Étude d images et de données de sondes spatiales. Documents de planétologie compaée. Mise en évidence d une activité intene (ou de son absence) à pati de l obsevation de leus sufaces (appaeils volcaniques, figues tectoniques et leu chonologie elative etc.) Sciences physiques Pésentation de l Unives, de l atome aux galaxies. Échelles de longueu. Échelle des distances dans l Unives. Unités de longueu. Comment mesue la distance de la Tee à la une? Technique de l écho lase. Relativité du mouvement. a gavitation univeselle. Compaaison du poids d un même cops su la Tee et su la une. Intepétation du mouvement de la une (ou d un satellite) pa extapolation du mouvement d un pojectile. Pouquoi la une ne «tombe-t-elle pas» su la Tee? e temps. Altenance des jous et des nuits, des phases de la une, des saisons. Su quel pincipe epose la constuction d un calendie? Classe de 1 e S Sciences physiques es inteactions fondamentales : la gavitation. Inteactions et cohésion de la matièe à l échelle astonomique. Foces et mouvements : une appoche des lois de Newton. Réféentiel galiléen. Modélisation expéimentale d un instument d optique simple : lunette astonomique Exemple d activité : étude documentaie su le télescope de Newton. Destination une iens avec les pogammes scolaies et execices Pofesseu(e) de lycée
Classe de Teminale S Sciences physiques Tansfomations nucléaies. Exemple d activité : la fusion et les étoiles. a mécanique de Newton. Étude de cas : satellites et planètes. ois de Keple (tajectoie ciculaie ou elliptique). Réféentiel héliocentique ou géocentique. Étude d un mouvement ciculaie et unifome ; vitesse, vecteu accéléation ; accéléation nomale. Énoncé de la loi de la gavitation univeselle pou des cops dont la épatition des masses est à symétie sphéique et la distance gande devant leu taille. Application de la deuxième loi de Newton au cente d inetie d un satellite ou d une planète : foce centipète, accéléation adiale, modélisation du mouvement des centes d inetie des satellites et des planètes pa un mouvement ciculaie et unifome, applications (péiode de évolution, vitesse, altitude, satellite géostationnaie). Évolution tempoelle des systèmes et la mesue du temps. Mouvement des astes, otation de la Tee. Mesue de la céléité de la lumièe. Enseignement de spécialité unette astonomique : objectif, oculaie. Télescope de Newton : mioi sphéique, mioi plan, objectif. Modélisation de la lunette astonomique pa un système afocal de deux lentilles minces et modélisation du télescope de Newton pa un système de miois, lentille mince. Constuction gaphique de l image intemédiaie et de l image définitive d un objet plan pependiculaie à l axe optique. Caactéistiques de l image intemédiaie et de l image définitive pa constuction et/ou pa application des fomules de conjugaison. Diamète appaent. Gossissement standad. Cecle oculaie. Philosophie e savoi. es sciences de la natue et les sciences de l homme. a maîtise de la natue. a évolution galiléenne : cosmos et unives. Destination une iens avec les pogammes scolaies et execices Pofesseu(e) de lycée 4
II Poposition d'execices pou les élèves II.1 Calcul de la péiode synodique à pati de la péiode sidéale a situation va sans doute vous appele le paadoxe d Achille et de la totue, fomulé pa le philosophe gec pésocatique Zénon d Élée au V e siècle avant note èe. 1. a Tee toune autou du Soleil en un an envion, soit une péiode T T = 65,566004 jous. On suppose que la tajectoie de la Tee autou du Soleil est ciculaie. De quel angle se déplace-t-elle en une jounée? Vous expimeez cette vitesse angulaie ω T en degé pa jou.. a une toune autou de la Tee en une péiode sidéale, soit T = 7 j 7 h 4 min 1 s. On suppose que la tajectoie de la une autou de la Tee est ciculaie. Expimez cette péiode sous fome décimale, c est-à-die 7, j. De quel angle se déplace-t-elle en une jounée? Vous expimeez cette vitesse angulaie ω en degé pa jou. Destination une iens avec les pogammes scolaies et execices Pofesseu(e) de lycée 5
Nous débutons note expéience los d une pleine lune et tentons, pa le calcul, de pévoi quand aua lieu la pleine lune suivante. Autement dit, nous allons calcule le temps nécessaie à la une pou effectue un cycle complet de phases, c est-à-die une lunaison. Cet intevalle de temps s appelle la péiode synodique de la une. Repéons la une pa appot à une étoile lointaine. Une péiode sidéale T plus tad, la une est evenue dans la même position pa appot à l étoile. a une est-elle pleine? Pouquoi? 4. Pendant cette péiode sidéale T, la Tee a donc avancé d un cetain angle Ω 1 su son obite. Établissez l expession littéale puis calculez numéiquement cet angle Ω 1, poche de 7. 5. Donne littéalement puis numéiquement le temps T 1 qu il faut à la une pou pacoui cet angle Ω 1. 6. Depuis le début de note expéience, il s est donc écoulé T + T 1. a une est-elle enfin pleine? Pouquoi? 7. Ainsi, pendant ce temps T 1, poche de deux jous, la Tee a avancé d un cetain angle Ω su son obite. Établissez l expession littéale puis calculez numéiquement cet angle Ω, poche de. 8. Donne littéalement puis numéiquement le temps T qu il faut à la une pou pacoui cet angle Ω. 9. Depuis le début de note expéience, il s est donc écoulé T + T 1 + T. a une est-elle enfin pleine? Pouquoi? 10. Pendant ce temps T, poche de h 40 min, la Tee a avancé d un cetain angle Ω su son obite. Établissez l expession littéale puis calculez numéiquement cet angle Ω, poche de 9, soit 0,151. 11. Donne littéalement puis numéiquement le temps T qu il faut à la une pou pacoui cet angle Ω. Faisons une pause. Depuis le début de note expéience, il s est écoulé T + T 1 + T + T, soit un peu plus de 9 jous et 1 heues. Un schéma commence à se dégage de vos calculs vous avez bien T sû econnu la somme des temes d une suite géométique de aison q = et de pemie teme T. Comme vous connaissez vote cous de mathématiques su le bout des doigts, vous savez que cette séie convege pace que la aison q est stictement inféieue à 1. Sa limite vaut T T. 1 q T 1 1. Que vaut numéiquement cette limite? Voilà, vous venez de calcule le temps moyen que due un cycle complet des phases de la une, c est-à-die la péiode synodique de la une. Bavo! a valeu exacte est 9 h 1 h 44 min,9 s. Destination une iens avec les pogammes scolaies et execices Pofesseu(e) de lycée 6
II. Calcul de la distance Tee une On se popose ici de calcule la distance Tee une selon une méthode inspiée de celle poposée pa l astonome gec Aistaque de Samos (ves 10 av. J.-C. ves 0 av. J.-C.) dans son ouvage Su les gandeus et les distances (du Soleil et de la une). 1. On fait l hypothèse que l ombe engendée pa la Tee dans la diection opposée au Soleil est cylindique. Cette hypothèse est-elle valable? Sinon, quelle est la véitable fome de l ombe?. obsevation monte que la une se déplace d'une distance égale à son diamète en une heue et que les éclipses totales de une les plus longues duent pès de heues. Pouvezvous en déduie le appot numéique ente le diamète lunaie et le diamète teeste? a valeu admise aujoud hui est 0,7. a valeu que vous venez de calcule (compise ente 0, et 0,4) n en est donc pas top éloignée. Destination une iens avec les pogammes scolaies et execices Pofesseu(e) de lycée 7
1,5. a une est vue sous un diamète d envion 1,5, soit 0,55. On se popose ici de 60 calcule la distance à laquelle il faut se touve d un objet pou le voi sous un angle de 0,55, en fonction de la taille de cet objet. a. R est le ayon de la une, D la distance ente l obsevateu teeste et la une et l angle sous lequel on voit la une depuis la Tee. Quelle elation tigonométique elie ces tois gandeus? b. angle, on l a vu, est assez petit. Pou les petits angles, on peut assimile la tangente de l angle à l angle lui-même. Que devient alos la elation déteminée plus haut? c. Attention, dans cette elation, l angle est expimé adian! Pouvez-vous donc expime 0,55 en adian? Rappel : 1 adian = 180/π degés 57,. N oubliez pas ensuite de divise le ésultat pa deux pou teni compte du fait que l angle est l angle sous lequel on voit le ayon de la une, et pas son diamète! d. Enfin, à pati des éponses appotées aux questions b et c, expimez la distance à laquelle il faut se touve de la une pou la voi sous un angle de 0,55 en fonction de son diamète (ou, ce qui evient au même, pou voi, en fonction de son ayon, ce même ayon sous un angle de 0,65 ). 4. Nous connaissons donc maintenant la distance Tee une D en fonction du ayon R de la une. Gâce à la question, nous avons estimé la taille de la une en fonction de celle de la Tee. Voilà qui nous pemet de détemine la distance Tee une en fonction du ayon teeste! Pouvez-vous effecteu ce calcul? 5. a distance éelle Tee-une est poche de 60 ayons teestes. a méthode que nous venons d applique mène à une distance égale à pès de 7 ayons teestes, soit 464 000 km. Au vu de nos hypothèses, le ésultat est tès satisfaisant. Que pouait-on change à ces hypothèses pou amélioe la pécision du ésultat? es Gecs connaissaient ainsi la otondité de la Tee, sa taille et la distance Tee une. Ils se sont également attaqués à la distance Tee Soleil, qu ils ont estimée à 19 fois la distance Tee une, soit une eeu d un facteu 0, puisque le Soleil est 90 fois plus éloigné que la une! Il fauda attende le XVII e siècle pou que cette valeu soit coigée. Destination une iens avec les pogammes scolaies et execices Pofesseu(e) de lycée 8
II. Effets de maée et dislocation de la une Soient deux sphèes indéfomables de ayon x et de masse m, en contact (leus centes sont donc sépaés de la distance x), obitant autou d une planète de masse M. 1. Calculez l intensité de la foce d attaction gavitationnelle F g sphèes. ente les deux petites. Calculez l intensité de la foce execée pa la planète su chacune des sphèes, F et 1 F x. Calculez ensuite la difféence ente ces deux intensités. Mettez en facteu au dénominateu et vous deviez obteni une expession du type x F F x cte (1 (1 ) ). On monte que, losque y est tout petit devant 1, alos (1 ny) est tès peu difféent de 1 ny. En supposant que x est bien plus petit que (x<<), donnez une expession simplifiée de F. F x. À la distance appelée limite de Roche (du nom de l'astonome fançais Edouad Roche au XIX e siècle), les deux petites sphèes se détacheaient sous l effet des foces de maée impimées pa la planète. À cette limite d, on a F F F. Expimez cette elation en fonction des paamètes du poblème. 4. Sachant que la masse est égale au poduit de la masse volumique pa le volume, on a 4 4 M planètev planète planète Rplanète et m sphèev sphèe sphèe Rsphèe. 5. En déduie cette distance d en fonction de R planète, ρ planète et ρ sphèe. Rappel : x g x R sphèe. Destination une iens avec les pogammes scolaies et execices Pofesseu(e) de lycée 9
6. Dans le cas d un satellite fluide et donc défomable, dont la cohésion ne seait maintenue que pa les seules foces de gavitation intenes, on monte que la distance en deçà de 1 planète laquelle il se disloqueait vaut d,4 R planète ( ). En appliquant cette fomule au système Tee - une, calculez jusqu à quelle distance la une pouait s appoche sans dange de la Tee. R Tee = 6 78 km, Tee = 5 515 kg.m -, une = 44 kg.m -. On peut imagine que si la une fanchissait la limite de Roche, elle se disloqueait et les débis fomeaient un anneau autou de la Tee. Quel spectacle extaodinaie ce seait! Mais nous ne seions peut-ête plus là pou l admie sphèe Destination une iens avec les pogammes scolaies et execices Pofesseu(e) de lycée 10
II.4 Détemination de la stuctue intene de la une Essayons de détemine gossièement la stuctue intene de note satellite. 1. Calculez d abod sa masse volumique moyenne ρ. Rappel : le volume d une sphèe de ayon R est 4 V R.. En déduie sa densité pa appot à l eau. Rappel : la masse volumique de l eau liquide vaut 1 000 kg.m - sous une atmosphèe, à 4 C. On penda cette valeu pou le calcul. On peut ainsi imagine que la une se compose de : - un noyau dense, iche en fe (d = 10, soit ρ noyau = 10 000 kg.m - ) de ayon x ; - un manteau de oches silicatées (d =, soit ρ manteau = 000 kg.m - ), entouant le noyau. Ce manteau possède une épaisseu R une x.. En écivant que la masse totale de la une est égale à la masse de son noyau augmentée de la masse de son manteau, déteminez le ayon x du noyau. Rappel : le masse M d un cops de masse volumique et de volume V est M V. 4. Comment pouait-on amélioe note modèle, ici simpliste? Données : R 1 77 km et M 7,48.10 kg une une Un modèle de stuctue intene de la une. Destination une iens avec les pogammes scolaies et execices Pofesseu(e) de lycée 11
III Coection III.1 Calcul de la péiode synodique à pati de la péiode sidéale 1. a Tee toune autou du Soleil en un an envion, soit une péiode T T = 65,566004 jous. On suppose que la tajectoie de la Tee autou du Soleil est ciculaie. De quel angle se déplacet-elle en une jounée? Vous expimeez cette vitesse angulaie ω T en degé pa jou. 60 T = 0,98561 / jou 65, 566004. a une toune autou de la Tee en une péiode sidéale, soit T = 7 j 7 h 4 min 1 s. On suppose que la tajectoie de la une autou de la Tee est ciculaie. Expimez cette péiode sous fome décimale, c est-à-die 7, j. De quel angle se déplace-t-elle en une jounée? Vous expimeez cette vitesse angulaie ω en degé pa jou. T = 7, jous et ω = 1,176 / jou Destination une iens avec les pogammes scolaies et execices Pofesseu(e) de lycée 1
Nous débutons note expéience los d une pleine lune et tentons, pa le calcul, de pévoi quand aua lieu la pleine lune suivante. Autement dit, nous allons calcule le temps nécessaie à la une pou effectue un cycle complet de phases, c est-à-die une lunaison. Cet intevalle de temps s appelle la péiode synodique de la une. Repéons la une pa appot à une étoile lointaine. Une péiode sidéale T plus tad, la une est evenue dans la même position pa appot à l étoile. a une est-elle pleine? Pouquoi? a Tee ayant effectué une petite potion de son obite autou du Soleil, la une n est pas encoe pleine puisqu elle ne se touve pas dans la diection opposée au Soleil. 4. Pendant cette péiode sidéale T, la Tee a donc avancé d un cetain angle Ω 1 su son obite. Établissez l expession littéale puis calculez numéiquement cet angle Ω 1, poche de 7. Ω 1 = ω T T = 6,98 = 6 55 4,5 5. Donne littéalement puis numéiquement le temps T 1 qu il faut à la une pou pacoui cet angle Ω 1. T 1 T 1 T =,047 jous = j 1 h min 55,5 s 6. Depuis le début de note expéience, il s est donc écoulé T + T 1. a une est-elle enfin pleine? Pouquoi? a une n est toujous pas pleine ca pendant ces deux jous envion, la Tee a avancé un peu su son obite. a une n est toujous pas dans la diection opposée au Soleil. 7. Ainsi, pendant ce temps T 1, poche de deux jous, la Tee a avancé d un cetain angle Ω su son obite. Établissez l expession littéale puis calculez numéiquement cet angle Ω, poche de. T Ω = ω T T 1 = T =,014 = 0 51,4 8. Donne littéalement puis numéiquement le temps T qu il faut à la une pou pacoui cet angle Ω. T T = 0,15871091419 j = h 40 min 8,1 s T 9. Depuis le début de note expéience, il s est donc écoulé T + T 1 + T. a une est-elle enfin pleine? Pouquoi? a une n est toujous pas pleine ca pendant ces tois heues quaante minutes envion, la Tee a avancé un tout petit peu su son obite. a une n est toujous pas dans la diection opposée au Soleil, mais elle efait son etad! Destination une iens avec les pogammes scolaies et execices Pofesseu(e) de lycée 1
10. Pendant ce temps T, poche de h 40 min, la Tee a avancé d un cetain angle Ω su son obite. Établissez l expession littéale puis calculez numéiquement cet angle Ω, poche de 9, soit 0,151. T Ω = ω T T = T = 0,15067 = 9,4 11. Donne littéalement puis numéiquement le temps T qu il faut à la une pou pacoui cet angle Ω. T T = 0,0114497901j = 16 min 7,98 s T Faisons une pause. Depuis le début de note expéience, il s est écoulé T + T 1 + T + T, soit un peu plus de 9 jous et 1 heues. Un schéma commence à se dégage de vos calculs vous avez bien T sû econnu la somme des temes d une suite géométique de aison q = et de pemie teme T. Comme vous connaissez vote cous de mathématiques su le bout des doigts, vous savez que cette séie convege pace que la aison q est stictement inféieue à 1. Sa limite vaut T T. 1 q T 1 1. Que vaut numéiquement cette limite? T + T 1 + T + T = 9,596707846 j = 9 j 1 h 4 min 4,5 s n T T = T + T + T T + T T + + T T n + = T T ( ) n0 = 9,5059489575j = 9 j 1 h 44 min,4 s. n T T 1 Voilà, nous venons de calcule le temps moyen que due un cycle complet des phases de la une, c est-à-die la péiode synodique de la une. a valeu exacte est 9 j 1 h 44 min,9 s. Avouez qu une demi-seconde d eeu su un mois, ce n est pas mal! Destination une iens avec les pogammes scolaies et execices Pofesseu(e) de lycée 14
III. Calcul de la distance Tee une selon Aistaque On se popose ici de calcule la distance Tee une selon une méthode inspiée de celle poposée pa l astonome gec Aistaque de Samos (ves 10 av. J.-C. ves 0 av. J.-C.) dans son ouvage Su les gandeus et les distances (du Soleil et de la une). 1. On fait l hypothèse que l ombe engendée pa la Tee dans la diection opposée au Soleil est cylindique. Cette hypothèse est-elle valable? Sinon, quelle est la véitable fome de l ombe? En théoie, l ombe de la Tee est un cône de évolution. On monte que le sommet du cône se touve dans la diection opposée au Soleil, ente 1 et 1 ayons teestes du cente de la Tee, en fonction de la distance Tee Soleil.. obsevation monte que la une se déplace d'une distance égale à son diamète en une heue et que les éclipses totales de une les plus longues duent pès de heues. Pouvez-vous en déduie le appot numéique ente le diamète lunaie et le diamète teeste? a valeu admise aujoud hui est 0,7. a valeu que vous venez de calcule (compise ente 0, et 0,4) n en est donc pas top éloignée. éclipse totale de une débute losque la une se touve enfin entièement dans l ombe de la Tee. Si l éclipse due deux heues (duée maximale de la phase de totalité de l éclipse), la une aua eu le temps de se déplace d une distance égale à deux fois son diamète tout en estant dans l ombe, juste avant d en soti. Un diamète lunaie + deux diamètes lunaies = tois diamète lunaies = diamète de la Tee puisqu on suppose l ombe cylindique. e appot ente le diamète de la une et celui de la Tee se monte à un ties, soit 0,. Destination une iens avec les pogammes scolaies et execices Pofesseu(e) de lycée 15
1,5. a une est vue sous un diamète d envion 1,5, soit 0,55. On se popose ici de 60 calcule la distance à laquelle il faut se touve d un objet pou le voi sous un angle de 0,55, en fonction de la taille de cet objet. a. R est le ayon de la une, D la distance ente l obsevateu teeste et la une et l angle sous lequel on voit la une depuis la Tee. Quelle elation tigonométique elie ces tois gandeus? tan(θ) = R D b. angle, on l a vu, est assez petit. Pou les petits angles, on peut assimile la tangente de l angle à l angle lui-même. Que devient alos la elation déteminée plus haut? θ R D c. Attention, dans cette elation, l angle est expimé adian! Pouvez-vous donc expime 0,55 en adian? Rappel : 1 adian = 180/π degés 57,. N oubliez pas ensuite de divise le ésultat pa deux pou teni compte du fait que l angle est l angle sous lequel on voit le ayon de la une, et pas son diamète! θ = 0,5 0,55 = 0,65 = 4,58.10 - ad. 180 d. Enfin, à pati des éponses appotées aux questions b et c, expimez la distance à laquelle il faut se touve de la une pou la voi sous un angle de 0,55 en fonction de son diamète (ou, ce qui evient au même, pou voi, en fonction de son ayon, ce même ayon sous un angle de 0,65 ). R On veut que D = 4,58.10- d où D 18,. Pou voi la une sous un angle de 0,55, il faut l obseve depuis une distance égale à 18, fois son ayon ou 109,1 fois son diamète. Destination une iens avec les pogammes scolaies et execices Pofesseu(e) de lycée 16
4. Nous connaissons donc maintenant la distance Tee une D en fonction du ayon R de la une. Gâce à la question, nous avons estimé la taille de la une en fonction de celle de la Tee. Voilà qui nous pemet de détemine la distance Tee une en fonction du ayon teeste! Pouvez-vous effecteu ce calcul? 18, 1 = 7,8. Selon nos calculs, la distance Tee une s élève à 7,8 ayons teestes. 5. a distance moyenne éelle Tee-une est poche de 60, ayons teestes. a méthode que nous venons d applique mène à une distance égale à pès de 7 ayons teestes, soit 464 000 km. Au vu de nos hypothèses, le ésultat est tès satisfaisant. Que pouait-on change à ces hypothèses pou amélioe la pécision du ésultat? Pende en compte le fait que l ombe de la Tee n est pas cylindique mais conique, amélioe la pécision su la duée maximale d une éclipse totale de une Destination une iens avec les pogammes scolaies et execices Pofesseu(e) de lycée 17
III. Effets de maée et dislocation de la une Soient deux sphèes indéfomables de ayon x et de masse m, en contact (leus centes sont donc sépaés de la distance x), obitant autou d une planète de masse M. 1. Calculez l intensité de la foce d attaction gavitationnelle F g ente les deux petites sphèes. F g Gm x. Calculez l intensité de la foce execée pa la planète su chacune des sphèes, F et F x. F GMm GMm et F x ( x) 1. Calculez ensuite la difféence ente ces deux intensités. Mettez en facteu au x dénominateu et vous deviez obteni une expession du type F F x cte (1 (1 ) ). On monte que, losque y est tout petit devant 1, alos (1 ny) est tès peu difféent de 1 ny. En supposant que x est bien plus petit que (x<<), donnez une expession simplifiée de F. F x GMm GMm 1 1 GMm 1 F F x GMm 1 ( x) ( x) x (1 ) = GMm x GMm x GMm x GMmx 1 (1 ) 1 (1 ) ( ) Ouf! Destination une iens avec les pogammes scolaies et execices Pofesseu(e) de lycée 18
4. À la distance appelée limite de Roche (du nom de l'astonome fançais Edouad Roche au XIX e siècle), les deux petites sphèes se détacheaient sous l effet des foces de maée impimées pa la planète. À cette limite d, on a F F F. Expimez cette elation en fonction des paamètes du poblème. x g À la limite de oche, on a F F x Fg c est-à-die Apès simplification, il vient M x m GMmx Gm x 5. Sachant que la masse est égale au poduit de la masse volumique pa le volume, on a 4 4 M planètev planète planète Rplanète et m sphèev sphèe sphèe Rsphèe. x En déduie cette distance d en fonction de R planète, ρ planète et ρ sphèe. Rappel : R sphèe. On a donc ici 4 planète planète planètev R planète d x x, avec 4 sphèevsphèe sphèe Rsphèe x Rsphèe Apès simplification, on obtient d R 16 planète planète,50rplanète sphèe planète sphèe 6. Dans le cas d un satellite fluide et donc défomable, dont la cohésion ne seait maintenue que pa les seules foces de gavitation intenes, on monte que la distance en deçà de laquelle il se planète disloqueait vaut d,4rplanète. En appliquant cette fomule au système Tee sphèe une, calculez jusqu à quelle distance la une pouait s appoche sans dange de la Tee. R Tee = 6 78 km, Tee = 5 515 kg.m -, une = 44 kg.m -. Avec les données founies, on obtient d 1860 km, du cente de la Tee au cente de la une. es sufaces des deux astes ne seaient alos sépaées que de 10 150 km! Destination une iens avec les pogammes scolaies et execices Pofesseu(e) de lycée 19
III.4 Détemination de la stuctue intene de la une Essayons de détemine gossièement la stuctue intene de note satellite. Données : R 1 77 km et M 7,48.10 kg une une 1. Calculez d abod sa masse volumique moyenne ρ. Rappel : le volume d une sphèe de ayon R est V 4 R. a masse volumique moyenne de la une est le quotient de sa masse et de son volume. M une = 47 kg/m 4 Rune. En déduie sa densité pa appot à l eau. Rappel : la masse volumique de l eau liquide vaut 1 000 kg.m - sous une atmosphèe, à 4 C. On penda cette valeu pou le calcul. a densité moyenne de la une vaut,47. Elle est intemédiaie ente celle des oches et celle des métaux. On peut ainsi imagine que la une se compose de : - un noyau dense, iche en fe (d = 10, soit ρ noyau = 10 000 kg.m - ) de ayon x ; - un manteau de oches silicatées (d =, soit ρ manteau = 000 kg.m - ), entouant le noyau. Ce manteau possède une épaisseu R une x.. En écivant que la masse totale de la une est égale à la masse de son noyau augmentée de la masse de son manteau, déteminez le ayon x du noyau. Rappel : le masse M d un cops de masse volumique et de volume V est M V. M M M V V une noyau manteau noyau noyau manteau manteau 4 4 = noyau x manteau ( Rune x ) On isole x et l on obtient x M 4 R 4 ( ) une manteau une noyau manteau 68, km. a une possédeait donc un noyau de 68, km de ayon, sumonté pa un manteau de 1 098,8 km d épaisseu. On peut véifie que la masse de ce noyau additionné de la masse de ce manteau donne bien la masse totale de la une. 4. Comment pouait-on amélioe note modèle, ici simpliste? On peut inclue des couches supplémentaies de densité difféente, popose une vaiation continue de la densité en étudiant les popiétés de la matièe à haute pession etc. Destination une iens avec les pogammes scolaies et execices Pofesseu(e) de lycée 0