24 mas 2009 cous de la semaine # 06a Bienvenue au Cous de physique généale Physique II pou étudiants de pemièe année en section de mathématiques Pof. Geoges Meylan Laboatoie d astophysique Site web du laboatoie et du cous : http://lasto.epfl.ch EPFL - GM 1
Cinquième patie : Chapites spéciaux de mécanique analytique et de elativité esteinte Mécanique analytique : coodonnées généalisées fomalismes de Lagange (et Hamilton) Mécanique elativiste : postulats de la elativité esteinte d Einstein tansfomation de Loentz cinématique et dynamique elativiste Buts : acquisition d outils supplémentaies pou la ésolution de poblèmes plus complexes (mécanique classique des systèmes matéiels avec containtes) sensibilisation aux pincipes et phénomènes de elativité esteinte EPFL - GM 2
La mécanique lagangienne mécanique analytique, fomalisme lagangien Simplement une efomulation tès généale des équations du mouvement de la mécanique newtonienne classique, aboutissant aux équations de Lagange : totalement équivalente à la desciption de ewton, c-à-d F = ma donc, pas de nouveau concept fondamental Avantages : pemet une appoche systématique de tous les poblèmes de la mécanique (et même plus!), aussi difficiles soient-ils appote une simplification pou la détemination de mouvements complexes, en paticulie dans le cas de plusieus points matéiels ou solides soumis à des containtes (foces de liaisons) Démos : Résonance ente deux pendules # 67 ; Pendules couplés # 769 pemet de tavaille avec n impote quel type de coodonnées (pas seulement catésiennes, cylindiques ou sphéiques) pemet de se débaasse des foces de liaison inconnues et auxquelles on ne s intéesse pas focément élimine les vecteus et donc la nécessité de faie des pojections EPFL - GM 3
G & B p. 645 EPFL - GM 4
G & B p. 645 EPFL - GM 5
Rappel de définitions G & B pp. 68-69 EPFL - GM 6
Commençons pa un cas paticulie simple «Xceleato» Knott s Bey Fam Buena Pak, CA, USA Systèmes consevatifs à un degé de libeté q = vaiable spécifiant l état du système à chaque instant Exemple : distance pacouue depuis le point de dépat du «Xceleato» Quelle est l évolution du système, c est-à-die l équ. diff. pou q(t)? Méthode de Lagange : où d dt "L " q # "L "q = 0 # % L = L(q, q ) = T " V = lagangien du système $ T = énegie cinétique du système &% V = énegie potentielle du système il suffit donc de détemine le lagangien, puis de ésoude l équation de Lagange EPFL - GM 7
Exemples tès simples (Lagange) Mouvement ectiligne sous l action d une foce consevative q = position x % $L L = T " V = 1 m x ' 2 $ q = $L $ x = m x = quantité de mouvement p " V(x) # 2 & ' $L $q = $L ( $x = "$V $x = foce F d "L dt " q # "L "q = 0 $ dp # F = 0 (2ème loi de ewton) dt O Pendule simple de longueu dans un plan vetical θ q = angle θ &%L L = 1 2m 2 " 2 % q = %L = m 2 ( " = moment cinétique +mg cos" 123 14 243 $ % " mg ' %L T #V ( %q = %L = #mg sin" = moment de foce M ) %" d dt "L " q # "L "q = 0 $ d dt ( m 2 %) # M = 0 (théoème du moment cinétique) " # + g sin# = 0 EPFL - GM 8
Pele su un collie paabolique Loi de ewton (pojetée su axes u et v) : R +m g = m a " avec tg" = dy dx = d(bx2 ) dx % #mgsin$ = m( x cos$ + y sin$) (1) & ' R # mgcos$ = m(# x sin$ + y cos$) (2) = 2bx et y = 2bx x, y = 2bx x +2b x 2 (1) " # gtg$ = x + y tg$ = x +(2bx x +2b x 2 )2bx " # 2bgx= x (1 + 4b 2 x 2 ) + 4b 2 x x 2 Méthode de Lagange 2 coodonnées x et y avec containte : y = bx 2 un seul degé de libeté, on choisit q = x T = 1 m x 2 2 + ( y 2 ) et V = mgy L(x, x ) = T " V = 1 m x 2 2 +(2bx x ) 2 %#L ' " # x = m x (1 + 4b2 x 2 ) & #L (' #x = 4mb2 x 2 x $ 2mgbx ( ) " mgbx 2 = 1 2 m y=bx 2 EPFL - GM 9 O y v R m mg - pas de vecteus à pojete su des axes qu il faudait choisi judicieusement - pas de foce de liaison à considée x 2 (1+ 4b 2 x 2 ) " mgbx 2 d "L dt " x # "L "x = 0 $ x (1+ 4b 2 x 2 ) +8b 2 x x 2 # 4b 2 x x 2 + 2bgx=0 α α x u
Machine d Atwood http://www.univ-lemans.f/enseignements/physique/02/meca/atwood.html EPFL - GM 10
Machine d Atwood Deux points matéiels eliés pa un fil passant su une poulie : fil souple, sans masse, ne glissant pas su la poulie pas de fottement su l axe de la poulie Un seul degé de libeté : Coodonnées : x 1, x 2, θ $ & x 1 + x 2 = l = constante Containtes : % " = # = x 1 '& R On choisit : q=x 1 =x x 1 m 1 M R θ m 2 x 2 T = 1 m 2 1 x 2 1 + 1 m 2 2 x 2 2 + 1 2 I"2 = 1 m 2 ( +m 1 2) x 2 + 1 2 V = #m 1 gx 1 # m 2 gx 2 = #m 1 gx # m 2 g l # x L(x, x ) = T # V = 1 2 d dt 1 ( MR 2 2 ) x R ( )gx # m 2 gl ( ) = m 2 # m 1 ( m 1 +m 2 + 1 M 2 ) x 2 # ( m 2 # m 1 )gx +m 2 gl "L " x # "L "x = (m 1 +m 2 + 1 M) x +(m 2 2 # m 1 )g = 0 $ x = ( ) 2 = 1 2 m 1 +m 2 + 1 2 M ( ) x 2 m 1 # m 2 m 1 +m 2 + 1 2 M g EPFL - GM 11
Containtes et foces de liaison Système de points matéiels (α = 1, ) soumis à des containtes (géométiques) connues qui limitent son mouvement : on peut toujous emplace les containtes pa foces de liaison, R α, inconnues a pioi, mais s exeçant su les points du système de sote à ce qu il obéisse en tout temps à ces containtes Déplacement vituel compatible avec les containtes : tout déplacement du système que l on pouait impose (pa une action extéieue) en espectant les containtes qui existent à un instant donné Condition des tavaux vituels : R " # $ $ % R " = 0 où " = foce de liaison s'exeçant su le point " % &# ", " =1,..., : déplacement vituel compatible "=1 on ne considéea que des liaisons qui espectent cette condition (liaisons pafaites), c est-à-die telles que la somme des tavaux est nulle pou tout déplacement vituel compatible EPFL - GM 12
Containtes et foces de liaisons (2) Exemples : un seul point matéiel containt à este su une suface : la condition des tavaux vituels expime que la foce de liaison est pependiculaie à la suface système de deux points matéiels P 1 et P 2 containts à este à une distance fixe l un de l aute (pa une tige igide, pa exemple) : R 2 = " R 1 = paallèle à P 1 P 2 (3ème loi) # 2 = # 1 +# $ & ' %P 1 P 2 (solide indéfomable) ( P 1 " 1 R 1 " 2 P R 2 2 ) R 1 * # 1 + R 2 * # 2 = 0 R " Difféence ente déplacement vituel et déplacement éel : point matéiel su une tappe s ouvant à vitesse constante : θ(t) = ωt " = déplacement vituel compatible au temps t d = (t +dt) # (t) = déplacement éel ente t et t +dt EPFL - GM 13 θ(t) d R "
G & B p. 351 EPFL - GM 14
G & B p. 351 EPFL - GM 15
G & B p. 351 EPFL - GM 16
G & B p. 352 EPFL - GM 17
Définition du déplacement éel G & B p. 352 EPFL - GM 18
Définition du déplacement vituel G & B p. 354 EPFL - GM 19
Pincipe de d Alembet 2ème loi de ewton appliquée à chaque point α d un système : # R où " = foce de liaison s'exeçant su le point " ma " = F " + R " $ % F " = ésultante des autes foces appliquées su " Jean le Rond, dit d Alembet 1717 1783 Pou tout déplacement vituel compatible avec les containtes : ote : & ma " # F " " = 0 "=1 ( ) $ % Equation de d Alembet (1758) les foces de liaisons sont éliminées, pa l intoduction des déplacements vituels compatibles avec les containtes EPFL - GM 20
Coodonnées généalisées La configuation d un système est décite pa la donnée de vecteus positions, c est-à-die 3 composantes catésiennes Coodonnées généalisées : ensemble de n vaiables q i, dont les valeus à chaque instant t spécifient " (t) = complètement la configuation du système les gandeus q i peuvent ête de n impote quelle natue ; elles n ont pas besoin d avoi la même dimension! # x " (t)& y " (t) % (, " =1,..., $ z " (t)' " (t) = " q 1 (t), q 2 (t),..., q n (t),t ( ) Exemples ( = 1) : coodonnées sphéiques (n = 3) : =distance, θ=angle, φ=angle (t) = (t), "(t), #(t) ( ) = $ sin" cos# ' sin" sin# & ) % cos" ( point matéiel su tappe s ouvant à vitesse constante, coodonnée s = déplacement su la tappe (n=1) : y x (t) = $ s cos("t) ' θ(t) = ωt ( s(t),t) = & #s sin("t) s ) % 0 ( EPFL - GM 21
Foces généalisées Déplacement vituel compatible avec les containtes quand la position du système passe de {q i ; i=1, n} à {q i + δq i ; i=1, n} : " # (t) = $ # "q " $q 1 + $ # "q 1 $q 2 +...+ $ n # $ "q 2 $q n = n % # "q $q i i=1 i % # ' = déivée patielle de "q # pa appot à q i (tous les autes q j fixes) où & i " ' # $q "q i = déplacement causé pa la vaiation $q i de q ( i i Tavail des foces: "W = F # $ " n ' % # = F # $ & * n %)% # &q,"q i = #=1 i % Q i "q i i=1 ( #=1 + i=1 142 43 ote: la dimension de Q i est telle Q i = foce généalisée associée à q i que Q i q i ait la dimension d une énegie Si les foces déivent d une énegie potentielle V : Q i = F " # $ 3 3 % " $ = F ",k $q ",k i %% = & $V $ ",k $q i %% = & $V $ ",k $q i $q i "=1 "=1 k =1 "=1 k =1 EPFL - GM 22
Démos : Résonance ente deux pendules (pendule sous pendule) # 67 Degés de libeté (systèmes «mécano») # 98 Popiétés statiques et dynam # 629 Degés de libeté n = nombe minimal de coodonnées généalisées nécessaies " n = 3 si le système n'est soumis à aucune containte # $ n < 3 si le système est soumis à des containtes Si les n coodonnées peuvent vaie indépendamment les unes des autes sans viole les containtes, alos le système est dit holonôme à n degés de libeté Exemples de systèmes holonômes : cylinde su tappe s ouvant à vitesse constante : 1 degé de libeté (coodonnée s) si oulement sans glissement 2 degés de libeté (coodonnées s et φ) si oulement avec glissement point matéiel su un cône : 2 degés de libetés (coodonnées et φ, θ fixé) 2 points matéiels sépaés pa une distance constante : 5 degés de libeté 3 degés de libeté si les points sont asteints à este su la même sphèe 1 degé de libeté si les points sont asteints à este su le même cecle 2 pendules, l un suspendu à l aute : 4 degés de libeté solide indéfomable : 6 degés de libeté EPFL - GM 23
Démo : Tabouet tounant (oue de vélo) # 17 Ceceau oulant sans glisse su un plan Ceceau vetical de ayon R se déplaçant sans glisse su un plan hoizontal 4 coodonnées généalisées : x, y, θ et φ Ces coodonnées ne sont pas indépendantes, il existe des elations ente leus vaiations: v = x + y = R " # % x = v cos$ = R " cos$ & ' y = v sin$ = R " sin$ # % dx = R cos$ d" & ' dy = R sin$ d" O y x y φ R θ x Ces elations ne sont pas intégables on ne peut pas expime une des coodonnées comme une fonction des autes on ne peut donc pas élimine une des coodonnées ce système n est pas holonôme! Il y a au minimum 4 coodonnées, mais seulement 2 degés de libeté : Pivotement : vaiation de φ pou x, y, et θ constants Roulement : vaiation de x, y, ou θ (entaînant nécessaiement une vaiation des deux autes coodonnées) pou φ constant EPFL - GM 24
Déivation des équations de Lagange Vitesses : v " = d " dt = Enegie cinétique totale du système : i=1 # " #q i Si tous les δq i indépendants (système holonôme) : n $ q i + T = 1 2 m 2 # " v " " "=1 # " #t " # v $ = # $ # q i #q i #T = # q i m $ v $ % # v $ & = m # q $ v $ % # $ i & #q i d # "T & % ( = m dt $ " q i ' ) a ) * " ) + v "q ) * " v # & + % ) ( = m $ i "q i ' ) a ) * " + ) + "T "q )=1 )=1 i "q i n " d #T $ #T n % ( %,' * +q & dt # q i #q i ) i = m - a -. # (,', - #q * +q i = m - a -. + - i=1 i=1 & -=1 i, ) -=1 n d "T # "T $ ' + & # Q % dt " q i "q i )*q i ( i = m, a, - * n +, # + Q i *q i = + m, a, - *, # i=1,=1 i=1,=1 = + ( m, a, # F, ) - *, = 0 (d'alembet),=1 EPFL - GM 25 $=1 d "T # "T # Q dt " q i "q i = 0, $ i i Equations de Lagange ote su les déplacements éels d " et vituels # " : d " = # " $ % " /%t = 0 $=1 +,=1 F, - *,
Equations de Lagange (1788) Pou un système holonôme à n degés de libeté : d dt où "T # "T " q i "q i # Q i = 0, pou i =1,..., n " $ T = énegie cinétique totale du système # q i = coodonée généalisée % $ Q i = foce généalisée associée à la coodonée q i Si les foces déivent d un potentiel V tel que : Q i = d dt d dt où équations de Lagange de 1èe espèce "V # "V $ & pa exemple Q i = # "V dans le cas consevatif % "q " q i "q i i '& avec énegie potentielle indépendante des vitesses "L # "L = 0, pou i =1,..., n " q i "q i équations de Lagange de 2ème espèce L = L(q i, q i,t) = T " V = lagangien du système = fonction des coodonnées q i et des vitesses q i généalisées Joseph Louis Lagange 1736 1813 EPFL - GM 26