IUT Msurs Physqus Can Formular d Math M. Morals, Laorator d'etuds t d Rchrch sur ls MATérau, ISMRa, Can D. Chatgnr, Laorator CRIstallograph t Scncs ds MATérau, ISMRa, Can ) Trgonométr usull Q M O θ P OP! = cosθ! ; OQ = snθ! ; OM = cosθ! + snθ.. Valurs rmarquals: π/6 π/4 π/ π/ π Sn / Cos Tan / - - Un moyn mnémotchnqu pour rtnr ls valurs du snus d, π/6, π/4, π/ t π / consst à écrr cs valurs sous la form, sn + cos = tan =,,, sn avc π/ + kπ cos 4. cos = + tan cos(-) = cos sn(-)=-sn tan(-) = -tan.. Formuls d'addton: cos (a + ) = cos a cos sn a sn sn(a + ) = sn a cos + cos a sn cos (a - ) = cos a cos + sn a sn sn (a - ) = sn a cos cos a sn cos = cos sn = cos = sn sn = sn cos cos a = 4 cos a cos a sn a = -4 sn a + sn a danl.chatgnr@smra.fr Pag // magal.morals@smra.fr
IUT Msurs Physqus Can tan (a + ) = tan a + - tan a tan tan tan (a - ) = tan a tan + tan a tan tan = tan tan.. Formuls d transformaton: sn p + sn q = sn cos p + cos q = cos p + q p + q cos cos p q p q sn p - sn q = sn cos p - cos q = - sn t t t s t = tan alors cos =, sn = t tan = + t + t t p q p + q cos sn p + q p q.4. Fonctons crculars: cos = + - sn = - tan = + - - Pour tout nomr rél : = cos + sn t - = cos - sn..5. Fonctons crculars récproqus: Pour tout nomr rél appartnant à [-, ] : arcsn + arccos = π/ t arccos() + arccos(-) = π arctan a + arctan (/a) = π/ s a > t -π/ s a <. cos(arctan) = S y = arccos alors = cos y ; s y = arccos alors = sn y ; s y = arctan alors = tan y. Sur vos calculatrcs cs fonctons récproqus corrspondnt au outons tan -, cos - tc..!!!! (mas auss on put trouvr atan, acos.) Attnton dans l prmr cas: tan - = / tan au sns mathématqu, c'st très dfférnt d arctan()!!! + sn(arctan) = + ) Fonctons logarthms, ponntlls.. Fonctons ponntlls: y = avc rél t y >. + y = y - y = / y r = ( ) r = ( r ) = t = Foncton ponntll d as a: a = lna (a ) y = a y (a) = a Foncton pussanc: α avc α nomr rél... Fonctons logarthm népérn: y = ln avc > t y rél. danl.chatgnr@smra.fr Pag // magal.morals@smra.fr
IUT Msurs Physqus Can ln(a) = lna + ln ln( a ) = lna ln ln(a n ) = n lna ln = ln = ln(a+) lna + ln!!! S y = ln alors = y t s y = ln alors = y : vor fonctons récproqus... Fonctons logarthm décmal: (logarthm n as ): y = log = ln. ln ) Fonctons hyprolqus - + ch =, sh = - t th = Pour tout nomr rél : = ch + sh t - = ch - sh ; ch sh =. ch (a + ) = cha * ch + sha * sh ch (a - ) = cha * ch - sha * sh sh (a + ) = sha * ch + cha * sh sh (a - ) = sha * ch - cha * sh th (a + ) = tha + th + tha th + - -. th (a - ) = ch a = ch a sh a = + sh a = ch a sh a = sha ch ch a = 4 ch a ch a sh a = 4 sh a + sh a th a = tha + th a t s t = th alors sh = - t th = + t - t ; ch = ch t + t t th = tha th tha th 4) Fonctons d un sul varal réll 4.. Dérvé: Sot f un foncton d un sul varal. La dérvé d f au pont st f ( ) t on a: f ( ) = lm f() - f(. - ) Formul d Taylor-Lagrang: Sont n un ntr t f un foncton n fos dérval sur un ntrvall [a, ] t n+ fos sur ]a, [; l st c d ]a, [ tl qu: f() = f(a) + f'(a)! (-a) + f''(a)! (-a) + + f (n) (a) (-a) n + n! (n+ ) f (c) (n + )! (-a) n+. danl.chatgnr@smra.fr Pag // magal.morals@smra.fr
IUT Msurs Physqus Can Fonctons Dérvés n n n- u() n c a U() + v() U() * v() u() v() u() n u n- () u () c c a * lna u () + v () U () * v() + u() * v () u' () v() - v'() u() v () - u'() u () (g f)() f () * g (f) () ln (u()) u' () u() ln / log cos sn tan ch sh th Arccos /( ln) -sn cos /cos = + tan sh ch /ch = + th Arcsn Arctan + 4.. Prmtv t Intégral: 4... Talau ds Prmtvs: k étant un constant qulconqu: danl.chatgnr@smra.fr Pag 4 // magal.morals@smra.fr
IUT Msurs Physqus Can Fonctons Prmtvs (-c) n n ( - c) n + c ln c c + + k + k (ln - ) + k ln a + k - a cos sn tan ch sh th U r () u () a Sn -cos + k -ln cos + k sh + k ch + k ln ch + k + u () r + r + a ln a + k k 4... Calculs d'ntégrals: g() par changmnt d varals: = a f(g(t))dt f(u)du. par parts: g' (t) dt = [ f(t)g(t) ] a a a g(a) f(t) f' (t) g(t) dt. 4.. Dévloppmnt lmté: On dt qu un foncton f admt un dévloppmnt lmté à l ordr n au vosnag d s l st un polynôm P() d dgré nférur à n tl qu f() P() sot néglgal dvant ( - ) n. On not P n (f) l dévloppmnt lmté d f à l ordr n. 4... Formul d Taylor-young: f() = P n (f) = f( ) + f' ()! ( - ) + f' '( )! ( - ) + + (n) f ( ) n! ( - ) n. danl.chatgnr@smra.fr Pag 5 // magal.morals@smra.fr
IUT Msurs Physqus Can 4... Empls Fondamntau: au vosnag d sn = - +! 5 n+ - + (-) n 5! (n + )! où n! = ***4* *n cos = tan = + +! + 4 4! 5 5 n - + (-) n (n)! + = + + +! ( + ) α = + α + + + +! α(α -)! = + - + (-) n n. n n! + + α(α -)(α - )...(α - n + ) n! n ln (+) = - + n + + (-) n-. n arcsn = +! + arccos = π - arcsn arctan = + sh = + th = + ch = + +! + 5 5! 4 4! + + 5) Fonctons d plusurs varals rélls Sot f un foncton dépndant ds varals, n,noté f(, n ). 5.. Dérvés partlls: On appll dérvé partll d f par rapport à la dérvé d f par rapport à avc constants: ' f = f. 5.. Dfférntll: danl.chatgnr@smra.fr Pag 6 // magal.morals@smra.fr
IUT Msurs Physqus Can On appll dfférntll d f: df = d + d + + n d n = n = d S admt un dérvé partll par rapport à, cll-c s not: f '' f =. On dt qu f admt un dfférntll total act df s: '' f f f = = = f '' 5.. Dérvé d'un vctur: Dfférntll d un vctur: sot OM un vctur, la dfférntll d OM st noté d OM. Coordonnés cartésnns: Coordonnés polars: OM! =! + y + k! OM = r u! r d OM! = d! + dy + d k! d OM = dr u! r + rdθ u! θ Coordonnés cylndrqus: Coordonnés sphérqus: OM = r OM = r u! r d OM = dr u! r + u! d OM = dr u! r + rdθ u! θ + r snθ u! ϕ u! r + rdθ u! θ + d u! 6) Produt scalar t vctorl 6.. Produt scalar: Sont du vcturs u! t v! fasant un angl θ ntr u; on appll produt scalar: u!. v! = u!. v! cos θ c st un scalar!!!! u! = u!. u! : norm du vctur u! = dstanc. S u!. v! = alors u! v! ou un ds du vcturs st nul. Méthod d calcul :! u = y t! v = y : u!. v! =. + y.y +.. 6.. Produt vctorl: danl.chatgnr@smra.fr Pag 7 // magal.morals@smra.fr
IUT Msurs Physqus Can * Sont du vcturs u! t v! fasant un angl θ ntr u; on appll produt vctorl: w! = u! ^ v! = u! ^ v!. sn θ u! w On a w! v! t w! u!. c st un vctur!!!! t u! w st l vctur untar portur d w! S u! ^ v! =! alors u! t v! sont colnéars (parallèls) ou un ds du vcturs st nul. Méthod d calcul:! u = y t! v = y t on a u! ^ v! = y...y y...y. * Doul produt vctorl: u! ^( v! ^ w! ) = ( u! ^ w! ) v! - ( u! ^ v! ) w!. danl.chatgnr@smra.fr Pag 8 // magal.morals@smra.fr