lectostatique : évisions de PCSI Compléments I lectostatique ; évisions de PCSI : Loi de Coulomb, calculs diect du champ et du potentiel : * Gadient d une somme et d un poduit : gad gad [ f g ] gad [ f ] gad [ g ] [ f. g ] g. gad [ f ] f. gad [ g ] * n tout point, le gadient du champ scalaie f est pependiculaie à la suface de niveau la suface iso-f passant pa ce point et il est diigé suivant la diection de vaiation la plus apide de f, dans le sens des valeus coissantes de f. xemple en électostatique : les lignes de champs sont pependiculaies aux équipotentielles et le champ est diigé ves les potentiels décoissants ca gad.
Topogaphie du champ électostatique, lignes de champs et sufaces équipotentielles : Le théoème de Gauss, équations locales de l électostatique : Ce théoème a été démonté en èe année ; on peut l utilise comme point de dépat pou démonte la elation de Geen-Ostogadsky et pésente l intepétation locale de l opéateu divegence. On considèe un volume élémentaie en coodonnées catésiennes dτ dxdyd. On monte que le flux élémentaie sotant de ce volume vaut : x dφ x Soit : intepétation locale de la divegence y y dφ div dτ L écitue locale du théoème de Gauss s en déduit : div dτ t on démonte ainsi le théoème de Geen-Ostogadsky : valable finalement pou tout champ vectoiel dφ div dτ soit. n ds div dτ S
quations locales : Remaque su les opéateus : Retou su l opéateu «gadient» : y x u u y u x gad y x u u y u x opéateu «nabla» div. ot On etouve alos facilement les expessions des ces opéateus mais en coodonnées catésiennes uniquement! dans les autes systèmes de coodonnées, il faut soit utilise un fomulaie ou alos etouve l expession de ces opéateus quand pa exemple les syméties sont fotes et seule la distance intevient.
n coodonnées cylindiques : A A A A A A diva t en coodonnées sphéiques : ϕ ϕ ϕ ϕ sin sin sin sin sin sin A A A A A A diva * Divegence d une somme et d un poduit : [ ] [ ] [ ] div W div W div [ ] [ ]. div f gad f f div * Rotationnel d une somme et d un poduit : [ ] [ ] [ ] W ot ot W ot [ ] [ ] ot f gad f f ot [ ].. otw W ot W div oi le chapite su l analyse vectoielle et un fomulaie d analyse vectoielle xemples de calculs de champs et de potentiels : oi TD. 5 Relations de passage pou le champ : 6 quation de Poisson : n utilisant l opéateu nabla :. Pa conséquent : ot On sait également que :. B B div, pa conséquent, on peut défini un vecteu noté A appelé potentiel vecteu tel que :
B ot A A ; div B. A Il est encoe noté : 7 negie électostatique : a negie d inteaction de deux chages ponctuelles : b Cas d une distibution discète de n chages ponctuelles : c negie électostatique d une sphèe unifomément chagée : On établit l expession de l énegie électostatique d une sphèe de ayon a unifomément chagée en volume, de chage totale Q et de densité volumique de chages. On constuit de manièe évesible la sphèe en amenant de l infini la chage dq π d, qui passe donc du potentiel nul au potentiel de la «sphèe» en constuction, de ayon : 5
6 π π π Q Le tavail élémentaie qu il faut founi est alos : [ ] d d dq dq d W W P élect π π δ δ On en déduit : a q a d a él 5 5 π π π On peut aussi généalise la elation obtenue dans le cas de n chages ponctuelles : dτ M M espace él Ici, l intégation se limite au volume de la sphèe de ayon a. Avec : 6 ; a M cste M Alos : 5 5 6 a d a a él π π On peut également utilise la densité volumique d énegie électostatique : a a espace él d a d d π π τ et on obtient là encoe le même ésultat. Pa analogie, on en déduit l énegie gavitationnelle d une étoile ou d une planète de masse M et de ayon a : a GM gav 5 II Dipôle électostatique : Définition, exemples :
Calcul du potentiel dans le cade de l appoximation dipolaie : Champ électique du dipôle, topogaphie : Action d un champ électique extéieu, énegie potentielle d inteaction : 7
Compléments : 8
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oi execice 5 Quadipôle électostatique : III quilibe électostatique des conducteus : Conducteu en équilibe électostatique : Popiétés des conducteus en équilibe :
On peut également obteni ce denie ésultat à pati de l équation de MG, chages des ions positifs sont compensées pa les chages des électons. div. Localement, les Cette épaisseu est de l ode de, nm dans le cas du cuive. La densité supeficielle de chages n est en généal pas unifome : elle dépend de la fome du conducteu et des autes conducteus et chages en pésence. Théoème de Coulomb : Sens des lignes de champ : - - - - - Pession électostatique :
Aute méthode de aisonnement : On se place dans une modélisation sufacique. Une suface élémentaie ds du conducteu est soumise à la foce : df σds où ext désigne le champ électique céé pa les autes chages du conducteu et éventuellement d autes contibutions. Soit pope le champ dû aux chages potées pa la suface ds, alos on a : ext pope ext tot σ n Si on assimile la suface ds, localement, à un plan infini chagé σ, alos conséquent, ext σ n. La foce qui s exece alos su ds devient : σ df σ ds ext ds n pope σ n et, pa D où la pession électostatique, σ P e. 5 xemples de topogaphie de champs en pésence de conducteus, ésolution du poblème de Laplace : n pésence de conducteus placés dans le vide poblème de Laplace, le potentiel électostatique M véifie : L équation de Laplace en tout point : La valeu du potentiel est imposée su les sufaces des conducteus à l infini, la valeu du potentiel est choisie conventionnellement égale à Il y a continuité du potentiel La ésolution de ce poblème conduit à une solution unique qui pemet d en déduie toutes les autes données du poblème, comme le champ électique et les densités supeficielles de chages des conducteus pa exemple.
xemple : intepétation du sens des lignes de champ On considèe le système de tois conducteus epésenté su la figue suivante. Le potentiel à l infini est nul. Sans effectue de calcul, pécise le signe des difféents potentiels, et et la elation d ode qui existe ente eux. C C C Réponses : < ; >, >, > et >. xemple : influence d une chage ponctuelle q positive su une sphèe isolée neute Une boule métallique de ayon R est eliée à la Tee son potentiel est donc nul. On place à une distance d du cente de la boule une chage ponctuelle q >. a Où se touvent les chages et commente leu signe. b n calculant le potentiel au cente de la boule, calcule la chage Q potée pa cette denièe. c Tace les lignes de champ. d La boule est désomais isolée et pote une chage totale nulle la chage q est toujous pésente. Quel est le potentiel de la boule? Tace les lignes de champ. Réponses : a La boule acquiet une densité sufacique de chages ; des chages venant de la Tee négatives vont ête attiées su la boule. Le potentiel de la boule este nul puisqu elle est eliée à la Tee. b Le potentiel au cente de la boule est nul : On emaque bien que Q <. Q q O π R π d soit Q c L allue des lignes de champ est obtenue à pati du logiciel «quipotential» : R d q
Comme l infini et la boule sont au même potentiel nul, aucune ligne de champ ne peut pati de l un pou alle à l aute. Les lignes de champ patent donc de la chage q pou alle soit à l infini soit su la boule. d La boule étant isolée, sa chage este nulle ; des chages positives se déplacent ves la doite et des chages négatives ves la gauche. L allue des lignes de champ est : Son potentiel vaut : O π R π q d π q d Aute exemple ; sphèe métallique neute plongé dans un champ unifome :
Une sphèe métallique S neute, de cente O et de ayon a, est plongée dans un champ électique unifome u. Détemine l expession de la densité supeficielle de chages su la sphèe et donne la topogaphie du champ total. Réponse : On emplace la sphèe de potentiel unifome pa un dipôle électostatique de moment dipolaie p pu placé en O mais on laisse le champ unifome. Il faut monte qu il existe une suface équipotentielle sphéique de cente O, de potentiel unifome ; si c est le cas, on imposea que son ayon est a. Alos, à l extéieu de la sphèe, pou les systèmes sphèe-champ unifome et dipôlechamp unifome, le potentiel véifiea l équation de Laplace et les même conditions aux limites : à l infini, champ unifome égal à u et su la sphèe SO,a, potentiel unifome en plus, Q ; pa unicité, la fonction potentiel sea la même dans les deux cas. Dans le cas du dipôle, le potentiel total est : p cos M cos π Le potentiel est effectivement constant su la sphèe de ayon R tel que : R p n imposant R a, le moment dipolaie p est connu : Le potentiel total est alos : t le champ : a M a / π p π a cos u u. cos a sin u M On véifie bien que le champ est bien nomal à la sphèe quand est poche de a. Le théoème de Coulomb donne la densité supeficielle : σ a, cos u u soit σ cos 5
6 tude des condensateus : a Définitions : 6
b xemples de condensateus, calculs de capacités : 7
c Aspect énegétique, exemple du condensateu plan : xecice d application ; foce execée ente les deux amatues d un condensateu plan : Soit un condensateu composé de deux amatues planes, de suface S et sépaées d une distance L et soumis à la tension U. On néglige les effets de bod. On note Q σs. 8
Calcule la foce Réponse : Calcul diect : La foce Fb h Fb h vaut : execée pa l amatue du bas chagée su celle du haut chagée -. F b h σs bas où bas désigne le champ céé pa l amatue du bas. Il vaut : t ainsi : S Avec Q σ S CU U : L F F σ bas u b h b h σ S u SU L Cette foce est attactive : les deux amatues, de chages opposées, s attient. Utilisation de la pession électostatique : On a alos, diectement : F b h u σ S Pél S u u Si, maintenant, on écate lentement l amatue du haut ves le haut pa exemple, le tavail de la foce d attaction ésistant est compensé pa l opéateu. Le tavail de celui-ci vaut : δ W op σ S σ S Q Q dl et Wop L L C C L opéateu a contibué à augmente l énegie électostatique du condensateu, dont on etouve Q l expession habituelle, él. C xecice d application ; détemination de la capacité d un condensateu sphéique à pati de la densité d énegie électostatique : Détemine l énegie stockée ente les amatues d un condensateu sphéique en fonction de la chage Q potée pa l amatue intéieue. Retouve l expession de la capacité du condensateu à Q pati de la elation él. C 9
Réponse : On appelle que : u Q π ente les deux amatues. L énegie est alos : 8 R R Q d Q R R él π π π d où R R R R C π
Annexe : angle solide