KHERKHARE ABDELKRIM. Commande floue en poursuite et stabilisation des systèmes non linéaires incertains

MNSR D L NSGNMN SURUR D L RCHRCH SCNFQU UNVRS FRH BBS SF UFS (LGR) Mémoe de Magste pésenté au dépatement d lectotechnque Faculté des Scences de l ngéneu pou obten le dplôme de Magste en utomatque a KHRKHR BDLKRM hème Commande floue en pousute et stablsaton des systèmes non lnéaes ncetans Soutenu le 4 / / devant la commsson d examen composée de : RHMN Lazha M.C. à l unvesté Fehat BBS de Sétf ésdent KHBR Fad M.C. à l unvesté Fehat BBS de Sétf Rappoteu LMMR thmane M.C. à l unvesté Fehat BBS de Sétf xamnateu HRMS Mohamed Nagub M.C. à l unvesté Fehat BBS de Sétf xamnateu Hemsas Kamel ddne M.C. à l unvesté Fehat BBS de Sétf xamnateu

SOMMR

Sommae RMRCMNS DDCCS NRODUCON GNRL COMMND FLOU SBL DS MODLS FLOUS -S.. NRODUCON 5.. MODLS FLOUS 5... Modèle flou de type -S 5... Constucton d un modèle flou -S 7... nalyse de stablté des modèles flous -S 9.. LOS D COMMND FLOU CONDONS D SBLSON D BS... ntoducton aux Outls d optmsaton convexe LM... oblème de fasablté... oblème de valeu pope (V : gen-value oblem)... oblème de valeus popes généalsées (Geneal V)... echnques d analyse et tansfomaton matcelles... Lo de commande floue 4... Lo de commande DC (aallel Dstbuted Compensaton) 4... Stablsaton des modèles -S avec une lo de commande du type DC 5..4. Stablté du modèle flou -S augmenté 8..4.. Stablsaton avec obsevateu flou 9..4.. Obsevateu flou -S 9..4.. Lo de commande DC avec obsevateu flou.4. COMMND ROBUS FLOU DS SYSMS NON LNRS.4.. Modèles -S ncetans.4.. Modèles -S petubés : atténuaton des petubatons.4.. Modèles -S ncetans et petubés 4.5. URS ROCHS D SYNHS 6

Sommae.5.. Stuctue des Systèmes Flous 6.5.. Commande pa Mode Glssant 7.5... Systèmes à stuctue vaable aux égmes glssants 8.5... Condtons d exstence et de convegence du égme glssant 9.5... ppoche decte 9.5... ppoche de Lyapunov 9.6. CONCLUSON OURSU D RJCOR OUR LS MODLS -S RURBS.. NRODUCON.. ROBLM D SUV D RJCOR... La pousute de taectoe pou les modèles -S... Statége de commande... Le modèle physque et le modèle -S 4... L obsevateu flou -S 4... Le système de éféence 4... Modèles lnéaes 4... Modèles non lnéaes 5...4. Lo de commande 5.. SYNHS D COMMND VC OBSRVUR : ROCH H 6... Commande basée su l appoche H 6... Condtons de elaxaton 9... xplotaton numéque des ésultats 4..4. xemple et smulaton 45.4. CONCLUSON 6 SUV D RJCOR DS MODLS -S RURBS NCRNS VC CRR H.. NRODUCON 6.. SYNHS D COMMND SNS OBSRVUR 6... Synthèse de commande pa appoche BM 6

Sommae... Synthèse de commande pa appoche LM 66.. SYNHS D COMMND VC OBSRVUR 69... ppoche LM 69... xemple de smulaton 76.4. CONCLUSON 8 COMMND ROBUS FLOU DS SYSMS NON LNRS V.. NRODUCON 8 V.. FORMULON DU ROBLM 84 V.. COMMND DV FLOU R MOD GLSSN 86 V.4. ROCDUR D CONCON 9 V.5. XML D SMULON 9 V.6. CONCLUSON 97 CONCLUSONS GNRLS RSCVS 99 RFRNCS BBLOGRHQUS

RMRCMNS Le taval pésenté dans ce mémoe a été effectué au sen de Laboatoe de Qualté d nege dans les Réseaux lectques (Q.U..R.) de dépatement d électotechnque à l unvesté Fehat bbas de Sétf. Je tens à emece tès vvement Monseu KHBR Fad Mate de conféences à l unvesté Fehat BBS de Sétf pou m avo gudé et consellé tout au long de ce taval et pou leu souten scentfque et human et la confance qu l m a accodée pou mene ce taval de echeche. Mes sncèes emecements à Monseu RHMN Lazha Mate de conféence à l unvesté Fehat BBS de Sétf d avo accepté d examne ce taval et de pésde ce uy. Je tens également à emece Monseus LMMR thmane Mate de conféence à l unvesté Fehat BBS de Sétf HRMS Mohmed Nagub Mate de conféence à l unvesté Fehat BBS de Sétf et HMSS Kamel ddne Mate de conféence à l unvesté Fehat BBS de Sétf pou l ntéêt qu ls ont ben voulu pote à ce taval en acceptant de l examne. Je emece tous les membes de ma famlle et en patcule mes paents pou leus encouagements et appus ncondtonnels tout au long de ces longues années d études. Mes emecements vont également à tous ceux qu m ont adé de pès ou de lon à l aboutssement de ce modeste taval.

DDCCS À ma mèe Ma souce étenelle d nspaton de motvaton et de bénédcton À mon pèe Mon maîte de passon de patence et de pesévéance À mes deux sœus et mon fèe Slmane À mes ams d enfance et de toute cconstance. t plus spécalement à mes ams bde ssalam Badoud et Hacen Mellah. KRM.

NRODUCON GNRL

ntoducton Généale NRODUCON GNRL La dvesté des poblèmes encontés en automatque notamment potant su la théoe de la commande et de la concepton ont connu une évoluton consdéable ces denèes années. am ces théoes la commande des systèmes non lnéaes ne cesse de se pefectonne. ns le concept des ensembles flous qu est tès utle du pont de vue de la synthèse de commande. Les tavaux su la théoe des ensembles flous et la logque floue ont été ntés dans les années soxante pa Lotf Zadeh [Zadeh 65] à l'unvesté de Bekeley. L'ntéêt pncpal de la logque floue est de pemette la epésentaton et le tatement de connassances mpécses. lle est utlsée dans des domanes auss vaés que la geston de base de données les systèmes expets le tatement du sgnal la classfcaton de données la modélsaton ans que la commande des systèmes automatques. La pemèe applcaton de la commande floue fut éalsée pa [Mamdan 74] su un moteu à vapeu. La pemèe applcaton ndustelle a poté su le contôle d un fou à cment pa logque floue. fn de s affanch de la connassance pafate d un pocessus à contôle le compotement dynamque peut ête ps en compte pa une modélsaton analytque c'est-à-de un modèle de connassance. On obtent alos une epésentaton mathématque qu dot essemble le meux possble à la éalté du pocessus. Le chox ésde alos ente la fdélté du modèle et son adéquaton avec une fome mathématquement explotable. Dans ce contexte une pemèe appoche pou étude un système ayant un compotement non lnéae consste à l appoxme pa un modèle lnéae. L'nconvénent d'une telle appoche est son aspect local. D aute pat pluseus tavaux ont été développés afn de démonte qu'un system flou peut ête utlsé comme un appoxmateu unvesel [Kosko 94 Zeng 95 Zeng ssounboul 4]. La capacté de l appoxmaton unveselle d un modèle flou est la base de echeches théoques et de leus applcatons en commande floue. De nombeux checheus se sont donc ntéessés à cette noton. l s agt alos de donne une ustfcaton théoque aux succès encontés pa les applcatons de la logque floue. Notamment su des systèmes dffclement contôlables à l ade de technques conventonnelles [Buckley 9 Casto 95]. La stuctue d un modèle ou d un égulateu flou est décte pa un ensemble de ègles dte ègles floues qu sont consttuées chacune pa une pate pémsse et une pate concluson.

ntoducton Généale De ce pont de vu là on dstngue deux classes pncpales de modèles flous : les modèles nféés pa des ègles flous de type Mamdan et ceux nféés pa des ègles flous de type akag-sugeno (-S) [-S 85]. Les modèles de type Mamdan utlsent le fomalsme flou pou modélse l nféence. n evanche ben que la pate pémsse des ègles de type -S conseve le fomalsme flou l nféence coespond à une smple ntepolaton des conclusons. l en ésulte que pou un modèle flou -S les ègles sont nféées pa des vaables déctes dans l unves du dscous flou. n evanche la descpton globale du système qu elles epésentent pemet apès l étape de défuzzfcaton d about à une foncton non lnéae lant athmétquement les entées et les sotes du système. L appoche de modélsaton -S pemet donc de epésente un système non lnéae pa une nteconnexon de modèles affnes et lnéaes autou de dfféents ponts de fonctonnement à taves des fonctons de pondéaton nomalsées appelées fonctons d actvaton. Ces fonctons peuvent ête sot dentfées à pat d un pocessus éel [Gasso ] sot su la base d un modèle de connassance afn d about à une epésentaton exacte de celu-c dans un espace compact de l espace d état [Moèe ]. Une appoche typque de la commande des systèmes utlsant ce type de modèle est la stablsaton pa ntepolaton de etou d état appelée commande DC (aallele Dstbuted Compensaton) [Wang 95]. La maoté des tavaux qu s nspent de cette lo de commande ont une démache basée su la deuxème méthode de Lyapunov. La fomulaton de celle-c aboutt à un ensemble d négaltés éctes sous la fome négaltés matcelles lnéaes (LM). Les LM s l s avèe qu elles admettent une soluton peuvent ête ésolues à l ade d outls ssus du domane de l optmsaton convexe [l Ghaou 97]. Cependant s théoquement l est touous possble de epésente la dynamque d un système non lnéae affne en la commande pa un système flou en patque cette epésentaton peut about à l obtenton d un tès gand nombe de ègles floues. Une manèe de édue le nombe de ègles floues est de pende en compte cetanes non lnéatés du modèle au sen d ncettudes nhéentes à la modélsaton on se place alos dans le cas de la modélsaton flou -S de systèmes ncetans. L obectf étant d obten un modèle flou compotant un nombe fn et asonnable de ègles fxé a po. n evanche la synthèse de los de commande pou de tels modèles s avèe plus dffcle. Dans ce contexte pluseus appoches

ntoducton Généale de elaxaton des LM ont été poposées dans la lttéatue [Guea 99 Km uan Lu ]. La commande type DC pemet de éponde à tous les ctèes de pefomance s en plus des ncettudes le système est petubé. C'est pouquo des tavaux tatant de la synthèse de commandes obustes pou la stablsaton de ce type de modèles ont étés poposés ces denèes années [anaka 96 Lee ]. u sen de la lttéatue on constate que la synthèse de los de commande est peu tatée dans le cas du pousute de taectoe (ackng) pou les systèmes -S ncetans et petubés. n effet le passage d un poblème de stablté à celu d un suv de taectoe n est pas nécessaement tval. ns le but pncpal de ce taval est le développement de stuctues de commande pou des systèmes contnus ms sous fome -S ncetans et petubés pemettant d assue la stablté et la obustesse dans le cade du suv de taectoe. Deux poblématques peuvent émege : l obtenton de condtons sous fome de LM et la gaante des pefomances de pousute. Le chapte pésente une vue d'ensemble bblogaphque allant de la défnton et mse en œuve d'un modèle -S à la synthèse de commande obuste des systèmes flous du type -S ncetans et petubés. ns nous pésentons d abod les dfféentes technques d obtenton d un modèle -S. nsute nous abodeons les concepts de stablsaton de base des modèles -S. Un ntéêt patcule sea consacé aux ésultats les plus écents tatant du poblème de la stablté des modèles -S ncetans et petubés. ns cette synthèse bblogaphque pemetta de postonne note taval dans le domane et de pose claement le poblème abodé dans ce manusct. Dans le chapte nous abodeons le poblème de pousute de taectoe des modèles -S. Une pésentaton des technques exstantes pou ésoude cette poblématque pemetta de desse un blan synthétque su les tavaux publés dans la lttéatue. Dès los nous pésenteons la statége de commande que nous avons abodée dans ce taval. a la sute nous tateons de la synthèse de commande pou les modèles flous -S soums à des petubatons extenes. La synthèse de commande poposée se base su la mnmsaton de l eeu de pousute pa appot aux petubatons selon un ctèe H. Le ésultat pncpal dans ce chapte est de foun des condtons de stablté au sens de l optmsaton convexe

ntoducton Généale LM en l occuence un maxmum d atténuaton des petubatons en assuant la pousute. Des ésultats de smulatons llusteont les pefomances obtenues. L appoche est élaboée dans le cas où tous les états sont dsponbles. Deux appoches de synthèse dfféentes seont pésentées afn de gaant les pefomances de pousute. l s agt d une appoche dont les ésultats sont écts sous fome de BM (Blnea Matx nequalty) et d une appoche obtenue dectement sous la fome de LM. Nous monteons ensute à taves des ésultats de smulaton que la seconde appoche assue de melleues pefomances que la pemèe. Les pncpaux ésultats du chapte tatent essentellement de la synthèse de commande en pousute pou des modèles -S ncetans et petubés. L appoche est élaboée dans le cas où tous les états sont dsponbles. Deux appoches de synthèse dfféentes seont pésentées afn de gaant les pefomances de pousute. l s agt d une appoche dont les ésultats sont écts sous fome de BM (Blnea Matx nequalty) et d une appoche obtenue dectement sous la fome de LM. Nous monteons ensute leus pefomances dans le cade de la pousute. Notamment consdéeons également un obsevateu dans le cas où tous les états ne sont pas dsponbles. Les ésultats également expmés sous fome LM seont llustés à taves un exemple en smulaton. Dans le quatème chapte nous abodeons le poblème de synthèse de commande obuste floue dans le cade de la pousute de taectoe pou les systèmes non lnéaes. On a poposé un algothme de commande utlsant de la logque floue et la technque de commande pa mode glssant (SMC). La statége de commande poposée fount une bonne pefomance obuste dans le but d assue que le système en boucle femée sot stable au sens de Lyapunov et pousute asymptotque de la éféence désée en pésence des ncettudes et des petubatons extenes. Les statéges de commande développées dans les chaptes : et V sont valdées pa des exemples de smulaton sous l envonnement Matlab. nfn le blan des tavaux éalsés et les pespectves envsagées sont donnés en concluson. 4

COMMND FLOU SBL DS MODLS FLOUS -S

Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S.. NRODUCON Ce chapte a pou obet de pésente cetans tavaux su la modélsaton la stablté et la stablsaton des modèles flous de type akag-sugeno (-S) Dans la pemèe pate nous pésentons les dfféentes technques d obtenton d un modèle -S et donneons un exemple d llustaton su la méthode la plus utlsée pou y about ans que la epésentaton des notons de stablté et de stablsaton de ce type de modèles encontées dans la lttéatue. Une lo de commande pou les modèles -S poposés sea pésentée. pat de là on s ntéessea aux ésultats les plus écents tatant du poblème de la synthèse de commande obuste pou les modèles -S ncetans et petubés dans le cas de la stablsaton des systèmes non lnéaes ncetans. nsute la seconde pate est consacée à utlse d autes technques de synthèse obuste telle que la commande pa mode glssant qu pemet de éponde au poblème de obustesse. Cette obustesse se fea au détemnent des pefomances. De plus la suface de glssement défne dans le fomalsme édut l ode de système en boucle femée ce qu ne pemet pas dans cetans cas d mpose au système un mode de stablsaton. Cette étude pemetta de postonne note taval dans le domane et de pose claement le poblème abodé dans ce mémoe... MODLS FLOUS... Modèle flou de type -S Le modèle flou de akag-sugeno (-S) d un système dynamque est déct pa un ensemble de ègles floues S-los epésentant des elatons locales d entées/sotes lnéaes en dfféents ponts de fonctonnement d un système en expmant chaque concluson pa un système lnéae [-S 85]. Ces epésentatons locales appelées «sous modèles» pemettent d expme la dynamque d un système autou d un pont de fonctonnement patcule de l espace d état. La patculaté de ce type de modèle et que la logque floue est ntevent seulement dans la pate pémsse des ègles. La pate concluson de ces ègles utlse des vaables numéques plutôt que vaables lngustques [-S 85]. D une manèe généale la pate concluson s expme sous la fome d une constante ou d une foncton ou d une équaton dfféentelle dépendant des vaables d entées. 5

Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S La ème ègle du modèle flou -S s éct sous la fome: z t est F et... z t est F p S ( ) ( ) p los x& y x Bu C x F est l ensemble flou et est le nombe de ègles S-los m q d état u R est le vecteu des commandes R R n n est la matce d état matce de sote et z z ou une pae ( u ) x& y w w p B R (.) n x R epésente le vecteu y est le vecteu de sote du système n m est la matce d entée du système sont les pémsses fonctons de l état. y donnée l nféence du système flou est donnée pa: ( z ){ x B u } ( z ) ( z ){ C x } w w ( z ) [ ] où z z z... z w ( z ) F z F p p ( ) ( z ) est la valeu de la foncton d appatenance t on a C R q n est la (.)... (.) z dans l ensemble flou F et w w ( z ) ( z ) n posant : h ( z ) > w ( z ) w ( z ) Le modèle flou -S s éct : x& y h ( z ){ x B u } h ( z ){ C x } Les ( z ) h possèdent la popété de somme convexe : (.4) (.5) (.6) 6

Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S ( z ) t h (.7)... Constucton d un modèle flou -S ou obten un modèle flou -S tos méthodes dstnctes peuvent ête employées :. La pemèe dte pa dentfcaton [Gasso 99] [Gasso ] pemet à pat des données su les entées et les sotes d dentfe les paamètes du modèle local coespondant aux dfféents ponts de fonctonnement.. La seconde méthode consste à lnéase le modèle autou d un ensemble de ponts de fonctonnement [anaka ] [Ma 98].. La tosème appoche est adaptée pou les systèmes non lnéaes affnes en la commande à un modèle flou de -S. lle pemet d obten une epésentaton de type -S d un modèle non lnéae (l ne s agt pas d une lnéasaton autou d un pont de fonctonnement) [anaka 98a] [Moèe ]. Dans les deux denèes appoches on suppose dspose d un modèle mathématque non lnéae. Notons auss que pou un système donné l obtenton d un modèle -S n est pas unque. tant donné que la denèe appoche epésente le modèle non lnéae d une façon exacte nous l explcteons à taves un exemple llustant la constucton d un modèle -S. ou obten à pat de non lnéaté des fonctons d appatenance assocée à un modèle flou on utlse le lemme suvant. Lemme. [Moèe ] S x [ b a] a b R f ( x) : R R boné su [ ba] alos l exste deux fonctons ( x) et w ( x) ans que deux éelsα et β tels que : f w ( x) α.w ( x) β.w ( x) ( x) w ( x) w ( x) w ( x) euve Consdéons la foncton f ( x) bonée tel que f f ( x) f ( x) α.w ( x).w ( x) f β avec α f β f Remaque. on peut alos touous éce: ( x) f f w et f f Dans le cas généal s on consdèe un modèle non lnéae : ( x) f f w. f f w 7

Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S f ( x ) g( x ).u x & (.8) avec ( ) n f et sous l hypothèse que les champs de vecteus f et g soent bonés su R alos le modèle -S epésente de façon exacte le modèle non lnéae (.8). Dans le cas contae sous la condton f et g contnues alos l équvalence n est vae que su un sousespace compact de n R [anaka 98a] [Moèe ]. xemple. On consdèe le modèle non lnéae autonome de dmenson suvant : ( x ) sn ( ) ( ( )) ( ) x& t f x t (.9) x t Ce modèle peut ête ééct comme sut : x& x& sn x ( x ) x x x ( ) t (.) L équaton (.) pésente deux non lnéatés qu on notea N ( x ) et N ( x ) espectvement tels que : N sn( x ) ( x ) N ( x ) x x (.) Nous emaquons que le teme non lnéae N ( x ) ( x ) sn( x ) x x x mn( n est boné x R. N [ ] (où sn( ) sn( x ) x ) -.7 ( x ) ne peut l ête que su un compact défnt pa x [ aa] N ) alos que le teme avec a >. ns on peut tansfome les temes non lnéaes N ( x ) et N ( x ) n x R [ aa] que : ( x ) a > tel sn N ( x ) F ( x ). F ( x ). (.) x ( x ) F ( x ).a F ( x ). N (.) avec les ensembles flous donnés pa : F ( ) ( ( ) ) ( sn( x ) x ) sn( x ) x sn x x ( x ) F ( x ) ( sn( x ) x ) (.4) ( sn( x ) x ) 8

Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S x ( ( )) F x t F ( x ) a x (.5) a On aboutt alos au modèle flou -S coespondant à pat des combnasons possbles des bones des temes non lnéaes N ( x ) et N ( x ) S x est F ( x ) et x est F ( x ) los S x est F ( x ) et x est ( x ) F los S x est F ( x ) et x est F ( x ) los S x est F ( x ) et x est F ( x ) los décts pa les matces f suvantes : x& x& x& x& x& x& x& x& sn x x a x x x ( x ) sn x ( x ) ( ) t ( ) t x x x x ( ) t ( ) t (.6) Cette tansfomaton condut à un cetan nombe de modèles locaux L (Lnea me nvaant) dépendant du nombe de non lnéatés contenues dans la foncton f. n ègle généale s f k modèles locaux. pésente k temes non lnéaes alos le modèle -S est consttué d au plus pat de cet exemple nous avons monté que le nombe de ègles d un modèle -S exact augmente en foncton des non lnéatés à pende en compte dans le modèle non lnéae ce qu povoque plus de consevatvté des ésultats [anguch ]. pès cette étape de modélsaton nous abodons dans la sute le poblème de stablsaton du modèle -S notamment la synthèse de lo de commande. Nous pouvons avo ecous à une théoe de base pou analyse la stablté des systèmes non lnéaes. Un apeçu su les concepts de stablté les plus utlsés dans l étude des modèles -S est appelé dans ce qu sut.... nalyse de stablté des modèles flous -S La stablté des systèmes non lnéaes en boucle femé est l un des poblèmes plus mpotant de la théoe de la commande. La boucle de etou est la stuctue qu pemet d obten les obectfs de la commande en temes de stablté et de pousute (égulaton). 9

Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S L analyse da la stablté pa la commande floue est un suet dffcle pusque les modèles consdéés sont de natue non lnéaes. Un cetan nombe de tavaux qu ont déà été en ce sens [Dankov 9] [Olleo 95] [anaka 98] [Wang 94]. l est mpotant de note que beaucoup de technques d analyse de stablté sont basées su des méthodes de stablté locale autou d un pont d équlbe tel que l ogne. Dans ce contexte de la stablté généale on fat appel a des fonctons de Lyapunov canddates [Bone 9] [Khall 96]. Nous lmteons dans ce mémoe à l utlsaton de foncton de Lyapunov quadatque de la fome suvante : V ( x ) x x > (.7).. LOS D COMMND FLOU CONDONS D SBLSON D BS... ntoducton aux Outls d optmsaton convexe LM (Lnea Matx nequaltes) Les ésultats d analyse et de synthèse dans ce mémoe se basent essentellement sous des fomulatons de poblèmes d optmsaton convexes. Celles-c pésentent l avantage d avo un cout de calcul asonnable et le ésultat obtenu coespond à un mnmum global unque ce qu exclu l exstence d un mnmum local de la foncton à optmse. La convexté d un poblème d optmsaton a les avantages suvants: Le temps de calcul pou touve une soluton est asonnable. l n exste pas le mnmum local de la foncton cout à optmse le ésultat obtenu coespond à un mnmum global unque. La possblté de fomule de nombeux poblèmes d analyse (stablté cetans pefomances etc.) en temes LM. La capacté de tate des poblèmes à données ncetans en commande obuste qu à oué pou beaucoup dans l esso de cette appoche ces denèes années. Défnton. tant donnée une famlle de matces symétques et K n de. R et un vecteu

Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S n ( x x x ) x K une négalté matcelle lnéae (LM) stcte (esp. non stct) n R en x est de la fome : n ( x) x > ( esp. ) F (.8) La contante F ( x) > est convexe [Boyd 94] et appelée contante LM. Remaque. tant donnée pluseus LM elles peuvent ête egoupés dans une matce dagonale consttuant une seule contante LM. On dstngue tos types de poblèmes d optmsaton convexe encontés sous fome de LM.... oblème de fasablté ouve un vecteu x tel que F ( x) >. Ce poblème est ésolu généalement en chechant le vecteu x mnmsant le scalae t tel que : ( x) t. F < (.9) S la valeu mnmale de t est négatve alos le poblème est fasable.... oblème de valeu pope (V : gen -Value oblem) Mnmse la plus gande valeu pope d une matce symétque sous une contante de type LM : Mnmse λ Sous les contantes ( x) λ B( x) > >... oblème de valeus popes généalsées (Geneal V) (.) Mnmse la plus gande valeu pope généalsée d une pae de matces pa appot à une contante LM : Mnmse λ Sous les contantes λb B C ( x) ( x) ( x) > ( x) > >... echnques d analyse et tansfomatons matcelles (.) n généal les condtons su la stablté ne sont pas données sous fome de LM dectement. ou cela elles nécesstent quelques tansfomatons matcelles. Dans la sute nous

Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S pésentons quelques technques de tansfomaton matcelle utles pou les ésultats établs dans ce mémoe. a. Conguence : S ( x) > et X est égulèe alos : ( x) X X >. b. Complément de Schu : [l Ghaou 97] soent tos matces R ( x) R( x) Q ( x) Q( x) et ( x) équvalentes ) Q S ( x) S( x) ( x) R( x) S affnes pa appot à la vaable x. Les LM suvantes sont > ) R ( x) > Q( x) S( x) R( x) S( x) > c. Complément de Schu généalsé : Y XR X US R > S > U > Y X U X R > U S (.) d. Contante quadatque convexe : la contante su la nome Z ( x) < où Z p p. q ( x) R Z est affne pa appot à la vaable ( x) Z ( x) q > e. Lemme de S- pocédue [Boyd 94] : p x R est epésentée pa (.) C est une technque qu pemet d appoche un ensemble de contantes quadatques pa une seule contante quadatque. Lemme. : Soent F K Fp m des fonctons quadatques de la vaableς R avec : F ( ς ) ς ς u ς ν où (.4) p R { K p}. los la poposton () mplque la poposton () p u u τ tels que : u τ u ν ν () l exste : { K p} () ( ) F ς pou tout ς tel que ( ς ) { K p} F. f. Le caé matcel et ses dévées : Lemme. [Zhou 88]: Sot deux matces et B de dmensons appopées on a

Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S B B γ. γ. B B (.5) où γ est une constante postve. ou édue le consevatsme cette popété peut ête également écte en foncton d une matce défne postve M >. B B M B M B (.6) Les popétés (.5) et (.6) ont l avantage de pouvo élmne les temes ant-dagonaux et les amene dans les blocs dagonaux comme l explque l exemple.. xemple. : On souhate élmne les temes ant-dagonaux et B de la matce suvante : W Y B W B Z < (.7) (.7) peut s éce : Y W W Z B B < (.8) O B B B [ B ] [ ] n utlsant la popété (.6) on obtent l négalté : B B [ B ] [ ] < M [ ] M [ B ] La condton (.7) est satsfate s : (.9) (.) Y B Q W B W Z Q < g. Lemme d élmnaton : (.) Ce lemme est auss connu sous le nom de poecton l est tès utlsé dans les fomulatons LM. Lemme.4 [Boyd 94]: ou des matces éellesw popétés suvantes sont équvalentes : - l exste une matce éelle K telle que : W M N de talles appopées les

Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S W M. K. N N. K. M < (.) - l exste un scalae éel σ tel que : W < σ MM et W < σ NN (.) - Les compléments othogonaux M et N de M et N espectvement véfent : M WM < et N WN < (.4)... Lo de commande floue ou gaant la stablté d un modèle de type -S nous avons ecous à la synthèse d une commande stablsante. ou ce fae en s nspant des ésultats d analyse de stablté des systèmes dynamques on aboutt à des condtons de synthèse de commande pa etou d état [Wang 96]. Les condtons su les gans de commande ans obtenues ne sont pas nécessaement fomulées dectement en un poblème LM. n effet dans cetans cas on obtent des négaltés matcelles non lnéaes se qu nécesstent un ensemble de tansfomatons matcelles pou les ende lnéaes. Dans ce contexte pou génée un sgnal de commande stablsant pou le système (.6) pluseus fomules de commande floue sont poposées dans la lttéatue on ne ctea c que les plus utlsés c est la lo de commande basée su le etou d état et connue sous le nom de DC (aallel Dstbuted Compensaton).... Lo de commande DC (aallèle Dstbuted Compensaton) Le concept DC est utlsé pou élaboe une lo de commande pou les modèles flous de type -S. l dée est de calcule une lo de commande lnéae pa etou d état pou chaque sousensemble du modèle flou. La détemnaton d une lo de commande event à détemne pou chaque modèle local (sous-modèle) les gans appopes. Chaque modèle local est stablsé localement pa une lo de commande lnéae. La lo de commande globale qu en généal est non lnéae est obtenue pa ntepolaton des los de commande lnéaes locales. lle est donnée pa la lo de commande suvante [Wang 95] [Wang 96]: u h ( z ) K x (.5) où K R m p est le gan de etou local elatf à l ème modèle. 4

Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S Système Règle Règle Lo de commande locale Contôleu Règle Règle Règle Règle Fg... ncpe de la commande DC. Le égulateu flou DC patage les mêmes ensembles flous que ceux du modèle flou de -S. Donc l avantage maeu de cette lo de commande est de especte la même stuctue de découpage des non lnéatés que celle utlsée pou l obtenton du modèle -S. Dans le cas où le modèle -S est obtenu pa découpage exact cette lo de commande est donc valable quelque sot le pont de sous espace compact de l espace d état. a alleus l exste d autes los de commande qu s nspent de la commande DC et qu se basent su le etou de sote. am ces los on dstngue la commande DDC (Dynamque DC) qu epésente un contôleu non lnéae [L ]. nsute la lo de commande ODC (Output DC) qu est de la fome [Chadl ] : u h ( z ) K y (.6)... Stablsaton des modèles flous -S avec une lo de commande du type DC La commande DC notamment la stablsaton quadatque se base su la foncton quadatque de Lyapunov pou monte la convegence du modèle flou en boucle femée en l occuence détemne les etous d états coespondants à chaque modèle L composant le modèle -S. ns à pat d une telle foncton on peut touve une matce commune et stctement défne postve ente tous les modèles locaux en boucle femée. ou obten le modèle flou en boucle femée on applque la commande DC au modèle -S (.6). ns le modèle flou obtenu est le suvant: x& h ( z ) h ( z ) G x avec G B K (.7) Le peme ésultat concenant la stablsaton des modèles -S pa la commande DC a été donné pa [Wang 96]. n posant : Y G G (.8) 5

Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S Nous pouvons énonce le théoème suvant. héoème. [Wang 96] L équlbe du modèle flou contnu (.7) est asymptotquement stable s l exste une matce > telle que : Y >... (.9) Y Y < < (.4) avec h ( z ( t )) h ( z ( t )) t > (.4) laboe un égulateu flou DC consste donc à détemne les matces de gans de etou d'état K satsfasant les condtons du théoème. avec l exstence d une matce commune stctement défne postve. ou mette au pont ce égulateu on se amène donc à un poblème de fasablté des LM qu peut ête ésolu à l ade des outls ssus de l optmsaton convexe et plus patculèement des LMs (Lnea Matx nequaltes) [Boyd 94]. ou cela on effectue les changements de vaables bectfs usuels suvants [Wang 96]: N et K Y d où apès conguence avec on obtent les expessons LM suvantes pa appot aux vaables N et N N des négaltés (.4) et (.5) N B Y Y B <... (.4) N N N N B Y Y B B Y Y B < < (.4) Remaque. Notons que le nombe de condtons à véfe est ( ) foncton du nombe de ègles. Y. / et que ce nombe cot en Le fat d utlse une foncton de Lyapunov quadatque mplque la echeche d une matce > unque qu se etouve dans toutes les ( ) / négaltés. l est alos cla que le nombe de ègles est un facteu essentel pou édue le consevatsme des ésultats ssus des condtons (.4) et (.4) du théoème.. ns dsposant d un modèle -S le poblème fondamental qu se pose los de la synthèse de commande du type DC est celu du consevatsme des condtons su les gans de etou d état. a conséquent dans le but d avo des ésultats beaucoup mons consevatfs des condtons de elaxaton LM ont fat l obet de pluseus tavaux notamment ceux développés dans [anaka 98a] qu se basent su le nombe maxmal de ègles actves à chaque nstant 6

Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S pou édue le consevatsme de condtons de stablsatons. Km et Lee [Km ] s nspent de ces tavaux en ntodusant des condtons supplémentaes. Dans [exea ] les auteus poposent d utlse des fonctons de Lyapunov multples pou echeche pluseus matces défnes postves au leu de cheche qu une seule commune comme dans le cas de stablsaton pa la foncton de Lyapunov quadatque. am les ésultats de elaxaton utlsant une foncton de Lyapunov quadatque nous pouvons cte des condtons de elaxatons tès petnentes poposées pa [uan ] qu sont donnés dans le théoème suvant. héoème. [uan ] Les condtons (.9) et (.4) du théoème. sont véfées s l une des condtons suvantes est vae : ) Y <... (.44) Y ) ( Y Y ) < l exste des matces symétques Q Q telles que : (.45) Y Q < K (.46) Q Y ( Y Y ) < Q < ) l exste des matces symétques Q Q telles que : (.47) Y Q ( Y Y ) < Q Q (.48) euve n applquant L équaton (.8) on peut éce que : < h ( z ) Y h ( z ) Y h ( z ) h z L négalté (.46) devent alos : x x ( )( Y Y ) h ( z ) Y h ( z ) Y x h ( z ) h z < ( ) x ( Y Y ) x 7

Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S l exste des matces Q telle que : h ( z ) Y h ( z ) h ( z ) Q h ( z ) pat la condton (.47) on touve : Y Q < h ( z ) h ( z ) Y h ( z ) Y h ( z ) h ( z ) Q Ce qu véfe (.44). La pemèe condton de ce théoème ne nécesste l exstence d aucune matce défne postve supplémentae ce qu faclte l obtenton d une soluton au poblème LM notamment quand l s agt pa exemple d un système augmenté avec un obsevateu flou. Dans le même obectf de ce dene théoème un aute ésultat complémentae concenant la elaxaton est pésenté dans [Lu ]. Le ésultat de ce théoème stpule l exstence de matces défnes postves qu peuvent ête lbes ce qu pemet de elâche les LM touvées. héoème. : [Lu ] L équlbe d un modèle flou contnu déct pa (.7) est asymptotquement stable s l exste une matce > des matces Y défnes en (.8) Q > et Y Q Q telle que : Q <... (.49) Y Y Q Q < (.5) Q Q M Q Q Q L Q L O ( ) Q Q M ( ) Q > (.5) Remaque.4 Dans le cade de la elaxaton. On note auss que ce type est utle que s lesy exstent et ne sont pas nuls c-à-d qu l est nécessae que les sous modèles cosés exstent [Km ]. Nous avons monté à pat du modèle -S une méthode de synthèse de commande type DC. Cette lo de commande tès utlsée est basée su la connassance de l état du système. a conséquence dans le cas où l état du système n est pas totalement dsponble l est nécessae d avo ecous à un obsevateu pemettant d estme l état du système. Dans le cas des modèles -S on pvlége les obsevateus flous -S se basant généalement su des 8

Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S modèles lnéaes de type «Luenbege». Ces denes ont pou avantage d avo la même stuctue que les modèles -S...4. Stablté du modèle flou -S augmenté luseus tavaux concenant la synthèse de commande avec un obsevateu flou ont été élaboés pou la stablsaton des modèles -S [Xao-Jun 98] [Xadong ]. Les ésultats exstant pou ce type d obsevateu sont tès vaés selon la foncton de Lyapunov chose et selon le type de commande utlsée pou stablse le modèle flou. Les pncpes de base de ce type d obsevateus sont synthétsés dans ce qu sut...4.. Stablsaton avec obsevateu flou Un obsevateu flou est nécessae losqu une pate de l état du système n est pas accessble pou mesue. Le but étant d obten une convegence asymptotque de l eeu de pédcton d état x xˆ quand t où xˆ epésente le vecteu d état estmé pa l obsevateu [Moèe ]. Le modèle flou -S augmenté est composé d un modèle flou d un égulateu flou et d un obsevateu flou comme monte la fgue. suvante; - u Modèle Flou Obsevateu Flou Xˆ Contôleu Flou Fg... Repésentaton d un système augmenté...4.. Obsevateu flou -S La stuctue la plus smple d un obsevateu flou -S est obtenue pa nteconnexon de pluseus obsevateus locaux de type Luenbege. l s éct d une façon généale comme sut: xˆ & ŷ h ( ẑ )[ xˆ B u L ( y ŷ )] h ( ẑ )[ C xˆ ] (.5) 9

Chapte Où xˆ et ẑ Commande floue et stablté des modèles flous -S epésentent espectvement l état estmé de l obsevateu flou et le vecteu de pémsse econstut et L epésentent les gans de l obsevateu [anaka 98a] [Guea ]. Hypothèse. out au long de ce taval on supposea que toutes les vaables de pémsses sont mesuables c'est-à-de z ˆ z et les fonctons d actvaton de l obsevateu sont les mêmes que celles caactésant le modèle -S (.7). Dans le cas ou cette hypothèse n'est pas véfée pou assue la convegence de l obsevateu le nombe de condtons est augmenté de façon sgnfcatve pa l appaton des poduts h ( zˆ ) h ( z ) [Laube ]. ou évalue la convegence de l obsevateu flou (.5) on consdèe l eeu d estmaton du vecteu d état donnée pa : e o x xˆ (.5) Note : L ndce o ndque que l eeu est lée à l obsevateu un ndce p sgnfe l eeu de pousute. On adoptea cette notaton tout le long du manusct. enant compte du modèle -S (.6) et l obsevateu (.5) la dynamque de l eeu d estmaton est donnée pa l équaton suvante : h ( z ) h z ( )[ L C ] e e& (.54) o o ns la synthèse d un tel obsevateu consste en la détemnaton des gans locaux L afn d assue la convegence ves zéo de la dynamque de l eeu d estmaton (.54). Les condtons de synthèse d un obsevateu flou (.5) sont duales de celles d un contôleu flou (.7) [Ma 98] [Yoneyama ]...4.. Lo de commande DC avec obsevateu flou Dans le cas où tous les états du système ne sont pas mesuables la commande DC synthétsée emplo le etou d état econstut et nous pouvons alos éce. u h ( z ) K xˆ (.55)

Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S Le système augmenté est composé de l état du système x et l eeu d estmaton peut éce: x& e& B K B K x eo h ( z ) h ( z ) LC o t ( ) e o on (.56) Jusqu c les los de commande développées ne tennent pas compte des eeus de modélsaton et/ou de petubatons extenes pou les modèles -S. a alleus d autes poblèmes écuents ont fat l obet de pluseus tavaux. Notamment la synthèse de commande obuste pou les modèles -S ncetans et/ou soums à des petubatons extenes. Nous pésentons dans la secton suvante de manèe synthétque cetanes appoches de synthèse de commande obuste pou les systèmes -S ncetans et petubés..4. COMMND ROBUS FLOU DS SYSMS NON LNRS La commande obuste concene les systèmes ncetans et/ou petubés. Dans la lttéatue pluseus tavaux ont été développés concenant la synthèse de commandes obustes pou les modèles flous ncetans. Nous pouvons cte les pncpaux ésultats qu tatent de la stablsaton avec une commande sans obsevateu pou les modèles -S ncetans et/ou petubés [anaka 96] [Zhao 96] [Lee ] [anaka ]. La commande floue avec obsevateu et les vaables de pémsses mesuables est abodée dans [Yoneyama ] avec le pncpe de sépaaton. n evanche dans le cas ou les vaables de pémsses ne sont pas mesuables dans [Laube ] l'auteu consdèe le découpage des vaables non mesuables comme des ncettudes de modélsaton. Vu la dvesté des ésultats exstant su la stablsaton des modèles -S ncetans et/ou petubés nous nous estendons su quelques concepts de base que nous avons exploté dans les chaptes suvants pou la mse en œuve des appoches développées dans le cas de la pousute de taectoe..4.. Modèles -S ncetans Le modèle -S avec ncettudes paamétques s éct d une manèe généale comme sut [anaka ]: x& h ( z ) ( ) x ( B B ) u y h ( z ) ( C C ) x (.57)

Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S vec Ha a a B Hb b ( t ) b et ( t ) où Ha Hb Hc a b c C Hc c c c sont des matces constantes et les ncettudes a b sont bonées dans le temps de la façon suvante : a a b b c c n généal les ncettudes encontées dans ce type de modèle sont dues à la modélsaton du système qu est effectuée de manèe à édue le nombe de ègles [anguch ] [Laube ]. Le pncpe de synthèse de commande dans ce cas se base su l applcaton de la lo de commande (.55) au système (.57) avec l obsevateu flou (.5) en consdéant la dynamque de l eeu d estmaton (.6). Le poblème event alos à stablse le système augmenté suvant : x& e& o h ( z ) h ( z ) L ( B B ) K ( B B ) K x& ( ) C B K L C B K e& o t et (.58) ns en ce qu concene la commande obuste avec obsevateu flou pou les modèles -S ncetans et en se plaçant dans le cas ou le théoème de sépaaton [Ma 98] n est pas applcable on ntodut les non lnéatés qu dépendent des vaables de pémsse non mesuables dans les matces contenant les ncettudes. Dans [Laube ] une méthode basée su le couplage des pates commande et obsevateu est poposée elle consste à ésoude le poblème d une façon séquentelle gâce à deux poblèmes LM. Une pate des tavaux de [Chen ] eont également cette méthode. De la même manèe que pou le cas de stablsaton l étude de stablté de tels systèmes epose su la foncton de Lyapunov quadatque de la fome V ( x eo ) x x eo eo. Un ésultat écent consste à ésoude ce poblème sous fome de LM s d une manèe systématque [Laube 4]..4.. Modèles -S petubés : atténuaton des petubatons Les systèmes non lnéaes sont également susceptbles d ête soums à des petubatons extenes. ns l atténuaton des petubatons est pam les spécfcatons des pefomances qu l faut pende en consdéaton. Un modèle -S soums à une petubaton extene s éct sous la fome généale suvante :

Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S x& p h ( z ) { x B u B ϕ } h ( z ){ C x D u D ϕ } où ϕ epésente la petubaton extene de bone supéeue connue ϕ up (.59) ϕ et p est la sote à égule. ou ce qu sut une défnton de la nome H est nécessae. Défnton. on appelle nome H du tansfet enteϕ et p [lazad 99]: zϕ ϕ ( t ) ϕ t ( ) xϕ p Sup (.6) L obectf en plus de la stablsaton est de détemne une lo de commande qu atténue l effet des petubatons extenes ϕ su la gandeu à égule (nome H ) en boucle femée avec un taux d atténuaton donnéeη : p η vec (.6) p défne pa p p p dt (.6) Une fable valeu de cette nome ndque un fable effet des petubatons le but est alos de détemne des los de commande qu pemettent de mnmse cette nome en l occuence une melleue atténuatonη. Remaque.5 Le taux d atténuaton η s appelle auss la pefomance H quadatque. ou assue la stablté du système (.59) ans qu une pefomance H quadatque nous consdéons une foncton de Lyapunov de type quadatque. Le théoème suvant donne une condton suffsante assuant cette pefomance : héoème.4 [Boyd 94] n consdéant le modèle (.59) la nome H est assuée pou un taux d atténuaton nféeu à η s et seulement s l exste une foncton quadatque de Lyapunov V ( x) x x telle que :

Chapte dv dt ( x) p p η ϕ ϕ < Commande floue et stablté des modèles flous -S (.6) Remaque.6 La condton (.6) peut ête écte en aoutant une matce de pondéaton à la vaable à égule [seng ]. dv dt ( x) Q η ϕ ϕ < avec Q > (.64) n se plaçant dans le cade des modèles -S contenant unquement des petubatons extenes sans matce d entée le modèle devent [Chang ]: h ( z ){ x B u ϕ } x& (.65) ou synthétse une commande DC (.5) pemettant de stablse et d atténue les petubatons du système (.64) le ctèe tf x Q x dt ϕ ϕ tf H coespondant seat donc défnt comme sut : η dt (.66) Le système en boucle femée est alos donné pa : h z ( )[ ( B K ) x ϕ ] x& (.67) n consdéant les condtons ntales de l état du système le ctèe (.49) devent : [lazad 99] [Chang ] tf x Q x dt x( ) x( ) ϕ ϕ tf η dt avec > (.68) Un peme ésultat mmédat s nspant de la condton (.68) monte une condton suffsante assuant la stablté avec atténuaton des petubatons. On consdèe dans (.8). Y défns héoème.5 [Chang ] Le système en boucle femée (.5) est stable s l exste une matce > une constante postve constante η et des etous d état condtons suvantes : K montés dans (.5) et qu satsfont les Y η <... (.69) 4

Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S Y Y η < < (.7).4.. Modèles -S ncetans et petubés D autes ésultats en foncton des modèles étudés sont dsponbles. Notamment les ésultats concenant les modèles -S soums à des petubatons extenes et avec ncettudes paamétques. am les ésultats pncpaux on peut se éfée à [anaka 96] [Lee ]. Dans [Lee ] les modèles ps en compte peuvent s éce de la manèe suvante : x& y h ( z )[( ) x ( B B ) u ( B B ) ϕ ] h ( z )[ C x D u D ϕ ] (.7) ou ce type de modèle [Lee ] donnent une condton suffsante su les gans de etou assuant la stablté et l atténuaton des petubatons sous fome d un poblème LM. Ce ésultat epose su la stuctue patculèe des ncettudes qu sont de la fome suvante : [ B B ] H F[ ]... (.7) et H et le temps de la façon suvante : F sont des matces constantes et la matce ncetane F est bonée dans F... (.7) Notons que cette stuctue nécesste deux matces communes ente toutes les ègles notées H et F ce qu n est pas le cas dans la stuctue du modèle (.57). n posant : Y Y C λ H B B D Y B Y Y α Q ( ) ( ) ( ) ( ) λ η D ( ) ( ) λ (.74) Le symbole ( ) ndque la quantté tansposée dans une matce symétque. Le ésultat pncpal peut ête synthétsé pa le théoème suvant : 5

Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S héoème.6 [Lee ] vec le modèle flou (.7) et les Y défns en (.74) l exste une lo de commande (DC) obuste stablsante avec un taux de décossanceα de la foncton de Lyapunov quadatque. La pefomance H (.64) est gaante pou un taux d atténuaton η pou les ncettudes admssbles s l exste une matce > des matces K et un scalae λ > tels que les condtons (.9) et (.4) sont satsfates. Les tavaux pésentés posent les bases de la synthèse de commande obuste dans le cas des systèmes -S. ns on peut touve également pluseus méthodes écentes pou tate le poblème de commande obuste pou des systèmes -S ncetans tels que dans le cas de systèmes -S ncetans et petubés..5. URS ROCHS D SYNHS.5.. Stuctue des Systèmes Flous Le système flou content tos composantes pncpales vo la fgue. le bloc fuzzfcaton qu va effectue une tansfomaton des vaables d entée défnes pa des fonctons d appatenance en des vaables lngustques qu peuvent ête tatées pa des opéateus flous. Le moteu d'nféence qu est le vétable ceveau du système "flou". l donne la elaton qu exste ente les vaables d entée (expmées comme vaables lngustques) et les vaables de sote (également expmées comme vaables lngustques). La base de ègles floues consste en une collecton de ègles de la fome S-los. pès l étape d nféence on obtent une valeu floue et pusque les entées du système à commande sont des valeus pécses alos l est nécessae de tansfome les valeus floues en des valeus numéques ben détemnées c est le ôle de la défuzzfcaton. x en U Fuzzfcateu Base de ègles Défuzzfcateu y en V nsembles flous en U Moteu d nféence nsembles flous en V Fgue. : Schéma synoptque généale d un système flou. 6

Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S La ème ègle floue écte sous la fome suvante [Wang 97] : R ( l ) l l l : S x est F et...et xn est Fn los y est B (.75) Le système flou effectue une elaton de coespondance ente U U K U n R et l ensemble R où [ ] n x x K x n R le vecteu d entée et y R est la sote du système. F et l B sont les ensembles de fonctons d appatenance des entées et des sotes du système flou espectvement. K désgne le nombe d entée pou le système flou et l Km désgne le nombe des ègles floues S-los. On vot que les systèmes flous compennent une classe tès che de confguaton de systèmes statque de n U R à R pace que dans chaque bloc l y a dfféents chox et beaucoup de combnasons de ces chox peuvent about aux sous classes des systèmes flous qu seont utlsées comme des composants de note contôleu adaptatf flou. L ensemble du système flou avec la fuzzfcaton sngleton la défuzzfcaton pa cente de gavté et le podut d nféence sont tous des fonctons écte sous la fome suvante : y ( x) m l y m l n ( Π l ( x )) F n l ( x ) Π l F f : U R n R telles que la sote (.76) K n Où x ( x x ) U ( ) l x F l y est le pont auquel l ensemble des fonctons d appatenances l pend sa valeu maxmale (en généal on assue que ( ) ( y ) les ensembles flous [Wang 97]. S on fxe l ( ) x F ) et l G et consdèe l F et l G sont l y comme des paamètes austables alos l'équaton (V.) peut ête éécte sous la fome compacte suvante : ( x) θ ξ ( x) ξ ( x) θ y (.77) y K θ y est un vecteu des paamètes et ξ ( x) ξ ( x) K ξ m ( x) est vecteu de m où [ ] égesson dont la l ème composante est donnée pa : l ξ ( x) Π n l F m n l Π ( x ) l ( x ) F [ ] (.78) L éctue de la sote du système flou sous la fome (.77) pemet d une pat d explote les dfféents algothmes adaptatfs lnéaes et d aute pat d ntodue dectement des nfomatons lngustques émanant de l expet human. 7

Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S.5.. Commande pa Mode Glssant Les pocessus physques sont les plus souvent non lnéaes. Mal défns et ont des paamètes vaables. a exemple dans le cas des obots les équatons dynamques sont non lnéaes couplées et les paamètes ntevenant dans leu descpton dépendant de la chage. D aute pat un modèle mathématque n est en d aute qu une epésentaton appoxmatve de la éalté physque et cependant on ne déposant que de ce modèle pou constue une lo de commande. La technologe des modes glssants consste à amene la taectoe d état d un système ves la suface de glssement. Dans la éalté l est souvent tès dffcle de epésente stctement un pocessus et connaîte toutes les vaables mse en eu. a conséquent la lo de commande qu lu sea assoce dot ête obuste afn de atténue à cetans non lnéatés ou eeus d dentfcaton. La commande pa mode glssant pemet de éponde à ce poblème. Cette obustesse se fea au détment des pefomances. n effet la dscontnuté et l entée ndut des vbatons haute-féquences ndésables en patque. De plus la suface de glssement défne dans ce fomalsme édut l ode du système en boucle femée ce qu ne pemet pas dans cetans cas d mpose au système un modèle désé de stablsaton..5... Systèmes à stuctue vaable aux égmes glssants Un système à stuctue vaable est un système dont la stuctue change duant son fonctonnement. La commande de tels systèmes pa mode de glssement a en généal deux modes de fonctonnement (Fg..4.) : Le mode non glssant (eachng mode) ou mode d accès ou encoe mode de convegence (MC). Le mode glssant (sldng mode). ns la taectoe de phase patant d une condton ntale quelconque attent la suface de commutaton en un temps fn (mode non glssant) pus tend asymptotquement ves le pont d equlbe avec une dynamque défne pa le mode glssant. 8

Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S ont d équlbe () Mode glssant hase d accès ( xx& ) S Fg..4. Modes de fonctonnement dans le plan de phases..5... Condtons d exstence et de convegence du égme glssant Les condtons d exstence et de convegence sont les ctèes qu pemettent aux dfféentes dynamques du système de convege ves la suface de glssement et d y este ndépendamment de la petubaton. On pésente deux appoches :.5... ppoche decte Cette appoche est la plus ancenne elle est poposée et étudée pa [Utkn 77]. lle est donnée sous la fome : ( x) S( x) < S & (.79).5... ppoche de Lyapunov l s agt de chos une foncton canddate de Lyapunov V ( x) > (foncton scalae postve) pou les vaables d état du système et de chos une lo de commande qu fea décote cette &. foncton V ( x) < n défnssant pa exemple une foncton canddate de Lyapunov pou le système comme sut : V (.8) ( x) S ( x) n dévant cette denèe on obtent : ( x) S( x) S& ( x) V & (.8) 9

Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S ou que la foncton canddate de Lyapunov pusse décote l sufft d assue que : ( x) S( x) < S & (.8) Cette denèe appoche est utlsée pou gaant les pefomances de la commande l étude de la obustesse et de la stablté des systèmes non lnéaes..6. CONCLUSON Ce chapte a été pésenté en deux pates essentelles la pemèe consste à pésente un apeçu su la stablté et la commande flous (-S). Nous avons détallé le pncpe de la commande DC et la mse en œuve d'obsevateu -S. Ces outls pésentés sevont également pou les tavaux que nous abodons dans ce qu sut. a alleus nous avons pésenté quelques ésultats concenant la elaxaton des LM. Quant aux systèmes -S quelques ésultats de commande obustes ont été ctés notamment les appoches DC utlsant le ctèe H. Les ésultats ctés dans cette pate ne concenent que le poblème de stablsaton des modèles -S. n evanche le poblème de synthèse obuste et celu de l explotaton numéque des ésultats. n effet le passage du poblème de stablsaton au poblème de commande en pousute n'est pas tval et l obtenton des ésultats en temes de LM n est pas systématque. Mas d un cetan pont de vue la méthode d analyse este smlae pou tate le poblème de stablsaton et celu de la pousute de taectoe. Dans la deuxème pate nous avons pésenté une appoche de synthèse obuste pou les systèmes non lnéaes qu est la commande pa mode glssant. Un appel théoque su le pncpe de commande avec cette technque pou les systèmes non lnéaes à stuctue vaable est détallé et ensute nous avons abodés les condtons d exstence et de convegence du égme glssant. Dans la sute de ce manusct on va applque cette technque pou assue la obustesse et la pefomance en cas de la pousute des systèmes non lnéaes.

OURSU D RJCOR OUR LS MODLS -S RURBS

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés.. NRODUCON La commande des pocédés non lnéaes peut ête vue sous dfféentes facettes. n plus de la stablsaton on dstngue auss les poblèmes de égulaton ou de pousute d une taectoe généée pa un modèle de éféence. Dans ce chapte nous consdéeons le cas le plus généal celu du suv d une taectoe désée. ns le chapte est epat en deux sectons pncpales ; dans la pemèe nous allons pésente les pncpales appoches élaboées dans le cade de la synthèse de commande pou assue la pousute de taectoe pou les modèles -S. nsute dans la seconde pate nous tateons de la synthèse de commande pou les modèles flous -S soums à des petubatons extenes. Cette appoche s appue su l emplo d un modèle de éféence pou spécfe la taectoe désée. La lo de commande ans élaboée est basée su la mnmsaton de l eeu de pousute pa appot aux petubatons selon un ctèe H. Le ésultat pncpal dans ce chapte est de monte une condton plus elâchée au sens d optmsatons convexes LM en l occuence un maxmum d atténuaton des petubatons en assuant la pousute... ROBLM D SUV D RJCOR Le poblème de suv de taectoe des systèmes non lnéaes notamment les systèmes affnes en la commande a été taté avec pluseus appoches classques depus pluseus années pam ces méthodes assez développées dans la lttéatue on peut dstngue ; la commande adaptatve floue [Wang 96 ssounboul 4] la commande à modes glssants [Utkn 77 Manamann 98] la commande H [lazad 99 ssounboul 4] la commande D (popotonnel ntégale dévé) [Dodev ] etc... n evanche la synthèse de commande pou assue la pousute de taectoe pou les systèmes non lnéaes décts pa les modèles flous du type -S sont tès peu ou pas taté dans la lttéatue et en patcule la synthèse de commande obuste et la elaxaton des poblèmes LM [Mansou 9].... La pousute de taectoe pou les modèles -S n dépt d'une lttéatue abondante su le poblème de stablsaton des modèles flous -S seulement peu de ésultats sont dsponbles concenant le poblème de suv de taectoe. Dans [Kung 97] la concepton d un contôleu flou état poposée en utlsant la technque de lnéasaton de etou de sote. Cette appoche ne concene que les modèles -S à temps

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés dscet obtenu pa dentfcaton selon un modèle R (uto - Régessf). De la même manèe et pou le même type de modèle une condton nécessae et suffsante lée à la noton de stablté des systèmes à phase non mnmale a été étable dans [Yng 99] pou détemne analytquement la stablté du contôleu flou. Les auteus de [seng ] tatent le poblème de suv de taectoe pou les modèles -S avec des petubatons extenes et un but de mesue. Cette appoche est basée su un ctèe H mnmsant l eeu de pousute avec un modèle de éféence pa appot à l ensemble des petubatons la synthèse de la lo de commande étable ; utlse un obsevateu flou du type Luenbege. Dans [seng ] la même statége a été développée pou une classe patculèe de systèmes non lnéaes nteconnectés. Une aute appoche au suet du suv de taectoe des modèles -S [Zheng ] est basée su la technque de commande à stuctue vaable (SVC) cette méthode est tès estente au sens de la obustesse ca les ncettudes su les matces d entée sont consdéées néglgeables. Dans le même contexte [Lam ] ont conçu un contôleu à commutaton en utlsant un modèle de éféence. Cette méthode se caactése pa la complexté de la lo de commande et la dffculté de véfe une elaton ente les matces d entée sote et le modèle de éféence. Dans [anguch 99] une commande floue basée su la lnéasaton de l eeu de pousute a été étable en utlsant une méthode smlae à celle du DC eposant su un modèle de éféence non lnéae. Cette commande n est pas obuste et concene patculèement le poblème de égulaton. Une aute appoche se basant su une combnason de la commande à mode glssant et la commande DC pou les modèles -S a été poposée dans [Chang ]. Dans cette méthode l analyse de stablté avec les deux commandes se fat d une manèe ndépendante. Une tentatve de synthèse de commande pou le suv de taectoe avec un modèle de éféence a été poposée dans [ong ]. Les ésultats ans touvés se basent malheueusement su une confuson de l eeu d obsevaton et celle de pousute ce qu donne évdement des condtons eonées su les gans de commande et ceux d obsevaton. pat de ce tou d hozon bblogaphque su le poblème de suv de taectoe des modèles -S on se end compte que les ésultats ne sont pas tès abondants que cetanes estctons sont consdéées. n effet dans la maoté des cas les systèmes ne sont pas petubés ou sont consdéés comme cetans. atant de ce constat nous avons abodé l étude de cette poblématque en adoptant une statége de commande basée su un modèle de éféence. L appoche pa modèle de éféence n est pas nouvelle en sot mas les types de

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés systèmes -S que nous consdéons et les théoèmes établs consttuent la maeue pate de note taval. Dans ce qu sut nous pésentons la statége de commande de manèe généale. Les détals seont explctés au fu et à mesue des chaptes selon chaque cas en foncton du modèle et de la commande floue utlsée.... Statége de commande Duant tout ce taval le poblème de suv de taectoe des modèles -S sea taté en se basant su la technque schématsée selon la fgue.. Système non lnéae dentfcaton Modèle hysque Modèle Flou (akag-sugeno) Modèle de Réféence xˆ& y h ( z ) C x h ( z ) [ xˆ B u L ( y ŷ )] Obsevateu Flou Règle Règle Lo de commande locale Règle Règle Règle u h ( z ) u Règle Fgue.. Schéma de la statége de commande adoptée. Le pncpe de la statége de commande que nous adoptons est de constue un modèle flou -S appelé modèle augmenté. n effet l egoupe le modèle du système celu de l obsevateu s l est nécessae d estme les vaables d état ans que celu du modèle de éféence. Ces dfféentes étapes sont détallées comme sut :

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés... Le modèle physque et le modèle -S n consdéant le modèle non lnéae affne en la commande l s agt d obten un modèle flou -S en utlsant les méthodes déctes dans le peme chapte. a l ntemédae des vaables de pémsses le modèle physque foune les nfomatons su l état du système en l occuence l état du modèle -S.... L obsevateu flou -S La synthèse d un obsevateu flou de type Luenbege (.) peut ête consdéée dans le cas où l état du système n est pas dsponble. xˆ& yˆ h ( z )[ xˆ B u L ( y yˆ )] h ( z ) C xˆ (.) n R xˆ est l état estmé et L est le gan d obsevaton de la ème ègle floue.... Le système de éféence ou spécfe la taectoe désée on dstngue pluseus types de modèle à savo les modèles lnéaes et non lnéaes.... Modèles lnéaes am les modèles de éféences lnéaes les plus utlsés sont de la fome [seng ]: x& x (.) où x est la vaable de éféence pout est une matce asymptotquement stable et est une entée de consgne bonée dans le temps [seng ]. Le modèle (.) peut ête mun d une matce d entée [agès Uang 4] qu pemet d avo un système de éféence commandable dont la matce n est pas focement stable ce qu nécesste un etou d état de éféence dans la lo de commande utlsée pou assue le suv de taectoe. Ce modèle s éct de la façon suvante : & x y x B C x où est une entée B et C sont des matces de dmensons appopées. (.) 4

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés Un aute type de modèles de éféence tès adoptés pou les systèmes lnéaes est un modèle lnéae autonome dont la dynamque de la taectoe désée est défne pa les pôles de la matce & x y x C x Dans ce cas la matce et les condtons ntales ( ) fasablté au nveau des calculs LM [Wu ]. x. Ce modèle est de la fome suvante : (.4) n est pas focement stable ce qu peut entaîne des poblèmes de... Modèles non lnéaes On peut également adopte un modèle de éféence non lnéae de type -S obtenu pa un découpage des non lnéatés dans un espace compact de l espace d état. Ce modèle est de la fome suvante [anguch 99] : l v ( z ) D x x& (.5) où l est le nombe de ègles v epésentent les fonctons d appatenance et z est la vaable de pémsse. Dans ce type de modèle les matces D ne sont pas tous focements stables. Dans la sute de ce chapte nous adoptons le modèle de éféence de type lnéae (.) pusqu l possède une plus gande souplesse pou génée la consgne désée....4. Lo de commande La fome de la commande utlsée dans ces appoches est smlae à celle d une commande DC (.5) sauf que celle-c est en foncton de l état du système mas auss de l état de éféence autement dt en foncton de l eeu de pousute. Dans le cas de la dsponblté de l état du système le sgnal de commande est donné pa : u h ( z ) K [ x x ] (.6) pès avo pésenté la statége adoptée dans ce chapte concenant la synthèse de commande pou assue le suv de taectoe dans la secton qu sut nous tatons un peme poblème de pousute et de elaxaton LM qu concene les modèles -S petubés. Dans le cas échéant note commande seat donc en foncton de l état estmé du système u h ( z ) K [ x x ] ˆ (.7) 5

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés.. SYNHS D COMMND VC OBSRVUR : ROCH H... Commande basée su l appoche H Sot le modèle -S petubé suvant : x& y h ( z )[ x B u ϕ ] h ( z ) C x v ϕ est une petubaton extene nconnue avec une bone supéeue ϕ ϕ et up (.8) v un but de mesue de la sote. Comme tous les états ne sont pas dsponbles on consdèe l obsevateu flou (.). Sot e o l eeu d obsevaton donnée pa : e o x xˆ (.9) pat des équatons (.) (.8) et (.9) la dynamque de l eeu d estmaton est donnée pa : h ( z ) h z ( )[ ( L C ) e L v ] ϕ e& (.) o ou spécfe la taectoe désée nous avons consdéé le modèle de éféence défn pa (.). L atténuaton de l effet des petubatons sea fate en consdéant la pefomance lée à l'eeu de pousute x tf {[ x x ] Q [ x x ]} dt tf ϕ ϕ v v η { } ou ben tf x défne comme sut [Chen Golea seng ]: dt tf {[ x x ] Q [ x x ]} dt ϕ ϕ v v { } H (.) η dt (.) où t f epésente le temps fnal Q est une matce symétque défne postve et η est le taux d'atténuaton fxé. Nous consdéons la lo de commande : u h ( z ) K [ x x ] ˆ (.) a conséquent à pat des dynamques e o x et x coespondant espectvement à l eeu d'estmaton l'état du système et la vaable de éféence nous pouvons défn le système augmenté suvant : ~ ~ ~ [ ] h ( z ) h ( z ) G ~ x F ~ x& φ (.4) 6

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés avec ( ) ( ) ( ) v ϕ eo t LC L x% x t G% B K B K B K F% x t et % φ (.5) ns en tenant compte des condtons ntales le ctèe (.) peut ête modfé comme sut : tf H elatf à l eeu de pousute en tf {[ x x ] Q [ x x ]} dt ~ ~ x Q ~ x ~ x ( ) ~ x( ) tf η { ϕ ϕ v v } où x~ ( ) epésente le vecteu des condtons ntales du système (.4). ~ ~. Notons auss que ϕ ϕ v v φ φ L'obectf mantenant est de détemne les gans en gaantssant la pefomance K et ~ H (.6) pou tout φ dt (.6) L pou le système augmenté (.4). La synthèse de commande consstea d abod à atténue au maxmum l effet des petubatons ensute à gaant la stablté ~ φ t [seng ]. quadatque du système en boucle femée (.7) c'est-à-de (.4) sans ( ) ~ [ ~ ] ~ x& (.7) h ( z ) h ( z ) G x Dans le but de édue le nombe de condtons et d avo un ésultat mons consevatf l dée est de efomule le théoème établt dans [seng ] en deux condtons l une pou les temes domnants et l aute pou les temes cosés. héoème. ou t > h ( z ) h ( z ) S l exste une matce symétque défne postve ~ ~ > et une constante postveγ tels que les condtons suvantes soent véfées. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ G G γ F F Q < pou K (.8) et 7

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( G G ) ( G G ) ( F F F F ) Q < γ pou < (.9) los le ctèe H (.6) est gaant pou le système augmenté (.4) pou une atténuaton γ η et la stablté quadatque du système en boucle femée (.7) est assuée. euve Consdéons la foncton de Lyapunov canddate V x~ t x~ t ~ x~ t avec ~ ~ > (.) ( ( )) ( ) ( ) n dévant (.) on a : V& t ~ x& ~ t ~ ~ x t ~ x t ~ x& t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h ( z ) h z ( )[ ~ ~ ~ ~ ~ x ( G G ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ x φ F ~ x ~ x F φ ] n applquant le lemme. défn dans le chapte on peut éce que : ~ ~ ~ t F ~ x t ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ φ x t F φ t γ φ t φ t γ ~ x t F F ~ x t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L négalté (.) devent alos : V& h ( z ) h z h h ( z ) h z ( ) ~ x [ G G ] ~ x γ ~ x F F x γ φ φ ( ) ~ x [ G G γ F F ] ~ x γ φ φ ( z ) ~ x [ G G γ F F ] ~ x < ~ h ~ ~ ~ ~ ( z ) h z ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ ~ ( ~ ~ G G G G ) ~ x t ~ ~ ~ ~ ~ ~ γ ( F F F F ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ γ φ ~ ~ ~ φ (.) (.) D apès (.8) et (.9) du théoème. on a ~ ~ V & Q ~ t x~ t x~ t γ φ t φ t (.) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ Dans le cas où φ (.) sgnfe que V est quadatquement stable. n ntégant (.) de t à t t f : V tf tf ~ ~ ~ ( t f ) V ( ) ~ x Q ~ x dt φ φ Le système étant stable on obtent tf ~ ~ ~ ~ ~ x ~ ~ ~ φ tf Q x dt x ( ) x( ) η φ & ce qu veut de que le système (.7) η dt (.4) dt 8

Chapte a conséquent la pefomance ousute de taectoe pou les modèles -S petubés H (.6) est assuée pou un nveau d atténuatonγ η.... Condtons de elaxaton Un modèle exact ne l est que dans un sous espace compact de l espace d état. De plus la lmte d un sous espace est lée à celle des gandeus physques du système. D aute pat touve un modèle exact pou n mpote quel système n est pas tval alos qu l est touous possble d obten un modèle -S pa lnéasaton en consdéant des ponts de fonctonnement udceusement choss. La méthode pécédente monte que le poblème de pousute de taectoe se édut au poblème de stablsaton du système flou augmenté (.4) et consste à touve une matce commune ente toutes les ègles. n effet s le nombe de ègles est gand l seat dffcle de touve une matce commune qu satsfat les condtons du théoème.. a conséquent l seat dffcle de touve des gans gaantssant la stablté du système avec une bonne atténuaton des petubatons. ou allége ce poblème de nouvelles condtons mons consevatves seont données dans ce paagaphe pou assue la stablté du système (.4) [Mansou 9]. n effet nous allons utlse deux popétés concenant le nombe maxmal de ègles actves à chaque nstant. Ces popétés sont explctées dans les coollaes suvants : Coollae. : S s est le nombe maxmal de ègles actves à chaque nstant t où < s alos [anaka 98a] h s < ( z ) h ( z ) h ( z ) (.5) Coollae. : S s est le nombe maxmal de ègles actves à chaque nstant t où < s alos [anaka 98a] h ( z ) s (.6) euve n employant la popété suvante h ( z ) h ( z ) h ( z ) h ( z ) < et celle donnée en (.5) nous obtenons 9

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés h ( z ) ( s ) h ( z ) ce qu véfe (.6). Le ésultat pncpal de cette pate peut ête donné pa des condtons elaxées déctes dans le théoème suvant : héoème. [Mansou 5] ou t > h ( z ) h ( z ) S l exste une matce symétque défne postve ~ ~ > M > postveγ tels que les condtons suvantes soent véfées. et une constante ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ G G γ F F ( s ) M s Q < pou K (.7) et ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( G G ) ( G G ) ( F F F F ) M < γ pou los le ctèe < (.8) H (.6) est gaante pou le système augmenté (.4) pou une atténuaton γ η et la stablté quadatque du système en boucle femée (.7) est assuée. euve On consdèe la même foncton de Lyapunov (.). atant de (.) dans le théoème. et en utlsant (.8) du théoème. on aboutt à : V& h z ~ ( ) ~ x [ G G γ F F ] ~ x ~ ~ ~ < h ~ ~ ~ n utlsant le coollae. nous pouvons éce V& h z h ( ) ~ x [ G G γ F F ] ~ x ( z ) h ( z ) ~ x [ M ] x γ φ φ ( s ) ( z ) ~ x G G γ F F ( s ) ~ ( z ) ~ x [ M ] x γ φ φ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ [ M ] ~ ~ ~ x γ φ φ ~ ~ ~ ~ nsute à pat de la condton (.7) on a V& h z ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ φ ( ) x [ s Q] x γ φ et en utlsant mantenant la popété du coollae. nous avons ~ h ~ ~ ~ ~ 4

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés V& x~ x~ γ φ φ Q ~ ~ ~ De la même façon que le théoème. on peut alos gaant le ctèe H (.6) avec un taux d atténuaton γ η. a conséquent la stablté quadatque du système (.7) est assuée. Remaque. ou une melleue pefomance de pousute les condtons du théoème.. (Resp : théoème.) peuvent ête fomulées comme un poblème de mnmsaton de telle sote que le taux d atténuaton du ctèe H sot le plus édut possble. mnη ~ ( Resp: ~ M ~ ) ~ ~ Sous les contant ~ ~ ( Re sp: > ). es > (. 8) et (. 9) (. 7) et (. 8) (.9) Remaque. Les ésultats du théoème. se basent su le nombe de ègles maxmales actves à chaque nstant. a conséquent cette noton touve son mpotance en patcule pou les modèles - S obtenus pa lnéasaton. n evanche quand l s agt de modèles -S obtenus pa découpage des non lnéatés dans un espace compact dans l espace d état homs quelques ponts patcules de l espace l ensemble ègles sont touous actves.... xplotaton numéque des ésultats Les condtons montées dans le théoème. et. pésentent des condtons BM. Dans la sute nous poposons une méthode qu consste à ésoude ce poblème BM en deux étapes dont chacune est un poblème LM [Mansou 9]. ns ces LM peuvent ête ésolues effcacement pa les technques d'optmsatons convexes [Gahnet 95]. Dans ce paagaphe nous nous lmteons à ésoude les condtons du théoème.. Celles du théoème. peuvent ête ésolues d'une manèe semblable. ou pouvo expme un poblème LM on consdèe ~ dag [ ] et dag [ M M ] M (.) M 4

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés n penant γ η et en substtuant (.) dans (.7) et (.8) les condtons du théoème.. devennent espectvement : et J J où J J J J J < < pou K (.) pou < (.) ( LC ) ( LC ) ( L L ) ( s ) M ( B K ) η η ( B K ) ( B K ) ( s ) M s Q ( B K ) s Q η et J η ( s ) M s Q ( L C ) ( L C ) ( L C ) ( L C ) η ( L L L L ) M J J ( B K ) ( B K ) η J ( B K ) ( B K ) ( B K ) ( B K ) M ( B K ) ( B K ) J J J M η pat de (.) et (.) on constate des temes qu sont non LM notamment dans les blocs dagonaux. ou les élmne on consdèe le changement de vaable bectf n applquant le complément de Schu (.) et (.) devennent espectvement : η Z L. 4

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés 4 55 45 45 44 4 4 < D D D D D Z D Z D η η η pou < (.) et 66 56 56 55 5 5 < Z Z Z Z η η η η pou < (.4) où ( ) M s Z C Z C D ( ) 4 B K D η ( ) ( ) ( ) Q s M s B K B K D 44 η ( ) Q s B K D 45 ( ) Q s M s D 55 et M C Z Z C Z C Z C ( ) ( ) 5 K B B K η ( ) ( ) ( ) ( ) 55 M K B K B B K B K η ( ) ( ) K B B K 56 ( ) 66 M

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés ou ésoude les négaltés (.) et (.4) on pocédea en deux étapes dont chacune consste à ésoude une LM. out d abod l s agt de touve dagonaux D 44 et 55 ensute M M et comme explqué c dessous : K M à pat des blocs L à pat des négaltés (.) et (.4) D'abod notons que (.) et (.4) mplquent espectvement : D et ( B K ) ( B K ) ( s ) M s 44 Q < 55 ( B K ) ( B K ) ( B K ) ( B K ) η η M pou pou < (.5) < (.6) n effectuant une conguence de (.5) et (.6) avec et avec les changements de vaables bectfs N Y K N et X N M N et le complément de Schu (.5) et (.6) sont espectvement équvalents à : N et N pou N < B Y X N η < pou K (.7) Q s ( B Y ) ( s ) N ( B Y ) N N B Y ( B Y ) N BY X < η (.8) Les vaables N Y et X ésolvant les LM (.7) et (.8). N Dans une seconde étape on substtue M et nouvelle LM obtenu en M M et et K Y N M N X N sont obtenues en K dans (.) et (.4) pus on ésoud la - L ( L Z ). los s l exste des matces défnes postves M M et M telles que (.) et (.4) sont véfées le ctèe H (.6) est assué pou le système augmenté (.4) pou une atténuatonγ η et la stablté quadatque du système en boucle femée (.7) est gaante. 44

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés..4. xemple et smulaton ou lluste les ésultats de elaxaton obtenue dans (.7) et (.8) consdéons à tte d exemple le poblème de pousute d'un bas de Robot à deux degés de lbeté (Fgue.). [seng ] g l m q l m q Fgue.. Bas de obot à deux degé de lbeté. L équaton dynamque de système est donnée pa : ( ). ( ). ( ) M q q&& C q q& q& G q τ (.9) avec : ( m m ) l mll ( ss cc ) l ( s s c c ) m l M ( q) ml C q& q& ( q q& ) m l l ( c s s c ) G ( q) où [ q q ] q avec q ( m m ) m l gs l gs q sont les coodonnées généalsées ( q) d nete C ( qq& ) compote les foces centpètes de Cools et ( q) M est le moment G est la foce de gavtaton. Les autes quanttés sont : les masses des deux bas m m ( kg ) les longueus des bas l l ( m ) les postons angulaes q q ( ad ) le moment de toson applqué τ [ τ ] τ ( N.m) l accéléaton de gavté g 9 8 m / s et la notaton : s sn( ) s sn( ) c sn( ) sn( ) q q q c. q On pend : x q x q& x q x 4 q& donc l équaton dynamque du bas peut s éce sous fome d un système d équaton d état avec les petubatons extenes et les buts de mesue : 45

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés ( ) ( ) ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) τ ( ) τ ϕ ( ) ( ) ( ) ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) τ ( ) τ ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x& t x t t x& t f x g x g x t x& t x4 t t x& 4 t f x g x g x 4 t y t x t v y t x t v (.4) où ϕ ( ) [ ϕ ϕ ϕ ϕ ] est le vecteu des petubatons extenes [ v v ] t 4 le vecteu de buts de mesue de la sote [ y y ] f f g ( x) g ( x) l l l l l l l l ( sc cs ) ( m m ) m ( s c c s ) m l y. avec { } { l ( s c c s ) x m l x } {( m m ) m ( s c c s ) } {( m m ) l gs m l gs ( s c c s )} ( sc cs ) ( m m ) m ( s c c s ) m 4 v { } { ( m ) l x m l l ( s c c s ) x } {( m m ) m ( s c c s ) } { ( m m ) l gs ( s c c s ) ( m m ) l gs } ( x) g ( ) m l l ( m m ) m ( s s c c ) x { } m l mll ( ) ( ss cc ) x g ( ) m l l ( m m ) m ( s s c c ) x { } m l m l l l mll ( ss cc ) ( m m ) m ( s s c c ) { } ( m m ) l ( m m ) m ( s s c c ) { } 4 La commande floue en pousute sea développée selon les étapes suvantes: tape ou utlse l appoche pa commande floue on dot avo un modèle flou qu epésente la dynamque du système non lnéae (bas de obot avec deux degés de lbeté). On suppose que x etxsont mesuables. vec m ( kg) m ( kg) et l ( m) l ( m) angulaes q q [ ( π ) ( ) ] et les petubatons extenes : π les postons ϕ. sn ϕ. cos ϕ. cos. sn ϕ. 4 Dans le but que nous avons détallé dans la secton (..) concenant le elâchement des condtons de stablté pou les systèmes non lnéaes on utlse un nombe de ègles édut pou la modélsaton de bas du obot à deux degés de lbeté. Le modèle flou de -S de système (.4) est donné pa les 9 ègles floues suvantes [seng ] : 46

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés Règle : Règle : Règle : Règle4 : Règle5 : Règle6 : Règle7 : Règle8 : Règle9 : S x est poche de π et x est poche de π los S x est poche de π et x est poche de los S x est poche de π et x est poche de π los S x est poche de et x est poche de - π los S x est poche de et x est poche de los S x est poche de et x est poche de π los x& y S x est poche de π et x est poche de π los S x est poche de π et x est poche de los S x est poche de π et x est poche de π los x& y x& y x& y x& y x Bu ϕ C x v x Bu ϕ C x v x Bu ϕ C x v 4 x B4u ϕ C x v 4 5 x B5u ϕ C x v x& y x& y 5 6 x B6u ϕ C x v x& y 6 7 x B7 u ϕ C x v 7 8 x B8u ϕ C x v où [ x x x x ] u ( t ) [ τ τ ] ϕ ( ) ϕ ( t ) ϕ ( t ) ϕ ( t ) ϕ ( t ) x 4 [ v ] v. et v x& y t [ 4 ] 8 9 x B9u ϕ C x v 9 47

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés 48 6 6 6 55 6859 8 4 5 597 5 4 56 546 79 48 5 574 58 94 49 6 78 5 4 8 59 6 87 47 7 6 455 968 9 98 845 6 5 5 6 4598 4 559 687 67 5 7 4 4 9 9 88794 65 4 66 5 8 9 98 5 49 7 8 64 6 5 9 9 69 4 7 4649 88 9 6 9. B 5 B B 5 4 B 5 B 5 6 B 7 B 5 8 B 9 B. C pou 9.... Le modèle de éféence (.) pou le système obot est donné pa : 5 6 5 6 et ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t cos 8 sn 8 4.

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés Les fonctons d appatenances sont de type tangulae pou les 9 ègles floues [seng ]. tape Résoude le poblème LM en utlsant l outl «LM Optmzaton oolbox» de MLB. Dans ce cas la matce dag [ ] avec : N 76 8 4 58 84 8 47 4 58 588 759 84 4 759 7987 5 4594 7 69 4594 75 4 5 7 4 76 77 69 5 77 6 79 48 78 48 N 78 59 59 59 579 655 655 89. 578 654 654 89 tape Calcule les gans de contôleu K et d obsevateu L.... 9. 6 47 5 944 5 6599 949 K 8 688 7 588 4 6 9 78 7 97 4 8 4746 594 K 4 4 47 44 7 68 66 759 484 96 K 7 699 6 445 4 97 5 55 588 8669 8 698 K 4 456 64 5 4755 8 549 49

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés 749 4 7846 9 57 74 K 5 66 6 7489 9 9 9 6598 548 997 4 5 9 5475 K 6 4 87 888 5 48 8 687 495 8856 884 K 7 8 6 84 98 89 7 494 78 4 4994 866 K 8 574 58 5674 6 868 8 44 8 4454 648 4 79 K 9. 485 8 7 4889 4 94 et 9 69 9 757 9 69 9 757 9 867 6 645 L 9867 6 645 L 9 757 56 5 9 757 56 5 68 9849 68 7954 68 9849 68 7954 9 69 9 757 9 69 9 757 9867 6 645 L 4 9 867 6 645 L 5 9 757 56 5 9 757 56 5 68 9849 68 7954 68 9849 68 7954 9 69 9 757 9 69 9 757 9867 6 645 L 7 9 867 6 645 L 8 9 757 56 5 9 757 56 5 68 9849 68 7954 68 9849 68 7954 9 69 9 757 9 867 6 645 L 9 757 56 5 68 9849 68 7954 9 69 9 757 9867 6 645 L 6 9 757 56 5 68 9849 68 7954 9 69 9 757 9 867 6 645 L 9. 9 757 56 5 68 9849 68 7954 M M 77 7 74 7 9 5 74 5 77 5 5 8 85 98 59 6 85 7 8 98 8 8 89 4 89 575 5

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés M 6 8 8 699. 6 8 8 699 Les ésultats des fgues (..) llustent les smulatons effectuées pou une pousute de taectoe snusoïdale d un bas de obots à deux degés de lbeté sans pésence des petubatons extenes. On constate que les pefomances de pousute sont assuées ans que la convegence de l obsevateu. La fgue (.a) pésente la pousute en poston du ont ente et secondes. La fgue (.b) monte la convegence des états estmés ves les états éels. La fgue.4a pésente la pousute en vtesse du ont ente et secondes. La fgue (.4b) monte la convegence des états estmés ves les états éels. La fgue.5a pésente la pousute en poston du ont ente et secondes. La fgue (.5b) monte la convegence des états estmés ves les états éels. La fgue (.6a) pésente la pousute en vtesse du ont ente et secondes. La fgue (.6b) monte la convegence des états estmés ves les états éels. Nous constatons également que les pefomances de pousute sont ben satsfates. L appoche LM decte pemet ans de pocue des gans plus pefomants. a.5 L'état x(t) x(t) estmée la efeence x(t) b.4. L'état x(t) x(t) estmée la efeence x(t).5.8 a d a d.6 -.5.4 -. -.5 4 5 6 7 8 9 emps (sec)....4.5.6.7.8.9 emps (sec) Fgue. : ousute en poston du ont : (a) ente et s (b) ente et s. 5

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés a.5 L'éta t x(t) x(t) e stmée la efeence x (t) b.5 L'éta t x(t) x(t) e stmée la efeence x (t).5.5 a d / s e c -.5 a d / s e c -.5 - - -.5 -.5-4 5 6 7 8 9 emps (sec) -....4.5.6.7.8.9 emps (sec) Fgue.4 : ousute en vtesse du ont : (a) ente et s (b) ente et s. a.5 L'état x (t) x(t) estmée la efeence x(t) b.8.6 L'état x (t) x(t) estmée la efeence x(t).5.4 a d a d. -.5 -. -.4 - -.6 -.5 4 5 6 7 8 9 emps (sec) -.8.5.5 emps (sec) Fgue.5 : ousute en poston du ont : (a) ente et s (b) ente et 5 s. a.5 x4(t) e stmée L'éta t x4(t) la efeence x4 (t) b.5 x4(t) e stmée L'éta t x4(t) la efeence x4 (t).5.5 a d / s e c.5 a d / s e c.5 -.5 -.5 - - -.5 4 5 6 7 8 9 emps (sec) -.5....4.5.6.7.8.9 emps (sec) Fgue.6 : ousute en vtesse du ont : (a) ente et s (b) ente et s. 5

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés.6.4...8 ad.6.4. -. 4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue.7 : eu d estmaton de poston du ont. -. -.4 ad/sec -.6 -.8 - -. -.4 4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue.8 : eu d estmaton de vtesse du ont..5 -.5 -. ad -.5 -. -.5 -. 4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue.9 : eu d estmaton de poston du ont. 5

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés.4. ad/sec.8.6.4. 4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue. : eu d estmaton de vtesse du ont.. -. ad -. -. -.4 -.5 4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue. : eu de pousute en poston pou Jont..8.6.4 ad/sec. -. -.4 -.6 4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue. : eu de pousute en vtesse pou Jont. 54

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés.5.4.. ad. -. -. -. 4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue. : eu de pousute en poston pou Jont..5.4... ad/sec -. -. -. -.4 -.5 4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue.4 : eu de pousute en vtesse pou Jont. 6 5 4 commande u (N) - - - 4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue.5 : Commande applquée au ont. 55

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés 5 commande u (N) 5-5 - -5 4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue.6 : Commande applquée au ont. Les ésultats des fgues (.7.) llustent les smulatons effectuées pou une pousute de taectoe snusoïdale d un bas de obots à deux degés de lbeté avec une petubaton snusoïdale donnée pa [ sn cos cos sn ] ϕ. a.5 petub L'état x(t) x(t) estmée la efeence x(t) b. petub L'état x(t) x(t) estmée la efeence x(t).5.8.6 a d -.5 a d.4. - -.5 4 5 6 7 8 9 emps (sec) a.5.5 -.....4.5.6.7.8.9 emps (sec) Fgue.7 : ousute en poston du ont : (a) ente et s (b) ente et s. petub x(t) estmée L'état x(t) la efeence x(t) b.5.5 petub x(t) estmée L'état x(t) la efeence x(t) a d / s e c -.5 a d / s e c -.5 - - -.5 -.5-4 5 6 7 8 9 emps (sec) -.5.5 emps (sec) Fgue.8 : ousute en vtesse du ont : (a) ente et s (b) ente et 5 s. 56

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés a.5 petub L'état x(t) x(t) estmée la efeence x(t) b.5 petub L'état x(t) x(t) estmée la efeence x(t).5 a d a d -.5 -.5 - - -.5 4 5 6 7 8 9 emps (sec) -.5..4.6.8..4.6.8 emps (sec) Fgue.9 : ousute en poston du ont : (a) ente et s (b) ente et s. a.5.5 petub 4 L'état x4(t) x4(t) estmée la efeence x4(t) b.5.5 petub 4 L'état x4(t) x4(t) estmée la efeence x4(t) a d / s e c.5 a d / s e c.5 -.5 -.5 - - -.5 4 5 6 7 8 9 emps (sec) -.5..4.6.8..4.6.8 emps (sec) Fgue. : ousute en vtesse du ont : ente et s (b) ente et s..6.4...8 ad.6.4. -. 4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue. : eu d estmaton de poston (ont ). 57

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés. -. -.4 ad/sec -.6 -.8 - -. -.4 4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue. : eu d estmaton de vtesse (ont )..5 -.5 -. ad -.5 -. -.5 -. 4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue. : eu d estmaton de poston (ont )..4..8 ad/sec.6.4. -. 4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue.4 : eu d estmaton de vtesse (ont ). 58

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés.. -. ad -. -. -.4 -.5 4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue.5 : eu de pousute en poston pou Jont..8.6.4 ad/sec. -. -.4 -.6 4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue.6 : eu de pousute en vtesse pou Jont..5.4.. ad. -. -. -. 4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue.7 : eu de pousute en poston pou Jont. 59

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés.5.4... ad/sec -. -. -. -.4 -.5 4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue.8 : eu de pousute en vtesse pou Jont. 6 6 commande u (N) 5 4 commande u (N ) 5 4 -....4.5.6.7.8.9 - - - 4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue.9 : Commande applquée au ont. 5 5 commande u (N) 5-5 commande u (N) 5-5 - -5....4.5.6.7.8.9 emps (sec) - -5 4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue. : Commande applquée au ont. 6

Chapte ousute de taectoe pou les modèles -S petubés.4. CONCLUSON Duant ce chapte nous avons abodé le poblème du suv de taectoe des modèles -S en tenant compte auss ben des pefomances de pousute en pésence de petubatons extenes que de la méthode de ésoluton. pès un tou d hozon su les tavaux dans le domane nous avons pésenté la statége de commande adoptée dans ce chapte. nsute nous avons élaboé la synthèse de commande obuste des modèles -S petubés pou assue le suv de taectoe en se basant su l appoche qu consste à mnmse l eeu de pousute pa appot à l ensemble des petubatons extenes. Le ésultat pncpal de cette appoche ésde dans les condtons elâchées au sens de LM qu se basent su le nombe maxmal de ègles actves à chaque nstant. Les ésultats ans développés se pésentent sous fome de BM. nfn pou monte l ntéêt de ces condtons de elaxaton nous avons llusté l appoche à taves un exemple de smulaton pou monte l ntéêt de la méthode au nveau de la fasablté LM. Dans les deux cas des fgues pésentées les pefomances de pousutes sont gaantes. Cette appoche monte ben ses lmtes de tos ponts de vue ; tout d abod quand l s agt des modèles -S exactes la méthode a peu d mpotance pus l explotaton numéque des ésultas n est pas optmale au sens du poblème d optmsaton convexe à cause de la méthode de ésoluton poposée. nfn l appoche poposée ne concene que les modèles cetans et petubés. Dans le chapte qu sut nous poposons une méthode employant la même appoche H dont les ésultats seont pésentés sous fome de LM et penant en consdéatons les modèles -S ncetans. 6

OURSU D RJCOR OUR LS MODLS -S NCRNS RURBS VC CRR H

Chapte ousute de taectoe des modèles -S ncetans et petubés avec Ctèe H.. NRODUCON Dans la lttéatue la plupat des tavaux tatant du poblème de la commande obuste pou les modèles -S ncetans ou/et petubés [Chen Chang Laube anaka anguch seng ] ne concenent que le poblème de stablsaton. Dans ce chapte le poblème de pousute de taectoe pou les modèles -S ncetans et petubés est abodé avec la même statége de commande que celle adoptée dans le chapte à savo une mnmsaton de l eeu de pousute pa appot aux petubatons extenes en utlsant un modèle de éféence selon un ctèe H. Note contbuton dans ce chapte concene la pse en compte des ncettudes dans le modèle -S dans le cas de la pousute d'une taectoe la gaante des pefomances de pousute et de stablté du système ans que l'obtenton de ésultats dectement sous fome LM. ns ce chapte sea stuctué de la manèe suvante. Nous tatons dans un peme temps la pousute d'une taectoe dans le cas où tous les états sont dsponbles. Dans ce cas nous pésentons deux appoches de synthèse dfféentes pemettant de gaant les pefomances de pousute. Nous monteons ensute à taves des ésultats de smulaton que la seconde appoche aboute dectement à des condtons LM. Cec pemet d'avo des ésultats plus faclement explotables numéquement et d assue de melleues pefomances que la pemèe appoche qu donne des solutons en deux étapes et de ce fat est plus consevatves. Nous consdéons également un obsevateu dans le cas ou tous les états ne sont pas dsponbles. Les ésultats également expmés sous fome LM seont llustés à taves des smulatons dans le cas de la pousute pou un bas de obots à deux degés de lbeté... SYNHS D COMMND SNS OBSRVUR Sot le modèle flou -S ncetan et petubé défn comme sut h ( z ) [ ( ) x ( B B ) u ] ϕ x& (.) Nous supposons dans un pemes temps que l état est totalement dsponble. et epésentent les ncettudes du modèle qu peuvent ête des ncettudes paamétques ou dus à la modélsaton. Ces ncettudes sont expmées dans note cas de la manèe suvante : H F et B H F K (.) a b B 6

Chapte ousute de taectoe des modèles -S ncetans et petubés avec Ctèe H avec suvante. F H des matces constantes et la matce a b F K F ncetane bonée de la façon (.) ou spécfe la taectoe à pousuve nous adoptons la statége de commande développée dans le chapte. ns le modèle de éféence est donné pa l équaton (.). L atténuaton des petubatons extenes dot ête gaante pa la pefomance H lée à l'eeu de pousute x tf {[ x x ] Q [ x x ]} dt ϕ ϕ x est défne comme sut : tf { } dt La lo de commande adoptée dans ce cas est donnée pa : u h ( z ) K [ x x ] η (.4) (.5) pat de là nous avons développé deux appoches pou gaant la stablté globale du système et les pefomances de pousute. La pemèe appoche [Mansou 9] mène à des condtons BM et la seconde est systématquement mse sous fome LM.... Synthèse de la commande pa appoche BM n consdéant les dynamques espectves de l état du système x et de la vaable de éféence x on peut établ le système augmenté suvant : [ ] x φ h ( z ) h ( z ) H F x& (.6) avec x x x H H et φ ϕ B K ( ) t B K [ K K ] a b b (.7) enant compte de l état augmenté x la pefomance H (.4) peut ête modfée comme sut : tf tf {[ x x ] Q [ x x ]} dt x Q x dt φ φ dt tf η (.8) 6

Chapte ousute de taectoe des modèles -S ncetans et petubés avec Ctèe H Q Q Q Q où Q et φ φ ϕ ϕ Consdéons la foncton de Lyapunov quadatque suvante : ( ) ( ) ( ) V x t x t x t avec > (.9) On peut monte la stablté du système augmenté (.6) à taves le théoème suvant. héoème. [Mansou 5] ou t et h ( z ( t )) h ( z ) > S l exste une matce symétque défne postve > et des constantes postves τ et η telles que la condton suvante sot véfée. H Q H τ K η τ (.) los le système en boucle femée (.6) est quadatquement stable et la pefomance H (.8) est assuée pou un cetan taux d atténuaton η. euve Consdéons une nouvelle vaable q F x telle que : q (.) Le système (.6) peut alos se ééce de la manèe suvante : [ ] h ( z ) h ( z ) x H q φ x& (.) Sachant que les ncettudes sont supposées bonées en utlsant (.) et (.) on aboutt à la contante : q q x F F x x x (.) Cette contante peut ête éécte sous la fome quadatque suvante : x q φ x q φ (.4) 64

Chapte ousute de taectoe des modèles -S ncetans et petubés avec Ctèe H ou gaant un taux d atténuaton η avec la pefomance H (.8) et assue la stablté quadatque du système en boucle femée (.6) la contante suvante dot ête éalsée : dv dt ( xt) Q x φ φ ( ) x η t (.5) n utlsant l expesson (.9) la contante (.5) devent : ( ) dv x t x Q x η φ φ dt & ( ) ( ) ( ) & ( ) ( ) ( ) η φ ( ) φ ( ) x t x t x t x t x t Q x t t t ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h z t h z t x t Q x t q t H x t ( ) ( ) φ ( ) ( ) ( ) φ ( ) η φ ( ) φ ( ) x t H q t t x t x t t t t ns nous devons gaant que : x ( Q ) x q H x x H q φ x x φ η φ φ L négalté (.7) peut ête mse sous la fome quadatque suvante : x q φ H Q ( ) ( ) x q η φ (.6) (.7) (.8) Les deux contantes peuvent ête assemblées en une seule contante sous éseve de l exstence d une constante postve τ. ns on aboutt à l négalté suvante : x q φ H Q ( ) ( ) x τ q η φ (.9) nfn en applquant un complément de Schu on etouve l négalté du théoème.. Cette soluton fomulée sous fome BM peut ête une altenatve pou assue la pousute. Cependant sa ésoluton se fea en deux étapes comme celle poposée dans le chapte (..). n effet nous poposons dans la secton suvante de fomule les condtons dectement sous fome LM. On montea que cec pemet d'avo des solutons mons consevatves et pa conséquent une améloaton des pefomances de pousute. 65

Chapte ousute de taectoe des modèles -S ncetans et petubés avec Ctèe H... Synthèse de commande pa appoche LM Dans cette appoche l état du système augmenté est constut à pat de la dynamque de l eeu de pousute e x x et de la vaable de éféence p la lo de commande (.5) et le modèle de éféence (.). x. Nous consdéons n consdéant (.) (.5) et (.) la dynamque de l eeu de pousute est donnée pa : p ( ) ( ) ( ) ( ) e ( B B ) K e ( ) x ϕ e& t x& t x& t p p On peut alos expme le nouveau système augmenté pa : ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) φ ( ) (.) x& t h z t h z t x t S t (.) où x e x φ ϕ ( ) B K B K p ( ) et S t (.) Dans ce cas la pefomance H (.4) elatve à l eeu de pousute pa appot à l ensemble des petubatons est alos modfée comme sut : tf { ( ) ( ) ( ) ( ) } x t x t Q x t x t dt tf ( ) ( ) η φ ( ) φ ( ) tf x t Q x t dt t t dt où Q dag [ Q ] et φ φ ϕ ϕ. (.) n utlsant la foncton de Lyapunov (.9) on peut monte la stablté du système augmenté (.) à taves le théoème suvant. héoème. [Mansou 9] ou t et h ( z ( t )) h ( z ( t )) > S l exste des matces symétques défnes postves N N > et des > constantes postves et η telles que la LM suvante sot véfée. 66

Chapte ousute de taectoe des modèles -S ncetans et petubés avec Ctèe H 67 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 < Y N Q N Y N N H H B Y N a a b a b a η η pou K (.4) los la stablté quadatque du système en boucle femée (.) est assuée et la pefomance H (.) est gaante pou une atténuaton η. vec les changements de vaables bectfs. N et Y avec N et K Y N euve ou démonte ce théoème comme pou le cas pécédent nous devons également véfe la contante suvante : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t x Q t x dt xt dv φ φ η (.5) n dévant la foncton de Lyapunov (.9) et d apès (.5) on aboutt à l négalté suvante : ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] t t t S t x t x S t t x Q t x φ φ η φ φ (.6) L négalté (.6) peut s éce donc sous la fome matcelle suvante : ( ) ( ) ( ) ( ) t t x S S Q t t x φ η φ (.7) n l occuence S S Q η (.8) ou pouvo éce un poblème LM nous supposons que [ ] dag. n emplaçant les matces augmentées défnes en (.) on obtent ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B K B K η η (.9) fn de pouvo ésoude cette condton l'dée dans ce cas est d'effectue une sépaaton des ncettudes du système l'négalté (.9) peut s éce sous la fome

Chapte ousute de taectoe des modèles -S ncetans et petubés avec Ctèe H 68 Π Π (.) avec ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q B K η η Π et ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H t F K t F H t F H B K a b a J Π n pocédant à l élmnaton de cetans éléments de la matce gâce à la pocédue détallée dans le chapte (lemme.) nous pouvons de la même manèe élmne les éléments antdagonaux de la matce ncetane Π. ns Π se etouve maoée de la façon suvante : ( ) a a b b a a K K H H Π (.) avec et des paamètes constants qu peuvent ête fxés ou echechés. osons ( ) ( ) ( ) a a b b Y B K Q H H K K Gâce à (.) l négalté (.) est donc équvalente à : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) η η a a Y (.) ou about à une condton LM nous effectuons un changement de vaable en pé post multplant (.) pa [ ] N dag avec N. n posant ( ) ( ) ( ) b b a a Y Y N N H H N QN B K N Y on obtent :

Chapte ousute de taectoe des modèles -S ncetans et petubés avec Ctèe H Y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a η η (.) vec des compléments de Schu effectués su le blocy on etouve l négalté (.4) du théoème.. L appoche ans développée epésente une condton dectement sous fome de LM qu peut ête ésolue en une seule étape avec les algothmes d optmsaton convexe [Boyed 94]... SYNHS D COMMND VC OBSRVUR... ppoche LM Dans cette secton on s ntéesse à la synthèse de commande avec obsevateu. Le modèle -S ncetan et petubé est déct pa : x& y h ( z )[( ) x ( B B ) u ] ϕ h ( z ) C x (.4) Comme nous supposons que les états ne sont pas totalement dsponbles nous consdéons l obsevateu flou développé dans (.). Le modèle de éféence utlsé est celu défn dans (.). La lo de commande est donnée pa : u h ( z ) K [ x xˆ ] avec xˆ R n epésentant l état estmé du système. (.5) Remaque. Notons que l appoche BM développée dans.. peut ête également applquée pou la synthèse de commande avec obsevateu. n effet en consdéant la vaable augmentée (.5) défne dans le chapte et en employant la lo de commande (.5) nous aboutssons à un ésultat smlae à celu du théoème.. ou évte cette edondance nous avons péféé détalle dans ce chapte l appoche LM unquement. n effet cette denèe pésente l avantage d ête explotable faclement d un pont de vue numéque et avec mons de consevatvté pa appot à la echeche des gans à pat d une BM en pocédant en deux étapes. 69

Chapte ousute de taectoe des modèles -S ncetans et petubés avec Ctèe H ns en se basant su le modèle de éféence (.) et la lo de commande (.5) nous défnssons une nouvelle vaable augmentée x~ composée de la dynamque de l eeu d estmaton x xˆ de l eeu de pousute e x x e o p et enfn de la vaable de éféence x. n applquant la commande (.5) au système (.4) la dynamque est donnée pa : ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x & t h z t h z t B K B K eo t B K B K x t ( B K B K ) x ( ) x ( ) x ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h z t h z t B K B K eo t B K B K ep t ( ) x ϕ ns la dynamque de l'eeu d estmaton en foncton de e e et x façon suvante : ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) e & t h z t h z t L C B K e t o o ( B K ) ep x ϕ o p (.6) s éct de la a conséquent la dynamque de l eeu de pousute en foncton de e e et x donnée pa : ( ) ( ( )) ( ) o p (.7) est ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e & t h z t h z t B K B K e t B K B K e t p o p ( ) x ϕ D où le système augmenté elatf aux dynamques espectves e e et x o p (.8) s éct : ~ x& ~ h ( z ) h ( z ) G ~ x S ~ ~ φ (.9) avec eo LC B K B K ~ ~ x ep G B K B K B K B K (.4) x 7

Chapte ousute de taectoe des modèles -S ncetans et petubés avec Ctèe H ~ S et φ ~ ϕ ( ) t Dans ce cas le ctèe H coespondant à la stuctue du système augmenté (.9) est déct comme sut : tf tf {[ x x ] Q [ x x ]} dt ~ ~ ~ ~ x Q x dt φ φ dt tf ~ Q. avec la matce dag [ Q ] η (.4) vant de pésente le ésultat pncpal nous consdéons la foncton de Lyapunov quadatque suvante : x~ ~ t V x~ t x~ t avec ~ ~ > (.4) ( ) ( ) ( ) ou obten des condtons assuant la pousute de taectoe en temes de LM nous nous basons essentellement su un nouveau lemme. [Guea 6] qu a l avantage de sépae les vaables dont les temes ne sont pas LM avec mons de consevatvté pa appot aux autes technques utlsées dans les tansfomatons matcelles. Lemme. [Guea 6] Sot une matce défne négatve Ω < Quelque sot une matce X de dmensons appopées telle que X Ω X < alos ; α R tels que α > et X Ω X α X α Ω euve Ω étant défne négatve alos : X Ω X < α R et > X nfn α tels que : ( X α Ω ) Ω ( X α Ω ) Ω X α X α Ω X Ω X α X α Ω Le ésultat pncpal concenant la synthèse de commande avec obsevateu et qu pemet d'about dectement à des condtons sous fome LM se ésume dans le théoème suvant. 7

Chapte ousute de taectoe des modèles -S ncetans et petubés avec Ctèe H 7 héoème. [Mansou 9] ou ( ) ( ) ( ) ( ) t et h z t h z t > S l exste des matces symétques défnes postves > > N N > M et des constantes postves 8 7 6 5 4 et η tels que la LM suvante sot véfée. pou < K Ψ Λ Λ Γ (.4) avec ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H H C Z Y Y N N b b 4 5 η α α α α Γ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N N Y Y Q N H H BY N a a a a a b b 8 4 4 7 8 7 6 5 η Ψ et 8 8 8 8 N Y B Λ avec les changements de vaables bectfs N et Y avec N K Y N et Z L los la stablté quadatque du système en boucle femée (.9) est assuée et la pefomance H (.4) sot gaante avec une atténuaton η. euve ou assue la stablté quadatque du système en boucle femée (.9) tout en gaantssant la pefomance H (.4) avec un taux d atténuaton η l négalté suvante dot ête véfée : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t ~ t ~ t x~ Q ~ t x~ dt x~ t dv φ φ η (.44)

Chapte ousute de taectoe des modèles -S ncetans et petubés avec Ctèe H ns en utlsant la foncton de Lyapunov (.4) et le système en boucle femée (.9) la condton (.44) mplque : ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ x t G G Q x t φ t S x t x t S φ t η φ t φ t [ ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] Cette négalté peut ête écte sous une fome quadatque de la façon suvante : ( ) ~ ~ x t φ ~ ~ S ~ ~ ~ ~ a conséquent : Q ~ % % %% Q% S % % S% % η ~ dag ( ) ~~ S ~ ~ x t η φ n posant [ ] (.4) l négalté (.46) devent : (.45) (.46) et en emplaçant les matces augmentées défnes en ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L C B K B B K K B B K B K Q η η (.47) à pat de (.47) on peut sépae les temes contenant les ncettudes ce qu pemet d expme (.47) comme sut : Π Π (.48) avec et ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L C B B K Q Π% η η ( ) ( ) ( ) B K B K K B ( B K ) ( ) Q ( ) Π% 7

Chapte ousute de taectoe des modèles -S ncetans et petubés avec Ctèe H 74 On utlse l expesson (.) elatve aux ncettudes du système la matce ncetane Π% est égale à : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H t F H t F Q K t H F t H F H t F H t F K K t H F K t H F a a b a a b b b ou élmne les éléments ant-dagonaux nous avons utlsé également le lemme. pésentée dans le chapte. a conséquent la matce contenant les ncettudes peut ête bonée de la manèe suvante : [ ] dag d d d Π % avec ( ) ( ) 4 5 H H K K d b b ( ) ( ) ( ) a a b b H H K K d 6 8 7 6 5 7 ( ) a a d 8 4 los l négalté (.48) mplque : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d Q B K B K d L C ~ η η Π (.49) L négalté ans touvée n est pas encoe une LM. ns pou emette la matce (.49) sous fome homogène du pont de vue des vaables nconnues à echeche on effectue une conguence pa la matce suvante : (.5) n fasant pemute les lgnes et les colonnes de la matce (.49) suvant l ode 4 et 5. ns l négalté (.49) devent :

Chapte ousute de taectoe des modèles -S ncetans et petubés avec Ctèe H 75 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d Q B K B K d LC η η (.5) nsute nous pocédons à un changement de vaable en pé post multplant l négalté (.5) pa [ ] dag N N N avec N et N Y K. On obtent : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d X B Y Y Y N N N N b b 5 η Ω Ω (.5) avec ( ) ( ) ( ) H H L C 4 η Ω ( ) ( ) ( ) ( ) 6 8 7 6 5 7 N N H H Y Y QN N B Y N a a b b Ω ou élmne les temes non LM on applque le lemme. su le peme bloc dagonal de (.5). On obtent : ( ) ( ) ( ) 5 5 5 Ω α α α Ω α α Ω N Y Y N Y Y N N Y Y N N N N b b b b b b (.5) nsute en applquant un complément de Schu (.5) devent : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 H H LC N Y Y N b b η α α α α (.54)

Chapte ousute de taectoe des modèles -S ncetans et petubés avec Ctèe H 76 nfn en nectant la contante c-dessus dans (.5) on obtent l négalté ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 66 55 < H H N B L H N H η η α α α α α (.55) avec ( ) b b Y Y N H 5 α ( ) ( ) ( ) 4 H H * L C H ( ) ( ) ( ) ( ) 6 8 7 6 5 7 55 N N Y Y Q N N * B Y N H a a b b 66 d H vec des compléments de Schu su les blocs dagonaux 66 55 H et H H H on etouve la condton (.4) du théoème..... xemple de smulaton ou monte les pefomances en pousute avec l appoche LM du théoème. on consdèe une epésentaton -S exacte du modèle non lnéae du bas de obot à deux degés de lbeté pésenté dans le chapte. L équaton dynamque de système est donnée pa : ( ) ( ) ( ).. M q q C q q q G q τ && & & (.56) vec : ( ) ( ) ( ) ( ) l m c c s s l l m c c s s l l m l m m q M ( ) ( ) q q c s s c l m l q q C & & & ( ) ( ) gs l m gs l m m q G où [ ] q q q avec q q sont les coodonnées généalsées ( ) q M est le moment d nete ( ) qq C & compote les foces centpètes de Cools et ( ) q G est la foce de

Chapte ousute de taectoe des modèles -S ncetans et petubés avec Ctèe H gavtaton. Les autes quanttés sont : les masses des deux bas m m ( kg ) les longueus des bas l l ( m ) les postons angulaes q q ( ad ) le moment de toson applqué τ [ τ ] τ ( N.m) l accéléaton de gavté g 9 8 m / s et la notaton : s sn( ) s sn( ) c sn( ) sn( ) q q q On pend : x q x q& x q x 4 q& c. q Les ésultats des fgues llustent les smulatons effectuées pou une pousute de taectoe snusoïdale avec une petubaton snusoïdale donnée pa : ϕ. sn ϕ. cos ϕ. cos. sn ϕ. 4 n pocédant les mêmes étapes de smulaton effectue en deuxème chapte. On touve les matces de Lyapunov :.788..5......5..79......78.774.7.8.774.4.7..7.7.65.74.8..74.87 6.96.56...56.4.....96.56...56.4 Les gans du contôleu sont : K.66.59.496 5.68 4.958. 4.47 8.48 K 8.648.4649.64.6.647.85.847 8.8474 K 7.4.99 8.6 5.595.744 7.48.5 4. 77

Chapte ousute de taectoe des modèles -S ncetans et petubés avec Ctèe H K 4 K 5.96.885.597.94.479.4865.88 5.8.87.78 4.884.746.45 8.69 4.9 7.895 K 6.47.684 4.4854.559.85.565.9.94 K 7 4.9.9 4.97 4.47.86 7..5985.556 K 8 9.494.5 6.668.55.76.976.688 5.775 K 9 6.494.5 6.47 5.664.8779 9.479 4..88 ns les gans d obsevateu : L.45..658.75..45.75.6664 6 L.46...57..46.57.8 6 L.46...57..46.57.8 6 L.46...57..46.57.8 6 4 L.46..4.6..46.6.68 6 5 L.46..4.6..46.6.86 6 6 L 7.46..4.6..46.6.68 6 L.46..4.59..46.6.68 6 8 L.46..4.6...46.6.68 6 9 On constate que les pefomances de pousute sont assuées. Les fgue. et. pésente la pousute en poston et en vtesse espectvement du ont. Les fgues. et.4 llustent les mêmes pefomances pou le ont. Les fgues.5.6.7.8 epésentent espectvement les eeus de pousute en poston et en vtesse pou les deux onts. Les sgnaux de commande applqués aux onts et sont donnés espectvement su les fgues.9.. 78

Chapte ousute de taectoe des modèles -S ncetans et petubés avec Ctèe H a.5.5 petub la efeence x(t) l'état x(t) eeu de pousute e(t) b.5 petub la efeence x(t) l'état x(t) eeu de pousute e(t).5 a d a d -.5.5 - -.5 - -.5 4 5 6 7 8 9 emps (sec) -.5....4.5.6.7.8.9 emps (sec) Fgue. : ousute en poston du ont : (a) ente et s (b) ente et s. a 8 6 4 petub la efeence x(t) l'état x(t) eeu de pousute e(() b 8 6 4 petub la efeence x(t) l'état x(t) eeu de pousute e(() a d / s e c - a d / s e c - -4-4 -6-6 -8-8 - - 4 5 6 7 8 9 emps (sec) - -....4.5.6.7.8.9 emps (sec) Fgue. : ousute en vtesse du ont : (a) ente et s (b) ente et s. a.5.5 petub la efeence x(t) l'état x(t) eeu de pousute e(t) b.4. petub la efeence x(t) l'état x(t) eeu de pousute e(t).8.5.6 a d a d.4 -.5. - -.5 -. - -.4 -.5 4 5 6 7 8 9 emps (sec) -.6....4.5.6.7.8.9 emps (sec) Fgue. : ousute en poston du ont : (a) ente et s (b) ente et s. 79

Chapte ousute de taectoe des modèles -S ncetans et petubés avec Ctèe H a 8 petub 4 la efeence x4(t) l'état x4(t) eeu de pousute e4(t) b 8 petub 4 la efeence x4(t) l'état x4(t) eeu de pousute e4(t) 6 6 4 4 a d / s e c a d / s e c - -4-6 -8 4 5 6 7 8 9 emps (sec) - -4-6 -8....4.5.6.7.8.9 emps (sec) Fgue.4 : ousute en vtesse du ont : (a) ente et s (b) ente et s. eeu de pousute e(t) x -5 - -4-6 -8 - - -4-6 -8 4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue.5 : eu de pousute en poston du ont. eeu de pousute e(t) - -4-6 -8 - - 4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue.6 : eu de pousute en vtesse du ont. 8

Chapte ousute de taectoe des modèles -S ncetans et petubés avec Ctèe H eeu de pousute e(t) 8 x -5 6 4 8 6 4-4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue.7 : eu de pousute en poston du ont. eeu de pousute e4(t) 8 6 4-4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue.8 : eu de pousute en vtesse du ont. 8 8 6 La commande u (N) 6 4 L a c o m m a n d e u (N ) 4 - -4....4.5.6.7.8.9 emps (sec) - -4 4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue.9 : Commande applquée au Jont. 8

Chapte ousute de taectoe des modèles -S ncetans et petubés avec Ctèe H 5 La commande u (N) -5 - L a c om m a n de u (N ) 5-5 - -5-5 -....4.5.6.7.8.9 emps (sec) - 4 5 6 7 8 9 emps (sec) Fgue. : Commande applquée au Jont..4. CONCLUSON Ce tosème chapte a pou obet de pésenté des tavaux ayant tat à la commande des modèles -S ncetans et petubés dans le cas de suv de taectoe des systèmes non lnéaes. Nous avons développé deux appoches pou gaant la stablté et la pefomance de pousute dans ce cas. La pemèe est pésentée sous fomulée en BM la seconde fomule dectement en LM a été élaboée en changeant la stuctue du système augmenté. Nous avons monté que le ésultat obtenu peut ête dectement ésolu avec les algothmes d optmsaton convexe exstants. Des ésultas de smulaton ont monté la pefomance de pousute pou la deuxème appoche. La denèe pate du chapte pésente des ésultats concenant le suv de taectoes des modèles -S ncetans et petubés. Ces ésultats epésente l avantage d ête fomulé également en condtons LM. Un exemple de smulaton a également été pésenté à la fn du chapte concenant l appoche développée. 8

COMMND ROBUS FLOU DS SYSMS NON LNRS

Chapte V Commande obuste floue des systèmes non lnéaes V.. NRODUCON Un poblème essentel dans la théoe de la commande est d applque une commande à un système non lnéae afn d avo un suv d une éféence désée. Le concept des ensembles flous est tès utle du pont de vue de la synthèse de commande. La commande pa logque floue est une technque qu pemet d'ntége les connassances d'expets dans la concepton d'un contôleu. Ben que les contôleus flous exstants soent capables d ncopoe des nfomatons lngustques ls sont de natue heustque [Wang 97]. l est cla que toute foncton non lnéae su un ensemble compact avec une pécson abtae peut ête appochée pa un système flou. l y a eu des effots de echeche mpotants su la commande floue adaptatve pou les systèmes non lnéaes [Wang 9 Xe 99]. La technque de commande pa mode glssant dspose d'un contôleu obuste pou systèmes non lnéaes [Slotne 9 Humg 9]. Cependant l héte d'une acton de contôle dscontnu et donc les phénomènes de supevson aua leu losque le système fonctonne à la poxmté de la suface de glssement. Une des solutons communes pou élmne cet effet est d'ntodue une couche lmte poche de la suface de glssement [Humg 9 Utkn 77]. Cette méthode menée à un système en boucle femée stable. Le contôleu adaptatf flou est ntodut pou assue la stablté. La pefomance de cette commande est un nouveau suet de la echeche dans la commande floue [Su 94 Wang ]. n patcule dans ce chapte on utlse la théoe de l appoxmaton floue et la technque SMC dans le but de constue un contôleu obuste. Un des avantages de cette statége de commande est la obustesse pa appot aux ncettudes et aux petubatons. Beaucoup des technques de commande pa logque floue et pa mode glssant (FSMC) ont été poposés [Km 95 Besteche ] avec l effet de boutements au nveau du système qu peut ête évtée en utlsant les condtons su la suface de glssement. outefos ces caactéstques povoquent un nombe augmenté de ègles floues et pa conséquence la complexté d appoxme la suface de glssement. La lo de commande pa mode glssant peut ête sépaée en deux pates : la commande équvalente et la commande de commutaton [Wang ]. Dans note cas le ôle du contôleu 85

Chapte V Commande obuste floue des systèmes non lnéaes développé est d utlse ces deux types de commande avec des condtons dfféentes afn d améloe la pefomance de l état d équlbe. V.. FORMULON DU ROBLM Consdéons une classe généale des systèmes non lnéaes SSO d ode n de la fome suvante : ( n) ( ) ( ) ( ) x f x t g x t u d t y x (V.) où f ( x t ) et ( ) g x t sont des fonctons non lnéaes contnues et nconnues ( n) [ ] n x x x& K x x x K xn R est le vecteu d état du système qu est supposé ête dsponble pou la mesue u R et y R sont l entée et la sote du système espectvement et d ( t ) epésente les petubatons extenes supposées nconnues d mas bonées avec D. ou que le système (V.) sot contôlable on exge que g ( x t) pou x dans une cetane égon de contôlablté généalté on suppose que ( ) Uc n R. usque ( ) g x t est contnue sans pete de g x t > pou x Uc. Dans le domane de la commande non lnéae ces systèmes sont dans une fome nomale et ont le degé elatf égale à n. L obectf est de touve une commande pemettant de foce l état x du système à suve une taectoe de éféence x d tout en assuant que le système bouclé sot stable et obuste avec l eeu de pousute donnée : ( ) n n e x xd e e& e K R (V.) La suface de glssement en foncton de l eeu de pousute dans l espace d état est donnée pa : ( ) ( n) ( n) & K n (V.) s e c e c e c e e c e c c c K c n sont les acnes du polynôme caactéstque où [ ] n n ( ) λ cn λ K c h λ qu sont dans le dem-plan gauche λ l opéateu de Laplace. 86

Chapte V Commande obuste floue des systèmes non lnéaes S la condton ntale de l eeu est e ( ) le poblème de pousute d une éféence x x d est de manten le vecteu de l eeu d état d une façon que la suface de glssement ( ) s e pou tout t. Une condton suffsante pou obten ce compotement est de chos une statége commande telle que la condton suvante sot satsfate : d ( s ( e )) η s η (V.4) dt Le système est commandé d une manèe que l état convege touous ves la suface de glssement. La valeu de commande dot change de sgne à l ntesecton ente la taectoe d état du système et la suface de glssement. Consdéons le poblème de commande des systèmes non lnéaes (V.) s f ( ) g ( x t ) sont connues. Le teme telle que : n u c e f x t x s g ( x t ) où x t et u de commande satsfat la condton de glssement (V.4) ( ) ( n) ( ) d η sgn ( ) (V.5) pou s > sgn ( s) pou s pou s < (V.6) enant la foncton canddate de Lyapunov défne comme sut : ( ) (V.7) V s e La dévée de V pa appot au temps devent : ( n) ( n) ( n) ( n d ) V& s. s& s. c e& c e&& K c e x x n ( ) ( n) s. ce f ( x t) g ( x t) u d xd η s (V.8) 87

Chapte V Commande obuste floue des systèmes non lnéaes Ce qu véfe la condton (V.4). l est évdent que pou satsfae la condton (V.4) on aoute un teme de commande appelé teme de commutaton u sw donc la commande devent u u eq u sw où : n u c e f x t x ( ) ( ) ( n) ( ) (V.9) eq d g x t usw η sgn ( s) (V.) g x t ( ) Cependant s f et g ne sont pas connues l est dffcle d applque la lo de commande (V.5). n plus l aout du teme de commande de commutaton boutement. u sw pose le poblème de Dans ce qu sut pou ésoude ces poblèmes nous poposons l algothme de commande en combnant l appoche floue et la commande pa mode glssant avec un contôleu. L avantage de l utlsaton du système flou (.78) ésde dans sa fome lnéae pa appot aux paamètesθ qu faclte énomément la concepton de note contôleu. Dans ce qu sut on utlse le système flou (.77) comme le composant de note contôleu. V.. COMMND DV FLOU R MOD GLSSN La lo de commande (V.5) est éalsable seulement s les fonctons f ( x t ) et ( ) g x t sont connues. Mas ce n est pas le cas donc la commande (V.5) ne peut pas ête mse en œuve. Ce qu end l appoxmaton de f ( x t ) et ( ) g x t nécessae pou cela on utlse les systèmes flous fˆ( x / θ f ) et gˆ( x / θ ) espectvement lesquels sont de la fome (.77). nsute nous g utlsons le teme de commande de type pou évte le poblème des boutements. L entée et la sote du égulateu sont epésentées sous la fome : u p θ (V.) p z θ p z 88

Chapte V Commande obuste floue des systèmes non lnéaes avec z s z & s θ p et θ p sont des gans de contôleu à constue et pou auste les paamètes du contôleu nous avons ecous à les appoxme pa le système flou pˆ ( s / θ p ) pa conséquence (V.) peut ête éécte : ( θ p ) θ pψ ( ) pˆ s / s (V.) où p p p R θ θ θ est le vecteu des paamètes austables du contôleu et ( z) [ z z ] R ψ est un vecteu de égesson. Nous utlsons des systèmes flous pou appoxme les fonctons nconnues f ( x t ) ( ) g x t et un contôleu de teme adaptatf dont l obet est d améloe les pefomances en égme pemanent et atténue les effets des petubatons extenes qu nfluencent le système. Donc la lo de commande ésultante est comme sut : n ˆ ( n) u f ( x / θ ) ˆ f ce xd p ( z θ p ) gˆ x / (V.) avec : ( θ g ) ( θ f ) θ f ξ ( ) fˆ x x (V.4) ( θ g ) θ gξ ( x) gˆ x (V.5) ( θ p ) θ pψ ( z) pˆ z (V.6) ou évte le poblème de boutement au nveau de la sote du système on emplace le teme de commande en commutaton u sw avec l acton du quand l état du système est dans une couche lmte s < Φ. L acton du contôleu est mantenue à la valeu satuée quand l état du système est en dehos de la couche lmte. a conséquent on met pˆ ( z θ p ) D η quand s Φ où Φ est l épasseu de la couche lmte. pès avo développé une commande adaptatve floue obuste on s ntéesse mantenant à l analyse des pefomances de ce contôleu. Deux aspects mpotants le peme concenant 89

Chapte V Commande obuste floue des systèmes non lnéaes la bontude des vaables d état (les états du système dovent ête à chaque nstant bonés) et le deuxème concene la convegence ves zéo de l eeu de pousute. héoème V. Consdéons le poblème de commande des systèmes non lnéaes (V.). S la lo de commande (V.) est applquée fˆ ĝ et pˆ sont estmées pa (V.4)-(V.6) le vecteu de paamètes θ f θ g et θ p sont austés pa les los d'adaptaton (V.7) - (V.9). ( ) & θ f γ. s. ξ x (V.7) ( ) & θ g γ. s. ξ x. u (V.8) ( ) & θ p γ. s. ψ z (V.9) euve On défn le vecteu des paamètes optmaux des systèmes flous : θ ag mn sup ˆ f f x f x t θ f Ω f x Ω x ( θ f ) ( ) θ ag mn sup ˆ g g x θ g Ω g x Ω x ( θ g ) g ( x t) (V.) (V.) θ ag mn sup ˆ p p( z θ p ) u θ p Ω p z R sw (V.) où Ω f Ω g Ω p et Ω x sont les ensembles auxquels appatennent θ f θ g θ p et x espectvement. On suppose que θ f Ω p et Ω x. θ g L eeu d appoxmaton mnmale défne comme sut : ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ˆ f ( g ) θ p et x ne dépassent amas les lmtes de Ω f Ω g ω f x t f x θ g x t g x θ. u (V.) 9

Chapte V Commande obuste floue des systèmes non lnéaes Hypothèse V. f n { θ f R / θ f M f } Ω (V.4) g n { θ g R / ε θ g M g} Ω < (V.5) et { p θ p R / θ p M p} Ω (V.6) où M f M g ε et nsute nous avons : M p sont des constantes postves spécfées pa le concepteu. n n ( ) ( n) ( n) ( ) ( n) ( ) ( ) ( ) s& c e x x c e f x t g x t. u d t x d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) n n ( ) ˆ n c ˆ. ˆ e f x t f x θ f g x t g x θ g u ce x p z θ p ( n) d xd ( ) ˆ ( ) ( ( ) ˆ ( )) ˆ p p. ( p ) ( ) f x t f x θ g x t g x θ u p z θ d t ω ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ f x θ f x θ gˆ x θ g x θ u pˆ z θ p f g g p ( x) ( x). u ( z) pˆ ( z ) d φ ξ φ ξ φ ψ θ ω f g p p ( θ p ) d pˆ z ω (V.7) avec φ θ f θ f φ θ g θ g φ θ p θ p. f g Sot la foncton canddate de Lyapunov suvante : p (V.8) V s φ φ φ φ φ φ f f g g p p γ γ γ où γ γ γ sont des constantes d appentssage. La dévée de la foncton de Lyapunov V est donnée pa : V& s. s& φ & φ φ & φ φ & φ γ γ γ f f g g p p ( ( ) ( ) ( ) ˆ ( p ) ( )) s. φ ξ x φ ξ x. u φ ψ z p z θ ω d t φ & φ φ & φ φ & φ γ γ γ f g p f f g g p p 9

Chapte V Commande obuste floue des systèmes non lnéaes s. φ ξ x φ φ s. φ ξ x. u φ φ s. φ ψ z φ φ s. p z θ p s. ω s. d t γ γ γ ( ) & ( ) & ( ) & ˆ ( ) ( ) f f f g g g p p p ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ˆ ( p ) ( ) φ γ. s. ξ x & φ φ γ. s. ξ x. u & φ φ s. ψ z & φ s. p z θ s. ω d t γ γ γ f f g g p p ( ( ) ) ( ) ( η ) ( ) ( ) (. ) ( ( ) ) φ γ sξ x & φ φ γ sξ x u & φ φ sψ z & φ γ γ γ f f g g p p s D sgn s s. d t s. ω ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) f f g g p p ( ) < φ γ s ξ x & φ φ γ s ξ x & φ φ s ψ z & φ η s sω (V.9) γ γ γ où & φ & θ & f φ & θ et & φ & θ. Substtuant (V.7) - (V.9) dans (V.9) donc : g p f g V & s. ω η s (V.) Ca ω l eeu d appoxmaton mnmale dans (V.) est la melleue que nous pouvons obten dont la contante que toutes les sgnaux sont bonés. ou compléte la peuve et établ la convegence asymptotque de l eeu de pousute nous avons beson d assue que la suface de glssement ( ) Supposons que s( e) s e quand t. ( ) ( ) ( ) η alos l'équaton (V.) peut ête éécte comme : V & s e. ω s e. η η. ω s e. η (V.) L ntégale de (V.) devent : s η η τ τ s s( e) dτ ( V ( ) V ) ω dτ (V.) η s e Nous avons ( ) L. pat (V.) la suface s est bonée et chaque teme de (V.7) est auss boné [Sasty 89]. Nous avons également ( ) stable et l eeu est asymptotquement convege ves zéo. s e quand t donc le système est Le schéma du contôleu adaptatf pa mode glssant flou poposé est pésenté dans la fgue V.. 9

Chapte V Commande obuste floue des systèmes non lnéaes ( n) Système ( ) ( ) x f x t g x t. u y u x d Contôleu adaptatf fou u fˆ x c e x pˆ z gˆ x ( θ g ) n ( ) ( n) ( θ f ) d ( θ p ) Condtons ntales θ θ θ f g p ( ) ( ) ( ) Los d adaptaton & θ γ. s. ξ f ( x) ( ) ( z) & θ γ. s. ξ x. u g & θ γ. s. ψ p Remaques Fgue V. : Schéma bloc du contôleu adaptatf pa mode glssant flou poposé. - Dans [Ho 7] la suface de glssement de type ntégale a été poposée pou les systèmes non lnéaes dans le but que le teme de commande en commutaton pédéfn u sw peut édue les boutements et pa conséquence élmne l eeu de convegence de l état ves la taectoe désée. n généal le ôle d un contôleu est de édue les eeus dans la phase tanstoe de la éponse du système [Ho 9]. - La lo de commande u dans (V.) n est vae que dans un espace compact g ( x t). - La mse en œuve de note contôleu exge que ( g ) nous chosssons le vecteu ntal θ ( ) g UC R n avec gˆ x θ dot ête véfée. ou cela postf et poche de zéo. 9

Chapte V Commande obuste floue des systèmes non lnéaes 4- Le ésultat de synthèse pésenté c-dessus est obtenu en applquant l hypothèse V. afn de gaant que les paamètes du système sont bonés. Les los d adaptaton (V.7)-(V.9) peuvent ête modfées en utlsant l algothme de poecton dans [Wang 9 Wang 97]. V.4. ROCDUR D CONCON DU CONROLUR DF ou ésume l analyse c-dessus on a suv la pocédue de concepton du contôleu adaptatf flou qu est décte étape pa étape comme sut : tape : Chos les condtons ntales pou les paamètes θ p et θ p. tape : ndque les coeffcents désés c c K cn dans (V.). du contôleu tape : ndque les paamètes de concepton γ γ et γ en se basant su les contantes patques. tape 4 : Défn les ensembles flous F pou les vaables lngustques fonctons d appatenance K n. x et les F couvent unfomément l unves de dscous pou tape 5 : Constue les fonctons floues de base pou les systèmes flous ˆ ( f ) ( g ) gˆ x θ. f x θ tape 6 : Constue les systèmes flous ˆ f ( x θ ) θ ξ ( x) et gˆ ( x θ ) θ ξ ( x) dans (V.). tape 7 : Constue la lo de commande (V.) avec les los d adaptatons (V.7)- (V.9). tape 8 : pplque la lo de commande ésultante au système pus calcule les los adaptatves (V.)- (V.4) pou auste le vecteu des paamètes θ f θ g et θ p. f f g g 94

Chapte V Commande obuste floue des systèmes non lnéaes V.5. XML D SMULON Dans cet exemple on applque l algothme poposé pou commande un pendule nvesé dans le but de suve une taectoe de éféence. La fgue V. epésente le système avec ( x θ x θ ) & dont les équatons dynamques sont [Ho 9] : x& x mlx cos( x ) sn ( x ) cos ( x ) g sn ( x ) mc m mc m x&. u d t 4 m cos ( x ) 4 mcos ( x ) l l mc m mc m ( ) (V.) & θ x θ x m g sn ( ) mg θ F x m c Fgue V. : endule nvesé. où g m c m l u acceleaton due a la gavté la masse du chaot la masse de la tge est la dem-longueu de la tge la commande applquée avec g 9.8m s est la gavté mc kg m. kg l.5 m et ( ) d t est supposé ête un sgnal caé avec une ampltude compse ente ±.5 dans une péode de π. Chos la suface de glssement telle que s( e) ce e austable θ sont θ ( ) et ( ) p p p & où c 6. Les valeus ntales du paamète θ. 95

Chapte V Commande obuste floue des systèmes non lnéaes ou x π 6. On pend les fonctons d appatenance défnes su l unves de dscous [ π 6 π 6] comme sut : ( x ) exp (( x 6) ( 4) ) ( ) exp ( ) ( 4 ) NS x x π π π π NM ( ) ( x ) exp ( x ( 4) ) ( ) exp (( ) ( 4) ) S x x π π π Z ( x ) exp ( ( x 6) ( 4) ) M π π L obectf de cette commande est de manten le système pou suve une taectoe de π. éféence donnée pa xd θ d ( sn.sn (. t) ) Les fonctons f et g sont appoxmées avec 5 ègles floues espectvement et pa conséquent les paamètes ntaux des ègles floues sont choss abtaement dans l ntevalle [.5 ] avecγ 6 γ 4 et γ 8 sont les gans d adaptaton pou θ f θ g et θ espectvement. Chosssons les condtons ntales x [ π 6] p en oute un but de mesue necté à la sote de type gaussen de moyenne zéo et vaance de.5. Les ésultats de smulaton pésentée c-dessous montent la pefomance obuste de l appoche de commande poposée. Donc on peut constate que la pousute de la éféence désée est bonne malgé la pésence de but de mesue au nveau de sote ans que les petubatons extenes qu nfluencent le système..5.4 x(t) x(t) désée. poston angulae x(ad).. -. -. -. 4 6 8 4 6 8 emps (sec) Fgue V. : ousute en poston angulae. 96

Chapte V Commande obuste floue des systèmes non lnéaes.8.6 x(t) x(t) désée vtesse angulae x (ad/sec).4. -. -.4 -.6 -.8 4 6 8 4 6 8 emps (sec) Fgue V.4 : ousute en vtesse angulae...5 eeu de pouaute en poston (ad) -.5 -. -.5 -. -.5 4 6 8 4 6 8 emps (sec) Fgue V.5 : eu de pousute en poston.. eeu de pouaute en vtesse (ad/sec).8.6.4. -. 4 6 8 4 6 8 emps (sec) Fgue V.6 : eu de pousute en vtesse. 97

Chapte V Commande obuste floue des systèmes non lnéaes Commande (N) - - - 4 6 8 4 6 8 emps (sec) Fgue V.7 : Sgnal de commande u ( t ). Commande Usw (N) 5 5 5-5 - -5 C o m m a n d e U s w ( N ) 5 5 5-5 - -5 - -5..4.6.8..4.6.8 emps (sec) - -5 4 6 8 4 6 8 emps (sec) Fgue V.8 : Commande de commutaton usw ( t ). 6 4 Commande Uc (N) - -4-6 4 6 8 4 6 8 emps (sec) Fgue V.9 : Commande uc ( t ). 98

Chapte V Commande obuste floue des systèmes non lnéaes.5 Suface de glssement -.5 - -.5 - -.5 4 6 8 4 6 8 emps (sec) Fgue V. : Suface de glssement s( e )..8.6.4. x(t) -. -.4 -.6 -.8 -. -. -.....4.5 x(t) Fgue V. : lan de phases. V.4. CONCLUSON Dans ce chapte nous avons développé un contôleu obuste en utlsant l appoche de modélsaton floue et la technque de commande obuste pa mode glssant ntégale. La synthèse de commande basée su l appoche de Lyapunov qu n exge pas de connaîte exactement la dynamque du système à commande. La concepton de l algothme de commande utlse l nféence floue pou appoxme la dynamque du système avec la commande pa mode glssant pa etou d état les paamètes du contôleu popotonnel ntégal () sont appoxmés pa les los d adaptaton. Le système en boucle femée est stable au sens de Lyapunov et l eeu de pousute convege ves zéo ans que la suface de glssement qu convege apdement ves l ogne. nfn la méthode poposée a été applquée 99

Chapte V Commande obuste floue des systèmes non lnéaes su un pendule nvesé pou suve une éféence donnée bonée. Les ésultats de smulaton montent l effcacté et les pefomances souhatées de l algothme de commande poposé.

CONCLUSON GNRL RSCVS

Concluson généale et espectves CONCLUSON GNRL RSCVS Dans ce taval nous avons abodé le poblème de commande en pousute de taectoes des systèmes non lnéaes décts pa les modèles flous de type -S. Cette étude tate essentellement de la synthèse de commande obuste pou les systèmes non lnéaes ncetans et/ou petubés. Les appoches élaboées se basent su un ctèe H pou atténue l effet des petubatons extenes. Les ésultats ans obtenus sont fomulés en temes de LM pou une melleue explotaton numéque des ésultats. Dans le chapte nous avons mené une étude bblogaphque patant de la modélsaton floue usqu à la synthèse de commande obuste ce qu a pems de pésente un état de l'at su les pncpaux ésultats de la lttéatue concenant la stablsaton des modèles -S. Dans cette pate nous avons détallé le pncpe de la commande DC avec la mse en œuve d'obsevateu flou -S ans que quelques ésultats concenant la elaxaton des LM. Quant aux systèmes -S ncetans et/ou petubés utlsant un ctèe H. pès un postonnement du poblème concenant la pousute de taectoe des modèles -S le chapte vse à monte l ntéêt de l appoche de synthèse de commande poposée dans ce manusct. ns la synthèse de commande obuste des modèles -S petubés pou assue le suv de taectoe avec un modèle de éféence lnéae est abodée. La lo de commande poposée se base su l appoche H qu consste à mnmse l eeu de pousute pa appot à l ensemble des petubatons. u cous de cette appoche nous avons monté des condtons elâchées qu tennent compte du nombe maxmal de ègles actves à chaque nstant. uss les condtons des théoèmes qu se pésentent sous fome de BM (négaltés Matcelles non lnéaes) ont pu ête ésolues en deux étapes. Des ésultats de smulaton ont monté les domanes de fasablté des condtons obtenues. ou étende les appoches développées dans le chapte nous nous sommes ensute ntéessés aux modèles -S ncetans dans le tosème chapte. Les ncettudes stuctuelles ou paamétques admssbles et bonées sont généalement dues à la modélsaton ou aux paamètes vaant dans le temps. ns nous avons développés deux appoches pou gaant la stablté et les pefomances de pousute dans le cade de ce type de modèles une appoche 99

Concluson généale et espectves BM et une aute dectement sous fome LM. La seconde est obtenue dectement en LM en changeant la stuctue du système augmenté. Nous avons ensute étendue la seconde appoche au cas où tous les états ne sont pas dsponbles à la mesue en consdéant la synthèse d un obsevateu flou de type Luenbege. Des ésultats de smulaton ont pems d'lluste les pefomances de pousute et d obsevaton poposés dans ce chapte. Dans le quatème chapte nous avons abodé le poblème de synthèse de commande obuste floue dans le cade de la pousute de taectoe pou les systèmes non lnéaes. On a poposé un algothme de commande utlsant de la logque floue et la technque de commande pa mode glssant (SMC). La synthèse de commande basée su l appoche de Lyapunov qu n exge pas de connaîte exactement la dynamque du système à commande. La concepton de l algothme de commande utlse l nféence floue pou appoxme la dynamque du système avec la commande pa mode glssant pa etou d état les paamètes du contôleu popotonnel ntégal () peuvent ête églés pa les los d adaptaton. La statége de commande poposée foune une bonne pefomance en stablté et en obustesse en pésence des ncettudes et des petubatons extenes. a alleus un cetan nombe de pespectves sont envsageables dans ce taval. tès cout teme l s'agt d'applque les appoches développées dans le deuxème et le tosème chapte su un système mult entées mult sotes (MMO). Nous comptons également abode la echeche d'un pncpe de sépaaton ente la commande et l obsevateu développés. Dans le même contexte l n y a à note connassance quasment pas de ésultats établs pou ce type de systèmes losque les vaables de pémsses z(t) ne sont pas mesuables [Guea 6]. l s'agt d'utlse des concepts développés pou des systèmes dynamques hybdes tels que l'utlsaton de fonctons de Lyapunov multples pou l'étude de stablté. La pse en compte de ces technques dans le cas de la commande des modèles -S est tès écente et peu de tavaux concenent les modèles ncetans et petubés et encoe mons les systèmes écts sous fome descpteus. n effet l'utlsaton de fonctons de Lyapunov multples seat une altenatve pou avo des condtons plus elâchées et édue le consevatsme d'obtenton des gans de commande.

Concluson généale et espectves Des pespectves d'un pont de vue expémental sont également envsageables. n effet les machnes utlsées dans la plupat des applcatons ndustelles epésentent des systèmes obotsés à pluseus degés de lbetés pou lesquels les potocoles d'entaînements ndusent des taectoes patculèes à effectue dans une zone compacte de l'espace d'évoluton. Dans ce cas les appoches que nous avons détallées sont pafatement adéquates pou les besons et les pefomances désées. l s'aga de consdée les modèles -S de ces systèmes les ncettudes pouvant ven de la complexté du modèle ou de la pse en compte de l'nteacton homme machne pendant le mouvement. Des los de commandes obustes seont nécessaes. De plus pou ce type de système mécanque une éctue du modèle sous fome descpteu est souvent appopée.

RFRNCS BBLOGRHQUS

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Résumé Résumé : Ce mémoe a pou obet de tate le poblème de commande floue en pousute (ackng) pou les systèmes non lnéaes ncetans et petubés décts pa les modèles flous de type -S (akag Sugeno). Une poblématque écuente dans ce type de poblème concene les tansfomatons matcelles pou l obtenton des condtons en temes de LM (Lnea Matx nequalty) en l occuence la possblté de l explotaton numéque de ces ésultats. Dans ce cade nous avons synthétsé une lo de commande obuste de type DC dans le cas des modèles -S petubés ensute ncetans et petubés selon un ctèe H. ou spécfe la taectoe désée et pa conséquent assue la pousute de taectoe nous avons utlsé un système de éféence. Le cas avec obsevateu flous de type -S a été taté. Les ésultats obtenus sont pésentés en appoche LM. Cette appoche monte l effcacté de l explotaton numéque des ésultats. Les ésultats dans ce cas sont également efomulés dectement en LM. Mots clés : Commande floue commande obuste ctèe H négalté matcelle lnéae (LM) mode glssant modèle de éféence modèle akag-sugeno obsevateu flou pousute de taectoe système flou système non lnéae. bstact: hs wok deals wth a fuzzy tackng contol desgn fo uncetan nonlnea dynamc system wth extenal dstubances and usng a -S (akag-sugeno) fuzzy model descpton. n ths case a ecung poblem s elated to the LM (Lnea Matx nequalty) fomulaton. n ths way we have syntheszed a obust contol law fo -S fuzzy petubed systems an uncetan petubed systems based on H pefomances. o specfy the desed taectoy and consequently to ensue the tackng taectoy we have used a efeence model. he case wth fuzzy obseve s also teated. he obtaned esults ae pesented n appoach BM (Blnea Matx nequalty) and LM (Lnea Matx nequalty) one. hs last appoach shows the effectveness of the numecal explotaton of the esults. he esults n ths case ae also efomulated dectly n LM s tems. Keywods: Fuzzy contol obuste contol lnea matx nequalty (LM) tackng H obust contol sldng mode akag-sugeno fuzzy model fuzzy systems fuzzy obseve nonlnea systems model of efeence. الملخص: هذا العمل يتناول تصميم تتبع لنظام مراقبة غامض غير مو آد مع الدينامية غير الخطية الاضطرابات الخارجية واستخدام واتس (تاآاجي (Sugeno وصف نموذج غامض. في هذه الحالة يتم المتعلقة مشكلة متكررة في صياغة LM (مصفوفة عدم المساواة الخطي). وبهذه الطريقة وتوليفها لدينا قانون للرقابة قوية غامض بالقلق على أنظمة غير مو آد بالقلق الا نظمة القاي مة على الا داء H. لتحديد المسار المطلوب وبالتالي لضمان مسار تتبع فقد استخدمنا نموذج مرجع. آما يتم التعامل مع هذه القضية المراقب غامض. وعرضت النتاي ج التي تم الحصول عليها في النهج ومو شر آتلة الجسم (شبه مصفوفة عدم المساواة خطيه)و(مصفوفة عدم المساواة الخطي) LM واحدة. هذا النهج الا خير يظهر فعالية استغلال العددية للنتاي ج. وأيضا إعادة صياغة النتاي ج في هذه الحالة مباشرة من حيث.LM آلمات البحث : ضبابي السيطرة وعدم المساواة المصفوفة الخطية (LM) وتتبع وحاء سيطرة قوية تاآاجي- Sugeno غامض المراقب غامض تتبع مسار أنظمة غير الخطية النموذج المرجعي. نموذج