Mouvements de paticules chagées dans des champs électiques et magnétiques I Champ électique seul : 1 - Analogie fomelle : On considèe une paticule chagée ponctuelle M (+ q) de masse m en mouvement dans un champ électostatique E 0 unifome et indépendant du temps. Le éféentiel d étude est celui du laboatoie supposé galiléen. Le PFD appliqué à la paticule donne : q m = qe soit = E m Il analogie avec un point matéiel dans le champ de pesanteu supposé unifome : m = mg soit = g Pa conséquent, le mouvement d une paticule dans le champ E 0 sea soit une doite soit une paabole. 2 Pincipe de l oscilloscope analogique : Solution Le tube d un oscilloscope est une ampoule où la pession ésiduelle est tès faible et dans laquelle sont installés un canon à électons, deu sstèmes de plaques déflectices et un écan luminescent sous l impact des électons. Ce tube est à smétie clindique d ae (O) hoiontal (voi figue (a)). (A) (C) I I O 1 v 0 Y 2 X 2 O e G O G Y 1 X 1 Ecan 2a Figue (a) Figue (b) a - Le canon à électons : une cathode (C) émet des électons sans vitesse ; ceu-ci aivent su l anode (A) et la tavesent pa une petite ouvetue (O 1 ) située su l ae (O) avec une vitesse v 0 = v 0e. Détemine la tension U 0 à applique ente la cathode et l anode pou que v 0 = 2,5.10 4 km.s 1. Données : e = 1610,. 19 C (valeu absolue de la chage d un électon) et m = 9110,. 31 kg (masse d un électon). On appelle que l énegie potentielle d une chage q placée au potentiel U vaut qu. b - La déviation veticale : les plaques sont des ectangles de longueu l paallèles à (O) ; l écatement des plaques est noté d. Leus positions sont epéées pa les centes géométiques I et I des condensateus ainsi constitués. Le cente de l écan est noté O, oigine d un sstème d ae (O) (voi figue pécédente). On pose IO = D et I O = D.
On applique ente les plaques hoiontales Y 1 et Y 2 centées en I une difféence de potentiel u = V 2 V 1 et ente les plaques veticales X 1 et X 2 une difféence de potentiel u = V 2 V 1. Losque u = u = 0, on obseve un spot lumineu en O. On maintient u = 0 et on établit une difféence de potentiel constante u non nulle. On admet que le champ électique ésultant dans le paallélépipède défini pa Y 1 et Y 2 est unifome et nul à l etéieu. Un électon pénète (à t = 0) dans ce champ au point de coodonnées (0,0, 0 ) avec le vecteu vitesse v 0 défini à la question (a). On appelle v 1 son vecteu vitesse quand il quitte le condensateu constitué pa les plaques hoiontales. l d M 0 Y 2 (u > 0) v 0 f = ee I M E v 1 α D l /2 e O S S 1 1 Y 1 Ecan Détemine la duée τ de la tavesée du condensateu et l odonnée S du spot lumineu su l écan. Calcule numéiquement τ et S avec : l = 5,0 cm ; d = 4,0 cm ; D = 50 cm ; v 0 = 2,5.10 4 km.s 1 et u = 100 V. Résultat impotant : la déviation s est popotionnelle à la difféence de potentiel u appliquée. 3 de la déviation veticale : Clique su : Animation déviation II Champ magnétique seul : 1 Puissance de la foce magnétique : On considèe une paticule chagée ponctuelle M (+ q) de masse m en mouvement dans un champ magnétostatique B 0 unifome et indépendant du temps. Le éféentiel d étude est celui du laboatoie. Le PFD appliqué à la paticule donne : m = qv B La puissance de la foce magnétique est nulle ( P = ( qv B). v = 0 ). Pa conséquent, d apès le théoème de la puissance cinétique : dec P = = 0 soit Ec = cste et v = cste Un champ magnétique ne modifie pas la nome de la vitesse mais seulement sa diection. 2
2 Mouvement ciculaie : On considèe une paticule chagée ponctuelle M (+ q) de masse m en mouvement dans un champ magnétostatique B0 = B à u unifome et indépendant du temps. La vitesse initiale de la paticule est pependiculaie au champ et potée, pa eemple, selon l ae (O) : v = v à u 0. Tavau patiques : influences de la tension accéléatice du canon à électons (donc de la vitesse initiale : v 0 = k U ) et de l intensité tavesant les bobines d Helmholt (donc du module du champ magnétique : B = k' I ). Compléte le tableau suivant : Manip 1 Manip 2 Manip 3 I (A) 1 1,5 1,5 U (V) 200 200 300 Diamète (cm) 3
3 Mouvement hélicoïdal : On considèe une paticule chagée ponctuelle M (+ q) de masse m en mouvement dans un champ magnétostatique B0 = B à u unifome et indépendant du temps. La vitesse initiale de la paticule est quelconque et peut s écie, pa un choi convenable des aes : v sin α v cosα u 0 = và u + à 4 Application : chambes à bulles : Le pincipe d une chambe à bulles (détecteu mis au point en 1953 pa le phsicien améicain Glase, pi Nobel de phsique en 1960) est le suivant : un liquide (souvent de l hdogène) 4
placé dans une chambe, est compimé pa un piston (phase (1), figue ci-conte) ; sa tempéatue est supéieue à sa tempéatue d ébullition sous la pession atmosphéique, mais inféieue à sa tempéatue d ébullition sous la pession à laquelle il se touve placé. Juste apès le passage de la paticule à détecte, on détend le piston (pendant 1 ms envion, phase (2)), et le liquide evient à la pession atmosphéique. L ébullition débute autou des ions céés pa la paticule. Si on éclaie pa un flash et que l on photogaphie, la tajectoie est matéialisée pa un chapelet de petites bulles. La figue suivante monte un eemple de cliché (éalisé en 1973) epésentant la désintégation d un méson K + en vol. On emaque nettement deu tajectoies en fome de spiale qui taduisent l appaition de paticules chagées stables los de la désintégation du méson. Cet eecice se popose de modélise de manièe simple le mouvement hoiontal d un poton dans une chambe à bulles. On se place dans le éféentiel du laboatoie supposé galiléen. Le poton de masse m et de chage e, considéé comme un point matéiel, a une vitesse initiale v 0 en un point fie O ; il est dans une égion de l espace où ègne un champ magnétique unifome et constant B. Afin d intepéte la tajectoie pécédente en fome de spiale, on modélise la foce que le liquide eece su le poton pa une foce de fottement fluide f = kv, où k est une constante positive et v la vitesse du poton à l instant t. On posea ω c = eb / m et τ = m / k. a - Etabli l équation difféentielle vectoielle du mouvement du poton. b On désigne pa (O) un tiède othogonal diect lié au laboatoie et pa ( u, u, u ) la base de vecteus unitaies associée. On choisit B = Bu et v v u 0 = 0. Monte que (et détemine les constantes a et b en fonction de ω c et τ) : = av bv (1) et = av bv (2) c - On pose i le nombe complee tel que i 2 = 1 ; pou ésoude le sstème d équations pécédent, on définit le nombe complee V = v + iv. Monte que les équations (1) et (2) sont équivalentes à une équation difféentielle dont la solution est de la fome V = v 0 ep( (b + ia)t). En déduie v et v. d - Déduie de V l epession de X = (t) + i(t) en fonction de a, b, v 0 et t. e - Détemine la limite, notée X, de X losque t tend ves l infini. En déduie la position limite M (, ) en fonction de ω c, τ et v 0. Donne l allue de la tajectoie. Données : 2 27 19 6 1 5 6 B = 10 T, m = 1,67.10 kg, e = 1,6.10 C, v = 3.10 m.s, τ = 10 et 10 s. 0 Solution 5
III Champ électique et champ magnétique : 1 Hélice à pas vaiable : On considèe une paticule chagée ponctuelle M (+ q) de masse m en mouvement dans un champ magnétostatique B0 = B à u unifome et indépendant du temps et dans un champ électique E = E à u 0. La vitesse initiale de la paticule est quelconque et peut s écie, pa un choi convenable des aes : v = v sin α u v cosα u 0 à + à 2 Ccloïde : On considèe une paticule chagée ponctuelle M (+ q > 0) de masse m en mouvement dans un champ magnétostatique B0 = B à u unifome et indépendant du temps et dans un champ électique E E à u = 0. La paticule est initialement à l oigine O du epèe et sa vitesse initiale est nulle. On posea ω = qb m. Monte que les équations paamétiques de la tajectoie sont : c / E E = ( ωct sin ωct) ; = (1 cosωct) Bω Bω c Choisi des valeus numéiques simples et tace dans Regessi l allue de la tajectoie. c 6
3 Filte de vitesse et mesue du appot e / m : Lance la simulation : 7