27 négrion sur un inervlle quelconque. Un premier cs : négrles générlisées sur [, + [.................... 2. Définiion....................................... 2.2 Cs des foncions posiives............................. 3.3 Eemples de référence................................ 4.4 Cs des foncions à vleurs complees....................... 5.5 Propriéés....................................... 5. négrles générlisées sur un inervlle quelconque.................... 5. négrle convergene, inégrle divergene..................... 6.2 Eemples de référence................................ 7.3 Propriéés....................................... 8.4 Techniques de clcul d une inégrle générlisée................... négrles bsolumen convergenes e foncions inégrbles................ Convergence bsolue d une inégrle générlisée.................. 2.2 négrbilié d une foncion............................. 3.3 Techniques d éude.................................. 3 V. Présenion de quelques espces foncionnels liés à l inégrbilié............ 5 V. L (, K)........................................ 5 V.2 L 2 (, K)........................................ 5 V. En vue des révisions....................................... 6 V. cf Chpire séries numériques............................ 6 V.2 Convergence d une suie/série de foncions e inégrion sur un inervlle... 7 26-27 /2
27 négrion sur un inervlle quelconque Les foncions don il es quesion dns ce chpire son définies sur un inervlle de R, à vleurs dns K, K = R ou C. Jusqu à présen, pour inégrer une foncion f coninue pr morceu, on se plçi sur un segmen [, b] de R. Dns ce chpire, l inervlle d inégrion ser donc non borné e/ou non fermé, de l un des 8 ypes suivns : ], b] [, b[ ], b[ [, + [ ], + [ ], ] ], [ R }{{}}{{} bornés non bornés e pour f foncion coninue pr morceu sur (à vleurs dns K), on v donner un sens à l inégrle Sup die générlisée f = f. nf Remrque : dns cerins ouvrges, on rouve l ppellion inégrle impropre, équivlene.. Un premier cs : négrles générlisées sur [, + [ ci, es réel (donc fini).. Définiion Définiion Soi f coninue pr morceu sur [, + [, à vleurs dns K ; on peu donc définir F : [, + [ f() On di que l inégrle générlisée f es convergene ssi F une limie finie l en +. Dns ce cs, l limie finie l es noée f ou f(). On donc f = f() = lim + f(). Lorsque F n ps de limie finie en +, on di que l inégrle générlisée es divergene. Déerminer l nure d une inégrle générlisée, c es déerminer si elle es convergene ou divergene. Remrque. nerpréion géomérique : l inégrle générlisée converge si e seulemen si l ire grisée dme une limie finie qund +. y y = f() f() 2/2 26-27
27 négrion sur un inervlle quelconque Pr essence, une inégrle générlisée es une limie, pour l mnipuler il fu prélblemen en jusifier l eisence... Remrques sur les noions. Pour les séries numériques, dns les noions, on fi l différence enre : l série de erme générl u n (noée u n ) en cs de convergence de cee série (e uniquemen dns ce cs), l somme de l série de erme générl u n (noée + n= u n ). Pour les inégrles générlisées, les ouvrges ou le progrmme officiel ne fon ps de disincion de noion enre l inégrle générlisée e l vleur de cee inégrle générlisée en cs de convergence! Dns ce cours, on dope le pri de noer différemmen les deu objes ( e f() pour l vleur de cee inégrle générlisée, une fois l convergence de f() pour l inégrle générlisée f() éblie), e ce fin de bien prendre conscience des problèmes d eisence de limie à résoudre. Pr conre, dns les énoncés d eercices, il n y ur ps cee disincion, à vous de svoir de quoi on prle! Proposiion. Crcère locl de l convergence. () Soi f : [, + [ K une foncion coninue pr morceu. L convergence de l inégrle impropre f() ne dépend ps du choi de c dns [, + [. c Remrque. Ainsi, on peu dès minenn reenir que l convergence d une inégrle générlisée en + dépend seulemen du comporemen de l inégrnde u voisinge de +. Eemple. Les inégrles suivnes son-elles convergenes? 2 + 2 e + ln e α cos Les echniques d éude de convergence seron éudiées un peu plus loin, e consiseron principlemen à comprer l inégrnde à des foncions de référence. Pour les eemples qui précèden, on rville sur l inégrle prielle, en revenn à l définiion, ce qui ne ser ps le réflee à voir. l s gi en effe d eemples (rres en prique) où l on peu eprimer une primiive de l inégrnde à l ide des foncions usuelles..2 Cs des foncions posiives.2. Une crcérision... peu uile dns les eercices, mis fondmenle pour démonrer des propriéés (cf plus loin) e/ou dns des eercices plus héoriques. Proposiion. (2) Si f es coninue pr morceu sur [, + [ e à vleurs posiives, l inégrle générlisée Remrque. Au conrire, si f es convergene ssi l foncion [, + [ f diverge vec f, lors f + +. f() es mjorée. 26-27 3/2
27 négrion sur un inervlle quelconque.2.b Conséquence : préhension des «vries» méhodes d éude de convergence Pour les foncions posiives, on peu donc dès à présen ppréhender les «vries» echniques d éude de convergence des inégrles générlisées : on v rerouver les mêmes méhodes que pour les séries à ermes posiifs, à svoir mjorion, dominion, comprison à des inégrles générlisées de référence... Eemples. Si f g e si g converge, lors Si f, g e f() g(), g e + f converge ussi. f son de même nure. Tou ceci ser cliremen énoncé dns le prgrphe.3, mis on pourr dès minenn s en servir dns des eercices ou des eemples..3 Eemples de référence En priculier, on ser donc mené, pour des éudes de convergence d inégrles générlisées, à uiliser des équivlens, des croissnces comprées... les echniques uilisées én similires à celles uilisées pour éudier l convergence des séries à ermes réels posiifs. En priculier, comme pour les séries où on recherchi l comprison vec les séries de Riemnn ( + n α ), on peu ener, pour éudier l eisence de f (f foncion CM sur [, + [), de comprer f, u voisinge de +, u foncions du ype α : Théorème. négrles de Riemnn en +.(3) L inégrle générlisée On peu remplcer pr > quelconque. y converge si e seulemen si α >. α y = y = y = 2 Eemple. divergen. 2 e, convergen lors que e 4/2 26-27
27 négrion sur un inervlle quelconque Proposiion. Eponenielle en +. (4) L inégrle générlisée.4 Cs des foncions à vleurs complees e α converge si e seulemen si α >. Théorème.(5) Soi f : [, + [ C coninue pr morceu. Si f converge, lors f converge e de plus f = f. Preuve. Pr conjugison de limies. Proposiion. (6) Soi f une foncion à vleurs complees, coninue pr morceu sur [, + [. On lors f es convergene si e seulemen si f = Ref + i mf. Ref e mf le son. Preuve. Uiliser le héorème précéden e Re(f) = 2 (f + f) e m(f) = (f f). 2i Eemple. Convergence de cos(ω)e e + sin(ω)e. On inrodui une ure inégrle générlisée e (iω ) : ñ ô e, e (iω ) (iω ) = iω + iω = + iω + ω 2. On en dédui : cos(ω)e converge e cos(ω)e = + ω 2, sin(ω)e converge e sin(ω)e = ω + ω 2.5 Propriéés Les propriéés (linérié, posiivié e croissnce pour les foncions à vleurs réelles, relion de Chsles) seron énoncées dns le cs «générl» du prgrphe.3.. négrles générlisées sur un inervlle quelconque Remrque. Sns ure précision, dns cee secion, e b son els que < b + e désigne un inervlle don les erémiés son e b. On rerouve insi deu configurions déjà éudiées : lorsque e b son finis e ppriennen à, lors es le segmen [, b]. Lorsque es fini, b = + e = [, + [, il s gi du cs éudié u prgrphe précéden. 26-27 5/2
27 négrion sur un inervlle quelconque... négrle convergene, inégrle divergene Définiion Définiion Soi f une foncion coninue pr morceu sur. Lorsque = [, b[, on di que l inégrle générlisée si cee limie. b f() converge si e seulemen f() dme une limie finie lorsque b. Dns ce cs, on noe Lorsque =], b], on di que l inégrle générlisée b <b b si f() dme une limie finie lorsque > cee limie. b f() f() converge si e seulemen. Dns ce cs, on noe Lorsque =], b[, on di que l inégrle es doublemen générlisée. On choisi un c el que < c < b : on di que l inégrle doublemen générlisée c f() e b deu inégrles convergenes. c b f() convergen. Dns ce cs, on noe b f() f() converge si e seulemen si b f() l somme de ces Enfin, si = [, b], il s gi de l inégrle «de sup» sur un segmen, e on ne prle lors ps d inégrle générlisée. Remrque. Pr le crcère locl, cee double convergence ne dépend ps du choi de c. Grâce à l relion de Chsles, l vleur de l inégrle ne dépend ps non plus du choi de c. Eemple. Nure de + 2? Aenion, l définiion de l cv sur ], + [ n es ps : lim + f (cf divergence de ) ; R L convergence d une inégrle sur ], b[ s éudie en l coupn en deu e non en éudin conjoinemen les deu bornes...b négrle «fussemen» générlisée Proposiion. (7) Lorsque (resp. b) es fini, e que f se prolonge pr coninuié en (resp. b), lors l inégrle générlisée en (resp. b) converge e s vleur coïncide vec l inégrle de l foncion prolongée. On di que l inégrle es fussemen générlisée en (resp. b). Preuve. Soi f : [, b[ K coninue, elle que f() b l K : on peu lors prolonger f pr coninuié en b pr l vleur l ; l foncion insi prolongée én lors coninue sur le segmen [, b], on peu ffirmer que l inégrle sur [, b[ converge e vu l inégrle sur [, b]. Eemple. Éudier l convergence de sin. 6/2 26-27
27 négrion sur un inervlle quelconque Ç n uri ucun sens de prler d inégrle fussemen générlisée en ±..2 Eemples de référence.2. négrles de Riemnn en + cf prgrphe.3 L inégrle générlisée converge si e seulemen si α >. α.2.b négrles de Riemnn en Théorème. négrles de Riemnn en.(8) L inégrle générlisée On peu remplcer pr b > quelconque. converge si e seulemen si α <. α y = y y = 2 y = Eemple.,,999999999 convergen ;, 2 divergen. L inégrle diverge pour oue vleur de α. α 26-27 7/2
27 négrion sur un inervlle quelconque y = y y = 2 y = y = y = y = 2.2.c Logrihme en Proposiion. Logrihme en. (9) L inégrle générlisée ln converge. S vleur es négive. y y = ln ln().3.3. Propriéés Linérié Proposiion : linérié. () Soi f e g deu foncions coninues pr morceu sur, λ e µ deu sclires. Si les inégrles générlisées f() e g() convergen, lors (λf() + µg()) converge e : (λf() + µg()) = λ f() + µ g() 8/2 26-27
27 négrion sur un inervlle quelconque ß Corollire. Donc l ensemble Ω = f CM(, K)/ l pplicion f Ω f es une forme linéire. f converge es un K-espce vecoriel e Preuve. Pr linérié de l limie Eemple. Si (f + g) e f convergen lors g converge. En effe, on peu écrire g = (f + g) + ( f). Pour pouvoir eploier l relion (f + g) = f + g, il fu prélblemen jusifier l convergence d u moins deu des inégrles considérées ci-dessus! + Ceci empêche d écrire des berrions elles = + ( ) + + ou, un peu moins grossièremen ( + ) = + +. Méfince donc qund on veu uiliser l linérié «à l envers»! Eemple. Si Si f e f converge e g diverge, lors (f + g) diverge. g divergen, lors on ne peu rien dire de l nure de (f + g)..3.b Posiivié Théorème.() Soi f : R coninue pr morceu. Si f converge e si f, lors f. Preuve. Dns le cs = [, + [ (dper l dém u ures cs) : en n qu inégrle d une foncion posiive (bornes rngées dns l ordre croissn), on :, Donc pr pssge à l limie dns l inéglié (licie cr f converge), on obien f. f. Corollire.(2) Soi f, g : R coninues pr morceu ; si f e g convergen e si f g, lors f Preuve. Uiliser l linérié e le héorème précéden ppliqué à g f. g. Théorème.(3) Soi f : R coninue. Si f e si f converge vec f=, lors f es l foncion consne nulle. Preuve. Dns le cs = [, + [ : inroduisons l foncion F : [, + [ l foncion F es croissne (puisque f es posiive) e puisque f() ; f converge e vu, on, = F () F () lim F = : F es donc consne sur [, + [ e donc f = F =. + 26-27 9/2
27 négrion sur un inervlle quelconque.3.c Relion de Chsles Proposiion. Relion de Chsles. (4) Soi f une foncion coninue pr morceu sur, d inégrle générlisée sur convergene. Pour ous, b, c élémens ou erémiés de, on : b f() = vec convergence des inégrles impliquées. c f() + b c f().4.4. Techniques de clcul d une inégrle générlisée Clcul pr primiivion de l inégrnde Ce premier héorème es une conséquence direce de l définiion. l s pplique lorsque l on si eprimer une primiive de l inégrnde (RAREMENT DONC...) Théorème.(5) Soi f coninue pr morceu sur ], b[, don on connî une primiive F. L inégrle b f() converge si e seulemen si F dme une limie finie en à droie (resp. en b à guche), noée F ( + ) (resp. F (b )). Dns ce cs, on : b [ < ] b f() = F () = F (b ) F ( + ) > Eemple. Éudier l convergence e clculer 2 + 3 + 2..4.b Chngemen de vrible Le héorème du chngemen de vrible es une echnique efficce, e l formule doi pouvoir êre uilisée «dns les deu sens». L enrînemen perme d voir l iniiive de cerins chngemens de vrible clssiques. Le héorème es présené pour le cs d un inervlle ouver, pour l éude de rnspose u cs d un inervlle semi-ouver, e bien-sûr u cs d un segmen. Théorème.(6) b f(), mis se Soi f une foncion coninue pr morceu sur ], b[. Si ϕ : ]α, β[ ], b[ es une bijecion sricemen croissne e de clsse C, lors les deu inégrles : b f() e β α son de même nure, e égles en cs de convergence. (f ϕ)(u) ϕ (u) du Remrque. Dns l prique, on di que l on effecue le chngemen de vrible = ϕ(u) e l on écri : = ϕ(u) = ϕ (u) du vrie de à b u vrie de α à β /2 26-27
27 négrion sur un inervlle quelconque Remrque. On peu dper ce résul u cs où ϕ es sricemen décroissne. = ϕ(u) = ϕ (u) du vrie de à b u vrie de β à α Eemple. Convergence e clcul de :. 4 d 2. + ue u2 du 3. b ( ) α.4.c négrion pr pries Terminons pr une formule elle ussi imporne, qu il fu ppliquer vec précuion pour les inégrles générlisées. Elle es en priculier uile pour éblir une relion de récurrence sisfie pr une inégrle dépendn de n. Elle es ussi souven uilisée pour prouver qu une inégrle es semi-convergene (cf fin du.). Dns le cs d un clcul d inégrle, pour choisir u e v, il fu ller vers une simplificion de l inégrnde. Théorème.(7) Soi f e g de clsse C sur ], b[. Si f()g() dme des limies finies en à droie e b à guche < [ ] b (c es-à-dire si f()g() un sens), lors les inégrles de > fg e f g son de même nure e on, en cs de convergence : b f()g () = < [ ] b b f()g() > f ()g() Remrque. Dns l prique, on écri : b inègre {}}{ u() v() }{{} dérive = [U()v()] b b U()v () en s ssurn de l convergence d u moins deu des rois ermes envisgés. U désigne une primiive de u. sin Eemple. Rmener l éude de l convergence de à celle d une ure inégrle générlisée, don l convergence semble (pour l insn) plus simple à éblir. Eemple. Clculer, pour n N, n = n e.. négrles bsolumen convergenes e foncions inégrbles Suf menion conrire, désigne un inervlle, e f une foncion coninue pr morceu sur. 26-27 /2
27 négrion sur un inervlle quelconque. Convergence bsolue d une inégrle générlisée Définiion On di que l inégrle f() converge. f() es bsolumen convergene si e seulemen si l inégrle cos() Eemple. L inégrle es bsolumen convergene. + 2 Remrque. Si f es posiive, on : f converge f converge ou encore, dns le cs f posiive, cv e cv bsolue son équivlenes. Remrque. L inérê de cee noion es de remplcer, lors de l éude de l convergence d une inégrle générlisée, l inégrnde pr une foncion posiive, ce qui donne ccès u héorèmes de convergence pr comprison, pr équivlen, pr comprison sympoique, e qui son éudiés dns cee secion. Théorème.(8) Soi f coninue pr morceu sur. Si f converge bsolumen, lors Preuve. Dns le cs = [, + [ : f converge. Cs f à vleurs posiives : c es immédi compe enu de l remrque qui précède. Cs f à vleurs réelles : on pose f + : Sup(f(), ) e f : Sup( f(), ). Les foncions f +, f : [, + [ R + son coninues pr morceu e vérifien f = f + f. On ussi f = f + + f donc f + f e f f. Pr comprison de foncions posiives, les inégrles l inégrle f converge. Cs f à vleurs complees : on écri f = Ref + imf. Ref, mf : [, + [ R son coninues pr morceu. f + e f Puisque Ref f e mf f, on, pr comprison de foncions posiives, convergen donc puis pr opérions Ref e f converge ussi. mf convergen (cs 2) convergen puis, pr opérions, Ref e mf Remrque. On peu jouer qu en cs de convergence bsolue, f f. En effe, on peu psser à l limie dns l inéglié pour ou [, + [, e insi obenir f f. f f 2/2 26-27
27 négrion sur un inervlle quelconque L convergence bsolue es une condiion suffisne de convergence, mis non nécessire. E : L inégrle, sur [, + [, de l foncion représenée es-elle convergene? bsolumen convergene? y 2 4 3 2 3 4 Lorsqu une inégrle es convergene, sns êre bsolumen convergene, on prle d inégrle semi-convergene..2 négrbilié d une foncion Définiion On di que f es inégrble sur si e seulemen si l inégrle de f sur es bsolumen convergene. Lorsque l on di inégrble, on prle donc d une foncion, à svoir l inégrnde d une inégrle bsolumen convergene. Lorsque l on di bsolumen convergene, on prle d une inégrle générlisée, don l inégrnde es inégrble. inégrble ne signifie ps que l on peu en considérer l inégrle..3 Techniques d éude Rppels. Quelques inégliés à connîre!!!, sin, cos, sin, e + >, ln( + ) (, b) R 2, b 2 (2 + b 2 ) Remrque. Dns l prique, pour jusifier qu une inégrle générlisée converge, on éudie s convergence bsolue en uilisn l un des héorèmes de ce prgrphe. On idenifie l (ou les) bornes de l inervlle où l inégrle es générlisée (donc on réfléchi où on doi mere une ou des, cr l énoncé ne l écri ps...), e on se plce sur un voisinge de cee borne (on fi deu éudes disinces si l inégrle es doublemen générlisée). L idée es de comprer l inégrnde à une foncion de référence, l comprison devn êre «risonnble» sur ce voisinge. L éude se fi donc sur l inégrnde (= une foncion), e non l inégrle elle-même. On énonce donc les résuls en ermes de foncions inégrbles. Commençons pr énoncer le héorème dns le cs où = [, + [. 26-27 3/2
27 négrion sur un inervlle quelconque Théorème.(9) Soi f, g deu foncions coninues pr morceu sur [, + [. Si f g, lors l inégrbilié de g implique celle de f sur [, + [. Si f() = O(g()), lors l inégrbilié de g implique celle de f sur [, + [. + Si f() g(), lors l inégrbilié de f sur [, + [ es équivlene à celle de g. + Complémen. (2) Précisons ussi que, si f g, l non-inégrbilié de f sur [, + [ implique l noninégrbilié de g sur [, + [. Eemple. Éudier l inégrbilié sur [, + [ des foncions suivnes : cos + 2 2 e + 3 + Éudier l inégrbilié sur [2, + [ des foncions suivnes : 2 ln ln ln 2 ln ln Énonçons le héorème dns le cs où =], b]. Théorème.(2) Soi f, g deu foncions coninues pr morceu sur ], b]. Si f g, lors l inégrbilié de g implique celle de f sur ], b]. Si f() = O(g()), lors l inégrbilié de g implique celle de f sur ], b]. Si f() g(), lors l inégrbilié de f sur ], b] es équivlene à celle de g. Eemple. Éudier l inégrbilié sur ], ] (resp. ], + [) des foncions suivnes : ln + Arcn sin Remrque. Les héorèmes précédens s dpen à ous les cs d inervlles semi-ouvers. On préfèrer cependn commencer pr effecuer un chngemen de vrible pour rmener le problème en ou en +, là où on si comprer les foncions enre elles. Eemple. Éudier l convergence de π 4 cos 2 2? de d? Remrque. On peu ussi procéder, pour des eemples un peu plus délics, pr éclemen : pour éudier l convergence d une inégrle impropre, on effecue un développemen limié de son inégrnde e on l écri comme somme de plusieurs ermes, pour lesquels on éudie séprémen l convergence de l inégrle. sin Eemple. Commen éudier l convergence de l inégrle d? + sin 4 4/2 26-27
27 négrion sur un inervlle quelconque V. Présenion de quelques espces foncionnels liés à l inégrbilié V. L (, K) Un rppel pour commencer : Théorème.(22) Si f es coninue e inégrble, e f() =, lors f es l foncion nulle sur. Remrque. L hypohèse de coninuié es imporne ici. Ce héorème es souven uilisé pour monrer le crcère «défini-posiif» d un produi sclire défini pr une inégrle. On fer référence à ce héorème en prln de «foncion coninue, posiive, d inégrle nulle». Définiion On noe L (, K) l ensemble des foncions coninues pr morceu e inégrbles sur : L (, K) = ß f CM(, K) / f converge Proposiion. (23) L (, K) es un espce-vecoriel pour les lois usuelles. L espce L (, K) peu-êre muni d une norme, en posn f = Remrque. En revnche, on ne peu rien dire qun u produi de deu foncions inégrbles. Pr eemple es inégrble sur ], ] lors que = ne l es ps. Cependn, si f 2 e g 2 son inégrbles sur lors le produi fg l es ussi cr fg 2 ( f 2 + g 2 ), d où f. V.2 L 2 (, K) Définiion L 2 (, K) es l ensemble des foncions coninues pr morceu don le crré es inégrble sur : L 2 (, K) = ß f CM(, K) / f 2 converge Eemple. Donner un eemple de foncion dns L 2 ([, + [), e qui n es ps dns L ([, + [). néglié de Cuchy-Schwrz.(24) 26-27 5/2
27 négrion sur un inervlle quelconque Soi f, g L 2 (). Alors le produi fg es inégrble sur e on : fg f 2 g 2 Corollire. (25) L 2 (, K) es un espce-vecoriel pour les lois usuelles. Remrque. L espce L 2 C (, R) des foncions coninues e de crré inégrble es muni d un produi sclire en posn f, g = fg L norme euclidienne ssociée, ppelée norme de l convergence en moyenne qudrique, es : f 2 = f 2 Ceci perme de donner un sens géomérique à l inéglié de Cuchy-Schwrz. V. En vue des révisions... Quelques résuls que l on éblir e développer dns des chpires ulérieurs... V. cf Chpire séries numériques Proposiion. (26) Soi n N, soi f : [n, + [ R une pplicion coninue pr morceu, posiive e décroissne sur [n, + [. L série f(n) converge f es inégrble sur [n, + [ n n e en cs de convergence (de l série ou de l inégrle), on : n n, n+ f + k=n+ f(k) n f Pour l culure l y beucoup de similiude enre l éude des séries numériques e l éude de l inégrbilié d une foncion ; cependn, une différence de ille doi êre indiquée : pour une série, u n es une condiion nécessire de cv, n + mis pour l inégrbilié, f() n es ps une C.N. d inégrbilié +! Cee foncion es-elle inégrble? A--elle une limie en +? y 2 3 2 2 2 3 2 V.2 Convergence d une suie/série de foncions e inégrion sur un inervlle 6/2 26-27
27 négrion sur un inervlle quelconque Dns le chpire suie de foncions, on monre que si les (f n) son coninues e convergen uniformémen vers f sur le segmen b b [, b], lors on peu inerverir limie e inégrle, i.e lim f n() = lim f n(). n + n + Sur inervlle quelconque, vec (f n) cv U sur vers f, il se peu que leså f n soien ã inégrbles sur e ps f, e il se peu ussi que les f n soien inégrbles, f ussi, mis que l suie f n ne converge ps vers f. l fu donc renforcer les hypohèses pour pouvoir voir l inégrbilié e pouvoir inerverir limie e. V.2. THE héorème de convergence dominée Preuve. Théorème de convergence dominée.(27) Soi (f n ) une suie d pplicions définies sur inervlle, à vleurs dns K. pour ou n de N, f n es coninue pr morceu sur (f n ) converge simplemen sur vers f Si f es coninue pr morceu sur ϕ : R, coninue pr morceu,, inégrble sur elle que n N, f n ϕ (hyp de dominion) pour ou n de N, f n es inégrble sur, f es inégrble sur lors f n f. n + Admis. Eemple. Monrer que W n = π 2 sin n ()d n +. V.2.b Convergence d une série de foncions e inégrion sur un inervlle quelconque Théorème.(28) Si les f n son coninues pr morceu e inégrbles sur, à vleurs réelles ou complees, f n converge simplemen sur, l somme S = + n= l série N (f n ) = f n es coninue pr morceu sur, f n converge, lors + S = f n es inégrble sur, n= l série de erme générl f n converge, ( + ) + Å ã f n () = f n (). n= n= + + + On ussi N (S) N (f n ) ie f n () Å n= n= n= ã f n (). Preuve. dmis. 26-27 7/2
27 négrion sur un inervlle quelconque Proocole d éude inégrle générlisée / inégrbilié d une foncion Bien poser le problème : Toujours commencer pr nommer l foncion, dire qu elle es (pr héorèmes généru) CM sur l inervlle (bien préciser ce inervlle, en priculier si ses bornes son ou non comprises (ce qui perme lors de dire en quel(s) poin(s) l inégrle es générlisée ou u voisinge de quel(s) poin(s) on doi jusifier l inégrbilié de l foncion)). Sur un segmen, ps de problème d inégrbilié : l coninuié pr morceu suffi, e on ne renconre jmis de foncions qui ne soien ps CM. On penser qund même à dire : l foncion es CM (ou C ) sur le segmen [, b], donc inégrble sur ce segmen (ou l inégrle converge). S gi-il d une inégrle fussemen générlisée? Sur un inervlle borné qui n es ps un segmen, on commence pr voir si l pplicion se prolonge pr coninuié u segmen, uquel cs il n y ps de problème (eemple : l eisence de sin se jusifie en disn que sin se prolonge en une foncion coninue sur le segmen [, ]). S il y des problèmes d inégrbilié u deu bornes de l inervlle, ou même en des poins inérieurs à l inervlle, on les éudie séprémen. L foncion es-elle de signe consn (u moins u voisinge des poins qui posen problème)? Si oui, on le di e on rville sur f (inégrbilié de l foncion ou convergence de l inégrle son lors équivlenes, e on peu le dire epliciemen). Si non, on rville en générl sur f (on éudie donc en générl l inégrbilié de l foncion, donc l cv bsolue de l inégrle, qui implique l convergence de l inégrle). Si on demnde un clcul d inégrle (en plus de l eisence), on s oriene vers l uilision propre d une.p.p. ou d un chngemen de vrible. l fu surou fire enion à l.p.p., qui peu poser des problèmes en rnsformn une inégrle bien définie en deu morceu qui, eu, ne le son ps (bien voir présen à l espri que l.p.p. conien 3 «morceu», e qu il fu voir jusifié l eisence d u moins 2 «morceu»). Pour le chngemen de vrible, penser à bien cier les hypohèses sur f (C, bijecive e sricemen monoone) e l conclusion (sous les bonnes hypohèses, 2 inégrles son de même nure, e en cs de cv de l une d elles, égles). Si on ne demnde qu une eisence d inégrle (ou qu une inégrbilié), on s oriene vers des comprisons, mjorions, dominions, L inégrbilié n es ps nécessire pour voir l eisence de l inégrle : on peu renconrer des inégrles impropres. Dns ce cs pour monrer que f coninue sur [, b[ une inégrle impropre sur ce inervlle, on inrodui F : f() que l on rnsforme en générl à l ide d une inégrion pr pries (précédée prfois d un chngemen de vrible). De même qu une cv bsolue de série se monre en mjorn le module du erme générl (e ps de l somme prielle), une éude d inégrbilié se fi (en cherchn un équivlen ou ) en mjorn le module de l foncion. Muvise rédcion : ln + + 3 ln + 3 d où l eisence de l inégrle pr comprison à une inégrle de Riemnn. ln + + 3 Bonne rédcion : L pplicion f : (on donne un nom à l foncion) es coninue 3 Å ã sur [, + [ (on idenifie le problème, ici en +, ps de problème en ), e f() = O 2 2 + d où l on dédui, pr comprison à une foncion de Riemnn, l inégrbilié de f sur [, + [. On rvillé sur l foncion (= l inégrnde), ps sur l inégrle... cr on ne si ps u dépr si cee inégrle eise. Une pplicion inégrble sur [c, + [ n ps nécessiremen une limie nulle en + (se méfier ici de l nlogie vec les séries)... e une pplicion qui une limie nulle en + n es ps nécessiremen inégrble sur [c, + [. 8/2 26-27
26-27 9/2 Pour les eos à 4, on peu remplcer inégrbilié pr nure de l inégrle de l foncion. Eo Éudier, en revenn à l définiion, l convergence des inégrles générlisées suivnes : +. Å2i ã π 2 e i2 d 2. 2 ln + 3. 4. ln ln(ln ) 2 3 Eo 2 Éudier l convergence des inégrles générlisées suivnes : + e sin Ç å + + 2. e + 2 e 2. 3. ln + 3 Eo 3 Éudier l eisence des inégrles suivnes : + ) ( ) b) ln()e c) d) Eo 4 ln( + ) 3/2 e) ln( + 2 ) + 2 f) ln 2 + Å ã sin 2 Éudier l convergence de l inégrle proposée, ou l inégrbilié de l foncion proposée : sin 3 () 2 (2) (3) (4) π 2 ln d ln(n ) d» 2 sur ], [, où >, 2. Eo 5 L inégrle Eo 6 cos(e ) es-elle convergene? Déerminer l nure des inégrles : sin sin d e Eo 7 Soi f : [, + [ R elle que sin d f() d soi convergene. () Si f() dme une limie l qund +, que vu l? (2) Donner un eemple où f() n ps de limie lorsque +. (3) Monrer que si f es décroissne, lors f() +. Eo 8 Eisence e clcul de Eo 9 Ç 2 å + ln. Éudier l eisence des inégrles suivnes : e ln ) + 2 b)» c) ( ) 3 d) Eo e (ln )2 e) 2 e f) e Arcn ( + 2 2 + 4 + ) N.B : les deu quesions son indépendnes. () L foncion ln es-elle inégrble sur ], + [? + 2 27 négrion sur un inervlle quelconque
2/2 26-27 (2) L foncion e es-elle inégrble sur ], + [? Eo L pplicion 3 Eo 2 es-elle inégrble sur [, [? () Éudier l inégrbilié sur [, + [ de 3 3 + 2 +. (2) Éudier l inégrbilié sur ], + [ de β + α. Eo 3 Éudier l inégrbilié sur R de f : Eo 4 négrles de Berrnd : ( + e )( + e ). Soien (α, β) R 2. Éudier l inégrbilié de [e, + [ e sur ], e ]. Eo 5 Clculer Eo 6 ln. Eisence e clcul de Eo 7 Soi f : [, + [ sin(). () Monrer que A 2 Arcn 2. α ln β f() dme une limie qund A end vers +. (2) Monrer que f n es ps inégrble sur [, + [. sur Eo 8 On dme que Eo 9 Clculer = π chngemen u = n(). Eo 2 Soi f : sin( 2 ). sin = π 2. Clculer + cos 2. On pourr mq = 2 () Monrer que l foncion F : π/2 sin 2 () 2. + cos 2, puis fire le f() dme une limie en +. (On suggère le chngemen de vrible = u). L foncion f es-elle inégrble sur [, + [? (2) Reprendre l eercice, en considérn l série de erme générl (n+)π u n = sin( 2 ). Eo 2 nπ sin 2 () Monrer que d es une inégrle divergene. sin (2) Que peu-on en déduire de d? Ç + (3) Éudier l nure de ln + sin å d. Eo 22 Éblir l convergence e clculer l vleur de l inégrle :» ( ) 27 négrion sur un inervlle quelconque