Mécanique du solide
Mécanique du solide I) Cinétique des systèmes matéiels : Rappel ; composition des vitesses et des accéléations : Soit (R) un pemie éféentiel (appelé «absolu», (y)) et (R ) un éféentiel (appelé «elatif», ( y )) en mouvement pa appot à (R). (R ) est en tanslation pa appot à (R) : Composition des vitesses : v( M ) v'( M ) + v v'( M ) + v( ') Composition des accéléations : a( M ) a'( M ) + a a' ( M ) + a( ' ) (R ) est en otation autou d un ae fie de (R) : ( et sont confondus) Composition des vitesses : v( M ) v' ( M ) + ve v' ( M ) + Ω ( R') /( R) n peut appele la fomule de Vaignon : d d R e e R' + Ω ( R') /( R) M Composition des accéléations : a( M ) a'( M ) + a e + a c dω ( R') /( R) a( M ) a' ( M ) + M + Ω ( R') /( R) ( Ω ( R') /( R) M ) + ( R') /( R) [ Ω v' ( M )] Un e eemple : un foain su un manège pou enfants Un manège d'enfants toune à une vitesse angulaie constante ω > constante. Le popiétaie pacout la plate-fome pou amasse les tickets. Patant du cente à t, il suit un ayon de la plate-fome avec un mouvement unifome de vitesse v. a) Etabli l'équation de la tajectoie de l'homme dans le éféentiel teeste (tajectoie vue pa les paents). b) Détemine la vitesse de l'homme pa appot à la Tee, à pati des équations de la tajectoie puis en utilisant la composition des vitesses.
c) Détemine l'accéléation de l'homme pa appot à la Tee, à pati des équations de la tajectoie puis en utilisant la composition des accéléations. Un nd eemple : mouvement d un tapéiste Le tapèe BCD effectue des oscillations sinusoïdales θ θ sin( ω ). D t u θ u u C M T P B θ P θ ωt T M Données : M B DC b et MP d. Le tapéiste, assimilable à une tige TMP, toune autou de BC avec une vitesse elative ω constante pa appot au tapèe. l instant initial, le tapéiste est vetical, la tête T en haut. Les notations sont celles de la figue. Détemine pou le point P (les pieds du tapéiste), à l instant t π / ω, l accéléation dans le éféentiel (R ) lié au tapèe, l accéléation de Coiolis, l accéléation d entaînement et l accéléation dans le éféentiel teeste (R). Solution : Dans le éféentiel lié au tapèe, P effectue une otation unifome autou de M à la vitesse angulaie constante ω. Pa conséquent : v' ( P) ωu MP ωd sinωt u + ωd cosωt u Et : a'( P) ω MP ω d cosωt u L accéléation de Coiolis est donnée pa : a P & θu ( ) v' ( P) θ ω d cos ωt u c L accéléation d entaînement est : a e a ( P) && θ u P & θ P e θ ω d sinωt u θ ω d cosωt sinωt u θ ω ( d sin ωt θ ( b + d cosωt)cos ωt) ( P) θ ω ( ( b + d cosωt)sinωt θ d sinωt cos ωt) θ θ t π / ω (les pieds P sont en haut), on touve : a'( P) ω du ; a ( P) θ ω du ; a ( P) θ ω ( b d) u c e
n en déduit ensuite l accéléation «absolue» à cet instant : a( P) a' ( P) + a ( P) + a ( P) ω ( d + θ d θ ( b d)) u c e Cente d inetie d un système, éféentiel baycentique : Dans le cas de solides ou de systèmes matéiels, on est amené à défini une masse volumique, une masse sufacique ou encoe une masse linéique : m ρ ( M ) dτ ; m σ ( M ) ds ; m ( S ) ( C) λ( M ) dl Remaque : dans la suite, on choisia une epésentation continue volumique. Pou une epésentation discète, voi le chapite de mécanique de sup su les systèmes de points matéiels. Le cente d inetie d un système sea défini pa : Distibution discontinue : i m GM ; Distibution continue volumique : i ρ ( M ) GMdτ i ; G G i m M i m ρ( M ) Mdτ Le cente d inetie possède la popiété d associativité : le cente d inetie G d un système (S), constitué de deu systèmes S et S de masse m et m et de centes d inetie G et G, est défini pa : ( m G m G + m G + m ) m i Quel est le cente d inetie de ce solide? 4
Réféentiel baycentique : Le mouvement du système est étudié dans le éféentiel (R). n appelle éféentiel baycentique (R b ) elatif au éféentiel (R), le éféentiel de cente G et animé d un mouvement de tanslation à la vitesse v (G) pa appot à (R). (R) (R b ) v(g) G G (R b ) v(g) G (R b ) v(g) La loi de composition des vitesses s écit sous la fome : v( M ) v ( M ) + v( G) b y Résultante cinétique et moment cinétique d un système matéiel : Résultante cinétique (ou quantité de mouvement totale du système) : P ρ ( M ) v( M ) dτ mv( G) Dans le éféentiel baycentique, la ésultante cinétique est évidemment nulle. Moment cinétique : Le moment cinétique pa appot à du système, dans le éféentiel (R) est : L M ρ( M ) v( M ) dτ Théoème de Kœnig pou le moment cinétique : (voi cous su les systèmes de deu points matéiels) L M ρ( M ) v( M ) dτ ( G + GM ) ρ( M )( v ( M ) v( G)) dτ Soit : Remaque : b + L G mv( G) + GM ρ( M ) v L G mv( G) L G, b + b ( M ) dτ Le moment cinétique baycentique ne dépend pas du point où on le calcule. En effet : L M ρ( M ) v ( M ) dτ ( G + GM ) ρ( M ) v ( M dτ Soit : ), b b b 5
L ρ ( τ, b LG, b + G M ) vb ( M ) d LG, b + Pb LG, b Et, en utilisant le théoème de Kœnig, on a finalement : L L L L G G, b, b b L b Moment cinétique pa appot à un ae : La pojection du moment cinétique L du système (S) su un ae passant pa définit le moment cinétique L de (S) pa appot à. (S) insi, en intoduisant le vecteu unitaie u de l ae ( ), on obtient : L L. u n véifie facilement que L est indépendant du point de l ae. L La notion de moment cinétique pa appot à un ae est intéessante losque le système (un solide pa eemple) est justement en otation autou de cet ae. u 4 Résultante dynamique et moment dynamique d un système matéiel : Résultante dynamique : La ésultante dynamique (encoe appelée quantité d accéléation) est : S Comme pou la ésultante cinétique, on monte que : S ρ( M ) a( M ) dτ ρ ( M ) a( M ) dτ ma( G) n monte au passage la elation ente la ésultante cinétique et la ésultante dynamique : Moment dynamique : Le moment dynamique dp S D en un point du système (S) dans (R) a pou epession : D M ρ( M ) a( M dτ ) Théoème de Kœnig pou le moment dynamique : La démonstation est compaable à celle elative au moment cinétique. n obtient : 6
D G ma( G) + GM ρ( M ) a ( M dτ b ) D G ma( G) D G, b Le moment dynamique baycentique ne dépend du point où on le calcule : D G DG, b D, b + D Relation ente moment cinétique baycentique et moment dynamique baycentique : dl b d GM M vb M d Db ρ ( ) ( ) τ b 5 Toseu cinétique et toseu dynamique : Résultante cinétique et moment cinétique d une pat (ésultante dynamique et moment dynamique d aute pat), possèdent les popiétés d un concept mathématique appelé toseu que nous allons défini. Notion de toseus : n considèe un ensemble de points M i et à chacun de ces points on associe un vecteu q i (ce vecteu poua ête la vitesse, la quantité de mouvement, une foce qui agit en ce point, ). n définit alos : * La ésultante : R q i * Le moment en : M ( M q ) i i n véifie aisément que le moment en deu points et véifient la elation : M M + R M + R (BBR!!!) i i La ésultante R et le moment en, M, sont appelés éléments de éduction en du toseu (T) associé au système de vecteus q i. La donnée des éléments de éduction en un point définit complètement le toseu puisqu il est alos possible de calcule les éléments de éduction en tout aute point : R est indépendante de et M M + R Toseu cinétique et toseu dynamique : n véifie que, dans le éféentiel (R), la ésultante cinétique P et le moment cinétique L en un point d un système matéiel (S) foment les éléments de éduction d un toseu, appelé toseu cinétique et noté TC ( P, L ). n a notamment : L L + P 7
De même, la ésultante dynamique S et le moment dynamique en, du toseu dynamique T S, D ). D ( D, foment les éléments de éduction 6 Enegie cinétique d un système matéiel : Définition : E c Théoème de Kœnig pou l énegie cinétique : ρ( M ) v( M ) dτ n monte que : (voi cous su les systèmes de deu points matéiels) E c mv( G) + ρ( M ) v E c mv( G) + E c, b ( M ) dτ b II) Mouvement d un solide : Le solide en mécanique : n appelle «solide» un cops indéfomable : la distance ente deu points quelconques d un solide este constante au cous du temps. Champ des vitesses : Le solide (S) se déplace dans le éféentiel (R). n considèe le éféentiel (R S ) lié au solide (S) d oigine P (point igidement lié au solide). S (R S ) y S P M S y (R) n considèe un point M igidement lié au solide ; on note Ω R S / R Ω le vecteu vitesse angulaie instantanée du éféentiel (R S ) pa appot à (R), qui est a pioi une fonction vectoielle du temps. La fomule de Vaignon (loi de déivation dans les éféentiels (R) et (R s )) donne : 8
d PM ( ) ( R) d PM ( ) ( R s ) + Ω PM ( ), d PM ( R s ) puisque le vecteu PM est fie dans le éféentiel du solide. Comme : Il vient : d( PM ) ( R) d( M ) ( R) d( P) v( M ) v( P) + Ω PM ( R) v( M ) v( P) n constate que les vitesses des points d un solide véifient la loi caactéistique des moments d un toseu, appelé «toseu des vitesses» ou «toseu cinématique», dont : la ésultante est le vecteu otation Ω Ω le moment en P est la vitesse v (P) R S / R. du point P de (S) dans (R). e eemple : le mouvement d une tige n considèe une tige B homogène, de longueu b et de cente d inetie G, milieu de B. bouge su le sol hoiontal et B este conte un mu vetical. La position de la tige est déteminée pa l angle α (, G) qui vaie losque la tige glisse. t, la tige est pa eemple veticale ; la distance G este égale à b. y u B + G a) Détemine diectement les composantes de la vitesse v (G) déivée tempoelle de α. Dans le tiangle B, la médiane G a pou longueu b, pa conséquent : b cosα α G bsinα et du point G en fonction de α de la b & α sinα v( G) b & α cosα b) En déduie le vecteu vitesse angulaie instantanée Ω Ωu de la tige. 9
La loi de composition des vitesses pemet d écie : v( G) v( ) + Ωu G., b cosα u, v b & α sinα u et G b cos α u + bsinα u y, d où : v G) b & α sinα u + Ωu ( b cosα u + bsinα u ) n en déduit que ( y v( G) b( & α + Ω)sinα u bωcosα u y Ω Ωu α& u. nd eemple : le mouvement d une oue n considèe une oue de ayon b, de cente C, se déplaçant su le sol hoiontal fie dans (R), en estant dans le même plan vetical. y + M θ C I(t) I S (t) I R (t) n appelle I le point de contact de la oue et du sol à l instant t. n peut en fait distingue tois points au niveau du contact de la oue avec le sol : le point I S du sol qui est fie dans (R). le point I R de la oue qui, losqu elle oule, ne se touve plus au contact du sol à un instant ultéieu. le point géométique I qui localise le contact. Dans le éféentiel (R) lié au sol, la vitesse du point I S est bien évidemment nulle. La vitesse du point I R de la oue s epime en fonction de celle du cente C : v( I R ) v( C) + Ω CI R v( C) + Ω CI où Ω Ωu est le vecteu vitesse angulaie instantanée de la oue. Le mouvement de la oue peut se décompose en un mouvement de tanslation du cente d inetie C et en un mouvement de otation autou de l ae ( C, u ) à la vitesse Ω Ωu & θu. La vitesse v ( I R ) s appelle vitesse de glissement de la oue su le sol, v g v( I R ). Elle est tangente au sol. La oue oule sans glisse su le sol losque v v( I ). g R Si on note l abscisse de C (et donc celle de I), on peut écie : v & u + ( & θ u ) ( bu ) ( & b & θ ) g y u
La condition de non glissement donne alos : & b & θ. ) Remaque : cette condition de non glissement evient à écie que I IM bθ, ce qui coespond bien à l idée que l on peut se faie de la condition de non glissement de la oue. ème eemple ; mouvement d une oue su un suppot cylindique La oue de cente C et de ayon b oule sans glissement su un suppot cylindique de cente et de ayon a, fie dans (R), tout en estant dans un plan vetical. y b C I ϕ a + u u ϕ Détemine le vecteu otation Ω de la oue en fonction de l angle ϕ (, C). n souhaite écie : v( I) v( C) + Ω u CI puisqu il n y a pas glissement de la oue su le suppot cylindique. : CI bu ; d v( C) (( a + b) u ) ( a + b) & ϕu ; u y ( a + b) & ϕu Ωbu ϕ ϕ ϕ a + b Pa conséquent : Ω ϕ&. b Eléments cinétiques ; elations typiques pou un solide : Rotation d un solide autou d un ae fie : n considèe un solide (S) en otation autou d un ae lié au solide et fie dans (R) (y). Tès souvent, le éféentiel d étude sea le éféentiel baycentique (R b ) (Gy) et les aes () et (G) seont soient confondus soient paallèles à l ae de otation. Le solide est supposé homogène et on notea : m ρ ( M ) dτ n poua ensuite généalise au épatitions discètes, sufaciques ou linéiques. dm Moment cinétique en un point de l ae : n pend l eemple d une pote qui toune autou de ses gonds.
H M (S) y S y Ω & θ u Le solide et le éféentiel lié au solide R (S) ( S y S ) toune à la vitesse angulaie l ae (). θ S v Ω & θ u autou de n veut calcule le moment cinétique du solide dans le éféentiel (R) pa appot à un point situé su l ae de otation : L M dm v( M ) vec Soit : v( M ) v( ) + Ωu M Ωu M, il vient : L M ( Ωu M ) dm L Ω u ( M. Ω u ). M dm ( M ) n intoduit le point H tel que : M H + HM alos M. u H Et : Soit : L ( H + HM ) Ω u ( H. Ω ).( H HM )) dm L + Ω Ω + HM dm H HMdm L,// L, Moment d inetie : n note L L,//. u la coodonnée du moment cinétique su l ae : L est appelé moment cinétique du solide pa appot à l ae : Il est indépendant du point. L HM dm Ω
n définit le moment d inetie du solide pa appot à l ae : HM dm J dm ; L J Ω où HM désigne la distance du point M à l ae de otation. J est une caactéistique du solide et ne dépend que de la épatition des masses dans le solide. Quelques eemples : * Tige de longueu b, ae passant pa son cente : * Ceceau de ayon R, ae passant pa son cente : J mb J mr * Disque ou cylinde plein de ayon R, ae passant pa son ae : J mr * Sphèe ceuse de ayon R, ae passant pa un diamète : J mr * Sphèe pleine de ayon R, ae passant pa un diamète : J mr 5 Moment cinétique pependiculaie à l ae : L, Ω H HMdm L, est pependiculaie au vecteu otation (à l ae ()). Il n est en généal pas nul. n peut monte qu il est nul : * Losque l ae de otation coïncide avec un ae de symétie du solide * Losque le solide est plan dans un plan pependiculaie à l ae de otation en. Enegie cinétique : L énegie cinétique du système dans (R) est : Soit : E c dm v ( M ) J Ω dm n constate que l énegie cinétique ne dépend pas de la composante E c Ω L, du moment cinétique. Utilisation des théoèmes de Kœnig : vec des notations évidentes :
L G mv( G) + J GΩu + LG, b, Le plus souvent, L ((G) sea un ae de symétie du système). G, b, E c mv ( G) J + G Ω Le théoème de Huygens : Le théoème de Huygens pemet de elie les moments d inetie J d un solide pa appot à un ae et J,G du solide pa appot à l ae G paallèle à et passant pa G : J J, G + ma où a désigne la distance ente les deu aes de otation. G G a a L énegie cinétique du solide dans (R) est : E J Ω c. G a (dans le éféentiel (R)) un mouvement ciculaie de ayon a et de vitesse angulaie Ω, pa conséquent v( G) Ωa. Le théoème de Kœnig elatif à l énegie donne alos : E mv ( G) J ma J c + GΩ Ω + Ω d où J J, G + ma Eemple : (cas de la oue) n peut calcule l énegie cinétique de la oue dans le éféentiel du sol. Dans le éféentiel baycentique : E J ( mb )& θ c, b, C 4 mb & θ 4
y + M θ C Le théoème de Kœnig elatif à l énegie donne : I(t) I S (t) I R (t) 4 E c mv ( C) + mb θ m + Si on suppose que la oue oule sans glisse, & b & θ et : E c 4 & mb & θ & 4 mb & θ Eemple (le pendule double) : Un pendule double est constitué de deu baes et B identiques, homogènes, de masse m, de longueu b et aticulées en. Les deu baes sont asteintes à se déplace dans le plan vetical (y) et leus inclinaisons sont définies pa les angles α et β (voi figue). y α G + β G B Calcule le moment cinétique pa appot à l ae et l énegie cinétique de ce pendule double. Le moment d inetie d une bae de longueu b pa appot à sa médiatice est Pou la bae : J 4 mb ; L 4 mb & α, c, ; E mb & α mb J. Pou la bae B : Les théoèmes de Kœnig donnent : 5
pès calculs : L ( G & mv( G )). u mb β B, + E c, B mv ( G ) + mb & β α & β α & ( 4 + + ( & + β ) cos( α β ) mb L B &, mb + Pou l ensemble du pendule double : & & & & E c, B mb (4α + β + 4αβ cos( α β )) + 6 & β mb & β L L, + LB, ; Ec Ec, + Ec, B III) Etude dynamique des systèmes matéiels : Modélisation des actions mécaniques : n s intéesse au actions mécaniques etéieues qui agissent su un système matéiel (S), en commençant pa quelques eemples classiques. Le poids d un système : La ésultante de tous les poids élémentaies est : P dmg ρ ) ( M dτ g mg Le moment ésultant en un point quelconque est : M M ( M ) g d M ( M ) d ρ τ g G mg ρ τ n monte ainsi que le poids du système est équivalente à une foce unique P mg qui s applique en G. Remaque : l action mécanique etéieue, poids, possède toutes les popiétés d un toseu paticulie, le glisseu, dont : * La ésultante est égale à P mg * Le moment en G est nul : M G (En un point quelconque : M M G + G mg G mg :le poids du système est équivalente à une foce unique P mg qui s applique en G). Les foces de pession su la paoi d un écipient : n considèe un écipient cubique de côté a, contenant une hauteu h d eau (de masse volumique unifome ρ). 6
n va monte que l action des foces de pession su une paoi veticale du écipient peut ête caactéisée pa un glisseu. Le calcul de la ésultante des foces de pession est classique : h F ρg ( h ) d u ρ h g a u h P() B P F Le moment en des foces de pession est : M M ρ g ( h ) dyd u u ρg ( h ) dyd u paoi M n constate que l on peut écie : h paoi ρ g ( h ) ad u y ρ h g a u y 6 h M B F avec B u L action des foces de pession su la paoi est donc caactéisée pa une foce unique F passant pa le point B. n obtient bien un glisseu dont les éléments de éduction en B sont : h * La ésultante est égale à F ρg a u * Le moment en B est nul : M B Couple s eeçant su un système en otation autou d un ae fie : n pend l eemple d un couple céé pa deu foces opposées. La ésultante des foces est nulle et le moment des deu foces au point est indépendant du point où on le calcule. Un couple epésente un eemple de toseu de ésultante nulle. Le moment est donc indépendant du point considéé. F M M F 7
Le moment en un point quelconque est en effet : (avec F + F ) M M + M M F + M F M M Il est bien indépendant du point. Eemples : F * Foces que l on eece quand on toune la poignée d une fenête * ction d un champ électique su un dipôle électique * Un moteu eece su un cylinde etéieu pa eemple une action mécanique assimilable à un couple de moment C colinéaie à l ae de otation commun du moteu et du cylinde. * Pendule de tosion dont le couple est de la fome Cα. ctions de contact ente deu solides : Un système matéiel solide (S) est en contact avec un suppot solide (Σ) ne faisant donc pas patie de (S). Il y a inteaction ente les paticules de (S) et celles de (Σ), au niveau de la suface de contact S. n définit une densité sufacique de foces f (M ) en chaque point de la suface de contact S. n calcule alos : d F f ( M ) ds (S) ds M Suppot (Σ) * La ésultante : ( Σ) ( S ) F f ( M ) ds S M M f ( M ) ds * Le moment en un point :,( Σ) ( S ) n constate que ces deu éléments, indépendants l un de l aute, caactéisent un toseu, le toseu des actions de contact de (Σ) su (S), qui est une action mécanique etéieue à (S). Evidemment, (S) eece su (Σ) une action mécanique que l on peut également epésente pa un toseu de ésultante F ( S ) ( Σ) et de moment M, ( S ) ( Σ). S Conclusion : taves les difféents eemples que l on vient de pésente, on constate que toute action mécanique etéieue à un système (S) peut ête epésentée pa un toseu (éventuellement un glisseu ou un couple) défini pa ses éléments de éduction en un point : 8
* La ésultante : F et * Le moment : M, et (appelons que : M B, et M, et + Fet B ) n s intéesse maintenant au actions mécaniques intéieues à un système matéiel. Losque le système matéiel (S) est continu, il n est pas toujous possible de epésente les effets des actions mécaniques intéieues à ce système pa un toseu. Nous veons que cette estiction n est pas gênante ca ces actions n inteviennent pas dans les lois fondamentales de la dynamique que nous utiliseons. Lois de la dynamique dans un éféentiel galiléen : n considèe un système matéiel (S) femé, de masse m et de cente d inetie G, en mouvement dans un éféentiel galiléen (R). Loi de l action et de la éaction : Cette loi est encoe appelée loi des actions écipoques. n considèe deu systèmes (S ) et (S ) en inteaction dans un éféentiel galiléen (pa eemple, un live posé su une table). Soient F (esp. F ) la ésultante des foces eecées pa le cops su le cops (esp. la ésultante des foces eecées pa le cops su le cops ). Soient M et M les moments coespondants., F, F La loi de l action et de la éaction affime que : F F et M M F, F, Théoème de la ésultante cinétique (ou théoème du cente d inetie, ou théoème de la quantité de mouvement, ou théoème de la ésultante dynamique) : Dans un éféentiel (R) galiléen : d dp ( mv( G)) ma( G) F et Théoème du moment cinétique en un point fie : n considèe un point fie du éféentiel galiléen (R). los : dl M, f et La déivée du moment cinétique du système pa appot au point fie est égal au seul moment en des foces etéieues au système (celui des foces intéieues est nul). 9
* Théoème du moment cinétique pa appot à un ae fie : n considèe un ae passant pa, de vecteu unitaie u, fie dans (R). En pojetant le théoème du moment cinétique su cet ae, on obtient le théoème du moment cinétique pa appot l ae : dl M u M ( L L. u., f et, et Ce théoème sea couamment utilisé dans le paagaphe su le mouvement d un solide autou d un ae fie. ) * Théoème du moment cinétique au point G : L M dmv( M ) G mv( G) D aute pat : insi, comme dl dl + L G M d dl G ( mv( G)) + M f G G F G F et M dl + et +, f et et G, f et M, on obtient :, f et dl G M insi, le théoème du moment cinétique peut s applique au point G, même si celui-ci est mobile dans (R). G, f et G Théoème du moment cinétique dans le éféentiel baycentique : n a vu que : L G L G, b. insi : dl dl G G, b M G, et Le théoème du moment cinétique s applique au point G dans le éféentiel baycentique (R b ) du système comme en un point fie d un éféentiel galiléen (bien que le éféentiel baycentique ne soit pas a pioi galiléen). (R) (R b ) v(g) G G (R b ) v(g) G (R b ) v(g) y
Ce ésultat est tès impotant ca, bien souvent, le mouvement du système dans le éféentiel baycentique est simple (donne l eemple du ballon de ugby). pplication : oscillations d un cylinde n considèe le système de la figue suivante : Suppot fie y éq y P C L D Q k T T B u y n demande de calcule la péiode des oscillations veticales du cente C du cylinde homogène. Le fil, inetensible, est sans masse et sans aideu et ne glisse pas su la poulie. Le essot a une aideu k et une longueu à vide l. n note y la position veticale de C et L la longueu du essot à l instant t. n désigne pa Ω Ωu le vecteu otation du cylinde. Solution : n applique le théoème de la ésultante cinétique au cylinde dans le éféentiel du laboatoie. En pojection selon (y), on obtient : m & y T T + mg T k L ) + mg ( l Le théoème du moment cinétique appliqué dans le éféentiel baycentique en C donne : dl b, C mr C T + CB T ; Ω & ( T + k( L l )) R n peut écie la consevation de la longueu (PBD) du fil : y + π R + ( y L) yéq + πr Léq soit L Léq + ( y yéq ) Taduisons maintenant le fait que le fil ne glisse pas su la poulie : la vitesse du point appatenant à la poulie est égale à la vitesse du point appatenant au fil, v ) v( ). v yu & u C ( y&, poulie y + Ω + Ω R ) u y ( poulie fil Le fil étant inetensible, la vitesse du point du fil est égale à la vitesse de son point d attache P, soit v( fil ) v( P). Pa conséquent : Et : y& RΩ
m & y mr && y k( L l R ) + mg 8k && y + ( y y m 4k ) g ( L m éq éq l La péiode des oscillations est donc : T m π. 4k Remaque : cet eecice peut également se ésoude en utilisant la consevation de l énegie mécanique du cylinde. L énegie mécanique s écit : E E + E ; m c p & 4 & E c my + mr Ω my ; E p k ( L l ) mgy E m En déivant pa appot au temps :, L L + ( y y ) et L& y& : éq éq my& 4 + k( L l m yy &&& + kl& ( L l ) mgy& ) mgy myy &&& + ky& ( Léq + ( y yéq ) l ) mgy& n etouve l équation difféentielle pécédente. ) 4 Lois de la dynamique dans un éféentiel non galiléen : Il faut pende en compte les foces d inetie : d dp ( mv( G)) ma( G) F et + F ie + F ic Et, en un point fie du éféentiel mobile : dl M + +, f, f et M ie M, f ic 5 Cas des systèmes ouvets : (taité en mécanique des fluides) 6 Fomulation tosoielle des lois de la mécanique des systèmes n a établi que le pincipe de l action et de la éaction avait pou conséquence la nullité de la ésultante des foces intéieues ainsi que celle du moment des actions intéieues. Ces deu ésultats peuvent se condense sous le fait que le toseu des actions intéieues est nul : F Μ [ ] int, int Les deu gandes lois de la mécanique des systèmes peuvent alos s écie sous la fome tosoielle suivante unique, dans un éféentiel galiléen (R) dans lequel le point est fie :
(La déivée d un toseu se fait teme à teme) d [ P, ] [, Μ ] L F et utement dit, la déivée du toseu cinétique est égale au toseu des actions etéieues., et IV) Etude énegétique des systèmes matéiels : Faie quelques appels su l étude énegétique du système de deu points matéiels. Rappele notamment que le tavail des foces intéieues peut s écie : δ W int f d f d( M M ) Ce tavail, a pioi, n est pas nul sauf dans le cas de deu points matéiels igidement liés l un à l aute ( d ( M M ) ). n s attend alos que ce tavail des foces intéieues soit nul pou un solide. Puissance des actions eecées su un solide : En faisant appel à la notion de foces volumiques eecées su un solide, on peut écie la puissance des actions (etéieues et intéieues) eecées su un cops continu : P v( M ). f ( M ) dτ En écivant que, pou un solide, v( M ) v( ) + Ω M, il vient ( est un point quelconque du solide) : P v( ) + Ω M. f ( M ) dτ v( ). F + ( Ω M ). f ( M ) dτ En utilisant Soit, finalement : ( ) et ( Ω M ). f ( M ) ( M f ( M )). Ω (pemutation ciculaie dans le poduit mite) P v( ). F + ( M f ( M )). Ωdτ et P v( ). F et + M,et. Ω n emaque que les foces intéieues n inteviennent pas dans cette epession de la puissance eçue pa le solide. Remaque : poua ête souvent le cente d inetie G. Théoème de l énegie cinétique (ou de la puissance cinétique) : Dans la suite, on se place dans un éféentiel (R) supposé galiléen. Pou un solide : P v( M ). f ( M ) dτ v( M ). dma( M ) insi, pou un solide : d dmv( M ) de c
dec P v( G). Fet + M G, et. Ω (Théoème de la puissance cinétique) Rappelons ici que P epésente la puissance uniquement des actions etéieues subies pa le solide (la puissance des actions intéieues est nulle pou un solide). Le théoème de l énegie cinétique s en déduit : E c W f et Un e eemple : chute d une tige su le sol Une tige B, homogène, de cente G et de longueu b, est posée su le sol, veticalement sans vitesse initiale. Sous l action d un lége déséquilibe, elle tombe. En supposant que l etémité glisse sans fottements su le sol, calcule la vitesse v du cente G de la tige quand celle-ci heute le sol. Le moment d inetie de la tige pa appot à sa médiatice est y B + mb J. R G α En l absence de fottements, seul le poids tavaille. Le théoème de l énegie cinétique donne : mg mv ( G) + mb & α mgb( sinα) Soit l abscisse du point ; la vitesse de G s écit : & b & α sinα v( G) b & α cosα Les seules foces etéieues agissant su la bae étant veticales, la vitesse de G selon l hoiontale est une constante du mouvement (nulle au bout du compte) : & b & α sinα d où v ( G) b & α cos α En éliminant insi, quand α : α& dans l epession du théoème de l énegie cinétique, on obtient : ( sinα) v ( G) gb + cos α 4
v gb Cas d un ensemble de solides : n considèe un ensemble (S) de deu solides (S ) et (S ). n appelle (E) le milieu etéieu (S). Le théoème de la puissance cinétique appliqué à (S ) donne : de c n peut distingue dans les actions mécaniques etéieues qui s eecent su (S ) : P et, * Celles que (S ) eece su (S ) : PS S * Celles que le milieu etéieu à (S) eece et dont la puissance est PE S S S insi : De même pou (S ) : E de de c c P S P + S S + S En sommant, on obtient le théoème de la puissance cinétique pou le système (S) : de c P P E E S S ( P + P ) + ( P P ) avec E E + E ) E S E S S S + S S ( c c c Les deu pemies temes epésentent pou le système (S) la puissance des actions mécaniques etéieues : P et P P. E + S E S Les deu denies temes constituent la puissance des inteactions ente (S ) et (S ), qui sont pou (S) des actions mécaniques intéieues. : Finalement : P int, S P S S S + de c P et + P int, S P S S S 5
Bien que la loi de l action et de la éaction indique que la somme des actions mécaniques ente les solides (S ) et (S ) soit nulle, il n y a aucune aison pou que la puissance de ces actions mécaniques intéieues à (S) soit nulle (en effet, le système (S) n est pas lui-même un solide). Cas d un ensemble de N points matéiels : La démonstation est identique à celle faîte avec deu points matéiels. n dissocie, pou un point M i, les foces etéieues f et les foces intéieues f. n a alos : de P et i P int, j i W c int + et ; c int E + W Le système de points étant a pioi défomable, le tavail des foces intéieues est non nul. Remaque : Le tavail des deu foces intéieues f int, j i et f int, i j et vaut (cf cous de èe année) : δ W f int, i j f int, j i d ij n voit que ce tavail ne dépend que de la distance elative et de sa vaiation ente les deu points M i et M j. Il ne dépend donc pas du éféentiel dans lequel on le calcule. Le tavail et donc la puissance des actions mécaniques intéieues à un système ne dépendent pas du éféentiel dans lequel on les calcule. Enegie potentielle et énegie mécanique d un système : La pésentation est identique à celle faîte pou deu points matéiels : L énegie mécanique E m d un système (S) est la somme de son énegie cinétique E c et de l énegie potentielle intéieue E p,int et etéieue E p,et : E m Ec + E p, int + E p, et et le théoème de l énegie cinétique conduit, pou un système femé (S) à : de m δ W de m foces et et int non consevatives ; P foces et et int non consevatives La plupat des actions mécaniques connues sont consevatives (le poids, la foce électique, la foce de gavitation, l action d un essot, ). Pami les actions mécaniques non consevatives, on peut cite les actions de contact ente solides, la tension d un fil, les foces de pession, les foces de populsion, Consevation de l énegie mécanique d un système femé, système consevatif : Si toutes les actions mécaniques déivent d une énegie potentielle (etéieue ou intéieue) ou si toutes les actions mécaniques qui ne déivent pa d une énegie potentielle ne tavaillent pas, alos l énegie mécanique du système se conseve au cous du mouvement. Le système est dit consevatif. 6
L équation l énegie). E E + E, int + E cste est appelée l intégale èe du mouvement (elative à m c p p, et Eemple d application : oscillation d une tige su un demi-cecle Une tige homogène B, de cente C, de longueu l, de moment d inetie J ml pa appot à un ae pependiculaie à la tige et passant pa C, glisse sans fottements à l intéieu l d un demi-cecle de cente et de ayon R. y θ C B Ce cecle est situé dans le plan vetical (y) d un éféentiel galiléen. Détemine l équation difféentielle véifié pa l angle θ défini pa θ ( u, C). Calcule la péiode des petites oscillations de la tige autou de sa position d équilibe. n choisit une méthode énegétique. L énegie mécanique de la bae B est une constante (pas de fottements) : Em mv( C) + ml & θ mg c vec ( ) & θ ( )& R l θ & R v C C R θ et c cosθ : 4 Si on déive pa appot au temps : E m mr & θ mgr cosθ 4 & θ g + sin θ R La péiode des petites oscillations est donc : T R π. g V) Contact ente deu solides Lois du fottement : Le contact est une notion concète familièe. Il est facile de détemine visuellement si deu objets sont en contact. Cependant, au niveau micoscopique, les choses sont bien plus difficiles. 7
Déjà, la suface des objets usuels qui nous semble lisse est loin de l ête vaiment : les atomes situés à la suface sont disposés aléatoiement et la position de la suface des solides subit des vaiations tès busques (voi figue suivante). Quand on appoche deu objets, les nuages électoniques des atomes situés au deu intefaces finissent pa ête tès poches et la épulsion électostatique ente ces nuages engende la nonintepénétabilité ente les solides. n compend donc, vu la compleité de la situation, qu obteni une loi eacte décivant les contacts au niveau macoscopique n est pas aisé. Etude cinématique : n considèe deu solides (S) et (Σ) en mouvement dans un éféentiel (R) de manièe à ce qu ils estent toujous en contact ; ce contact peut se taduie : Pa une suface commune Pa une ligne commune Pa un ou plusieus points communs insi, il eiste au moins un point I S de (S) en coïncidence avec un point I Σ de (Σ) en I à tout instant t. (S) I S I I Σ (Σ) n appelle vitesse de glissement v g de (S) su (Σ) en I à l instant t, le vecteu : v I) v ( I ) v ( I g ( g S /( R) g Σ ) /( R) Cette vitesse de glissement de (S) su (Σ) en I est aussi la vitesse du point I (S) de (S) dans le éféentiel (R (Σ ) ) lié à (Σ) : v I ) v ( I g ( Σ g S ) /( R ) n dit que (S) ne glisse pas su (Σ) si la vitesse de glissement est nulle en tous points de contact, à tout instant : v I) v ( I ). g ( g S /( R ) Σ Dans le éféentiel (R), on définit les vecteus otations Ω S et Ω Σ des solides (S) et (Σ). Les vitesses d un point M S de (S) et un point I S de (S) en contact avec (Σ) en I sont eliés pa : v( M ) v( I ) + Ω IM S S S 8
De même, les vitesses d un point M Σ de (Σ) et un point I Σ de (Σ) en contact avec (S) en I sont eliés pa : v( M Σ ) v( I Σ ) + ΩΣ IM Le vecteu otation elatif Ω S / Σ de (S) pa appot à (Σ) : Ω Ω peut se décompose en deu vecteus : Un vecteu nomal de pivotement. S / Σ S Ω Σ Ω N au plan tangent (P) en I ; ce vecteu est appelé le vecteu otation Un vecteu Ω T situé dans le plan tangent (P) en I ; ce vecteu s appelle le vecteu otation de oulement. Ω Ω N Ω N (S) Ω (S) (S) I Ω I (Σ) Ω (Σ) T Ω I (Σ) T Le cube pivote su son suppot. Le cylinde oule su son suppot. Le cylinde oule et pivote su son suppot. Dans la suite, on supposea que (S) oulea sans pivote su (Σ) ou (S) pivotea su (Σ), ou (S) aua un mouvement de tanslation su (Σ). ctions mécaniques de contact : Définition des composantes nomale et tangentielle de la ésultante des actions mécaniques de contact et des moments de fottement de pivotement et de oulement : n note dans la suite R la ésultante des actions de contact du solide () su le solide (). Elle se décompose selon : R T + N 9
où T est la composante appatenant au plan tangent (c est la foce de fottement de glissement) et N la composante nomale à ce plan. Celle-ci est diigée de () ves (). L annule evient à die que le contact est ompu ente les deu solides. n peut également défini le moment des actions de contact au point de contact I ; comme le contact est supposé ponctuel, le moment en I des actions de contact sea considéé comme nul. Lois de Coulomb u XVIII ème siècle, Coulomb a énoncé les lois appochées suivantes, valables pou le fottement de glissement ente deu solides en contact ponctuel (on considéea dans la suite que ces lois estent valables même si le contact n est pas igoueusement ponctuel) : Soient deu solides (S ) et (S ) en contact ponctuel. n note v g la vitesse de glissement de (S ) pa appot à (S ). los : Si v g (il y a glissement), la foce de fottement de glissement véifie : T // v ; T. v < ; T f N g où f s est appelé coefficient de fottement statique de glissement. Si v g (il n y a pas glissement), alos : T f N où f c est le coefficient de fottement cinétique (ou dynamique). g La loi de Coulomb founit une inégalité égissant le compotement de la composante T. c s Remaque : généalement, le coefficient de fottement cinétique est inféieu au coefficient de fottement statique, mais de valeu asse poche. En effet, à l'échelle micoscopique, les sufaces des solides s'intepénètent plus losqu'il n' a pas glissement. Dans la suite, on posea f f f. s c Quelques eemples de coefficients de fottement :
Cône de fottement : n considèe un solide immobile su un sol incliné. Le solide este t il immobile ou commence t il à glisse? Le théoème du cente d inetie appliqué au solide donne : m g + T + N En pojection : T mg sinα ; N mg cosα La condition de non glissement est T < fn, soit : tan α f tanϕ ou α ϕ actan f L intepétation géométique est que la ésultante R doit se touve dans le cône d ae N et de demi-angle au sommet ϕ actan f. Ce cône est appelé cône de fottement. Imaginons que la pente α augmente petit à petit. insi, R mg ne change pas alos que la nomale à la pente bascule petit à petit. u bout d un moment, la ésultante R sot du cône de fottement : le solide commence à glisse. n pouait faie une analyse du même type en supposant que le sol devient de plus en plus glissant et donc que f diminue. Cette analyse epésente le sens physique de l inégalité intoduite dans les lois de Coulomb.
Eemple (BUP, Mas ) :
Compléments : démaage d une voitue L étude dynamique de l accéléation d un véhicule impose de ne pende en compte que les
ppoche énegétique : Puissance des actions mécaniques de contact n a vu que la puissance des actions eecées su un solide est : P v( ). F et + M,et. Ω où est un point quelconque du solide. n s intéesse à l action du solide (S ) su le solide (S ). Le contact est supposé ponctuel en I. n note R la ésultante de l action de (S ) su le solide (S ). R (S ) (S ) I S I S R los, la puissance eçue pa le solide (S ) de la pat du solide (S ) est : (le moment est nul puisque le contact est ponctuel) P v I ). R ( S - R désigne la ésultante de l action de (S ) su le solide (S ). los, la puissance eçue pa le solide (S ) de la pat du solide (S ) est : P v I ).( ) ( S R La puissance totale des actions de contact ente les deu solides est alos : P P + P ( v( I S ) v( I S ))R Soit, avec vg v( I S ). v( I S ) la vitesse de glissement de (S ) pa appot à (S ) : P v. R Soit encoe, puisque N est pependiculaie à la vitesse de glissement : P v. T g g Conséquences des lois de Coulomb : * Il y a glissement : alos, T. v g < et P <. cause des fottements ente les solides, leu énegie mécanique totale diminue. * Il y a oulement sans glissement : alos la vitesse de glissement est nulle et P. Les actions de contact ne dissipent aucune énegie alos qu il eiste la plupat du temps une composante tangentielle non nulle de fottement. 4
Tès souvent, le solide (S ) est le sol immobile ; alos : P v( I ). T S En cas de oulement sans glissement, la puissance des actions de contact du sol immobile su un solide est nulle. 4 - pplication à la ésolution des poblèmes : L étude d un mouvement avec contact de solides fait inteveni notamment les foces de contact comme inconnues. Pou ésoude le poblème, il faut écie : Les équations découlant du pincipe fondamental des systèmes. Une elation supplémentaie povenant d une hypothèse su l eistence ou non d un glissement, hypothèse qui deva ête véifiée. Si l on suppose qu il y a glissement, la elation supplémentaie est alos donnée pa la loi de Coulomb : T // v ; T. v < ; T f N g g Il faut ensuite véifie que la vitesse de glissement est bien non nulle et de sens opposé à T. Si l on suppose qu il n y a pas glissement, la elation supplémentaie est v g et il faut alos véifie que T fn. Enfin, si le mouvement compote difféentes phases successives de natues difféentes (avec et sans glissement), la véification de l hypothèse choisie pemet de détemine l instant de changement de phase. s Un e eemple d application ; un cylinde su un plan incliné : Un cylinde homogène de cente d inetie C, de ayon R et de moment d inetie mr appot à son ae, est posé sans vitesse initiale su un plan incliné d un angle α su l hoiontale, dans le éféentiel teeste (R) galiléen (l ae du cylinde est hoiontal). J pa n désigne pa f le coefficient de fottement de glissement ente le cylinde et le plan incliné. a) Détemine l accéléation & & du cylinde. Monte qu il y a glissement ou non selon la position de α pa appot à une cetaine valeu α que l on déteminea. b) Faie un bilan énegétique ente les instants et t. Envisage les deu cas α < α et α > α. N + T I α C mg 5
a) Le théoème de la ésultante dynamique dans (R) appliquée au cylinde donne : m & mg sinα T ; mg cosα + N Le théoème du moment cinétique en C, dans le éféentiel baycentique, donne : mr & θ u y CI T RT u d' où & θ La vitesse de glissement du cylinde su le plan incliné s écit : v v( I ) v( C) + & θ u CI d' où g cyl y y v g T mr & R & θ e cas ; le cylinde oule sans glisse : v soit & R & g, θ. n obtient alos : mr && m & mg sinα T mg sinα soit & R n doit véifie l hypothèse (loi de Coulomb), T < fn., d où : tan α tan α f Le cylinde oule donc sans glisse tant que α < α. Remaque : g sinα T mg sinα et N mg cosα, T mg sin α / nd cas ; α > α et le cylinde glisse en oulant : alos, T fn fmg cosα. n en déduit : & g(sinα f cosα) et & θ R fg cosα 6
b) La vaiation d énegie cinétique du cylinde ente e t s écit : E Le théoème de l énegie cinétique donne : c Ec m + & 4 mr & θ t m& + mr & θ mgsinα + W mgsin T + T. v α g 4 m t + mr & & θ mg sinα Tv g 4 Dans le e cas ( α < α ), v g : on obtient alos : Pa déivation, on etouve l accéléation m & mg& sinα 4 & g sinα. Dans le nd cas, α > α : v g & R & θ g(sinα f cosα) t et on peut bien véifie que le théoème de l énegie cinétique est bien véifié : m& + mr & θ 4 mgsinα Un nd eemple d application ; cylinde posé su sa base t fmg cosα(sinα f cosα) t n considèe un cylinde (C) de masse M, de ayon a et de hauteu h. n pose le cylinde su sa base su un plan incliné d angle α. Sa vitesse initiale est nulle. 7
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Un ème eemple d application ; oscillateu à fottement solide VI) Rotation d un solide autou d un ae fie : Desciption de quelques liaisons classiques ente deu solides : Liaison glissièe ou liaison pismatique : Liaison otule ou liaison sphéique : Liaison pivot (ou liaison otoïde) : Liaisons pafaites : Eemple : une liaison pivot pafaite Le solide (S) est maintenu pa deu pivots quasi-ponctuels en et B de manièe à pouvoi toune autou de l ae fie (B) dans le éféentiel d étude. Nous supposons que les liaisons en et B sont pafaites : les actions de contact qui s eecent su (S) en et B se éduisent espectivement à deu foces : R passant pa et R passant pa B. 9
B R (S) Ω R Calcule les éléments de éduction en du toseu des actions mécaniques de contact su (S). Réponse : La ésultante est R R + R. Le moment en est : M, contact R + B R B R n constate que M, contact est bien pependiculaie à l ae de otation (B) du solide (S) : la liaison est pafaite. n fait ainsi essoti le fait que dans le cas d une liaison pivot, même pafaite, les actions de liaison ne peuvent pas en généal ête epésentées pa une seule foce encontant l ae. Seul le moment pojeté su l ae est nul. Etude du mouvement de otation (liaison pivot) : Rappel : (théoème du moment cinétique pa appot à un ae fie) n considèe un ae passant pa, de vecteu unitaie u, fie dans (R). (S) L En pojetant le théoème du moment cinétique su cet ae, on obtient le théoème du moment cinétique pa appot l ae : dl u M u M ( L L. u., f et, et ) 4
Ce théoème sea couamment utilisé dans l étude du mouvement d un solide autou d un ae fie, en utilisant : L J ω où ω désigne la vitesse angulaie du solide, potée pa l ae. Finalement (théoème «scalaie» du moment cinétique pou un solide en otation autou de l ae de otation ) : J dω L ( L L. u ) 4 Eemples : Machine d twood : Système avec fil, essot et poulie : 4
Le pendule pesant : * Equation de la dynamique : * ppoche énegétique : 4
NNEXE : Matice d inetie (cous de SI) 4
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